Phép biến đổi laplace (1)

Phép biến đổi Laplace


Mục lục
1

2

Phép biến đổi Laplace

1

1.1

Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1

Biến đổi Laplace hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.2

Biến đổi Laplace ngược

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Tính chất hàm gốc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Tính chất của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4.1

Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4.2

Liên hệ với các biến đổi khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5

Bảng các biến đổi Laplace

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.7

Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.7.1

Giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.7.2

Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.7.3

Hàm truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.7.4

Phương pháp khai triển thừa số riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7.5

Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7.6

Sự trễ pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.8

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.9

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.10 Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Lôgarit tự nhiên

7

2.1

Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

Những định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4

Tính chất

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.5

Logarit tự nhiên trong giải tích

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.6

Giá trị số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.6.1

Độ chính xác cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.7

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.8

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.9

Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

i

3

ii

MỤC LỤC
2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.10.1 Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.10.2 Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.10.3 Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


Chương 1

Phép biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân của hàm
số f (t) từ miền thời gian sang miền tần số phức F (s)
. Biến đổi Laplace và cùng với biến đổi Fourier là hai
biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong giải
các bài toán vật lý. a biến đổi Laplace, các phép toán

giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn
giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà
hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành
phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt
hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những
phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật
lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động
điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi Laplace
các phương trình này có thể chuyển thành các phương
trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm
ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace
ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t.

Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph
Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình
khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không
gian giới hạn.

1.2 Định nghĩa
Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho
các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định
hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số
f (t), được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0, là hàm số
F(s), Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa
bởi:
∫∞
L{f (t)} = F (s) = f (t)e−st dt
0−

Trong đó s là biến số phức cho bởi s = σ + jω , s là
miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second)
s−1

1.1 Lịch sử

Giới hạn 0− chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi
t = 0 , chúng ta dùng giới hạn thấp 0− để lấy tận gốc
hàm số f (t) tại thời điểm t = 0 .

Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân
∫
∫
z = X(x)eax dx và z = X(x)xA dx

1.2.1 Biến đổi Laplace hai phía

để giải các phương trình vi phân.
Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi
nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác
suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân
∫
X(x)eax ax dx

Một khi nói “biến đổi Laplace” mà không chú ý thêm gì,
thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace
có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng
cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực.
∫
Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của F (s) = L {f (t)} = ∞ f (t)e−st dt

−∞
Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của
Nếu
như
vậy,
biến
đổi
Laplace một phía đơn giản trở
Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương
thành
một
trường
hợp
đặc
biệt của biến đổi Laplace hai
trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các
phía,
xác
định
bằng
cách
lấy
hàm đã chuyển đổi nhân
phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt
hàm
bước
nhảy
Heaviside.
với
đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến.

Ông sử dụng tích phân
∫ s
x Φ (s)dx
1.2.2 Biến đổi Laplace ngược
- tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình
sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc
Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định
của biến đổi Laplace.
nghĩa bởi tích phân sau.
1


2

CHƯƠNG 1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

L−1 {F (s)} = f (t) =

1
2πi

∫

1.4.1 Biến đổi Laplace của phép đạo hàm
của một hàm

γ+i∞

est F (s)ds

ường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace
để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có thể thu được
Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:
này để tính hàm gốc mà dùng bảng “các hàm gốc –
hàm ảnh tương ứng” đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).
∫
γ−i∞

+∞

L {f (t)} =

1.3 Tính chất hàm gốc
hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân
∫Tập
∞
f (t)e−st dt hội tụ ít nhất với một số phức p gọi là
0
lớp hàm gốc. Trong
∫ ∞khi đó tập hợp các giá trị của p
sao cho tích phân 0 f (t)e−st dt tồn tại thì được gọi là
miền hội tụ (hay miền qui tụ).
Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa
mãn các tính chất sau.

e−st f (t) dt

0−

[

]+∞ ∫ +∞ −st
f (t)e−st
e
f ′ (t)dt
=
−
−s
−s
0−
0−
[
]
f (0)
1
= −
+ L {f ′ (t)} ,
−s
s
{ }
df
= s · L {f (t)} − f (0),
L
dt
Trong trường hợp 2 bên, ta có
{

df
dt

}

∫

+∞

e−st f (t) dt = s · L{f (t)}.

• f(t) = 0, với mọi t < 0.

L

• Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm
cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn
điểm gián đoạn loại một.

1.4.2 Liên hệ với các biến đổi khác

=s
−∞

Biến đổi Fourier
• Khi t → +∞ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức
là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho |f (t)| ≤ Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của
M est , ∀t > 0 Khi đó sₒ = inf {s} được gọi là chỉ số biến đổi Laplace hai bên với argument là số phức s = iω
tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không được tăng hay s = 2πf i
nhanh hơn hàm est để đảm bảo tích phân Laplace
hội tụ).
F (ω) = F {f (t)}

1.4 Tính chất của biến đổi Laplace

= L {f (t)} |s=iω = F (s)|s=iω
∫ +∞

=
• Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng
F(s) và G(s):
f (t) = L−1 {F (s)}
g(t) = L−1 {G(s)}
• Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:
• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)
+

f (0 ) = lims→∞ sF (s)

−∞

e−ıωt f (t) dt.

Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ √12π ,
điều này được tính đến trong định nghĩa của biến đổi
Fourier.
Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi
Fourier thường được dùng để xác định quang phổ tần
số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic
system).
Biến đổi Mellin
Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với
biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay đổi biến. Trong

biến đổi Mellin

• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

∫
G(s) = M {g(θ)} =

f (∞) = lims→0 sF (s) , trong nửa mặt phẳng (Re.s >
so)

0
-t

∞

θs g(θ)

dθ
θ

Ta đặt θ = e , ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.


1.5. BẢNG CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE

3

Biến đổi Z

Mối quan hệ cơ bản

Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường
tưởng bằng cách thay thế
hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai
bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên,
def sT
điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier,
z = e , với T = 1/fs là chu kỳ (đơn vị là
Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối
giây), và fs là tần số (đơn vị là hertz)
với biến đổi tích phân.
đặt
def ∑∞
∆T (t) =
n=0 δ(t − nT ) là xung lực thử
(còn gọi là lực Dirac).

và
def

xq (t) = x(t)∆T (t) = x(t)
=

∞
∑

x(nT )δ(t − nT ) =

n=0

∑∞
n=0

∞
∑

δ(t − nT )

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của
def
x(t) còn x[n] = x(nT ) là biểu diễn sự rời rạc của x(t).
Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x(t) là

∫
=

∫∞
0−

∞
∞∑
0− n=0

=

∞
∑

=

∞
∑

∫

∞

x[n]
0−

δ(t − nT )e−st dt

x[n]e−nsT .

n=0

Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm
x[n].
X(z) =

• Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi
Laplace của các số hạng

L {f (t) + g(t)} = L {f (t)} + L {g(t)}
• Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội
số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó

xq (t)e−st dt

x[n]δ(t − nT )e−st dt

n=0

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

x[n]δ(t − nT )

n=0

Xq (s) =

1.5 Bảng các biến đổi Laplace

∑∞
n=0

x[n]z −n (thay z ← esT )

L {af (t)} = aL {f (t)}
Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số
không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng
dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).
• Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với
những hàm chung một biến.

1.6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện
tương đương trong mạch miền
s

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa

biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu thử
Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố
mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s
Xq (s) = X(z)

z=e

.
sT

Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch
điện RLC
VR (s) = R.I(s)

Biến đổi Borel

VL (s) = s.L.I(s) − L.Io

Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến
đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng
chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo
ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm
mũ.

VC (s) =

1
s.C I(s)

+

Vo
s

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s
giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần
phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối
với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)


4

CHƯƠNG 1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
˜ (s)} = L−1
N (t) = L−1 {N

{

No
s+λ

}

1.7.2 Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn
cảm
Ví dụ này dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện
(electrical circuit)
an hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời
gian t
iR (t) =

Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s

1.7 Ứng dụng các tính chất và định
lý của biến đổi Laplace

VR (t)
R

C (t)
iC (t) = C. dVdt

VL (t) = L. diLdt(t)
Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC
trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu
từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t

Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s
vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian
Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân VR (s) = R.I)(s)
thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng VL (s) = s.L.I(s) − L.Io
phương pháp đại số.
1
VC (s) = sC
I(s) + Vso
Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình
vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện Với I(s) = Li(t) , V (s) = Lv(t)
(electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Io = i(0) : dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L
Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển
Vo = VC (0) : điện áp ban đầu qua tụ điện C
bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và
Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI
dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

1.7.1

Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử

Z(s) =

V (s)
I(s)

.
Vo =0

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một
chất đồng vị phóng xạ

ZR (s) = R

dN
dt

= −λN (1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị
phân rã ở thời điểm t(s)

ZC (s) =

λ : hằng số phân rã

1.7.3 Hàm truyền

Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này
Từ (1) ta có
dN
dt

ZL (s) = s.L
1
sC

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được
biểu diễn thông qua bảng sau:

+ λN = 0

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép
ực hiện biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương nhân chập
trình
Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với
(
)
˜ (s) − No + λN
˜ (s) = 0
sN

h(t) = Ae−αt cos(ωd t − ϕd ) (1)
˜ (s) = L{N (t)}
ωd t − ϕd ≥ 0
Với N
No = N (0).

0 ≤ ϕd ≤ 2π : sự trễ pha

Giải phương trình ta có
˜ (s) = No .
N

Ta biến đổi (1)

s+λ

h(t) = Ae−αt cos [ωd (t − td )] · u(t − td )

Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về Với td = ωϕdd : thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước
miền t
nhảy Heviside.


1.8. XEM THÊM

5

1.7.5 Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ
s+β
(s+α)2 +ω 2

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace X(s) =

Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng
số vào tử số
X(s) =

s+α
(s+α)2 +ω 2

+

β−α
(s+α)2 +ω 2

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có
{
}
β−α
s
x(t) = e−αt L−1 s2 +ω
2 + s2 +ω 2

= e−αt L−1

Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi
Laplace đối với hàm h(t)
(s+α)
H(s) = L{h(t)} = Ae−std (s+α)
2 +ω 2

d

(s+α)
= Ae−std (s2 +2αs+α
2 )+ω 2

d

=

(s+α)
Ae−std (s2 +2αs+ω
2
0)

với ω0 =

√
α2 + ωd2 là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

{

s
+
s2 + ω 2

[
{
= e−αt L−1

s
s2 + ω 2

(

β−α
ω

}

(
+

)(

β−α
ω

ω
s2 + ω 2

)

L−1

{

)}

ω
s2 + ω 2

Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace
hàm [ sin và cos,( ta )thu được ] x(t)
e−αt cos (ωt)u(t) + β−α
sin (ωt)u(t)
ω
[
(
)
]
x(t) = e−αt cos (ωt) + β−α
sin (ωt) u(t)
ω

cho
=

1.7.6 Sự trễ pha
Phương pháp khai triển thừa số Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace
cos ϕ
riêng phần
X(s) = s sinsϕ+ω
2 +ω 2

1.7.4

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền
H(s) =

Suy ra
X(s) =

1
(s+α)(s+β)

h(t) = L−1 {H(s)} : biến đổi Laplace ngược của hàm
truyền H(s)

s sin ϕ
s2 +ω 2

(
= (sin ϕ)

+

ω cos ϕ
s2 +ω 2

s
s2 + ω 2

)

(
+ (cos ϕ)

ω

s2 + ω 2

)

Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai
triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển
ực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có
riêng phần
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
1
P
R
H(s) = (s+α)(s+β)
= (s+α)
+ (s+β)
(trigonometric identity) a sin ωt + b cos ωt
=
√
a2 + b2 · sin (ωt + arctan(b/a))
P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta
dùng đồng nhất thức
Ta suy ra
s+α
s+β

=

P (s+β)+R(s+α)
(s+α)(s+β)

Tương tự ta cũng nhận được
{
}
sin ϕ
L−1 s cossϕ−ω
= cos (ωt + ϕ)
2 +ω 2

Từ đây suy ra
P =

1
(s+β)

=

1
(β−α)

=

1
(α−β)

s=−α

và
R=

1.8 Xem thêm

1
(s+α)

s=−β

=

ay vào H(s) ta tìm được
(
) (
1
1
H(s) = β−α
· (s+α)
−

−1
(β−α)

1
(s+β)

= −P

)

Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace,
ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)
( −αt
)

1
e
− e−βt
h(t) = L−1 {H(s)} = β−α

• Pierre-Simon Laplace
• Biến đổi Fourier
• Analog signal processing
• Laplace transform
equations

applied

to

differential

}]


6

CHƯƠNG 1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

1.9 Tham khảo
1.10 Liên kết ngoài
• Online Computation of the transform or inverse
transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: e
World of Mathematical Equations.

• Laplace Transform Module by John H. Mathews
• Good explanations of the initial and final value
theorems
• Laplace and Heaviside at Interactive maths.
• Laplace Transform Table and Examples at
Vibrationdata.
• Laplace Transform
Electronic Design.

Cookbook

at

Syscomp


Chương 2

Lôgarit tự nhiên
2

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

2

4

6

Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tập

số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới
phép cộng. Được miêu tả:

8

-2

ln : R+ → R.
Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không
chỉ là số e; tuy nhiên, logarit của các cơ số khác chỉ
khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên
và thường được định nghĩa bằng thuật ngữ sau cùng.
Logarit được sử dụng để tính các phương trình có số mũ
là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kì
bán rã, hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong
những vấn đề phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọng
trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học và được
sử dụng trong tài chính để giải quyết những vấn đề liên
quan đến lãi suất kép.

-4

-6

Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ
số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là:
ln(x), logₑ(x) đôi khi còn viết là log(x) Logarit tự nhiên
của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng 2.1 Lịch sử

x. Tức là ln(x)=a <=> ea =x. Ví dụ, ln(7,389) bằng 2 vì
e2 =7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và
Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là Nicholas
logarit tự nhiên của 1 bằng 0
Mercator trong tác phẩm Logarithmotechnia được công
Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số bố vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell
0) là vùng dưới đồ thị y=1/x từ 1 đến a. Sự đơn giản của đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nó
định nghĩa được sánh với các công thức khác kéo theo được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diện
logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên”. Định tích của một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi là
nghĩa có thể được mở rộng đến số phức, được giải thích logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ
dưới đây.
này là hơi khác nhau.
Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có
nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này
dẫn đến sự đồng nhất:
2.2 Nguồn gốc của thuật ngữ

logarit tự nhiên
eln(x) = x

khi x > 0

Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ
số này “tự nhiên” hơn cơ số e. Nhưng theo toán học, số
ln(e ) = x.
10 không có ý nghĩa đặc biệt. Ứng dụng của nó về văn
Như tất cả các logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành hóa - làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có
cộng:
khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con
x

7


8

CHƯƠNG 2. LÔGARIT TỰ NHIÊN

người. Các nền văn hóa khác đã dựa trên hệ thống số Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln
đếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20, (a) = 1.
và 60.
Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách
Logₑ là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được nghĩa
xuất hiện thường xuyên trong toán học. Ví dụ hãy xem là hàm ngược của nó, tức là, ln là một hàm số sao cho
xét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:
eln(x) = x . Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối
số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là
hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cảsố
(
)
d
d
1
1 d
1 dương x.
logb (x) =
ln x =
ln x =
dx
dx ln(b)

ln(b) dx
x ln(b)
Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1/x, và
tại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Một hướng khác cho rằng
logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì nó có thể được
định nghĩa khá dễ dàng trong thuật ngữ của tích phân
đơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúng
đối với logarit khác.

2.4 Tính chất
• ln(1) = 0
• ln(−1) = iπ
• ln(x) < ln(y)

Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng
dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy số
đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengoli
và Nicholas Mercator gọi nó là logarithmus naturalis
trong vài thập kỷ trước khi Isaac Newton và Gofried
Leibniz phát triển phép tính.

•

h
1+h

for

0

≤ ln(1 + h) ≤ h

• limx→0

ln(1+x)
x

for h > −1

= 1.

2.5 Logarit tự nhiên trong giải tích
2.3 Những định nghĩa

Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn
giản theo dạng: g(x) = f '(x)/f(x): một nguyên hàm của
g(x) được cho bởi ln(|f(x)|). Đó là một trường hợp bởi vì
những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:

1/x

1

d
1
(ln |x|) = .
dx
x

ln(x)

0

1

cách khác
x

∫

ln (x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f (x) = 1 /
x từ 1 đến x.

ln(a) được định nghĩa chính thức là diện tích dưới và
đường cong f (x) = 1 / x từ 1 đến x, gần giống như tích
∫
phân.
∫

a

ln(a) =
1

1
dx.
x

1
dx = ln |x| + C
x

f ′ (x)
dx = ln |f (x)| + C.
f (x)

Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):

Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc
∫
tính cơ bản của một logarit:

∫
tan(x) dx =

∫

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

∫
tan(x) dx =

sin(x)
dx
cos(x)
d
− dx
cos(x)
dx.
cos(x)

Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép:
t = xa như sau:
Đặt f (x) = cos(x) và f'(x)= - sin(x):
∫
ln(ab) =
1

ab

1
dx =
x

∫
1

a

1
dx +
x

∫
a

ab

1
dx =
x

∫
1

a

∫ ∫ b
1
1
dx +tan(x) dx
dt = ln(a)+ln(b)
− ln |cos(x)| + C
x
1 t


2.7. XEM THÊM

9

∫

với m chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu
hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế,
nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo
với C là một hằng số tùy ý của tích phân.
Newton đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán
Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng hàm mũ có hiệu quả. (Hằng số ln 2 và pi có thể được
tích phân của các bộ phận:
tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng

nhiều dãy số cho trước một cách nhanh chóng.)
∫
ln(x) dx = x ln(x) − x + C.
tan(x) dx = ln |sec(x)| + C

2.7 Xem thêm

• John Napier - nhà phát minh ra logarit

2.6 Giá trị số
Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số
Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:
(
ln(1+x) = x

1
−x
1

(

1
−x
2

(

1
−x
3

(

1
−x
4

(

• Lôgarit
• hàm số

• số e
)))))
1
Mercator
- người
đầu tiên sử dụng thuật
− · · · • Nicholas for
|x| <
1.
5
ngữ lôgarit tự nhiên

Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất
sau đây có thể được sử dụng:

• Leonhard Euler

2.8 Tham khảo

với y=(x-1)/(x+1) và x>0
Cho ln(x) vào x>1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của
sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với
logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều
này:

Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng
cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như
trên.

2.6.1

Độ chính xác cao

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác,
hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả
vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay
thế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảo
ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.
Cách tính khác cho một kết quả có độ chính xác khá
cao là công thức:

ln x ≈

π
− m ln 2
2M (1, 4/s)

với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trung
bình nhân của 1 và 4/s và:

s = x 2m > 2p/2 ,

2.9 Liên kết ngoài
• Demystifying the Natural Logarithm (ln) |
BeerExplained


10

CHƯƠNG 2. LÔGARIT TỰ NHIÊN

2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
2.10.1

Văn bản

• Phép biến đổi Laplace Nguồn: />26618897 Người đóng góp: DHN, Mekong Bluesman, JAnDbot, Rungbachduong, TXiKiBoT, Synthebot, SieBot, Qbot, TranSyHuy,
MelancholieBot, Luckas-bot, Pq, Xqbot, Dinhxuanduyet, TuHan-Bot, EmausBot, RedBot, JackieBot, AlphamaBot, Addbot, Tuanminh01,
TuanminhBot, Shinigami.dance, Youandme410 và 9 người vô danh
• Lôgarit tự nhiên Nguồn: Người đóng
góp: VolkovBot, Ptbotgourou, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Le Cam Van, GrouchoBot, Alphama, Makecat-bot,
AlphamaBot, Hugopako, AlphamaBot2, Addbot, Jimmy Jefferson, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot, Huỳnh
Nhân-thập và 11 người vô danh

2.10.2

Hình ảnh

• Tập_tin:LTI.png Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ?

Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Log-pole-x.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain
Người đóng góp: own work (based on raster image uploaded on polish wiki.) Nghệ sĩ đầu tiên: Wojciech Muła
• Tập_tin:Log.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp:
en wikipedia, uploaded by Elmextube who claims to be the author Nghệ sĩ đầu tiên: Elmextube
• Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: Giấy phép:
CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons. Created from scratch in Adobe Illustrator. Based on Image:
Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007
• Tập_tin:S-domain_circuit_equivalents.png Nguồn:
/>equivalents.png Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Made and uploaded by the author Nghệ sĩ đầu tiên: Fresheneesz

2.10.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0