Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 6

Các chuyên đề ôn thi HSG 6
CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỮ SỐ GIỐNG NHAU.
Lý thuyết: Cấu tạo số có chữ số giống nhau:
Ta có:
101 − 1
9
102 − 1
11 =
9
103 − 1
111 =
9
...
1=

k

111...1 =
k

k

999...9 1000...0 − 1 10 k − 1
=
=
.
9
9
9

Các chữ số 2, 22, 222, ... có viết thành: 2 ×

101 − 1
102 − 1
10n − 1
= 2; 2 ×
= 22;...; 2 ×
= 22...2
9
9
9

Và các số khác cũng có thể viết theo quy tắc trên:

Bài tập:
Bài 1: Cho số tự nhiên n có k chứ số 9. Chứng tỏ tổng các chữ số của số n2 là 9k.
Giải: Ta viết N = 999...9 = 9(111...1) = 9
k

10k − 1
= 10k − 1.
9

Tính chữ số của N2 theo công thức:
N 2 = N .N = (999...9).(10k − 1) = 999...9000...0 − 999...9 = 999...98000...01
k

k

k

k −1

k −1

Vậy tổng các chữ số là: 9(k − 1) + 8 + 1 = 9k .

Bài 2: Cho các số 49, 4489, 444889, ..., là số ta viết thêm số 48 vào giữa các chữ số của số 49,
chứng tỏ rằng tất cả các số viết theo quy tắc như vậy là bình phương của số tự nhiện
Giải: Ta iết các số dưới dạng:
49 = 4.1.101 + 8.1 + 1;4489 = 4.11.102 + 8.11 + 1;444889 = 4.111.103 + 8.111 + 1

Và cứ thế, cứ thế. N = 444...488...89 = 4.111...1.10n + 8.111...1 + 1.
n

Mà 11...11 =
n

n −1

n

n

 2.10 n + 1 
10n − 1
4
8
4
4
8

8
nên: N = (10n − 1).10n + (10n − 1) + 1 = 102 n − 10n + 10n − + 1 = 

9
9
9
9
9
9
3
9



2

Số 2.10n + 1 chia hết cho 3, vậy chứng tỏ N là bình phương của số tự nhiên.

Phạm Bá Quỳnh

Page 3


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Bi 3: Cho s A(n) v B(n) vi 2n ch s 1 v n ch s 2 .
Cú th hay khụng A(n) B(n) l bỡnh phng ca s t nhin?
Gii:
Ta cú: A(n) B(n) = 111...1 222...2 vi 222...2 = 2
2n

nờn: A(n) B(n) =
A(n) B(n) =

n

n

10n 1
102 n 1
v 111...1 =
,
9
9
2n

102 n 1 10n 1 (10 n 1)(10n + 1)
10n 1 (10n 1)[(10n + 1) 2] (10n 1) 2
2
=
2
=
=
9
9
9
9
9
9

(10n 1)2

.
32

Vy A(n) B( n) s chớnh phng..

Bi 4 : Tớnh giỏ tr ca B= (999.999.999) 2 .

Gii: Ta vit
2

109 1
2
18
9
(999.999.999) 2 = 9.
= 10 2.10 + 1 = 1000...0 2000...0 + 1 = (999.999.999) = 999...98000...01
9


18
9
8
8

Bi 5: Cho s A = 666...6 v s B = 333...3 . Tớnh A . B ?
666

666

Gii: Ta cú A = 666...6 = 6.111...1 v B = 333...3 = 3.111...1 = 3.

666

666

666

666

10666 1
,
9

Vy
AB = 3.6.(111...1).

10666 1
AB = 2.(111...1)(10666 1) AB = (222...2)(10666 1) AB = (222...2).10666 222...2
9

AB = 222...2000...0 222...2 AB = 222...21777...78
666

666

666

665

665

tớch AB:- cú mt s 1;- cú mt s 8;- cú 665 s 2;- cú 665 s 7.
Bi 6: Tớnh tng : 2 + 22 + ... + 222...2 s hng cui cựng cú n ch s 2.
Bi 7: Chng minh rng : 111...1 = 222...2 + (333...3)2 .
2n

n

n

Bi 8: Chng minh rng 111...1 chia ht cho 41 nu n chia ht cho 5.
n

Bi 9: Cú th hay khụng trong cỏc s : 11,111,1111,11111,... cú mt s l s chớnh phng.
Bi 10: Cú th hay khụng cỏc : 1111,111111,..., ủú cú chn ch s 1, l hp s..
Bai 11. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết đợc thành một tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
a) 111222 ;

b) 444222

Bài 12. Tìm kết quả của phép nhân.
a) A = 33...3.99...9

b) B = 33...3.33...3

2005 c .s

2005 c .s

2005 c . s

Phm Bỏ Qunh

2005 c .s

Page 4


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Chuyên đề 3: luỹ thừa với số mũ trên tự nhiên
Phơng pháp tìm số tận cùng của một luỹ thừa
1. Chú ý:
a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6
b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6
c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1
d./ Số a và a4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau ( n, a N , a 0 )
2./ Phơng pháp
Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đa cơ số của luỹ thừa về dạng
đặc biệt hoặc đa số mũ về dạng đặc biệt đ biết cách tính theo phần chú ý trên
Tìm chữ số tận cùng của một tích:
+Tích của các số lẽ là một số lẽ
+ Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên các
chữ số tận cùng của nó.
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n 0) đều có tận cùng bằng 6.
...24n = ...6

; ...44n = ...6

; ...84n = ...6

+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n 0) đều có tận cùng bằng 1.
...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ;...94n = ...1
- Một số chính phơng thì không có tận cùng bằng 2,3,7,8.
Trng hp 1 : Nu a chn thỡ x = am 2m. Gi n l s t nhiờn sao cho an - 1 25.
Vit m = pn + q (p ; q N), trong ủú q l s nh nht ủ aq 4 ta cú :x = am = aq(apn - 1) + aq.
Vỡ an - 1 25 => apn - 1 25. Mt khỏc, do (4, 25) = 1 nờn aq(apn - 1) 100.
Vy hai ch s tn cựng ca am cng chớnh l hai ch s tn cựng ca aq. Tip theo, ta tỡm hai ch
s tn cựng ca aq.

Trng hp 2 : Nu a l, gi n l s t nhiờn sao cho an - 1 100. Vit m = un + v (u ; v N, 0 v <
n) ta cú :
x = am = av(aun - 1) + av. Vỡ an - 1 100 => aun - 1 100.
Vy hai ch s tn cựng ca am cng chớnh l hai ch s tn cựng ca av. Tip theo, ta tỡm hai ch
s tn cựng ca av.

Tớnh cht : Nu a N v (a, 5) = 1 thỡ a20 - 1 25.
VD1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 ; 5151 ; 21000 ; 99 99

Phm Bỏ Qunh

1 08

Page 5


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
3./ Mở rộng
3.1/ Đồng d:
a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng d với a4n+1 theo modun 10 (là hai số

có cùng số d khi chia cho 10)
Tổng quát : Số tự nhiên a đồng d với số tự nhiên b theo modun m (m 0) nếu a và b chia cho m có
cùng một số d.
Ký hiệu a b( mod m ) với a, b, m N và m 0

(1)

Khi đó nếu a m ta có thể viết a 0 (mod m )
Hệ thức (1 ) đợc gọi là một đồng d thức
b/ Một số tính chất cơ bản của đồng d thức
Nếu a b(mod m) và c d (mod m) thì:
1. a + c b + d (mod m) và
2.

a.c b.d (mod m)

3.

a n b n (mod m)

a c b d (mod m)

Các tính chất này có thể đợc áp dụng cho nhiều đồng d thức cùng modun
c/ Ví dụ:
VD1. Tìm số d của 3100 cho 13.
Tìm số d trong phép chia là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng d với 3100 theo modun 13
33

100
99

3
Ta có 3 = 3.3 = 3.(3 )

Vì 33 = 27 = 13. 2 +1, nên 33 1(mod 13) do đó (33)33 133 (mod 13)
hay

399 1(mod 13)

và 3 3 (mod 13)

3. 399 3 . 1 (mod 13)

nên 3100 3 (mod 13). Vậy 3100 chia cho 13 có số d là 3
VD 2 .Chứng minh rằng 22008 8 chia hết cho 31
Để chứng minh 22008 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 8 0 (mod 31)
Ta có : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mà 25 =32 1 (mod 31)
nên ta có (25)401 1401(mod 31) 23. 22005 23 . 1(mod 31)
22008 8(mod 31)
Mặt khác 8 8(mod 31)

22008 - 8 8 - 8 (mod 31)

Nên 22008 - 8 0 (mod 31). Vậy 22008 8 chia hết cho 31

Đpcm.

VD 3: CM rng vi mi s t nhiờn n thỡ s 122n+1 + 11n+2 chia ht cho 133
Ta cú: 122n+1 =12.122n = 12 .144n
Vỡ 144 11(mod133) nờn 144n 11n (mod 133)

Phm Bỏ Qunh

Page 6


Các chuyên đề ôn thi HSG 6
suy ra 12 .144n ≡ 12 .11n (mod 133)
n+2

Mặt khác: 11

= 121. 11

(1)

n

Mà 121 ≡ - 12 (mod 133) nên 121. 11n ≡ - 12 . 11n (mod 133)

(2)

Cộng vế (1) và (2) ta ñược 122n+1 + 11n+2 ≡ 0 (mod 133)
Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133
VD 4: CM 58

2008

ðpcm

+ 23⋮ 24

2008

4
Ta có 58 = 254 mà 25 ≡ 1(mod 24) nên 254 ≡ 1(mod 24) ⇒ 25

≡ 1(mod 24)

còn 23 ≡ 23(mod 24)
Suy ra 58

2008

+ 23 ≡ 0(mod 24) Vậy 58

Phạm Bá Quỳnh

2008

+ 23⋮ 24

ðpcm

Page 7


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
BI TP V LY THA
Bài toán 1. Viết các tích sau hoặc thơng sau dới dạng luỹ thừa của một số.
a) 25 . 84 ;

b) 256.1253 ;

c) 6255:257

Bài toán 2: Viết mỗi tích , thơng sau dới dạng một luỹ thừa:
a) 410.230 ;

b) 925.27 4.813 ;

c) 2550.1255 ;

d) 643.48.164 ;

e) 38 : 36 ;

f) 210 : 83 ;

g) 127 : 67 ;

h) 215 : 813

i) 58 : 252 ;

j) 49 : 642 ;

k) 225 : 324 ;

l) 1253 : 254

Bài toán 3. Tính giá trị các biểu thức.

a) A =

310.11 + 310.5
39.24

; b) B =

210.13 + 210.65
723.542
11.322.37 915
c)
;
d)
D
=
C
=
28.104
1084
(2.314 )2

Bài toán 4: Viết các số sau dới dạng tổng các luỹ thừa của 10.
213;

421;

abc ;

2009;

abcde

Bài toán 5 So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257

c) 523 và 6. 522 d) 7. 213 và 216

Bài toán 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a3.a9 b) (a5)7

c) (a6)4.a12 d) 56 :53 + 33 .32 e) 4.52 - 2.32

Bài toán 7. Tìm n N * biết.
a) 32.3n = 35 ;
e)

b) (22 : 4).2n = 4;

1 n
.2 + 4.2n = 9.5n ; g) 32 < 2n < 128;
2

c)

1 4 n
.3 .3 = 37 ;
9

d)

1 n
.27 = 3n ;
9

h) 2.16 2n > 4.

Bài toán 8 Tìm x N biết.
a) ( x - 1 )3 = 125 ;

b) 2x+2 - 2x = 96;

d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 23.5.

c) (2x +1)3 = 343 ;
e) 16x < 1284

Bài toán 9 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100

B = 1 + 3 + 32 +33 +...+ 32009

C = 1 + 5 + 52 + 53 +...+ 51998

D = 4 + 42 + 43 +...+ 4n

Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+2200. H y viết A + 1 dới dạng một luỹ thừa.
Bài toán 11. Cho B = 3 + +32 +33 +...+ 32005. CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3.
Bài toán 9. Chứng minh rằng:
a) 55-54+53 7

b) 7 6 + 75 7 4 11

c) 109 + 108 + 107 222

d) 106 57 59

e) 3n + 2 2n + 2 + 3n 2n 10n N *

f) 817 279 913 45

Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24

Phm Bỏ Qunh

Page 8


Các chuyên đề ôn thi HSG 6
b) Chøng minh r»ng: A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004 chia hÕt cho 3;7 vµ 15
Bµi to¸n 13:
a) ViÕt tæng sau thµnh mét tÝch 34 +325 +36+ 37
b) Chøng minh r»ng:
B = 1 + 3 + +32 +32 +...+ 399 ⋮ 40

A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 ⋮ 31

C = 165 + 215 ⋮ 33

D = 53! - 51! ⋮ 29

Bµi to¸n 14: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lý:
a) (217+172).(915 - 159)(42- 24)

b) (71997- 71995):(71994.7)

c) (12 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 − 812 )

d) (28 + 83 ) : (25.23 )

Bài toán 15: Tìm hai chữ số tận cùng của các số : a) a2003

b) 799

Giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ⋮ 25.
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ⋮ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ⋮ 25 => 23(220 - 1) ⋮ 100.
Mặt khác :22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N).
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08.
b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 ⋮ 100.
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ⋮ 100. Mặt khác : 99 - 1 ⋮ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N)
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07.

Bài toán 16: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25.
Giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải
tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ⋮ 100.
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ⋮ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ⋮ 100.
Mặt khác : 516 - 1 ⋮ 4 => 5(516 - 1) ⋮ 20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ
số tận cùng là 43.
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18.
Trong trường hợp số ñã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp.

Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số ñó cho 25, từ ñó suy ra các khả năng của hai chữ số tận
cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 ñể chọn giá trị ñúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4.

Bµi to¸n 17: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003

Phạm Bá Quỳnh

Page 9


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Li gii : a) D thy, nu a chn thỡ a2 chia ht cho 4 ; nu a l thỡ a100 - 1 chia ht cho 4 ; nu a
chia ht cho 5 thỡ a2 chia ht cho 25.
Mt khỏc, t tớnh cht 4 ta suy ra vi mi a N v (a, 5) = 1 ta cú a100 - 1 25.
Vy vi mi a N ta cú a2(a100 - 1) 100.
Do ủú S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042.
Vỡ th hai ch s tn cựng ca tng S1 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca tng 12 + 22 + 32 + ...
+ 20042. ỏp dng cụng thc :
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tn cựng l 30.
Vy hai ch s tn cựng ca tng S1 l 30.
b) Hon ton tng t nh cõu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 +
20043. Vỡ th, hai ch s tn cựng ca tng S2 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca 13 + 23 + 33 +
... + 20043.
ỏp dng cụng thc :

=> 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tn cựng l 00.

Vy hai ch s tn cựng ca tng S2 l 00

Bài toán 18: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
73

22003 ; 499 ;999 ;399 ; 799 ;899 ;7895 ;8732 ;5833

Bài toán 19: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10.
481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321
Bài toán 20: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 52 + 53 +...+ 596
Bài toán 21: Chứng minh rằng A =

1 20042006 9294
.7
3 là một số tự nhiên.
10

(

)

Bài toán 22: Cho S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330 . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính
phơng.
Bài toán 23: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 a) Chứng minh A 3
b) Chứng minh A 15

;

c) Tìm chữ số tận cùng của A.

n

n

Bài toán 7. Chú ý: + x01 = y 01(n N * ) + x 25 = y 25(n N * )
+ Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận cùng bằng 01.
+ Các số 220; 65; 184;242; 684;742 có tận cùng bằng 76.
+ 26n (n >1) có tận cùng bằng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.

Phm Bỏ Qunh

Page 10


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
99

2100; 71991; 5151; 9999 ; 6666; 14101; 22003.
Bài toán 24: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 - 41998
Bài toán 25: Các tổng sau có là số chính phơng không? a) 108 + 8 ; b) 100! + 7 ; c) 10100 +
1050 + 1.
Bài toán 26: Chứng minh rằng a) 20022004 - 10021000 10

b) 1999 2001 + 2012005 10;

Bài toán 27: Chứng minh rằng:
a) 0,3 . ( 20032003 - 19971997) là một số từ nhiên
b) 1 (19972004 19931994 ) là một số từ nhiên.
2006

1998

10

Bài toán 28: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
a) 714n 1 chia hết cho 5

b) 124n + 1 + 34n +1 chia hết cho 5

c) 92001n + 1 chia hết cho 10

d) n2 +n + 12 5

Bài toán 29: Tìm chữ số tận cùng của
a) 2008 2009
7
99

e) 19971

b)19216

c) (123412)34

d) (195)1979

f) (3333)33

g) 357 735

h) (144)68

Bài toán 30: Cho A = 21 + 22+ 23 + .... + 220
B = 31 + 32 + 33 + . + 3300
a) Tìm chữ số tận cùng của A

b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng B - A

chia hết cho 5
Bài toán 31: Tìm số d trong các phép chia sau:
a) 3100 : 7

b) 9! : 11

c) (2100 + 3105) : 15

Bài toán 32 Chứng minh rằng: a) 301293 1 9
c) 62n + 3n+2 3n 11

d) (15325 1) : 9

b) 2093n 803n 464n 261n 271

d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19

(với n N)

Bài toán 33 Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết
rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ 3

a) H y tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy
b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy?
Bài toán 34: Chng minh rng nu a2 + b2 + c2 9 thỡ ớt nht mt trong cỏc hiu a2 b2 hoc a2 c2
hoc b2 c2 chia ht cho 9

Bài toán 35 So sánh các số sau: a) 3281 và 3190

b) 11022009 11022008 và 11022008 - 11022007

c) A = (20082007 + 20072007)2008 và B = (20082008 + 20072008)2007

Phm Bỏ Qunh

Page 11


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Chuyên
Chuyên đề 4: chia hết trong tập số tự nhiên
I. Kiến thức bổ sung:
+)TíNH CHấT CHIA HếT CủA MộT TổNG.
Tính chất 1:

a m , b m , c m (a + b + c) m

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a m , b m , (a - b) m
Tính chất 2:

a m , b m , c m (a + b + c) m

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu. a m , b m , (a - b) mCác tính chất 1& 2
cũng đúng với một tổng(hiệu) nhiều số hạng.
+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 2, CHO 5.
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 2.
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 5.
S chia ht cho 2 v 5 cú ch s tn cựng bng 0
+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 3, CHO 9.
Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 3.
Chú ý: Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.
Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9.
2- Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu
1. a m ; b m k1a + k2b m
2. a m ; b m ; a + b + c m c m
II. Bài tập:
* Các phơng pháp chứng minh chia hết.
PP 1: Để chứng minh A b (b 0 ). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k N
PP 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng.
Nếu a b m và a m thì b m.
PP 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (gi sử chứa n) chia hết cho b(b khác 0) ta có thể xét
mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b.
PP 4. Để chứng minh A b. Ta biểu diễn b dới dạng b = m.n. Khi đó.

Phm Bỏ Qunh

Page 12

Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A m và A n suy ra A m.n hay A b.
+ Nếu (m,n) 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 m; a2 n thì tích a1.a2 m.n
suy ra A b.
PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết.
PP 6. Để chứng minh A b ta biểu diễn A = A1 + A2 + ... An và chứng minh các Ai (i = 1, n) b
Một số dấu hiệu chia hết cho
1. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ
những số đó mới chia hết cho 11
2. Dấu hiệu chia hết cho 4, 25
Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ những
số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25)
3. Dấu hiệu chia hết cho 8, 125
Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ
những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số tính chất:
- Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì trong tích chứa ít nhất một thừa số chia hết cho p
- Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của m và n
Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích hai số đó
- Nếu A B thì mA nB B
(m,n N, A và B là các biểu thức của số tự nhiên)
II. Các phơng pháp chứng minh chia hết.
1. Sử dụng tính chất chia hết của một tổng.
Ví dụ:
a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 299
CMR: A chia hết cho 31
b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n 1.
2. Sử dụng đồng d thức.

Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10
3. Sử dụng tính chất của số nguyên tố cùng nhau
Ví dụ: CMR: n5 n 30
Giải: Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1
Xét n 2:

Phm Bỏ Qunh

Page 13


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Đặt A = n5 n = n (n2 +1)(n+1)(n-1)
Ta có A 10 ( Vì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau)
A 3 (Vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) )
A chia hết cho cả 3 và 10.
Mà ƯCLN(3, 10) = 1 nên A chia hết cho 3.10
Vậy A 30

Đpcm.

Bi tp 1: Dựng 4 ch s 0;1;2;5 cú to thnh bao nhiờu s cú 4 ch s, mi ch s ủó cho ch dựng
1 ln sao cho:
a, cỏc s ủú chia ht cho 2.
b,Cỏc s ủú chia ht cho 5
c.cỏc s chia ht cho 3

BT 2: Cho A = 12 + 15 + 21 + x với x N.
Tìm điều kiện của x để A 3, A 3.
BT 3:Khi chia STN a cho 24 đợc số d là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 4

không?
BT 4: Chứng tỏ rằng:
a/ Tổng ba STN liên tiếp là một số chia hết cho 3.
b/ Tổng bốn STN liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
Bài tập 5
Chứng minh rằng với mọi n N thì 60n +45 chia hết cho 15 nhng không chia hết cho 30.
Bài toán 6: Chứng minh rằng: a) ab + ba 11 b) ab ba 9 với a>b.
Bài toán 7 : Chứng minh rằng:
A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+239 là bội của 15
T = 1257 -259 là bội của 124
M = 7 + 7 2 + 73 + 7 4 + ... + 7 2000 8
P = a + a 2 + a 3 + ... + a 2 n a + 1 với a,n N
Bài toán 8: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
+ Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6.
+ Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ liên tiếp thì
chia 10 d 5
Bài toán 9: Cho a,b N và a - b 7 . CMR 4a +3b 7.
Bài toán 10: Tìm n N để.

Phm Bỏ Qunh

Page 14


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
a) n + 6 n ; 4n + 5 n ; 38 - 3n n
b) n + 5 n + 1 ; 3n + 4 n - 1

; 2n + 1 16 - 3n

Bài toán 11. Chứng minh rằng: (5n)100 125
Bài toán 12. Cho A = 2 + 22 + 23 +... + 22004 .
CMR A chia hết cho 7;15;3
Bài toán 13. Cho S = 3 +32 +33 +...+ 31998 . CMR
a) S 12 ;

b) S 39

Bài toán 14. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 31000; CMR B 120
Bài toán 15. Chứng minh rằng:
a) 3636 - 910 45 ; b) 810 - 89 - 88 55 ;
d) 7 6 + 75 7 4 11
g) 106 57 59

c) 55 - 54 + 53 7

e) 109 + 108 + 107 222
h) 3n + 2 2n + 2 + 3n 2n 10n N *

i) 817 279 913 45

Bài toán 16. Tìm n N để :
a) 3n + 2 n - 1

b) n2 + 2n + 7 n + 2

d) n + 8 n + 3

e) n + 6 n - 1

c) n2 + 1 n - 1
g) 4n - 5 2n - 1

Bài toán 17. CMR:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
Bài toán 18. cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 đợc những số d khác
nhau. CMR tổng của chúng chia hết cho 5.
Bài toán 19. Cho số abc không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất mấy lần để
dợc một số chia hết cho 3.
Bài toán 20: Cho n N, Cmr n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.
Bài toán 21. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài toán 22. Cmr a) n N thì A = 2n + 11...1 3
n.c / s1

Bài toán 23. Hai số tự nhiên a và 2.a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a 3
Bài toán 24. CMR: m + 4n 13 10m + n 13. m, n N

Phm Bỏ Qunh

Page 15


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Chuyên đề 5: Số nguyên tố Hợp số số chính phơng ớc chung ƯCLN Bội chung BCNN
A. Kiến thức bổ sung.
1.

ƯC - ƯCLN

+ Nếu a b thì (a,b) = b.
+ a và b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1
+ Muốn tìm ớc chung của các số đ cho ta tìm các ớc của ƯCLN của các số đó.
+ Cho ba số a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 1


Tính chất chhia hết liên quan đến ƯCLN

-

Cho (a,b) = d . Nếu chia a và b cho p thì thơng của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.

-

Cho a.b mà (a,m) = 1 thì b m

2 . BC BCNN
+ Nếu số lớn nhất trong một nhóm chia hết cho các số còn lại thì số này là BCNN của nhóm đó.
+ Nếu các số nguyên tố với nhau từng đôi một thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
+ Muốn tìm BC của các số đ cho, ta tìm bội của BCNN của các số đó.


Nâng cao.

-

Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng.

a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b)
- Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a và b thì các thơng của chúng là những số nguyên tố
cùng nhau.
- Nếu a m và a n thì a chia hết cho BCNN(m,n). Từ đó suy ra
+ Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng.
+ Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của
chúng.
+ Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho mọi số nguyên tố
mà bình phơng không vợt quá a.
+ Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ớc khác 1 và a.
+ Cách xác định số lợng các ớc của một số:
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố đợc M = ax . by cz thì số lợng các ớc của M là ( x +
1)( y + 1)( z + 1).
+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ
chẵn. Từ đó suy ra.
- Số chính phơng chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22.
- Số chính phơng chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24.

Phm Bỏ Qunh

Page 16


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
- Số chính phơng chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32.
- Số chính phơng chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24.
- Số chính phơng chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52.
+ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a p hoặc b p.
Đặc biệt nếu an p thì a p

+ Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phơng lên không vợt quá nó.
+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng:

4n 1

+ Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng:

6n 1

+ Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị
+ Một số bằng tổng các ớc của nó (Không kể chính nó) gọi là Số hoàn chỉnh.
Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh


các dạng bài tập về số nguyên tố hợp số:

- Nếu a b ta nói b là ớc của a
a là bội của b
- Khi a d và b d ta nói d là ớc chung của a và b. Khi d là số lớn nhất trong tập hợp các ớc chung
của a và b ta nói d là ớc chung lớn nhất của a và b
Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d hoặc (a,b) = d
- - Khi m a và m b ta nói m là bội chung của a và b. Khi m # 0 và m là số nhỏ nhất trong tập hợp
các bội chung của a và b ta nói m là bội chung nhỏ nhất của a và b
Ký hiệu BCNN(a,b) = m hoặc [a,b] = m
C. Các bài toán về ớc và bội và số nguyên tố
Phng phỏp chung ủ gii :
1/ Da vo ủnh ngha CLN ủ biu din hai s phi tỡm, liờn h vi cỏc yu t ủó cho ủ
tỡm hai s.
2/ Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h ủc bit gia CLN, BCNN v
tớch ca hai s nguyờn dng a, b, ủú l : ab = (a, b).[a, b], trong ủú

(a, b) l CLN v [a, b] l

BCNN ca a v b.

Bi toỏn 1 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16.
Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6.
Bi toỏn 3 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60.
Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5.
Bi toỏn 5 :
Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140.

Phm Bỏ Qunh

Page 17


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Bi toỏn 6 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16.
Bi toỏn 7 : Tỡm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72.
Bi toỏn 8 : Tỡm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140.
BI TP

1) Tìm hai số biết ƯCLN của chúng:
Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 100 và có ƯCLN là 10.
Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN của chúng là 5 và chúng có tích là 300
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p > 3 thì (p - 1).(p + 1) 24
2) Các bài toán phối hợp giữa ƯCLN và BCNN
Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180
d. Các dạng bài tập

Bi tp t gii :
Bi 1 :
a) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16.
b) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6.
c) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit ab = 180, [a, b] = 60.
d) Tỡm hai s tự nhiên a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5.
e) Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140.

Bi 2: Tỡm hai s a, b bit:
a) 7a = 11b v (a, b) = 45.
b) a + b = 448, CLN (a,b) = 16 v chỳng cú ch s tận cùng ging nhau.

Bài 3: Cho hai s t nhiờn a v b. Tỡm tt c cỏc s t nhiờn c sao cho trong ba s, tớch ca hai s
luụn chia ht cho s cũn li.

Bài 4: Tìm các số tự nhiên m và n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91
Bài 5: Tìm các số tự nhiên n sao cho 5n + 45 n + 3
Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho cả p + 4 và p + 8 đều là các số nguyên tố
Bài 7: Cho p, q , r là ba số nguyên tố lớn hơn 3
Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 là hợp số.
Bài 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601.
Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó.
Bài 3. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số?
b) Số A có phải là số chính phơng không?
Bài 4

Phm Bỏ Qunh

Page 18

Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Bài 5. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
b) 1.3.5.713 + 20
c) 147.247.347 13
Bài6.Tìm số nguyên tố p sao cho
a) 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
b) P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố.
c) P + 10; p +14 đều là số nguyên tố.
Bài 7. Cho n N*; Chứng minh rằng: A = 111...12111...1 là hợp số.
nc / s1

nc / s1

Bài 8. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n2 chia 3 d 1.
+ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 9. Cho n N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n2 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số
nguyên tố.
Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p 1 là số nguyên tố, số còn lại là số
nguyên tố hay hợp số?
Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.
Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số.
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của 48 và 120.
Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 120 a và 150 a.
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 210 x , 126 x và 10 < x < 35.
Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a 120 và a 86.
Bài 5. Tìm các bội chung nhỏ hơn 300 của 25 và 20.
Bài 6. Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để số

bác sỹ và y tá đợc chia đều cho các tổ?
Bài 7. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số
sách trong khoảng 200 đến 500. Tìm số sách.
Bài 8. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ngời. Tính số đội
viên của liên đội đó biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150.
Bài 9. Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 ngời, nhng
xếp hàng 7 thì và đủ. Biết rằng số học sinh đó cha đến 300. Tính số học sinh đó.
Bài 10. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150 dm. Một bớc nhảy của chó dài
9 dm, một bớc nhảy của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một bớc thì thỏ củng nhảy một bớc.
Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bớc mới đuổi kịp thỏ?
Bài 11. Tôi nghĩ một số có ba chữ số.
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì đợc số chia hết cho 7.

Phm Bỏ Qunh

Page 19


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 8 thì đợc số chia hết cho 8.
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 9 thì đợc số chia hết cho 9.
Hỏi số tôi nghĩ là số nào?
Bài 12. chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 13. CMR các số sau đây nguyên tố cùng nhau.
a)

Hai số lẻ liên tiếp.

b)

2n + 5 và 3n + 7.

Bài 14. ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ.
Bài 15. Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18.
Bài 16. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15.
Bài 17. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng là 210.
Bài 18. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khi chia cho 5, cho 7, cho 9 có số d theo thứ tự là

3,4,5.

Bài 19. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3, cho 4, cho 5 có số d theo thứ tự là 1;3;1.
Bài 20. Cho ƯCLN(a,b)= 1. CMR
a)

ƯCLN(a+b,ab) = 1.

b)

Tìm ƯCLN(a+b, a-b).

Bài 21. Có 760 quả và cam, vừa táo, vừa chuối. Số chuối nhiều hơn số táo 80 quả, số táo nhiều hơn
số cam 40 quả. Số cam, số táo, số chuối đợc chia đều cho các bạn trong lớp. Hỏi chia nh vậy thì
số học sinh nhiều nhất của lớp là bao nhiêu? mỗi phần có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 22. a) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 4, số nhỏ bằng 8. tìm số lớn.
b) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 16, số lớn bằng 96, tìm số nhỏ.
Bài 23. Tìm hai số tự nhiên biết rằng :
a) Hiệu của chúng bằng 84,ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440.
b) Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12.
Bài 24. Tìm hai số tự nhiên biết rằng:
a) Tích bằng 720 và ƯCLN bằng 6.

b) Tích bằng 4050 và ƯCLN bằng 3.
Bài 25. CMR với mọi số tự nhiên n , các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8.

Phm Bỏ Qunh

Page 20


Các chuyên đề ôn thi HSG 6
Chuyªn ®Ò :
C¸c phÐp to¸n víi sè nguyªn
B. Bµi tËp:
Bµi tËp 1. MÖnh ®Ò sau ®óng hay sai?
NÕu a < b th× a < b
Bµi tËp 2. T×m x ∈ Z biÕt
a) x = 4

b) x < 4

c) x >4

Bµi tËp 3. Cho
A = { x ∈ Z / x > −9}
B = { x ∈ Z / x < −4}
C = { x ∈ Z / x ≥ −2}

T×m A ∩ B; B ∩ C ; C ∩ A
Bµi tËp 4. trong c¸c mÖnh ®Ò sau, mÖnh ®Ò nµo ®óng? MÖnh ®Ò nµo sai?

a)

NÕu a = b th× a = b

b)

NÕu a = b th× a = b

c)

NÕu a < b th× a < b.

Bµi tËp 5. T×m x biÕt:
a) x + −5 = −7

b) −6 . x = 54

Bµi tËp 6. T×m x, y, z ∈ Z biÕt x + y + z = 0 .
•

Trả bài kiểm tra một tiết Số học và Hình học

PhÐp céng hai sè nguyªn - TÝnh chÊt phÐp céng c¸c sè nguyªn
Bµi tËp 1. TÝnh nhanh.
a)

2004 + [ 520 + (-2004)]

c) 921 + [97 + (-921) + (-47)]

b) [(-851) + 5924] + [(-5924) + 851]
d) 2003 + 2004 + (-2005) + (-2006).

Bµi tËp 2. TÝnh tæng c¸c sè nguyªn x tháa m n.
a) - 7 < x < 6

b) 4 > x > -5

c) x < 8

Bµi tËp 3. TÝnh tæng A = 2 + (-4) + (-6) + 8 + 10 + (-12) + (-14) + 16 + … + 2010.
B = 1 + (-3) + (-5 ) + 7 + 9 +(-11) + (-13) + 15 + … + 2009.

Phạm Bá Quỳnh

Page 21


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Bài tập 4. Cho x và y là hai số nguyên cùng dấu. Tính x + y biết x + y = 10
Bài tập 5. Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa m n
a) x + 2. y = 0

b) 3. x + 2. y = 0

Bài tập 6. Với giá trị nào của x và y thì tổng S = x + y + 2. y 2 + 1998 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm
giá trị nhỏ nhất đó.
Bài tập 7. Tìm số nguyên x biết rằng
a)

x + 4 là số nguyên dơng nhỏ nhất

b)

10 -x là số nguyên âm lớn nhất

Bài tập 8. Tìm các số nguyên a, b, c biết rằng: a + b = 11, b + c = 3; c + a = 2.
Bài tập 9. Tìm các số nguyên a, b, c, d biết rằng:
a + b + c + d = 1,
a + c + d =2,
a + b + d = 3,
a + b + c = 4.
Bài tập 10. Cho x 1 + x2 + x3 + + x49 + x50 + x51 = 0 và x1+ x2 = x3 + x4 = = x47 + x48 = x49 + x50 =
x50 + x51 = 1.Tính x50.

Phm Bỏ Qunh

Page 22


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Ôn tập học kỳ i.
Dạng 1. Thực hiện các phép tính.
Bài 1. Tính nhanh.
a) 32 . 47 + 32 . 53

b) (-24) + 6 + 10 + 24

c) (24 + 42) + (120 - 24 - 42)

e) 25 . 22 + (15 18 ) + (12 - 19 + 10)

d) (13 - 145 + 49) - (13 + 49)

Bài 2. Thực hiện các phép tính (tính nhanh nếu có thể)
a) 3.52 - 16:22

b) 23.17 23.14

c) 20 [ 30 (5 - 1)]

d) 600 : [450 :{ 450 (4.53 23 . 52 )}]

e) A =

310.11 + 310.5
39.24

Dạng 2. Tìm x
Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết.
a) 6.x 5 = 613

b) x 15 = 24

c) 2.x 138 = 23.32

d) 10 + 2.x = 45 : 43

e) 70 5.(x - 3) = 45

g) 315 + (146 x ) = 401

Bài 2. Tìm số nguyên x biết
a) 3 + x = 7

b) x + 9 = 2

d) 2 x = 17 (- 5)

c) 11 (15 + 21) = x (25 -9)

e) x 12 = (-9) 15

g) 9 25 = (7 x ) (25 + 7)

Dạng 3. ƯC - ƯCLN BC BCNN
Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm các ƯC của 90 và 126.
Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 480 a và 600 a.
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 126 x, 210 x và 15 < x < 30.
Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 126; a 198.
Bài 5. Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400.
Bài 6. Biết số học sinh của một trờng trong khoảng 700 đến 800 học sinh, Khi xếp hàng 30, hàng
36, hàng 40 đều thừa 10 học sinh. Tính số học sinh của trờng đó.
Dạng 4. Hình học. a) Vẽ đoạn thẳng AB = 8 cm. Trên AB lấy hai điểm M, N sao cho; AM = 3 cm;
An = 6 cm.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng MN,NB.
Hỏi M có phải là trung điểm của đoạn AN hay không? vì sao?

Phm Bỏ Qunh

Page 23


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
Ôn tập về Quy tắc dấu ngoặc Quy tắc chuyển vế
Bài tập 1. Tìm số nguyên x biết.
a) 5 x = 17 (-5) ;

b) x 12 = (-9) (-15) ;

c) 9 25 = (-7 x ) (25 - 7)

d) 11 + (15 - 11 ) = x (25 - 9)

e) 17 {-x [-x (-x)]}=-16

g) x + {(x + 3 ) [(x + 3) (- x - 2)]} = x

Bài tập 2. Tính các tổng sau một cách hợp lý:
a) 2075 + 37 2076 47 ;

b) 34 + 35 + 36 + 37 14 15 16 17

c) 7624 + (1543 + 7624) ;

d) (27 514 ) ( 486 - 73)

Bài tập 3. Rút gọn các biểu thức.
a)

x + 45 [90 + (- 20 ) + 5 (-45)] ; b) x + (294 + 13 ) + (94 - 13)

Bài tập 4. Đơn giản các biểu thức.
a) b (b a + c) ;

b) (a b + c ) (c - a)

c) b (b + a c ) ;

d) a (- b + a c)

Bài tập 5. Bỏ ngoặc rồi thu gọn các biểu thức sau.
a)

(a + b ) (a b ) + (a c ) (a + c)

b)

(a + b c ) + (a b + c ) (b + c - a) (a b c)

Bài tập 6. Xét biểu thức. N = -{-(a + b) [(a b ) (a + b)]}
a)

Bỏ dấu ngoặc và thu gọn

b)

Tính giá trị của N biết a = -5; b = -3.

Bài tập 7. Tìm số nguyên x biết.

a) x 3 16 = 4

b) 26 x + 9 = 13

Bài tập 8. Chứng minh đẳng thức
-

(- a + b + c) + (b + c - 1) = (b c + 6 ) (7 a + b )

Bài tập 9. Cho A = a + b 5
C=bc4

B=-bc+1
D=ba

Chứng minh: A + B = C + DBài tập 10. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao 5 cánh sao
cho tổng của hai số tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng -6

Phm Bỏ Qunh

Page 24


Các chuyên đề ôn thi HSG 6
D¹ng 1. Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh
Bµi 1. TÝnh.
a) (-15) + 24 ;

b) (-25) - 30 ;

e) (-34) . 30 ;

g) (-12) . (-24)

c) (-15) + 30 ;

d) (-13) + (-35)

h) 36 : (-12)

i) (-54) : (-3)

Bµi 2. Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh(tÝnh nhanh nÕu cã thÓ).
a) (-5).6.(-2).7

c) 3.(-3)3 + (-4).12 - 34

b) 123 - (-77) - 12.(-4) + 31

d) (37 - 17).(-5) + (-13 - 17) ; e) 34. (-27) + 27. 134 ;

g) 24.36 - (-24).64

D¹ng 2. T×m sè nguyªn x biÕt
Bµi 1. T×m sè nguyªn a biÕt
a) a = 4 ;

b) 3

+ 6 = 12

c) a + 3 = −3

d) a − 2 + 3 = 14

Bµi 2. T×m sè nguyªn x biÕt.
a) x + 12 = 3;

b) 2.x - 15 = 21;

c) 13 - 3x = 4

d) 2(x - 2) + 4 = 12;

e) 15 - 3(x - 2) = 21;

g) 25 + 4(3 - x) = 1

h) 3x + 12 = 2x - 4;

i) 14 - 3x = -x + 4 ;

k) 2(x - 2)+ 7 = x - 25

Bµi 3. T×m sè nguyªn n ®Ó
a) n + 5 chia hÕt cho n -1 ;
c) 6n + 4 chia hÕt cho 2n + 1

Phạm Bá Quỳnh

b) 2n - 4 chia hÕt cho n + 2
d) 3 - 2n chia hÕt cho n+1

Page 25


Cỏc chuyờn ụn thi HSG 6
C. Bài tập:
Bài tập 1. Tìm các số nguyên x và y biết.
a).

x 5
=
6 24

b)

4 20
=
y 14

c)

4 12
=
7 x

d)

3 y

=
7 21

Bài tập 2. Viết các phân số sau đay dới dạng phân số có mẫu dơng.
3 17
6
;
(với a < 3);
4 a 3
a 2 1

Bài tập 3. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau.

15 7 6 28 3
; ; ;
;
60 5 15 20 12
Bài tập 4. Tìm x biết
a)

111
91
37
13

b)

84
108

14
9

Bài tập 5. Tìm n Z để các phân số sau đồng thời có giá trị nguyên.
12 15
8
;
;
n n 2 n +1

Bài tập 6. Cho A =

3n 5
. Tìm n Z để A có giá trị nguyên.
n+4

Bài tập 7. Tìm x Z biết.
a)

x 1 8
=
9
3

b)

x 9
=
4

x

c)

x 18
=
4 x +1

Bài tập 8. Viết tập hợp A các phân số bằng phân số -7/15 với mẫu dơng có hai chữ số.
Bài tập 9. Tìm phân số bằng phân số 32/60, biết tổng của tử và mẫu bằng 115.
Bài tập 10. Rút gọn các phân số sau.

990 374 3600 75 914.2255.87
;
;
;
2610 506 8400 175 1812.6253.243
Bài tập 11. Cho phân số

a
ax a
x a
. CMR :
= thì =
b
b y b
y b

Bài tập 12. Rút gọn phân số A =

71.52 + 53
mà không cần thực hiện các phép tính ở tử.
530.71 180

Bài tập 13. Hai phân số sau có bằng nhau hay không?
abab ababab
;
cdcd cdcdcd

Bài tập 14. Tìm phân số a/b bằng phân số 60/108, biết:
a) ƯCLN(a,b) = 15 ;

b) BCNN(a,b)=180

Bài tập 15. CMR với n N*, các phân số sau là phân số tối giản

Phm Bỏ Qunh

Page 26


Các chuyên đề ôn thi HSG 6
a)

3n − 2
;
4n − 3

b)

Bµi tËp 16. 1) CMR nÕu
2) T×m x, y, z biÕt

4n + 1
6n + 1

a b c
= = th× a = b = c
b c a

x y z
= = vµ x + z = 7 + y
3 6 10

Phạm Bá Quỳnh

Page 27