Bài toán người bán hàng

Luyện tập: Giải bài toán bằng cách lập
phương trình


Mục lục
1

Bài toán người bán hàng

1

1.1

Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Phát biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Dưới dạng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Đối xứng và bất đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Tìm kiếm lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.1

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.2

Công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.3

Các thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.4

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.5

Độ phức tạp tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.6

Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.7

Cải thiện ngẫu nhiên

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Ghi chú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

2

Yakov Isidorovi Perelman

9

2.1

Sự nghiệp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Tác phẩm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Vật lý giải trí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.5

Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.6.1

Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.6.2

Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.6.3

Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

i


Chương 1

Bài toán người bán hàng
thuật toán nào cho TSP đều tăng theo cấp số nhân với
số thành phố.
TSP có một vài ứng dụng thậm chí trong dạng thức
nguyên thuỷ của nó như lập kế hoạch, logistic, và sản
xuất các microchip. ay đổi đi chút ít nó xuất hiện như
một bài toán con trong rất nhiều lĩnh vực như việc phân
tích gen trong sinh học. Trong những ứng dụng này,
khái niệm thành phố có thể thay đổi thành khách hàng,
các điểm hàn trên bảng mạch, các mảnh DNA trong
gen, và khái niệm khoảng cách có thể biểu diễn bởi thời
gian du lịch hay giá thành, hay giống như sự so sánh
giữa các mảnh DNA với nhau. Trong nhiều ứng dụng,
các hạn chế truyền thống như giới hạn tài nguyên hay
giới hạn thời gian thậm chí còn làm cho bài toán trở
nên khó hơn.
Trong lý thuyết của độ phức tạp tính toán, phiên bản
quyết định của bài toán TSP thuộc lớp NP-đầy đủ. Vì
vậy không có giải thuật hiệu quả nào cho việc giải bài

toán TSP. Hay nói cách khác, giống như thời gian chạy
xấu nhất cho bất ký giải thuật nào cho bài toán TSP
Bài toán người bán hàng (tiếng Anh: travelling tăng theo hàm mũ với số lượng thành phố, vì vậy thậm
salesman problem - TSP) là một bài toán NP-khó thuộc chí nhiều trường hợp với vài trăm thành phố cũng đã
thể loại tối ưu rời rạc hay tổ hợp được nghiên cứu trong mất vài năm CPU để giải một cách chính xác.
vận trù học hoặc lý thuyết khoa học máy tính. Bài toán
được phát biểu như sau. Cho trước một danh sách các
thành phố và khoảng cách giữa chúng, tìm chu trình
1.1 Lịch sử
ngắn nhất thăm mỗi thành phố đúng một lần.
Nếu người bán hàng xuất phát từ điểm A, và nếu khoảng cách
giữa hai điểm bất kì được biết thì đâu là đường đi ngắn nhất
mà người bán hàng có thể thực hiện được sao cho đi hết tất cả
các điểm mỗi điểm một lần để quay về lại điểm A ban đầu?

Bài toán được nêu ra lần đầu tiên năm 1930 và là một
trong những bài toán được nghiên cứu sâu nhất trong
tối ưu hóa. Nó thường được dùng làm thước đo cho
nhiều phương pháp tối ưu hóa. Mặc dù bài toán rất khó
giải trong trường hợp tổng quát, có nhiều phương pháp
giải chính xác cũng như heuristic đã được tìm ra để giải
quyết một số trường hợp có tới hàng chục nghìn thành
phố.

Nguồn gốc của bài toán người bán hàng vẫn chưa được
biết rõ. Một cuốn sổ tay dành cho người bán hàng xuất
bản năm 1832 có đề cập đến bài toán này và có ví dụ
cho chu trình trong nước Đức và ụy Sĩ, nhưng không
chứa bất kì nội dung toán học nào.
Bài toán người bán hàng được định nghĩa trong thế kỉ

19 bởi nhà toán học Ireland William Rowan Hamilton
và nhà toán học Anh omas Kirkman. Trò chơi Icosa
của Hamilton là một trò chơi giải trí dựa trên việc tìm
kiếm chu trình Hamilton. Trường hợp tổng quát của
TSP có thể được nghiên cứu lần đầu tiên bởi các nhà
toán học ở Vienna và Harvard trong những năm 1930,
đặc biệt là Karl Menger, người đã định nghĩa bài toán,
xem xét thuật toán hiển nhiên nhất cho bài toán, và
phát hiện ra thuật toán láng giềng gần nhất là không
tối ưu.

Ngay trong hình thức phát biểu đơn giản nhất, bài toán
TSP đã có nhiều ứng dụng trong lập kế hoạch, hậu cần,
cũng như thiết kế vi mạch.
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, phiên bản quyết
định của TSP (cho trước độ dài L, xác định xem có tồn
tại hay không một chu trình đi qua mỗi đỉnh đúng một
lần và có độ dài nhỏ hơn L) thuộc lớp NP-đầy đủ. Do
đó, có nhiều khả năng là thời gian xấu nhất của bất kì
1


2

CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG

Hassler Whitney ở đại học Princeton đưa ra tên bài toán
người bán hàng ngay sau đó.
Trong những năm 1950 và 1960, bài toán trở nên phổ
biến trong giới nghiên cứu khoa học ở châu Âu và Mỹ.

George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson và Selmer M.
Johnson ở công ty RAND tại Santa Monica đã có đóng
góp quan trọng cho bài toán này, biểu diễn bài toán
dưới dạng quy hoạch nguyên và đưa ra phương pháp
mặt phẳng cắt để tìm ra lời giải. Với phương pháp mới
này, họ đã giải được tối ưu một trường hợp có 49 thành
phố bằng cách xây dựng một chu trình và chứng minh
rằng không có chu trình nào ngắn hơn. Trong những
thập niên tiếp theo, bài toán được nghiên cứu bởi nhiều
nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực toán học, khoa học
máy tính, hóa học, vật lý, và các ngành khác.

20
B

A

42

30

34

35

C

D
12

Năm 1972, Richard M. Karp chứng minh rằng bài toán TSP đối xứng với bốn thành phố
chu trình Hamilton là NP-đầy đủ, kéo theo bài toán TSP
cũng là NP-đầy đủ. Đây là một lý giải toán học cho sự
điểm cuối là cùng một đỉnh sau khi thăm hết các đỉnh
khó khăn trong việc tìm kiếm chu trình ngắn nhất.
còn lại đúng một lần. Mô hình này thường là một đồ
Một bước tiến lớn được thực hiện cuối thập niên 1970 thị đầy đủ (giữa mỗi cặp đỉnh đều có cạnh). Nếu không
và 1980 khi Grötschel, Padberg, Rinaldi và cộng sự đã có đường giữa hai thành phố thì có thể thêm một cạnh
giải được những trường hợp lên tới 2392 thành phố, sử với độ dài đủ lớn vào đồ thị mà không ảnh hưởng đến
dụng phương pháp mặt phẳng cắt và nhánh cận.
kết quả tối ưu sau cùng.
Trong thập niên 1990, Applegate, Bixby, Chvátal, và
Cook phát triển một chương trình mang tên Concorde
giải được nhiều trường hợp có độ lớn kỉ lục hiện nay. 1.2.2 Đối xứng và bất đối xứng
Gerhard Reinelt xuất bản một bộ dữ liệu các trường hợp
có độ khó khác nhau mang tên TSPLIB năm 1991, và nó Trong bài toán TSP đối xứng, khoảng cách giữa hai
đã được sử dụng bởi nhiều nhóm nghiên cứu để so sánh thành phố là không đổi dù đi theo chiều nào. Như vậy
kết quả. Năm 2005, Cook và cộng sự đã giải được một đồ thị trong bài toán này là đồ thị vô hướng. Việc đối
trường hợp có 33810 thành phố, xuất phát từ một bài xứng này làm giảm đi một nửa số lời giải có thể. Trong
toán thiết kế vi mạch. Đây là trường hợp lớn nhất đã khi đó, với bài toán TSP bất đối xứng thì đường đi giữa
được giải trong TSPLIB. Trong nhiều trường hợp khác hai thành phố có thể chỉ một chiều hoặc có độ dài khác
với hàng triệu thành phố, người ta đã tìm được lời giải nhau giữa mỗi chiều, tạo nên đồ thị có hướng. Các tai
với sai số không quá 1% so với lời giải tối ưu.
nạn giao thông, đường một chiều hay phí hàng không
giữa các thành phố với phí điểm xuất phát và điểm đến
khác nhau là những ví dụ về sự bất đối xứng.

1.2 Phát biểu
Có một người giao hàng cần đi giao hàng tại n thành 1.3 Tìm kiếm lời giải
phố. Anh ta xuất phát từ một thành phố nào đó, đi qua

các thành phố khác để giao hàng và trở về thành phố
ban đầu. Mỗi thành phố chỉ đến một lần, và khoảng Cũng như các bài toán NP-khó khác, có các hướng sau
cách từ một thành phố đến các thành phố khác đã được đây để tiếp cận bài toán người bán hàng.
biết trước. Hãy tìm một chu trình (một đường đi khép
kín thỏa mãn điều kiện trên) sao cho tổng độ dài các
• iết kế thuật toán tìm kiếm lời giải tối ưu (thường
cạnh là nhỏ nhất.
hoạt động hiệu quả cho những trường hợp nhỏ).

1.2.1

Dưới dạng đồ thị

Bài toán người bán hàng có thể được mô hình hoá như
một đồ thị vô hướng có trọng số, trong đó mỗi thành
phố là một đỉnh của đồ thị còn đường đi giữa các thành
phố là mỗi cách. Khoảng cách giữa hai thành phố là độ
dài cạnh. Đây là vấn đề cực tiểu hoá với điểm đầu và

• iết kế thuật toán heuristic để tìm những lời giải
tốt nhưng không nhất thiết tối ưu.
• iết kế thuật toán xấp xỉ để tìm những lời giải
không quá lớn so với lời giải tối ưu.
• Giải quyết các trường hợp đặc biệt.


1.3. TÌM KIẾM LỜI GIẢI

3
Lặp lại bắt đầu với những đỉnh khác:

Có ba đường đi có chiều dài 45 km là giống nhau. Một
nhân viên bán hàng có cửa hàng tại A, đường đi tốt nhất
tìm ra bởi thuật toán láng giềng gần nhất là ABDCEA
= 45 km

1.3.2 Công thức

Tổng chi phí ACEBDA là 8+4+15+10+14 = 51

1.3.1

Ví dụ minh họa

Sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất (tiếng Anh:
nearest neighbour algorithm)
Các bước của thuật toán:
• Bước 1: Chọn một đỉnh bắt đầu V.
• Bước 2: Từ đỉnh hiện hành chọn cạnh
nối có chiều dài nhỏ nhất đến các đỉnh
chưa đến. Đánh dấu đã đến đỉnh vừa
chọn.
• Bước 3: Nếu còn đỉnh chưa đến thì quay
lại bước 2.

Công thức: Bước đầu tiên để giải quyết trường hợp của
TSPs lớn phải để tìm một công thức toán học tốt của
vấn đề. Trong trường hợp của các vấn đề nhân viên
bán hàng đi du lịch, các cấu trúc toán học là một đồ thị,
ở mỗi thành phố được biểu thị bằng một điểm (hoặc
nút) và dòng được rút ra kết nối hai nút (gọi là vòng

cung hoặc cạnh). Liên kết với mỗi dòng là một khoảng
cách (hoặc chi phí). Khi nhân viên bán hàng có thể nhận
được từ mỗi thành phố để mọi thành phố khác trực tiếp,
sau đó đồ thị được cho là hoàn chỉnh. Một chuyến đi
vòng quanh những thành phố tương ứng với một số
tập hợp con của các dòng, và được gọi là một tour du
lịch hoặc một chu trình Hamilton (Đường đi Hamilton)
trong lý thuyết đồ thị. Chiều dài của một tour du lịch là
tổng độ dài của các đường trong chuyến đi vòng quanh.
Tùy thuộc vào có hay không sự chỉ đạo, trong đó
một cạnh của đồ thị là đi qua các vấn đề, một trong
những phân biệt đối xứng từ đối xứng đi vấn đề nhân
viên bán hàng. Xây dựng các bất đối xứng TSP trên m
thành phố, một trong những giới thiệu không-một biến

• Bước 4: ay lại đỉnh V.
Bài toán có năm thành phố với khoảng cách giữa
các thành phố được tính bằng km. Sử dụng thuật
toán láng giềng gần nhất, bắt đầu lần lượt từ mỗi
đỉnh, tìm đường đi thích hợp cho người bán hàng,
cửa hàng đặt tại A và cần đi qua tất cả thành phố còn lại.

Bắt đầu với đỉnh A
• Từ A, đỉnh gần nhất là C, chiều dài AC
=8
• Từ C, đỉnh chưa viếng thăm gần nhất là
E, CE = 4
• Từ E, đỉnh chưa viếng thăm gần nhất là
B, EB = 15
• Từ B, đỉnh chưa viếng thăm gần nhất là

D, BD = 10
• Không còn đỉnh chưa viếng thăm, vì
vậy quay về A, DA = 14
Tổng chi phí ACEBDA là 8 + 4 + 15 + 10 + 14 = 51

và do thực tế là tất cả các nút của đồ thị phải có đúng
một cạnh chỉ tay về phía nó và một trong những chỉ
đi từ nó, có được một vấn đề chuyển nhượng cổ điển.
Những khó khăn này một mình là không đủ vì công
thức này sẽ cho phép “subtours”, có nghĩa là, nó sẽ cho
phép các vòng phân chia xảy ra. Vì lý do này, một mô
hình thích hợp của các vấn đề đi du lịch nhân viên bán
hàng không đối xứng phải loại bỏ những subtours từ
xem xét việc bổ sung “subtour loại bỏ" hạn chế. Vấn đề
sau đó trở thành


4

CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG

1.3.3 Các thuật toán

nơi mà K là bất kỳ tập hợp con thích hợp khác rỗng
trong những thành phố 1,…, m. Chi phí c ij được phép
khác với chi phí c ji. Lưu ý rằng có m (m-1) không-một
biến trong công thức này.
Xây dựng các đối xứng đi vấn đề nhân viên bán hàng,
người ta ghi nhận rằng hướng đi qua là không đáng kể,
do đó c ij = c ji. Từ hướng không quan trọng bây giờ,

người ta có thể xem xét các đồ thị, nơi chỉ có một vòng
cung (vô hướng) giữa hai nút. Vì vậy, chúng tôi cho x
j e { 0,1 } là biến quyết định nơi j chạy qua tất cả các
cạnh E của đồ thị vô hướng và c j là chi phí đi cạnh
đó. Để tìm một tour du lịch trong biểu đồ này, người ta
phải chọn một tập hợp con của các cạnh như vậy mà tất
cả các nút được chứa trong hai chính xác của các cạnh
được lựa chọn. Như vậy, vấn đề có thể được xây dựng
như một vấn đề 2 khớp trong đồ thị G v có m (m-1) / 2
không-một biến, tức là một nửa số lượng các công tác
xây dựng trước đó. Như trong trường hợp bất đối xứng,
subtours phải được loại bỏ thông qua hạn chế loại bỏ
subtour. Vấn đề do đó có thể được xây dựng như:

Các thuật toán: phương pháp chính xác để giải quyết
vấn đề như vậy đòi hỏi các thuật toán tạo ra cả một giới
hạn dưới và một trên ràng buộc về giá trị nhỏ nhất thực
sự của các trường hợp vấn đề. Bất kỳ tour du lịch vòng
quanh chuyến đi mà đi qua mỗi thành phố đúng một
lần là một giải pháp khả thi với một chi phí nhất định
mà không thể nhỏ hơn so với các tour du lịch chi phí
tối thiểu. uật toán xây dựng các giải pháp khả thi, và
do đó giới hạn trên đối với các giá trị tối ưu, được gọi
là công nghệ tự động. Những giải pháp chiến lược sản
xuất câu trả lời nhưng không có bất kỳ đảm bảo chất
lượng như thế nào xa họ có thể từ câu trả lời tối ưu. Các
thuật toán heuristic mà cố gắng để tìm ra giải pháp khả
thi trong một nỗ lực duy nhất được gọi là công nghệ tự
động xây dựng trong khi các thuật toán đó lặp đi lặp
lại thay đổi và cố gắng cải thiện một số giải pháp bắt

đầu được gọi là công nghệ tự động cải thiện. Khi một
giải pháp có được phụ thuộc vào điểm xuất phát ban
đầu của thuật toán, cùng một thuật toán có thể được sử
dụng nhiều lần từ nhiều điểm khởi đầu (ngẫu nhiên).
Đối với một cuộc khảo sát tuyệt vời của công nghệ
tự động cải thiện ngẫu nhiên, xem Junger, Reinelt và
Rinaldi (1994)[1] . ông thường, nếu một trong những
nhu cầu một giải pháp nhanh chóng, người ta có thể
giải quyết cho một thuật toán heuristic được thiết kế
tốt đã được chứng minh bằng thực nghiệm để tìm tour
du lịch “gần như tối ưu” đến nhiều vấn đề TSP. Nghiên
cứu của Johnson (1990)[2] , và Junger, Reinelt và Rinaldi
(1994) [1] mô tả thuật toán tìm giải pháp cho TSPs rất
lớn (vấn đề với hàng chục ngàn, thậm chí hàng triệu
biến) để trong vòng 2% của tối ưu trong thời gian rất
hợp lý. Đối với phương pháp tiếp cận thuật toán di
truyền để TSP, xem Potvin (1996)[3] , cách tiếp cận ủ mô


1.3. TÌM KIẾM LỜI GIẢI
phỏng thấy Aarts, et al. (1988), cách tiếp cận mạng lưới
thần kinh, xem Potvin (1993)[4] , và cách tiếp cận tìm
kiếm kỵ, xem Fiechter (1990)[5] . Bảo lãnh thực hiện cho
chẩn đoán được đưa ra trong Johnson và Papadimitriou
(1985)[6] , phân tích xác suất của công nghệ tự động sẽ
được thảo luận trong Karp và Steele (1985)[7] , và sự phát
triển và thử nghiệm thực tế về chẩn đoán được báo cáo
trong Golden và Stewart (1985)[8] .
Để biết về sự gần gũi của các ràng buộc trên với giá trị
tối ưu, người ta cũng phải biết một thấp hơn ràng buộc

về giá trị tối ưu. Nếu trên và giới hạn dưới trùng, một
bằng chứng của tối ưu là đạt được. Nếu không, một ước
tính bảo thủ của sai số tương đối thực sự của các ràng
buộc trên được cung cấp bởi sự khác biệt của phần trên
và phần dưới bị ràng buộc chia cho ràng buộc thấp hơn.
Do đó, cần cả trên và kỹ thuật ranh giới thấp hơn để tìm
thể chứng minh giải pháp tối ưu cho các vấn đề tổ hợp
khó khăn hoặc thậm chí để có được các giải pháp đáp
ứng một sự đảm bảo chất lượng.
Vì vậy, làm thế nào để có được và cải thiện thấp hơn
ràng buộc? Một thư giãn của một vấn đề tối ưu hóa
là một vấn đề tối ưu hóa mà bộ các giải pháp khả thi
đúng có chứa tất cả các giải pháp khả thi của vấn đề ban
đầu và có giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn hoặc bằng với
đúng giá trị hàm mục tiêu cho các điểm khả thi cho vấn
đề ban đầu. Do đó chúng tôi thay thế các “true” vấn đề
bằng một với một khu vực có tính khả thi hơn đó là khả
năng giải quyết dễ dàng hơn. ư giãn này được tiếp tục
tinh chế để thắt chặt các khu vực có tính khả thi để nó
đại diện cho chặt chẽ hơn vấn đề thực sự. Các kỹ thuật
tiêu chuẩn để đạt được giới hạn thấp hơn trên các vấn
đề TSP là sử dụng một thư giãn mà là dễ dàng hơn để
giải quyết hơn vấn đề ban đầu. Những nới lỏng có thể
có một trong hai bộ khả thi rời rạc hay liên tục. Một số
nới lỏng đã được xem xét cho TSP. Trong số đó là thư
giãn n-đường dẫn, thư giãn chuyển nhượng, thư giãn 2
phù hợp, thư giãn 1-cây, và các chương trình thư giãn
tuyến tính. Để tạo ra một cách ngẫu nhiên TSPs không
đối xứng, vấn đề có đến 7500 thành phố đã được giải
quyết bằng cách sử dụng thư giãn khoán, trong đó cho

biết thêm subtours trong một khuôn khổ chi nhánh và
ràng buộc và trong đó sử dụng một phỏng đoán ranh
giới trên dựa trên subtour vá, (Miller và Pekny, 1991)
[9]
. Đối với TSP đối xứng, thư giãn 1-cây và nới lỏng 2
phù hợp đã thành công nhất. Những nới lỏng đã được
nhúng vào một khuôn khổ chi nhánh và cắt.
á trình tìm kiếm hạn chế được vi phạm bởi một thư
giãn nhất định, được gọi là một máy bay cắt kỹ thuật
và tất cả những thành công cho các vấn đề TSP lớn
đã sử dụng máy bay để cắt liên tục thắt chặt việc xây
dựng của vấn đề. Điều quan trọng cần nhấn mạnh rằng
tất cả các phương pháp tính toán thành công với TSP
sử dụng khía cạnh-định bất bình đẳng như cắt máy bay.
Máy bay cắt chung loại của văn học lập trình số nguyên
sử dụng đơn cơ sở-đại diện để có được cắt giảm, chẳng
hạn như Gomory hoặc cắt giảm giao lộ, từ lâu đã bị bỏ
rơi vì tính chất hội tụ nghèo.

5
Một trong những cắt giảm đơn giản đã được chứng
minh để xác định các khía cạnh của TSP polytope cơ
bản là cắt giảm loại bỏ subtour. Bên cạnh những khó
khăn, bất bình đẳng lược, sự bất bình đẳng cây bè lũ,
con đường, xe cút kít và xe đạp bất bình đẳng, bất
bình đẳng thang và vương miện đã được hiển thị để
xác định các khía cạnh của polytope này. Lý thuyết
cơ bản của thế hệ khía cạnh cho việc đi lại vấn đề
nhân viên bán hàng đối xứng được cung cấp trong
Grötschel và Padberg (1985)[10] và Junger, Reinelt và

Rinaldi (1994)[1] . Các mô tả thuật toán như thế nào
chúng được sử dụng trong việc cắt giảm các cách tiếp
cận chiếc máy bay sẽ được thảo luận trong Padberg và
Rinaldi (1991)[9] và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994)[1] .
Triển khai thực hiện xử lý song song được trình bày
trong Christof và Reinelt (1995) [11] và Applegate, et al.
(1998)[12] . Cắt giảm các thủ tục máy bay sau đó có thể
được nhúng vào một cây tìm kiếm được gọi là chi nhánh
và cắt giảm. Một số vấn đề TSP lớn nhất giải quyết đã
sử dụng xử lý song song để hỗ trợ trong việc tìm kiếm
tối ưu. eo sự hiểu biết của chúng ta về cấu trúc toán
học cơ bản của vấn đề TSP được cải thiện, và với sự tiến
bộ liên tục trong công nghệ máy tính, có khả năng là
nhiều vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn và quan trọng
sẽ được giải quyết bằng cách kết hợp cắt thủ tục thế hệ
máy bay, chẩn đoán, sửa chữa biến thông qua tác động
hợp lý và giảm chi phí và tìm kiếm cây.

1.3.4 Ứng dụng
Người ta có thể hỏi, tuy nhiên, cho dù vấn đề để nhận
được tất cả sự chú ý của nó có. Ngoài việc là một
“polytope” của một vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn
từ một phức tạp điểm lý thuyết của xem, có những
trường hợp quan trọng của các vấn đề thực tế có thể
được xây dựng như các vấn đề TSP và nhiều vấn đề
khác là những khái quát của vấn đề này. Bên cạnh
việc khoan mạch in bảng mô tả ở trên, vấn đề có cấu
trúc TSP xảy ra trong phân tích cấu trúc của các tinh
thể, (Bland và Shallcross, 1987)[13] , các đại tu động cơ
tuốc bin khí (Pante, Lowe và Chandrasekaran, 1987)[14] ,

trong xử lý vật liệu trong một nhà kho (Ratliff và
Rosenthal, 1981)[15] , trong việc cắt giảm các vấn đề
chứng khoán, (Garfinkel, 1977), các phân nhóm của các
mảng dữ liệu, (Lenstra và Rinooy Kạn, 1975), trình tự
các công việc trên một máy tính duy nhất (và Gilmore
Gomory, 1964) và phân công các tuyến đường cho
máy bay của một hạm đội quy định (Boland, Jones,
và Nemhauser, 1994). Biến thể có liên quan về vấn đề
nhân viên bán hàng đi du lịch bao gồm các nguồn tài
nguyên hạn chế đi du lịch vấn đề nhân viên bán hàng
trong đó có các ứng dụng trong lập kế hoạch với thời
hạn tổng hợp (Pekny và Miller, 1990). Nghiên cứu này
cũng cho thấy giải thưởng thu thập đi vấn đề nhân viên
bán hàng (Balas, 1989)[16] và các vấn đề Orienteering
(Golden, Levy và Vohra, 1987)[14] là trường hợp đặc biệt
của tài nguyên hạn chế TSP. an trọng nhất là vấn


6
đề nhân viên bán hàng đi du lịch thường thể hiện như
một bài toán con trong nhiều vấn đề tổ hợp phức tạp,
là nổi tiếng và quan trọng nhất trong số đó là vấn đề
định tuyến xe, có nghĩa là, vấn đề xác định cho một đội
xe mà khách hàng sẽ được phục vụ bởi mỗi chiếc xe
và theo thứ tự mỗi chiếc xe nên đến các khách hàng
được giao. Đối với các cuộc điều tra có liên quan, xem
Christofides (1985) và Fisher (1987).

CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG
2. Một thành phố xa xôi có ít cơ hội được lựa chọn (khả

năng hiển thị.
3. Cường độ cao hơn đường mòn pheromone đặt ra trên
một cạnh giữa hai thành phố, lớn hơn xác suất mà cạnh
đó sẽ được chọn.
4. Đã hoàn thành cuộc hành trình của nó, là kiến gia
gửi pheromone hơn trên tất cả các cạnh nó đi qua, nếu
cuộc hành trình ngắn.

uật toán tối ưu hóa đã được áp dụng cho nhiều
vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khác nhau, từ phân bậc hai 5. Sau mỗi lần lặp, những con đường mòn các kích thích
với Proteingấp hoặc định tuyến xe (Vehicle routing tố bay hơi.
problem) và rất nhiều phương pháp có nguồn gốc đã
được thích nghi với các vấn đề năng động trong thực
tế các biến ngẫu nhiên, các vấn đề ngẫu nhiên, đa
mục tiêu và triển khai song song. Nó cũng đã được sử
dụng để sản xuất các giải pháp gần tối ưu cho vấn đề
nhân viên bán hàng đi du lịch. Họ có lợi thế hơn mô
phỏng luyện kim (Simulated annealing) và thuật toán
di truyền (Genetic algorithm) của phương pháp tiếp cận
vấn đề tương tự khi đồ thị có thể thay đổi tự động;
thuật toán đàn kiến có thể chạy liên tục và thích ứng
với những thay đổi trong thời gian thực. Đây là quan
tâm trong mạng định tuyến (Network routing) và các
hệ thống giao thông đô thị.

1.3.5 Độ phức tạp tính toán
Phiên bản quyết định của bài toán người bán hàng là
NP-đầy đủ. Ngay cả khi khoảng cách giữa các thành
phố là khoảng cách Euclide, bài toán vẫn là NP-khó.
- Với n thành phố thì có: 1/2 × (n − 1)! đường đi.

+ Giả sử n = 16 =>> 1/2 * 15! = 6.54 ×1011 đường đi =>>
Số đường đi quá lớn.
Các thuật toán ACO đầu tiên được gọi là hệ thống Ant
[17]
và nó nhằm mục đích để giải quyết vấn đề nhân
viên bán hàng đi du lịch, trong đó mục đích là để tìm
ngắn chuyến đi vòng quanh để liên kết một loạt các
thành phố. Các thuật toán chung là tương đối đơn giản
và dựa trên một tập hợp các kiến, mỗi người làm của
vòng các chuyến đi có thể cùng các thành phố. Ở mỗi
giai đoạn, các kiến lựa chọn để di chuyển từ một thành
phố khác theo một số quy tắc:
1. Nó phải đến mỗi thành phố đúng một lần.

Độ phức tạp của tính xấp xỉ
Trong trường hợp tổng quát, bài toán người bán hàng
là NPO-đầy đủ. Khi các khoảng cách thỏa mãn bất đẳng
thức tam giác và đối xứng, bài toán là APX-đầy đủ và
thuật toán Christofides có thể tìm lời giải xấp xỉ không
quá 1,5 lần lời giải tối ưu.
Khi các khoảng cách là bất đối xứng nhưng thỏa mãn
bất đẳng thức tam giác, thuật toán tốt nhất hiện nay
đạt tỉ lệ xấp xỉ O(log n/ log log n) .[18]


1.5. LIÊN KẾT NGOÀI

1.3.6

Các trường hợp đặc biệt

1.3.7

Cải thiện ngẫu nhiên

Tối ưu hóa chuỗi Markov thuật toán sử dụng để phát
tìm kiếm địa phương phụ các thuật toán có thể tìm
thấy một con đường rất gần với các tuyến đường tối
ưu cho 700 đến 800 thành phố. TSP là một chuẩn mực
cho nhiều chẩn đoán chung đưa ra để tối ưu hóa tổ hợp
như các thuật toán di truyền, tìm kiếm Tabu, kiến thuộc
địa tối ưu hóa và các phương pháp entropy chéo.
Không gian Euclide

7
Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds.,
John Wiley, 207-250.
[9] D. Miller and J. Pekny (1991). “Exact Solution of Large
Asymmetric Traveling Salesman Problems,” Science
251, 754-761.
[10] ] M.W. Padberg and M. Grötschel (1985). “Polyhedral
Computations,” in e Traveling Salesman Problem,
Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds., John
Wiley, 307-360.
[11] T. Christof and G. Reinelt, (1995) “Parallel cuing plane
generation for the TSP in Parallel Programming and
Applications (P. Fritzson, L. Finmo, eds.) IOS Press, 163169.

Khi các thành phố là các điểm trong không gian
Euclide, bài toán vẫn là NP-đầy đủ. Tuy nhiên, khi

số chiều của không gian là hằng số, có thuật toán
để tìm lời giải xấp xỉ với độ chính xác bất kì. Cụ
thể hơn, với bất kì ϵ > 0 , và d là số chiều của
không gian √
Euclide, có thuật toán chạy trong thời gian
√
d−1
( d/ϵ)O(d( d/ϵ) ) n + O(dn log n) và tìm ra lời giải
không quá 1 + ϵ lời giải tối ưu.[19]

[12] D. Applegate, R.E. Bixby, V. Chvatal, and W. Cook
(1998) “On the solution of traveling salesman problems”
Documenta Mathematica - Extra Volume, ICM III 645658.

1.4 Ghi chú

[14] BL Golden, L. Levy và R. Vohra (1987). “Vấn đề
Orienteering,” Hải quân nghiên cứu Logistics 34, 307318.

[1] M. Jünger, G. Reinelt and G. Rinaldi (1994). “e
Traveling Salesman Problem,” in Ball, Magnanti,
Monma and Nemhauser (eds.), Handbook on
Operations Research and the Management Sciences
North Holland Press, 225-330.
[2] D. S. Johnson (1990) “Local Optimization and the
Traveling Salesman Problem,” Proc. 17th Colloquium
on Automata, Languages and Programming, Springer
Verlag, 446-461.
[3] J.V. Potvin (1996) “Genetic Algorithms for the Traveling
Salesman Problem”, Annals of Operations Research 63,

339-370.
[4] J.V. Potvin (1993), “e Traveling Salesman Problem:
A Neural Network Perspective”, INFORMS Journal on
Computing 5 328-348.
[5] C.N. Fiechter (1990) “A Parallel Tabu Search Algorithm
for Large Scale Traveling Salesman Problems”
Working Paper 90/1 Department of Mathematics, École
Polytechnique Fédérale de Lausanne, Switzerland.
[6] D. S. Johnson and C.H. Papadimitriou (1985).
“Performance Guarantees for Heuristics,” in e
Traveling Salesman Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy
Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 145-180.

[13] RE Bland và DF Shallcross (1987). "Đi du lịch lớn người
bán hàng vấn đề phát sinh từ thí nghiệm trong X-quang
tinh thể: Báo cáo sơ bộ về tính toán,” Báo cáo kỹ thuật
số 730, Trường OR / IE, Đại học Cornell, Ithaca, New
York.

[15] HD Ratliff và AS Rosenthal (1981). “Trật tự hái trong
một kho hình chữ nhật: Một trường hợp khả năng giải
quyết cho vấn đề người bán hàng Du lịch,” PDRC Báo
cáo Dòng số 81-10. Viện Công nghệ Georgia, Atlanta,
Georgia.
[16] E. Balas (1989). “Giải thưởng Du lịch u vấn đề người
bán hàng,” Mạng 19, 621-636.
[17] M. Dorigo, V. Maniezzo, et A. Colorni, Ant system:
optimization by a colony of cooperating agents, IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics--Part
B, volume 26, numéro 1, pages 29-41, 1996.

[18] Arash Asadpour, Michel X. Goemans, Aleksander
Mądry, Shayan Oveis Gharan, Amin Saberi (2010).
“An O(log n/ log log n)-approximation algorithm for
the asymmetric traveling salesman problem” (PDF).
Proceedings of the Twenty-First Annual ACM-SIAM
Symposium on Discrete Algorithms (SODA '10). Society
for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia,
PA, USA. tr. 379–389.
[19] Satish B. Rao, Warren D. Smith (1998). “Approximating
geometrical graphs via “spanners” and “banyans"”.
Proceedings of the thirtieth annual ACM symposium on
eory of computing (STOC '98). ACM, New York, NY,
USA. tr. 540–550. doi:10.1145/276698.276868.

[7] R. Karp and J.M. Steele (1985). “Probabilistic Analysis of
Heuristics,” in e Traveling Salesman Problem, Lawler,
Lenstra, Rinnooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley,
181-205.

1.5 Liên kết ngoài

[8] B.L. Golden and W.R. Stewart (1985). “Empirical
Analysis of Heuristics,” in e Traveling Salesman

Tiếng Anh:


8

CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG

• Demo applet of a genetic algorithm solving TSP
and VRPTW online
• TSPLIB
• Travelling Salesman Problem at Georgia Tech
• Example of finding approximate solution of TSP
problem using a genetic algorithm
• A Java implementation of a TSP-solution using
JGAP (Java Genetic Algorithms Package). e
technique used is a Genetic Algorithm.
• Solution of the Travelling Salesman Problem
using a Kohonen Map
• Kohonen Neural Network applied to the Traveling
Salesman Problem (using three dimensions).
• Most TSP loop families grow polynomially Private
web page shows that a method exists for obtaining
a set of optimal “travelling salesman” routes that
is a member of a family that grows no faster
than about 2n In2. However, even for large n, the
method yields a polynomial rate for most sets of
fields of nodes.
• VisualBots - Freeware multi-agent simulator
in Microso Excel. Sample programs include
genetic algorithm, ACO, and simulated annealing
solutions to TSP.
• Work-in-progress aempted proof on private web
page of polynomial calculation time on the 2-D
undirected graph.
• Links to TSP source codes
• />traveling_salesman.htm e Travelling Salesman
Problem (TSP) requires that we find the shortest

path visiting each of a given set of cities and
returning to the starting point.
• CONCORDE Home of the CONCORDE TSP
Solver, an ANSI C library dedicated to solving the
TSP problem.
• tham khảo


Chương 2

Yakov Isidorovich Perelman
Yakov Isidorovi Perelman (tiếng Nga: Яков Исидорович Перельман; 4 tháng 12 năm 1882 – 16 tháng 3
năm 1942) là một nhà văn khoa học Nga và Liên Xô và
là tác giả của nhiều cuốn sách khoa học phổ thông, nổi
tiếng nhất là cuốn Vật lý giải trí.

lên các vì sao, Những miền xa xăm trong vũ trụ và nhiều
cuốn khác. Nhà khoa học Konstantin Tsiolkovsky, một
người rất am hiểu tài năng và trí sáng tạo của Perelman
đã viết về ông trong lời nói đầu của cuốn Du hành vũ
trụ: “Tác giả đã từ lâu nổi tiếng về những công trình
phổ biến, sắc xảo và hoàn toàn khoa học của mình về
vật lý học, thiên văn học và toán học, những công trình
đã được viết bằng ngôn ngữ kỳ diệu và dễ nhận thức đối
với người đọc”.

2.1 Sự nghiệp

Ông không liên quan đến nhà toán học Nga Grigori
Perelman, sinh năm 1966 con ông Yakov Perelman

khác. Tuy nhiên, Grigori Perelman nói với tờ e New
Yorker rằng cha ông đã tặng cuốn Vật lý giải trí và chính
nó truyền cảm hứng về toán học cho ông.[3]

Perelman sinh năm 1882 tại thị trấn Białystok, Vương
quốc Lập hiến Ba Lan. Sau khi tốt nghiệp trường Đại
học Lâm nghiệp Saint Petersburg và nhận bằng kỹ sư
lâm nghiệp vào năm 1909, Perelman bắt đầu tham gia
hoạt động về sư phạm, khoa học và văn học. Ông đã
trở thành tác giả của một loạt đầu sách giáo khoa và rất
nhiều sách phổ biến khoa học và bài báo đăng trên các
tạp chí khoa học nổi tiếng của Liên Xô. Ngoài những
tác phẩm giáo dục và khoa học của mình, ông còn là
biên tập viên của tạp chí iên nhiên và Con người và
Trong xưởng chế tạo của iên nhiên, là cộng tác viên
của nhiều tạp chí quen biết với bạn đọc đương thời như
Tri thức là sức mạnh, Kỹ thuật tuổi trẻ. Ông chịu ảnh
hưởng của Ernst Mach và nhà Mác-xít Nga Alexander
Bogdanov về phương pháp sư phạm trong việc phổ
biến khoa học.[1] Năm 1942, Perelman mất vì nạn đói ở
Leningrad trong thời gian thành phố đang bị quân đội
Đức ốc xã phong tỏa.[2]

2.2 Tác phẩm
• Toán học giải trí
• iên văn học giải trí
• Vật lý giải trí (1913)
• Số học vui
• Đại số giải trí

• Vui với môn Toán & Vật lý
Sau thành công của cuốn Vật lý giải trí, Perelman còn
viết hàng loạt các sách hấp dẫn về vật lý, thiên văn
• Số học giải trí
học và toán học từng được nhà nước Liên Xô dịch sang
nhiều ngôn ngữ khác nhau, qua đó đã thể hiện đầy đủ
• Cơ học giải trí
tài năng tuyệt vời của một nhà truyền bá khoa học. Đặc
• Hình học giải trí
biệt phổ biến nhất là mấy cuốn Số học giải trí, iên văn
học giải trí, Toán học sống, Những mẫu chuyện toán học
• iên văn học giải trí
và những câu đố, Hình học giải trí, Đại số giải trí, Vật lý
quanh ta. Các cuốn sách khác của Perelman (chỉ xuất
• Toán học sống
bản khi tác giả còn sống) bây giờ đã trở nên những cuốn
sách hiếm, gồm có các cuốn: Bạn có biết vật lý không?,
• Vật lý quanh ta
Cơ học giải trí, Đại số trên tờ giấy kẻ ô, Những câu đố
số học, Những bài toán vui. 101 câu đố cho các nhà toán
• Các hòm câu đố và ảo thuật
học trẻ tuổi, Hai lần hai là năm! Các ngụy biện toán học,
Phép cầu phương, Các hòm câu đố và ảo thuật.
Ông cũng viết nhiều cuốn sách về du hành liên sao (Du
Một số sách của Perelman dành cho các vấn đề du lịch hành vũ trụ, Phóng tên lửa lên các vì sao và Những miền
giữa các hành tinh như Du hành vũ trụ, Phóng tên lửa xa xăm trong vũ trụ).
9


10

CHƯƠNG 2. YAKOV ISIDOROVICH PERELMAN

2.3 Vật lý giải trí
Cuốn Vật lý giải trí lần đầu tiên xuất hiện trong những
quầy sách vào năm 1913, đã biến nó trở thành tác phẩm
phổ biến khoa học được tái bản nhiều lần với số lượng
lớn ngay trong thời gian tác giả còn sống, tính đến năm
1936, tất cả 13 lần với số lượng hàng triệu bản. Đó là
lần xuất bản cuối cùng trước khi tác giả qua đời năm
1942. Cuốn sách từng có một thời thôi thúc niềm ham
mê môn khoa học vật lý của nhiều thế hệ độc giả, và
không chỉ riêng trong đất nước Liên Xô, sách còn được
dịch và trích dịch sang nhiều thứ tiếng: tiếng Đức, tiếng
Pháp, tiếng Anh, tiếng Do ái, v.v…[4]
Nội dung cuốn sách trình bày “một loạt những vấn đề
nan giải, những câu hỏi rắc rối, những mẫu chuyện lý
thú, những bài toán vui, những nghịch lý, những sự
so sánh bất ngờ lấy ra từ lĩnh vực vật lý, có liên quan
đến hàng loạt các hiện tượng thường gặp hàng ngày
trong cuộc sống, hoặc trích ra từ những tác phẩm nổi
tiếng của các tác giả viết chuyện khoa học viễn tưởng.
Những tài liệu mới nhất mà tác giả sử dụng đặc biệt
rộng rãi, được coi là những mục đích thích hợp nhất
của cuốn sách, đó là những đoạn trích dẫn lấy trong các
tác phẩm của Jules Verne, H. G. Wells, Mark Twain và
nhiều người khác.” Trong lời nói đầu (lần xuất bản thứ
13) Perelman đã viết: “Mục đích chính của cuốn Vật lý
giải trí là kích động tính hoạt động của trí tưởng tượng
khoa học luyện cho bạn đọc thói quen suy nghĩ theo

tinh thần khoa học vật lý và tạo ra trong ký ức của họ
rất nhiều những sự liên hệ giữa các nhà tri thức vật lý
với các hiện tượng muôn hình muôn vẻ nhất trong đời
sống, với tất cả những điều mà họ thường tiếp xúc.”[4]
Tuy vậy, cuốn sách của Perelman cũng không sao tránh
khỏi trở nên lỗi thời so với ngày nay vì nền tảng khoa
học của nhân loại đã có những bước tiến vượt ngoài sức
tưởng tượng của tác giả. Nhiều sự kiện trong cuốn Vật
lý giải trí và những cách giải quyết kỹ thuật có kết quả
từ thời xưa, quen thuộc với những người đương thời
của Perelman, thì bây giờ đã hoàn toàn không phải là
những cái mới nữa, mà chẳng bao lâu sẽ là những ví dụ
lý thú trong lịch sử khoa học và kỹ thuật.[4]
Cuốn sách này cũng được Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam phát hành với tựa đề Vật lý vui và chia làm 2 tập,
với các lần tái bản khác nhau.[5][6]

2.4 Tham khảo
[1] Siemsen, H. (2010) 'Mach’s Science Education, the
PISA Study and Czech Science Education' in: Ernst
Mach – Fyzika – Filosofie – Vzdělávání. Vol. 1
Brno: Masarykova Univerzita, 2010, pp. 255–265, DOI:
10.5817/CZ.MUNI.M210-4808-2011-255.
[2] Доктор занимательных наук. Книги. Наука и
техника
[3]

• Nasar, Sylvia; Gruber, David (21 tháng 8 năm

2006). “Manifold Destiny: A legendary problem

and the bale over who solved it.”. e New Yorker.
Truy cập ngày 24 tháng 8 năm 2006.
[4] Ia.I.Perelman, Vật lý giải trí, Trương ang Giáo dịch,
Nhà xuất bản anh Niên, 2000, tập 1, tr. 5-13.
[5] Vật lý vui - yển 2
[6] Vật lý vui - yển 1

2.5 Liên kết ngoài
• Vật lý giải trí ấn bản điện tử miễn phí tại Internet
Archive.
• Những mẫu chuyện toán học và những câu đố ấn
bản điện tử miễn phí tại Internet Archive.
• iên văn học giải trí
• Tiểu sử bằng tiếng Tây Ban Nha.


2.6. NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH

11

2.6 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
2.6.1

Văn bản

• Bài toán người bán hàng Nguồn: />A0ng?oldid=26377784 Người đóng góp: DHN, Mekong Bluesman, Nguyễn anh ang, DHN-bot, Ctmt, Viethavvh, JAnDbot,
ijs!bot, Ultimate~viwiki, Donduper, TXiKiBoT, TVT-bot, DragonBot, Qbot, OKBot, Huytran1, Nallimbot, ArthurBot, Alpinu, Xqbot,
Prenn, TuHan-Bot, EmausBot, Cheers!, WikitanvirBot, Cheers!-bot, Violetbonmua, HOSCO, Huynl, AlphamaBot, Rotlink, Earthshaker,
Addbot, OctraBot, Lê Hữu Lộc, aitieuloi, itxongkhoiAWB, TuanminhBot và 12 người vô danh
• Yakov Isidorovi Perelman Nguồn: Người đóng góp:

DHN, Newone, Earthandmoon, Yakushosama, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot và Một người vô danh

2.6.2

Hình ảnh

• Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: Giấy phép: Public
domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions
used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier
PNG version, created by Reidab.
• Tập_tin:CongThuc1.gif Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng
góp:
Tôi sáng tạo ra toàn bộ tác phẩm
Nghệ sĩ đầu tiên:
aitieuloi (thảo luận)
• Tập_tin:CongThuc2.gif Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng
góp:
Tôi sáng tạo ra toàn bộ tác phẩm
Nghệ sĩ đầu tiên:
aitieuloi (thảo luận)
• Tập_tin:CongThuc3.gif Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng
góp:
Tôi sáng tạo ra toàn bộ tác phẩm
Nghệ sĩ đầu tiên:
aitieuloi (thảo luận)
• Tập_tin:Hinh.PNG Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp:
Tôi sáng tạo ra toàn bộ tác phẩm
Nghệ sĩ đầu tiên:
aitieuloi (thảo luận)
• Tập_tin:KienDuong.PNG Nguồn: Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người

đóng góp:
Tôi sáng tạo ra toàn bộ tác phẩm
Nghệ sĩ đầu tiên:
aitieuloi (thảo luận)
• Tập_tin:Salesman.PNG Nguồn: Giấy phép: Public domain
Người đóng góp: No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims). Nghệ sĩ đầu tiên: No machinereadable author provided. adell assumed (based on copyright claims).
• Tập_tin:Travelling_Salesman_Problem_Hinh_Minh_Hoa.png Nguồn: />Salesman_Problem_Hinh_Minh_Hoa.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp:
Tôi sáng tạo ra toàn bộ tác phẩm
Nghệ sĩ đầu tiên:
Lê Hữu Lộc
• Tập_tin:Weighted_K4.svg Nguồn: Giấy phép: CC BY-SA 2.5
Người đóng góp: self-made using xfig Nghệ sĩ đầu tiên: Sdo

2.6.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0