Cẩm nang ôn thi vào 10 môn toán

www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

Cẩm nang Ôn thi vào 10

LêI NãI §ÇU
Thân ái chào các bạn và các em học sinh!
Toán là một môn học hay, gắn bó với các em từ những ngày đầu tiên tuổi học trò.
Môn học đó càng trở nên quan trọng hơn nữa khi các em đứng trước kì thi Tuyển sinh
vào các trường THPT. Chương trình Toán 9 – sau nhiểu lần chỉnh sửa của Bộ GDĐT,
đến nay đã khá hoàn chỉnh, phù hợp với năng lực học tập của các em. Tuy nhiên một
năm học đi qua thật nhanh, với những áp lực rất lớn của các môn học khác, rất nhiều
em học sinh chưa thật sự nắm vững nội dung chương trình Toán9.
Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp các
em có phương pháp học tốt môn Toán 9, tôi soạn cuốn TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN
TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN 9. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em nhìn nhận lại một
cách toàn diện nội dung chương trình Toán 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm
vững một số chuyên đề Toán 9.
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường gặp
trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Toán có các ví dụ minh họa có
lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện.
PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thƣờng gặp:
Phần này trình bày 10 đề thi môn Toán tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề
thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu điểm cụ thể
để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các bước giải quan
trọng trong một bài toán.
Phần III: Một số đề tự luyện:
Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em thử sức
với đề thi.
Mặc dù đã rất cố gắng, song chắc hẳn cuốn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, rất

mong nhận được sự góp ý của các bạn và các em để cuốn tài liệu được hoàn thiện
hơn!
Email:
Chân thành cảm ơn các bạn và các em!
PHẦN I:
Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

1


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

H THNG CC VN C BN CA TON 9
---***--VN I: RệT GN BIU THC CHA CN BC HAI

A. Kin thc cn nh:
A.1. Kiến thức cơ bản

A.1.1. Căn bậc hai

a. Căn bậc hai số học
- Với số d-ơng a, số a đ-ợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đ-ợc gọi là căn bậc hai số học của 0
x 0

- Một cách tổng quát: x a

2

x a

b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có: a b a b
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ng-ời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A
đ-ợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức d-ới dấu căn
A xác định (hay có nghĩa) A 0
b. Hằng đẳng thức A2 A
- Với mọi A ta có

A2 A

- Nh- vậy: + A2 A nếu A 0
+ A2 A nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai ph-ơng
a. Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: A.B A. B
+ Đặc biệt với A 0 ta có ( A )2 A2 A
b. Quy tắc khai ph-ơng một tích: Muốn khai ph-ơng một tích của các thừa số
không âm, ta có thể khai ph-ơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm,
ta có thể nhân các số d-ới dấu căn với nhau rồi khai ph-ơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai ph-ơng
a. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:

A

B

A
B

b. Quy tắc khai ph-ơng một th-ơng: Muốn khai ph-ơng một th-ơng a/b, trong đó a
không âm và b d-ơng ta có thể lần l-ợt khai ph-ơng hai số a và b rồi lấy kết quả
thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số
b d-ơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai ph-ơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đ-a thừa số ra ngoài dấu căn
2
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

- Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có

Cm nang ễn thi vo 10
A B A B , tức là
2

+ Nếu A 0 và B 0 thì A2 B A B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A2 B A B
b. Đ-a thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì A B A2 B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A B A2 B
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có

A

B

AB
B

d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A
A B

B
B

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B2 , ta có
C
C ( A B)

A B2
AB

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B 0 và A B , ta có
C ( A B)
C

A B
A B

A.1.6. Căn bậc ba

a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
- Với mọi a thì ( 3 a )3 3 a3 a
b. Tính chất
- Với a < b thì 3 a 3 b
- Với mọi a, b thì 3 ab 3 a . 3 b
- Với mọi a và b 0 thì

3

a 3a

b 3b

A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n ( 2 n N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

3


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số d-ơng là số d-ơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm

Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số d-ơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là

2k

a và 2k a

d. Các phép biến đổi căn thức.


2k



A2 k A với A
A.B 2k 1 A.2k 1 B với A, B

A.B 2 k A .2 k B với A, B mà A.B 0

2 k 1
2k



A2k 1 A với A

2 k 1

2k



A. xác định với A 0

2 k 1

2k



A. xác định với A

2 k 1

A2 k 1.B A.2 k 1 B với A, B

A2 k .B A .2 k B với A, B mà B 0
A

B

2 k 1

2k

A

B



m n



m

2 k 1
2 k 1

2k

A

2k

B

A
với A, B mà B 0
B

với A, B mà B 0, A.B 0

A mn A với A, mà A 0
m
n

A A với A, mà A 0
n

B. MT S BI TP Cể LI GII.
Bi 1: Tớnh:
a. A

3 3
2 3 2 2



3 3
2 3 2 2

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

4


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

Cẩm nang Ôn thi vào 10

5+ 5
5- 5
+
5- 5
5+ 5

1
1
c. C = 5. 5 + 2 . 20 + 5
b. B =

HƢỚNG DẪN GIẢI:
a. A 

3 3

3 3



.

2 3  2 2
2 3 2 2
2( 3  3)
2( 3  3)


42 3  4
4  2 3 4
2( 3  3)
2( 3  3)


3 1  4
3 1  4

2
2( 3  3)  2( 3  3)2

39
24 2

 4 2
6
5+ 5
5- 5
(5 + 5 )2 + (5 - 5 )2
b. B =
+
=
5- 5
5+ 5
(5 - 5 )(5 + 5 )
25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5 60
=
= 20 = 3
25 - 5

c. C = 5.

1
1
+
5
2 . 20 + 5 = 5.

5
1
2 +
5
2 . 4.5 + 5

5
2
=5 5 +2 5 + 5 =3 5


Bài 2: Cho biểu thức A = 

1

x x




 :
x 1
1



x 1



x 1

2

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =

1
.
3

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x

a). Điều kiện 0  x  1
Với điều kiện đó, ta có: A 

HƢỚNG DẪN GIẢI:

x



x 1

:



x 1

x 1



x 1

2



x 1
x

Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

5


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

b). A =
Vy x

1
thỡ
3

x 1
x

Cm nang ễn thi vo 10

1
3
9
x x (tha món iu kin)
3
2
4

9
1
thỡ A =
4
3

c). Ta cú P = A - 9 x =


1
9 x 9 x
1
x
x


x 1

p dng bt ng thc Cụ si cho hai s dng ta cú: 9 x
1

Suy ra: P 6 1 5 . ng thc xy ra khi 9 x
Vy giỏ tr ln nht ca biu thc P 5 khi x
Bi 3: 1) Cho biu thc A

x

x

1

2 9 x.

x

1
x

6

1
9

1
9

x 4
. Tớnh giỏ tr ca A khi x = 36

x 2


x
4 x 16
(vi x 0; x 16 )

:
x

4
x

4
x

2



2) Rỳt gn biu thc B

3) Vi cỏc ca biu thc A v B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x nguyờn giỏ
tr ca biu thc B(A 1) l s nguyờn
HNG DN GII:

1) Vi x = 36 (Tha món x >= 0), Ta cú : A =

36 4 10 5

36 2 8 4

2) Vi x 0, x 16 ta cú :
x( x 4) 4( x 4) x 2
(x 16)( x 2)
x 2
=



x 16 x 16
(x 16)(x 16) x 16
x 16

B =

3) Ta cú: B( A 1)

x 2 x 4
x 2
2
2
.
.
1
.

x 16 x 2 x 16 x 2 x 16

B( A 1) nguyờn, x nguyờn thỡ x 16 l c ca 2, m (2) = 1; 2
Ta cú bng giỏ tr tng ng:
2
x 16 1
1
2
x
17
15
18
14
Kt hp K x 0, x 16 , B( A 1) nguyờn thỡ x 14; 15; 17; 18
Bi 4: Cho biểu thức:
P

x
( x

y )(1

y )



y
x

y) x 1

xy



x 1 1 y



a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

6


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 .
x(1

P










x

x ) y (1



1

x

y



x

y

y ) xy

x

y

1 y

x

y x



xy y xy





y 1

Vậy P =



( x y ) x x y y xy

x



y 1

y
x x 1 y x 1 y 1 x 1 x
1 x 1 y
x 1 y 1 y y 1 y
x y y y x

1 y
1 y
x









x 1

x
y

y



x 1

x

xy



x

xy

y.

y.

b) KX: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0
P = 2 x xy y. = 2

x1





y

x 1 1





y 1 1

y 1

Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).

Bi 5:Cho biểu thức M =

2 x 9
x5 x 6

2 x 1
x 3



x3
2 x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x Z để M Z.
HNG DN GII:
M=

2 x 9
x5 x 6



2 x 1
x 3

a.ĐK x 0; x 4; x 9



x 3
2 x

0,5đ

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

7


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Rút gọn M =

2 x 9





Biến đổi ta có kết quả: M =
M=
x 1

b. . M 5



x 3

x 3 x 3 2 x 1
x 2 x 3







x



x 2



Cm nang ễn thi vo 10

x 2

x 3
x 1 x 2
M
x 3 x 2
x 2

x 1

x 3

5





x 1 5

x 3



x 1 5

x 15

16 4 x
16
x
4 x 16
4

Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9
c. M =

x 1
x 3

Do M z nên



x 3 4
x 3

Vậy x = 16 thì M = 5

1

x 3 là -ớc của 4

4
x 3

x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4

Lập bảng giá trị ta đ-ợc:
x 1;4;16;25;49 vì x 4 x 1;16;25;49

Bi 6: Cho biu thc P = (

a
1 2
a-1
a+1
) .(
) Vi a > 0 v a 1
2

2 a
a+1
a-1

a) Rỳt gn biu thc P
b) Tỡm a P < 0
HNG DN GII:
a
1 2
a-1
a+1
a) P = ( 2 ) .(
) Vi a > 0 v a 1
2 a
a+1
a-1

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

8


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

a
1 2 a 1
a 1

) .(


)
2 2 a
a 1
a 1

P (
P (

a a  1 2 ( a  1)2  ( a  1)2
).
2 a
( a  1)( a  1)

P (

a 1 2 a  2 a 1 a  2 a 1
).
a 1
2 a

P

Cẩm nang Ôn thi vào 10

(a  1)4 a 1  a

4a
a

Vậy P =

1 a
Víi a > 0 và a ≠ 1
a

b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên a > 0
 P=

1-a
< 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
a

Bài 7: Cho biểu thức: Q =

a
a
b
2 -(1+
2
2 ):
a -b
a -b
a - a2 - b2
2

a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƢỚNG DẪN GIẢI:
a) Rút gọn:

Q=

a
a
b
2 -(1+
2
2 ):
a -b
a -b
a - a2 - b2
2

a
a2 - b2 + a a - a2 - b2
= 2 2 .
b
a -b
a2 - b2
=

a
b
a-b
2 2
2 =
a -b
a -b
a2 - b2
2

( a - b )2
=
=
(a - b)(a + b)
b) Khi có a = 3b ta có:

a-b
a+b
Q=

3b - b
=
3b + b

2b
4b =

1
2

Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

9


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

Cẩm nang Ôn thi vào 10

Bài 8: Cho biểu thức
 1
1 
2
1
A  

.
 
y  x  y x
 x

3
3
1 x  y x  x y  y
:
y 
x 3 y  xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƢỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1

.
 

a) A  
y  x  y x
 x

1
:
y 

 x y
2
x  y 

.

:


xy
xy
x

y



 2
x  y 


:

 xy

xy






x y
xy

b) Ta có 




2



A

xy



x

x



y

xy

y

2

y

xy



2

Vậy min A = 1 khi





x y





x y



.

y   0  x  y  2


x

x



x  y x  xy  y  xy

xy x  y 


Do đó

x 3 y  xy 3

y x  y 

x

xy

.



x3  y x  x y  y3

xy
xy



x
2

y 2

16
16

xy  0

1

xy .

( vì xy = 16 )


 x y

 x  y  4.

xy

16



Bài 9: Cho biểu thức:


1
x  3  2
x 2

P  



x  1  2  2  x
2 x  x 
 x  x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P với x  3  2 2 .

HƢỚNG DẪN GIẢI:
Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

10


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

Cẩm nang Ôn thi vào 10




a. Biểu thức P có nghĩ a khi và chỉ khi : 



x  0
x  1
x  1



 x  2
x  2
x  3


x  3
b) Đkxđ : x  1; x  2; x  3

P  








1
x



x 1

x3



x 1 

x  x 1

x  x 1





x  x 1





2 



 

2
2

x  3

x

x 0
x 1  0
2

x 1 





20

2


2 x  x 

x






2


x  1  2  2  x

x 1  2

x 1  2

x 0





2 x 

x 2

x





 x  x  1 x  3 x  1  2  2 x  x  2


.
x  1  2
x 2 x
 x  x  1


 




















x  x  1 x  3 x  1  2   2  x
.

 x 2 x
x  x 1
x3


  x1  

x  x 1  x 1  2 .

c) Thay x  3  2 2 
P

2








2 1



2 1

2



x  2 . 1



x



2 x
x

2
2  1 vào biểu thức P  2  x , ta có:

2



x

2

2 1

2 1



2  2 1 
2 1

1
2 1

 2 1

Bài 10: Cho biểu thƣ́c:
4 x
8x
x 1
2

):(

)
P =(
2 x 4 x
x2 x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x  3) P  x  1
HƢỚNG DẪN GIẢI:
Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

11


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

Cẩm nang Ôn thi vào 10

a) Ta có: x  2 x  x ( x  2)
x  0

x  0
 x 0



 ĐKXĐ: 4  x  0
x  4

 x 2 0



Với x > 0 và x  4 ta có:
P= (

4 x

8x
x 1
2

):(

)
2 x x4
x ( x  2)
x



4 x ( x  2)  8 x
:
( x  2)( x  2)



4 x  8x  8x
:
( x  2)( x  2)



4 x  8 x
:
( x  2)( x  2)



x  1  2( x  2)
x ( x  2)
x 1 2 x  4
x ( x  2)
 x 3
( Đk: x  9)
x ( x  2)

4 x ( x  2)
x ( x  2)
.
( x  2)( x  2)
3 x

4 x . x ( x  2)
(3  x )( x  2)
4x

x 3


Với x > 0 , x  4, x  9 thì P =

4x
x 3

b) P = - 1
4x


 1 ( ĐK: x > 0, x  4, x  9 )
x 3
 4x  3  x
 4x  3  x  0

Đặt x  y đk y > 0
2
Ta có phương trì nh: 4 y  y  3  0

Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0

Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

12


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

 y1  1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),

Với y 

Cẩm nang Ôn thi vào 10

y2 

3
( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
4

3
9
 x thì x =
( thoả mãn đkxđ)
4
16

Vậy với x =
c) m( x  3) P  x  1

9
thì P = - 1
16

(đk: x > 0; x  4, x  9 )

4x
 x 1
x 3

 m( x  3)
 m.4 x  x  1

x 1
4x
( Do 4x > 0)
x 1
x
1
1

1


 
 Xét
4x
4x 4x
4 4x
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
m



1 1
 ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
x 9

1
1

4x
36
1
1



4
4x
1

1



4
4x


1
1

4
36
5
18

 5 x 1


5
18
4x
m
Theo kết quả phần trên ta có : 
18
m  x  1

4x


Kết luận: Với m 

5
, x  9 thì m( x  3) P  x  1
18

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
A(

1
x 1



x2 1
) .
 1 x2
2
x 1
1

2

Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

13


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

1) Tim iu kin ca x biu thc A có ngha .
2) Rút gn biu thc A .
3) Gii phng trình theo x khi A = -2 .
Câu2 Cho biu thc : A (

2 xx
x x 1




x 2

) :
x 1 x x 1
1

a) Rỳt gn biu thc .
b) Tớnh giỏ tr ca A khi x 4 2 3
Câu3 Cho biu thc : A

x 1

:

1

x x x x x x
2

a) Rỳt gn biu thc A .
b) Coi A l hm s ca bin x v thi hm s A .
1

1



1

1



1



Câu4 Cho biu thc : A=
:

1- x 1 x 1 x 1 x 1 x
a) Rỳt gn biu thc A .
b) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 7 4 3
c) Vi giỏ tr no ca x thỡ A t giỏ tr nh nht .
a a 1 a a 1 a 2

:
a a a a a2

Câu 5 Cho biu thc : A =

a. Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.


x 1
2 x
:

Câu 6 Cho biu thc P 1

1
x

1
x

1
x
x

x

x

1



a) Tỡm KX v rỳt gn P
b) Tỡm giỏ trn nguyờn ca x P x nh giỏ tr nguyờn.
a a
a a
Câu 7 Cho P 1
1
; a 0, a 1
a

1

1

a



a) Rút gn P.
b) Tìm a bit P > 2 .
c) Tìm a bit P = a .
2
1 2x 16x 2

1
Câu 8 Cho P
; x

2
1 4x
2
2
a) Chng minh P
1 2x
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

14


www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL

b) Tính P khi x 

Cẩm nang Ôn thi vào 10

3
2

2  5  24
12
 x 1
x 1 8 x   x  x  3
1 


:

C©u 9 Cho biểu thức B  

 

x 1 x 1   x 1
x 1 
 x 1
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x  3  2 2 .
c) Chứng minh rằng B  1 với mọi gía trị của x thỏa mãn x  0; x  1 .

2.Tính Q 


 1
  1
C©u 10 Cho M  
 1 a  :
 1
 1 a
  1 a2

a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
3
c) Tính giá trị của M tại a 
.
2 3
a a

 a a



C©u 11 Cho biểu thức: A  
 1  
 1 ; a  0, a  1 .
a

1
a

1

 

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2


y

 2 xy

y

:

; x  0, y  0, x  y .
C©u 12 Cho biểu thức: S  
 x y
x


xy
x

xy


1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.

x 2
x  2  x 1

C©u 13 Cho biểu thức: Q  

; x  0, x  1 .
x  1 
x
 x  2 x 1

a. Chứng minh Q 

2
x 1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
 1

1

  x 2

x 1 

 ; x  0 , x  1, x  4 .
C©u 14 Cho biểu thức: A   
 : 

x  1   x  1
x  2 
 x
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.

C©u 15 Rút gọn biểu thức: A 
C©u 16 Cho biểu thức: T 

a 1
a 1  a  a

x2
x x 1

2



2

x 1

x  x 1





1
a 1  a



a3  a
a 1

; a  1.

x 1
; x  0, x  1 .
x 1

Toán NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin

15


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

1. Rỳt gn biu thc T.

2. Chng minh rng vi mi x > 0 v x1 luụn cú T<1/3.
Câu 17 Cho biu thc: M

1 x
1 x



1

x

3

1 x x

; x 0; x 1.

1. Rỳt gn biu thc M.
2. Tỡm x M 2.
Bi 18: Cho biu thc :

2mn
2mn
1
A= m+

m

1 2

2
2
1+n
1 n
n


vi m 0 ; n 1

a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm giỏ tr ca A vi m 56 24 5 .
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca A.


a

3
a

2
a

a
: 1 1
Bi 19: Cho biu thc P


a 2 a 1
a 1 a 1
a 1

a) Rỳt gn P.
1
a 1
b) Tỡm a
1
P
8


x 1
2 x

Bi 20: Cho biu thc P 1
:
1
x

1
x

1
x
x

x

x

1



a) Tỡm KX v Rỳt gn P
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x P x nhn giỏ tr nguyờn.







VN 2: PHNG TRèNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Ph-ơng trình bậc hai một ẩn là ph-ơng trình có dạng
ax 2 bx c 0

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

16


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr-ớc gọi là các hệ số và a 0
II. Công thức nghiệm của ph-ơng trình bậc hai :
Ph-ơng trình bậc hai ax 2 bx c 0(a 0)

b2 4ac

*) Nếu 0 ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
x1

b
b
; x2
2a
2a

*) Nếu 0 ph-ơng trình có nghiệm kép :
x1 x 2

b
2a

*) Nếu 0 ph-ơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Ph-ơng trình bậc hai ax 2 bx c 0(a 0) và b 2b '
' b '2 ac

*) Nếu ' 0 ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1
*) Nếu ' 0 ph-ơng trình có nghiệm kép : x1 x 2

b '
a

b ' '
b ' '

; x2
a
a

*) Nếu ' 0 ph-ơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình ax 2 bx c 0(a 0) thì :
b

x1 x 2 a

x x c
1 2 a

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải ph-ơng trình :
x 2 Sx P 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P 0 )
3. Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình ax 2 bx c 0(a 0) có hai nghiệm :
c
a
2
Nếu a - b + c = 0 thì ph-ơng trình ax bx c 0(a 0) có hai nghiệm :
c
x1 1; x 2
a
x1 1; x 2

IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim tha món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để ph-ơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
17
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm d-ơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm d-ơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MT S BI TP Cể LI GII:
Bài 1. Giải các ph-ơng trình sau :
a / 2x 2 8 0

c / 2x 2 3x 5 0

b / 3x 2 5x 0

d / x 4 3x 2 4 0
x2
6
f/
3
x 5
2x

e / x3 3x 2 2x 6 0

Giải
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2
2

2

2

Vậy ph-ơng trình có nghiệm x 2
x 0
x 0
b / 3x 5x 0 x(3x 5)

x 5
3x

5

0

3

5
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x 0; x
3
2
c / 2x 3x 5 0
2

Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => ph-ơng trình có nghiệm : x1 1; x 2

5 5

2 2

d / x 4 3x 2 4 0

Đặt t x 2 (t 0) . Ta có ph-ơng trình : t 2 3t 4 0
a+b+c=1+3-4=0
=> ph-ơng trình có nghiệm : t1 1 0 (thỏa mãn);

t2

4
4 0 (loại)
1

Vi: t 1 x 2 1 x 1
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x 1

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

18


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

e / x 3x 2x 6 0 (x 3x ) (2x 6) 0 x (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2 2) 0
3

2

3

2

2

x 3 0
x 3 x 3
2
2

x 2 0
x 2
x 2

Vậy ph-ơng trình có nghiệm x 3; x 2
x2
6
(ĐKXĐ : x 2; x 5 )
3
x 5
2x
x2
6
Ph-ơng trình :
3
x 5
2x
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x)
6(x 5)



(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
f/

4 x 2 6x 3x 2 30 15x 6x 30
4x 2 15x 4 0
152 4.(4).4 225 64 289 0; 17
15 17
1
=> ph-ơng trình có hai nghiệm : x1
(thỏa mãn ĐKXĐ)
2.(4)

4
15 17
x2
4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2.(4)

Bài 2. Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 mx m 3 0 (1)
a/ Giải ph-ơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của ph-ơng trình. Tính x12 x 22 ; x13 x32 theo m.
c/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 x 22 9 .
d/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph-ơng trình không phụ thuộc vào giá
trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào ph-ơng trình (1) ta có ph-ơng trình :
x 2 2x 1 0
(x 1) 2 0
x 1 0
x 1

Vậy với m = - 2 ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Ph-ơng trình : x 2 mx m 3 0 (1) Ta cú: m2 4(m 3) m2 4m 12
Ph-ơng trình có nghiệm x1; x 2 0
x1 x 2 m
x1x 2 m 3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(a)
(b)

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

19


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

*) x12 x 22 (x1 x 2 )2 2x1x 2 (m)2 2(m 3) m2 2m 6
*) x13 x32 (x1 x 2 )3 3x1x 2 (x1 x 2 ) (m)3 3(m 3)(m) m3 3m2 9m
c/ Theo phần b : Ph-ơng trình có nghiệm x1; x 2 0
Khi đó x12 x 22 m2 2m 6
Do đó x12 x 22 9 m2 2m 6 9 m2 2m 15 0
'(m) (1)2 1.(15) 1 15 16 0; (m) 4

=> ph-ơng trình có hai nghiệm : m1

1 4
1 4
5; m2
3
1
1

+) Với m 5 7 0 => loại.
+) Với m 3 9 0 => thỏa mãn.

Vậy với m = - 3 thì ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x12 x 22 9 .
d/ Theo phần b : Ph-ơng trình có nghiệm x1; x 2 0
Thử lại :

x1 x 2 m
x1x 2 m 3

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :

(a)
(b)

Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ ph-ơng trình :
x1 x 2 m
3x1 3x 2 3m
x1 3m 5
x1 3m 5




2x1 3x 2 5 2x1 3x 2 5
x 2 m x1
x 2 2m 5
x1 3m 5
vào (b) ta có ph-ơng trình :
x 2 2m 5

Thay

( 3m 5)(2m 5) m 3
6m 2 15m 10m 25 m 3
6m 2 26m 28 0
3m 2 13m 14 0
(m) 132 4.3.14 1 0

13 1
2
2.3
=> ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 1
7
m2

2.3
3
Thử lại :
+) Với m 2 0
=> thỏa mãn.
7
25
+) Với m 0 => thỏa mãn.
3
9
7
Vậy với m 2; m ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
3
e/ Ph-ơng trình (1) có nghiệm x1 3 (3)2 m.(3) m 3 0 2m 12 0 m 6

m1

Khi đó : x1 x 2 m x 2 m x1 x 2 6 (3) x 2 3
Vậy với m = 6 thì ph-ơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

20


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

Vậy với m < - 3 thì ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
x1 x 2 m
m x1 x 2

x1 x 2 x1x 2 3

x
x

m

3
m

x

x

3
1 2
1 2


Vy h thc liờn h gia x1; x2 khụng ph thuc vo m l: x1.x2 + (x1 + x2 ) 3 = 0
Bài 3:
Cho ph-ơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là ph-ơng trình bậc hai có: =12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm = 3m-2 0 m

2
3

2
thì ph-ơng trình có nghiệm
3
3

b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm)
2

+ Kết hợp hai tr-ờng hợp trên ta có: Với m

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là ph-ơng trình bậc hai có: = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất = 3m-2 = 0 m =
Khi đó x =

2
(thoả mãn m 1)
3

1
1

3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =

3
2

2
thì ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x = 3

3

c) Do ph-ơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m =

3
4

Khi đó (1) là ph-ơng trình bậc hai (do m -1 =
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =

3
1
-1= 0)
4
4

3
3

12 x 2 6
1
m 1

4

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

21

www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

3
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
4

Bài 4: Cho ph-ơng trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng ph-ơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của ph-ơng trình thoả mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
HNG DN GII:
2

1
15
a) Ta có: = (m-1) ( 3 m ) = m
2
4



2

2

15
1
Do m 0 với mọi m; 0 > 0 với mọi m
4
2


Ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay ph-ơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có ph-ơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó ph-ơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
2(m 1) 0
m 1


m 3
(m 3) 0
m 3

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có ph-ơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 6m + 10
Theo bài A 10 4m2 6m 0 2m(2m-3) 0
m 0

m 0
m 3

3

2
m

3

0
m

2






2
m 0

m 0



m 0

3

2m 3 0
m
2


Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

22


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

Cm nang ễn thi vo 10

3
Vậy m hoặc m 0
2

e) Theo ý a) ta có ph-ơng trình luôn có hai nghiệm
x1 x2 2(m 1)
x1 x2 2m 2
.
x1 .x2 (m 3)
2 x1 .x2 2m 6

Theo định lí Viet ta có:

x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x1

Vậy x1

8 x2
1 2 x2

8 x2
1 2 x2

1
2

( x2 )

Bài 5: Cho ph-ơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Ph-ơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
c) Lập ph-ơng trình ẩn y thoả mãn y1 x1

1
1
; y 2 x2 với x1; x2 là nghiệm
x2
x1

của ph-ơng trình ở trên
HNG DN GII:
a) Ta có = 1 (m-1) = 2 m
Ph-ơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2

' 0
2 m 0
m 2



m2
m 1 1
m 2
P 1

Vậy m = 2
b) Ta có = 12 (m-1) = 2 m
Ph-ơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
x1 x2 2
2 x1 2 x2 4
x1 5
x1 5



3x1 2 x2 1 3x1 2 x2 1
x1 x2 2
x2 7

Từ (1) và (3) ta có:

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m 1 (2)
Khi đó: y1 y 2 x1 x2

x x2
1
1
2
2m

x1 x2 1
2

(m1)
x1 x2
x1 x2
m 1 1 m

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

23


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL
y1 y 2 ( x1

Cm nang ễn thi vo 10

1
1
1
1
m2
(m1)
)( x2 ) x1 x2
2 m 1
2
x2
x1
x1 x2
m 1
m 1

y1; y2 là nghiệm của ph-ơng trình: y2 -

m2
2m
.y +
= 0 (m1)
1 m
m 1

Ph-ơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

C. MT S BI TP T LUYN
Bài 1Cho ph-ơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để ph-ơng trình (1) có nghiệm nguyên.

HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1
* m 1 :

m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x1 1 ; x2
m 1 1;2 m 1;0;2;3

m 1
2
1
m 1
m 1

Bài 2: Cho ph-ơng trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để ph-ơng trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

24


www.youtube.com/c/NTOFFICIAL

HDẫn :

Cm nang ễn thi vo 10

6m 3n 6
m 2


4m 3n 14

n 2

Bài 3: Tìm m, n để ph-ơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là

1
:
2

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

HDẫn :


m 0
m 2



0
1
n
m

1
2

mn 1. n 0
4
2

Bài 4: Cho hai ph-ơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 ph-ơng trình trên có nghiệm .
HDẫn : 1 2 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai ph-ơng trình : x2 + (m - 2)x +

m
=0
4

(1)

và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 ph-ơng trình trên có nghiệm .
HDẫn : 1 (m 1)(m 4) ; 2 16(1 m)(m 4)
1 . 2 16(m 1) 2 (m 4) 2 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai ph-ơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
: + m =2 : hai ph-ơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m 2 : x 0 = 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai ph-ơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m -2)x 0 = m - 2

HDẫn : (m - 4)x 0 = m - 4
vô nghiệm)

: + m = 4 : hai ph-ơng trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0 (

+ m 4 : x 0 = 1 ; m = -2
Bài 8 : Gọi x1 và x 2 là những nghiệm của ph-ơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0
(1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của ph-ơng trình (1) thoả mãn :
3x1 5x2 6

Toỏn NT Trao Tri Thc Gi Nim Tin

25