Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị Trương Thế Thiện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.63 MB, 10 trang )
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
A) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I) KIẾN THỨC CƠ BẢN
Giả sử hàm số y f ( x ) có tập xác định D.
x Hàm số f đồng biến trên D yc t 0, x D và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc
D.
x Hàm số f nghịch biến trên D yc d 0, x D và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
x Nếu y ' ax 2 bx c (a z 0) thì:
a!0
+ y ' t 0, x R ®
¯' d 0
a 0
+ y ' d 0, x R ®
¯' d 0
x Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x) ax 2 bx c (a z 0) :
+ Nếu ' < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a.
+ Nếu ' = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x
b
)
2a
+ Nếu ' > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với
a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a.
x So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) ax 2 bx c với số 0:
' t 0
°
+ x1 d x2 0 ®P ! 0
°¯S 0
' t 0
°
+ 0 x1 d x2 ® P ! 0
°¯S ! 0
x g( x) d m, x (a; b) max g( x) d m ;
(a;b)
+ x1 0 x2 P 0
g( x) t m, x (a; b) min g( x) t m
(a;b)
II) CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Tìm điều kiện để hàm số y f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác
định).
x Hàm số f đồng biến trên D yc t 0, x D và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc
D.
x Hàm số f nghịch biến trên D yc d 0, x D và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
x Nếu y ' ax 2 bx c (a z 0) thì:
a!0
+ y ' t 0, x R ®
¯' d 0
a 0
+ y ' d 0, x R ®
¯' d 0
2. Tìm điều kiện để hàm số y
Ta có: yc
f ( x ) ax 3 bx 2 cx d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
f c( x) 3ax 2 2bx c .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) yc t 0, x (a ; b ) và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
x Nếu bất phương trình f c( x) t 0 h(m) t g( x)
(*)
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
thì f đồng biến trên (a ; b ) h(m) t max g( x )
(a ; b )
x Nếu bất phương trình f c( x) t 0 h(m) d g( x)
(**)
thì f đồng biến trên (a ; b ) h(m) d min g( x)
(a ; b )
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f c( x) t 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi
đó ta có: yc g(t) 3at 2 2(3aD b)t 3aD 2 2bD c .
a ! 0
°°' ! 0
a ! 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (f; a) g(t ) t 0, t 0 ®
®
¯' d 0
°S ! 0
°¯ P t 0
a ! 0
°°' ! 0
a ! 0
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; f) g(t ) t 0, t ! 0 ®
®
¯' d 0
°S 0
°¯ P t 0
b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) yc t 0, x (a ; b ) và yc 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
x Nếu bất phương trình f c( x) d 0 h(m) t g( x)
(*)
thì f nghịch biến trên (a ; b ) h(m) t max g(x)
(a ; b )
x Nếu bất phương trình f c( x) t 0 h(m) d g( x)
(**)
thì f nghịch biến trên (a ; b ) h(m) d min g( x)
(a ; b )
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f c( x) d 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t x a . Khi
đó ta có: yc g(t) 3at 2 2(3aD b)t 3aD 2 2bD c .
a 0
°
°' ! 0
a 0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (f;a) g(t ) d 0, t 0 ®
®
¯' d 0
°S ! 0
°
¯P t 0
a 0
°°' ! 0
a 0
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a;f) g(t ) d 0, t ! 0 ®
®
¯' d 0
°S 0
°¯ P t 0
3. Tìm điều kiện để hàm số y
k cho trước.
f ( x ) ax 3 bx 2 cx d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng
a z 0
x f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 ) yc 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ®
(1)
¯' ! 0
x Biến đổi x1 x2
d thành ( x1 x2 )2 4 x1x2
d2
x Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
x Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số y
ax 2 bx c
(2), (a, d z 0)
dx e
(2)
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
a) Đồng biến trên (f;D ) .
b) Đồng biến trên (D ; f) .
c) Đồng biến trên (D ; E ) .
Tập xác định: D
e ½
R \ ® ¾ , y'
¯d ¿
adx 2 2aex be dc
Trường hợp 1
Nếu: f ( x ) t 0 g( x ) t h(m) (i)
a) (2) đồng biến trên khoảng (f;D )
dx e
2
f (x)
dx e
2
Trường hợp 2
Nếu bpt: f ( x ) t 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t x D .
Khi đó bpt: f ( x ) t 0 trở thành: g(t ) t 0 , với:
g(t) adt 2 2a(dD e)t adD 2 2aeD be dc
a) (2) đồng biến trên khoảng (f;D )
e
°
® d tD
°
¯g( x ) t h(m), x D
e
°
® d tD
°
¯ g(t ) t 0, t 0 (ii)
e
° tD
®d
°h(m) d min g( x )
( f;D ]
¯
a ! 0
°
°' ! 0
a ! 0
®
(ii) ®
0
'
d
¯
°S ! 0
°
¯P t 0
b) (2) đồng biến trên khoảng (D ; f)
b) (2) đồng biến trên khoảng (D ;f)
e
°
® d dD
°¯ g( x ) t h(m), x ! D
e
°
® d dD
°
¯g(t ) t 0, t ! 0 (iii)
e
° dD
®d
°h(m) d min g( x )
[D ; f )
¯
a ! 0
°°' ! 0
a ! 0
(iii) ®
®
0
'
d
¯
°S 0
°¯ P t 0
c) (2) đồng biến trên khoảng (D ; E )
e
°
® d D ; E
° g( x ) t h(m), x (D ; E )
¯
e
° D ; E
®d
°h(m) d min g( x )
[D ; E ]
¯
B) CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I) KIẾN THỨC CƠ BẢN
x Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình yc 0 có 2 nghiệm phân biệt.
x Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình yc 0 .
x Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương
pháp tách đạo hàm.
– Phân tích y f c( x).q( x) h( x) .
– Suy ra y1 h( x1), y2 h( x2 ) .
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y h( x ) .
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
x Gọi D là góc giữa hai đường thẳng d1 : y k1x b1, d2 : y k2 x b2 thì tan a
k1 k2
1 k1k2
II) CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc)
với đường thẳng d : y px q .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: k
p (hoặc k
1
).
p
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
d : y px q một góc a .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
1 kp
tan a . (Đặc biệt nếu d { Ox, thì giải điều kiện: k
tan a )
3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại
hai điểm A, B sao cho 'IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng ' đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của ' với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện S'IAB S .
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho 'IAB có diện tích S cho
trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng ' đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện S'IAB S .
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng ' đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
' A d
.
– Giải điều kiện: ®
¯I d
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: d ( A,d) d(B,d) .
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A,
B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực
trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 (f;D ) hoặc K2 (D ; f) .
y'
f ( x) 3ax 2 2bx c .
Đặt t x a . Khi đó: y ' g(t) 3at 2 2(3aD b)t 3aD 2 2bD c
Hàm số có cực trị thuộc K1 (f;D )
Hàm số có cực trị trên khoảng (f;D )
f ( x ) 0 có nghiệm trên (f;D ) .
g(t )
0 có nghiệm t < 0
ªP 0
« ' ' t 0
«°
« ®S 0
«¬ °¯ P t 0
Hàm số có cực trị thuộc K2 (D ; f)
Hàm số có cực trị trên khoảng (D ; f)
f ( x ) 0 có nghiệm trên (D ; f) .
g(t )
0 có nghiệm t > 0
ªP 0
« ' ' t 0
«°
« ®S ! 0
«¬ °¯ P t 0
9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả:
a) x1 D x2
b) x1 x2 D
c) D x1 x2
y'
f (x) 3ax 2 2bx c .
Đặt t x a . Khi đó: y ' g(t) 3at 2 2(3aD b)t 3aD 2 2bD c
a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 D x2
g(t )
0 có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 0 t2 P 0
x1, x2
x1 x2 D
b) Hàm số có hai cực trị
g(t )
thoả
0 có hai nghiệm t1, t2 thoả
' ' ! 0
°
®S 0
°¯ P ! 0
t1 t2 0
c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả D x1 x2
g(t )
0 có hai nghiệm t1, t2 thoả
' ' ! 0
°
®S ! 0
°¯ P ! 0
0 t1 t2
C) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I) KIẾN THỨC CƠ BẢN
x Cho hai đồ thị (C1): y f ( x ) và (C2): y g( x ) . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải
phương trình: f ( x ) g( x ) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
x Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: y f ( x ) ax3 bx 2 cx d với trục hoành bằng
số nghiệm của phương trình ax3 bx 2 cx d 0 (1)
II) CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Tìm điều kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.
Túm tt phng phỏp gii cỏc dng toỏn v hm s v th - Trng Th Thin
[www.toanmath.com]
ê f khoõng coự cửùc trũ
ô ư f coự 2 cửùc trũ
Phng trỡnh (1) cú 1 nghim duy nht
ôđ
ôơ yCẹ .yCT ! 0
2. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 2 im chung phõn bit.
ư f coự 2 cửùc trũ
Phng trỡnh (1) cú ỳng 2 nghim
0
(C) tip xỳc vi Ox đ
yCẹ .yCT
3. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 3 im chung phõn bit.
ư f coự 2 cửùc trũ
đ
yCẹ .yCT 0
Phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit
4. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng.
ư f coự 2 cửùc trũ
y .y 0
đ Cẹ CT
xCẹ ! 0, xCT ! 0
a. f (0) 0 (hay ad 0)
Phng trỡnh (1) cú 3 nghim dng phõn bit.
5. Tỡm iốu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh õm.
ư f coự 2 cửùc trũ
y .y 0
đ Cẹ CT
Phng trỡnh (1) cú 3 nghim õm phõn bit.
xCẹ 0, xCT 0
a. f (0) ! 0 (hay ad ! 0)
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
6. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành
một cấp số cộng.
a, b, c lập thành một cấp số cộng a c 2b
– Giả sử (1) có 3 nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng.
– Viết (1) dưới dạng: ax3 bx 2 cx d 0 a( x x1)( x x2 )( x x3 ) 0
a ª¬ x 3 ( x1 x2 x3 ) x 2 ( x1x2 x2 x3 x3 x1 )x x1x2 x3 º¼ 0
– x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng x1 x3 2 x2 x2
– Thế x2
b
vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
3a
b
là 1 nghiệm của (1).
3a
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
7. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành
một cấp số nhân.
a, b,c lập thành một cấp số nhân ac b2
– Giả sử (1) có 3 nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân.
– Viết (1) dưới dạng: ax3 bx 2 cx d 0 a( x x1)( x x2 )( x x3 ) 0
a ¬ª x 3 ( x1 x2 x3 ) x 2 ( x1x2 x2 x3 x3 x1 ) x x1 x2 x3 º¼ 0
– x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân x1x3
– Thế x2
3
x22 x23
d
là 1 nghiệm của (1).
a
d
vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
a
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được
D) TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I) KIẾN THỨC CƠ BẢN
x Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f ( x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 x0 ; f ( x0 )
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 x0 ; f ( x0 )
là:
y – y0
f c( x0 ).( x – x0 )
x Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y
trình sau có nghiệm:
f (x)
® f '( x )
¯
y0
f ( x0 )
f ( x ) và (C2): y
g( x ) tiếp xúc nhau là hệ phương
g( x )
(*)
g '( x )
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
x Nếu (C1) : y px q và (C2): y ax 2 bx c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau phương trình ax 2 bx c
px q có nghiệm kép.
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
II) CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y
f ( x ) tại điểm M( x0 ; y0 ) (C) :
x Nếu cho x0 thì tìm y0 f ( x0 ) .
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f ( x ) y0 .
x Tính yc f c( x) . Suy ra yc( x0 ) f c( x0 ) .
x Phương trình tiếp tuyến ' là: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 ) .
2. Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f ( x ) , biết ' có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tính f c( x0 ) .
(1)
x ' có hệ số góc k f c( x0 ) k
x Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 f ( x0 ) . Từ đó viết phương trình của '.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
x Phương trình đường thẳng ' có dạng: y kx m .
x ' tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f ( x ) kx m
(*)
® f '( x ) k
¯
x Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của '.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ' có thể được cho gián tiếp như sau:
+ ' tạo với trục hoành một góc D thì k tan a .
+ ' song song với đường thẳng d: y ax b thì k a
+ ' vuông góc với đường thẳng d : y ax b (a z 0) thì k
+ ' tạo với đường thẳng d : y ax b một góc D thì
ka
1 ka
1
a
tan D
3. Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f ( x ) , biết ' đi qua điểm A( x A ; yA ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y0 f ( x0 ), yc(x0 ) f c(x0 ) .
x Phương trình tiếp tuyến ' tại M: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 )
x ' đi qua A( x A ; yA ) nên: yA – y0 f c( x0 ).( x A – x0 ) (2)
x Giải phương trình (2), tìm được x0 . Từ đó viết phương trình của '.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
x Phương trình đường thẳng ' đi qua A( x A ; yA ) và có hệ số góc k: y – yA k( x – x A )
x ' tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f (x) k(x x A ) yA
®
¯ f '( x ) k
(*)
x Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến '.
4. Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f ( x ) , biết ' tạo với trục Ox một góc D.
x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k f c( x0 ) .
x ' tạo với trục Ox một góc D f c( x0 )
tana . Giải phương trình tìm được x0 .
x Phương trình tiếp tuyến ' tại M: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 )
5. Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f ( x ) , biết ' tạo với đường thẳng d: y ax b
một góc D.
Tóm tắt phương pháp giải các dạng toán về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k
x ' tạo với d một góc D
ka
1 ka
f c( x0 ) .
tan D . Giải phương trình tìm được x0 .
x Phương trình tiếp tuyến ' tại M: y – y0 f c( x0 ).( x – x0 )
6. Viết phương trình tiếp tuyến ' của (C): y f ( x ) , biết ' cắt hai trục toạ độ tại A và B sao
cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.
x Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k f c( x0 ) .
x 'OAB vuông cân ' tạo với Ox một góc 450 và O '.(a)
x S'OAB S OA.OB 2S .
(b)
x Giải (a) hoặc (b) tìm được x0 . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến '.
8. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1) : y f (x), (C2 ) : y g(x) .
a) Gọi ': y ax b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của ' và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của ' và (C2).
x ' tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
f (u) au b
(1)
°° f '(u) a
(2)
® g(v) av b
(3)
°
(4)
°¯ g '(v) a
x Từ (2) và (4) f c(u) gc(v) u h(v)
(5)
(6)
x Thế a từ (2) vào (1) b k(u)
x Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b. Từ đó viết phương trình của '.
b) Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung
của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
9. Tìm những điểm trên đồ thị (C): y f ( x ) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc
vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
x Gọi M ( x0 ; y0 ) (C). ' là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f c( x0 ) .
x Vì ' // d nên
f c( x0 ) kd
hoặc ' A d nên
f c( x0 )
1
kd
(1)
(2)
x Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0 . Từ đó tìm được M ( x0 ; y0 ) (C).
10. Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, ... tiếp tuyến với
đồ thị (C): y f ( x ) .
Giả sử d : ax by c 0 . M( xM ; yM ) d .
x Phương trình đường thẳng ' qua M có hệ số góc k: y k( x – xM ) yM
x ' tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
f ( x ) k ( x x M ) yM
®
¯ f '( x ) k
x Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)
(1)
(2)
( x – xM ). f c( xM ) yM (3)
x Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
11. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y
tuyến đó vuông góc với nhau.
Gọi M( xM ; yM ) .
x Phương trình đường thẳng ' qua M có hệ số góc k: y k( x – xM ) yM
f ( x ) và 2 tiếp
Tóm tắt phương pháp giải các dạng tốn về hàm số và đồ thị - Trương Thế Thiện
[www.toanmath.com]
x ' tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
f ( x ) k ( x x M ) yM
®
¯ f '( x ) k
(1)
(2)
x Thế k từ (2) vào (1) ta được:
f ( x)
( x – xM ). f c( xM ) yM
(3)
x Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .
x Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau f c( x1). f c( x2 ) –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh
(3) có 2 nghiệm phân biệt
thì ®
¯ f ( x1 ). f ( x2 ) 0
E) NHỮNG BÀI TỐN VỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THÌ HÀM SỐ
( xB x A )2 (yB y A )2
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB =
2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ': ax by c 0 :
d (M , d )
ax0 by0 c
a2 b2
Đặc biệt: + Nếu ': x a thì d (M, ')
x0 a
+ Nếu ': y b thì d (M, ')
y0 b
+ Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0 y0 .
2
1
AB2 .AC 2 AB.AC
2
x x
2 xI
4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I IA IB 0 ® A B
¯ y A yB 2 yI
3) Diện tích tam giác ABC:
S=
1
AB.AC.sin A
2
5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ' ® AB A ' (I là trung điểm AB).
¯I '
x
xA
yA
x
xA
yA
Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ® B
¯ yB
+ A, B đối xứng nhau qua trục Ox ® B
¯ yB
6) Khoảng cách giữa đường thẳng ' với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một
điểm M ' và một điểm N (C).
7) Điểm M ( x; y) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x, y đều là số nguyên.
THẦY THIỆN (3T) CHUYÊN LUYỆN THI 9 VÀO 10
LUYỆN THI MÔN TOÁN CÁC KHỐI 10,11,12- ONLINE VÀ OFFLINE
TẠI CÁC CƠ SỞ TẠI BÁCH KHOA, ĐƯỜNG LÁNG, YÊN HÒA
