PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRINH
BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
I. Dạng toán về giải và biểu diễn nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
trên trục số
I.1. Dạng toán về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
(a) Phương pháp giải
Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta sử dụng các phép biến đổi
tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, quy tắc nhân).
Ta có
0ax b ax b
+ > ⇔ > −
(*)
Nếu
0a >
thì (*)
⇔
b
x
a
> −
.
Nếu
0a <
thì (*)
⇔
b
x
a
< −
.
Đối với các dạng khác (

0, 0, 0ax b ax b ax b+ < + ≥ + ≤
) ta cũng thực hiện
tương tự.
Các bài bập sau là minh họa cho việc giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.
(b) Ví dụ minh họa
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
(a)
− >
3 2 7x
; (b)
− ≤3 0x
;
(c)
− ≤5 2 1x
; (d)
− − <2 1 3x
.
Hướng dẫn Đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc biến
đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân) để suy ra nghiệm của bất
phương trình.
Lời giải. (a)
− >
3 2 7x 3 7 2x
⇔ > +
3 9x
⇔ >
3x
⇔ >
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

{ }
/ 3 S x x
= >
(b)
− ≤3 0x

0x
⇔ ≥
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 0S x x
= ≥

(c)
− ≤5 2 1x

2 1 5x
⇔ − ≤ +

2 6x⇔ − ≤
⇔
3x ≥ −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 3S x x= ≥ −
(d)
− − <2 1 3x

2 3 4x⇔ − < +

2 4x
⇔ − <

⇔

2x > −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 2S x x= > −
Ngoài việc học sinh giải được bất phương trình thì việc biểu diễn nghiệm
của bất phương trình trên trục số là một kĩ năng rất quan trọng nên trong phần tiếp
theo chúng tôi đưa thêm một số ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phương
trình trên trục số.
I.2. Dạng toán về giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất
một ẩn trên trục số
Bài 2. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
(a)
4 8x − < −
; (b)
1
2
3
x >
;
(c)
3 1
2

4
x −
≥
; (d)
6 4
1
5
x−
≥
.
Hướng dẫn. Ở câu (c) và (d) học sinh sẽ lúng túng hoặc không giải được nên giáo
viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu) về
dạng
0ax b+ >
hoặc
0, 0, 0ax b ax b ax b+ < + ≥ + ≤
, rồi áp dụng các quy tắc đã
học để tìm nghiệm. Khi biểu diễn nghiện trên trục số cần lưu ý các trường hợp
x

lớn hơn “>” và
x
lớn hơn hoặc bằng “
≥
”, hoặc
x
nhỏ hơn “<” và
x
nhỏ hơn hoặc
bằng “

≤
”.
Lời giải. (a)
4 8x − < −

6x⇔ >
8 4x⇔ < − + 4x⇔ < −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 4S x x= < −
.
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
)
-4
(b)
1
2
3
x >

6x
⇔ >
Vậy nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 6S x x
= >
Biểu diễn nghiệm trên trục số

(c)
3 1
2
4
x −
≥

3 1 2.4
4 4
x −
⇔ ≥

3 1 8x
⇔ − ≥

3 9x
⇔ ≥

⇔
3x ≥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 3S x x= ≥
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(d)
6 4
1
5
x−
≥

6 4 1.5
5 5
x−
⇔ ≥

6 4 5
4 1
x
x
⇔ − ≥
⇔ − ≥ −

⇔

1
4
x ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
/
4
S x x
 
= ≤
 
 
.
0
[

3
.
0
(
6
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(c) Bài tập tự luyện
Bài 3. Giải các bất phương trình và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a)
2 4x − >
; (b)
5 7x + <
; (c)
3 6x + > −
;
(d)
1
2
3
x− < −
; (e)
2
4
3
x > −
; (f)
3
6
5
x− >

;
(g)
2 4
3
3
x +
<
; (h)
1 2
4
3
x−
>
; (i)
4 9
2
5 5
x + >
.
ĐS: (a).
6x >
; (b).
2x <
; (c).
9x > −
; (d).
6x >
; (e).
6x > −
; (f).

10x < −
;
(g).
5
2
x <
; (h).
11
2
x < −
; (i).
1
2
x >
.
II. Dạng toán về bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất một ẩn
(a) Phương pháp giải
Để học sinh giải tốt các dạng này giáo viên cần cho học sinh nắm vững các qui
tắc biến đổi tương đương. Ngoài ra học sinh cần nắm được các quy tắc nhân chia
đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, qui đồng mẫu….
Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này.
(b) Ví dụ minh họa
Bài 4. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a)
3 2 5x x< +
; (b)
4 2 5 6x x− − < −
.
Hướng dẫn. Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa bất
phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó suy ra nghiệm

của bất phương trình.
Lời giải. (a)
3 2 5 3 2 5x x x x
< + ⇔ − <
.
0
]

⇔
5x <
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
{ }
/ 5S x x= <
Biểu diễn nghiệm trên trục số


(b)
4 2 5 6 4 5 6 2x x x x− − < − ⇔ − − > − +

9 4x
⇔ − < −
⇔
9
4
x >
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
4
/
9

S x x
 
= >
 
 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
Bài 5. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a)
2 3
( 2)
3 2
x
x
−
− <
;
(b)
3 2
2 3
x x− −
≤
;
(c)
3( 1) 2
1
4 3
x x− +
+ ≥
;
(d)

1 1
1 8
4 3
x x− +
− > +
.
Hướng dẫn. Ở bài toán này học sinh không thể nhận dạng được ngay đây là bất
phương trình bậc nhất một ẩn nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy
.
0
(
.
0
)
5
đồng 2 vế của bất phương trình về cùng mẫu dương rồi khử mẫu) các bất phương
trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Lời giải. (a) Quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình
2 3
( 2)
3 2
x
x
−
− <
ta được

2( 2).2 3.( 3)
3.2 3.2
x x− −

<

4 8 3 9x x
⇔ − < −

⇔
1x < −
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ }
/ 1S x x= < −
.
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(b) Tương tự như câu (a) ta quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình rồi khử mẫu.
Ta có
3 2
2 3
x x− −
≤

3(3 ) 2( 2)
3.2 2.3
x x− −
⇔ ≤


9 3 2 4x x⇔ − ≤ −


5 13x⇔ − ≤ −

⇔

13
5
x ≥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
13
/
5
S x x
 
= ≥
 
 

Biểu diễn nghiệm trên trục số
(c) Ta cần quy đồng mẫu vế trái của bất phương trình, sau đó quy đồng mẫu hai vế
.
0
[
.
0
)
-1

3( 1) 2
1
4 3
x x− +
+ ≥

⇔
3 3 4 2
4 3
x x− + +
≥

3(3 1) 4( 2)
3.4 4.3
x x+ +
⇔ ≥

9 3 4 8x x
⇔ + ≥ +

⇔
5 5x ≥
suy ra
1x ≥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
{ }
/ 1S x x= ≥
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(d) Ở bài này để tránh mắc sai lầm khi giải giáo viên nên cho học sinh quy đồng
mẫu chung từng vế của bất phương trình sau quy đồng mẫu chung
2
vế.

1 1
1 8
4 3

x x− +
− > +

⇔

1 4 1 24
4 3
x x− − + +
>

⇔

5 25
4 3
x x− +
>

⇔

3( 5) 4( 25)
3.4 4.3
x x− +
>

3 15 4 100x x
⇔ − > +
115x
⇔ < −
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

{ }
/ 115S x x
= < −

Biểu diễn nghiệm trên trục số
Bài 6. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a)
2
( 1) ( 3),x x x− ≤ +
(b)
( 2)( 2) ( 4),x x x x− + > −

(c)
2
( 2) 2 ( 2) 4,x x x+ < + +
(d)
( 2)( 4) ( 2)( 8) 26.x x x x+ + ≥ − + +

.
0
[
1
)
-115
.
0
Hướng dẫn. Dùng hằng đẳng thức để khai triển.
Nhân đa thức với đa thức, đặt nhân tử chung.
Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, nhân.
Lời giải. (a) Dùng hằng đẳng thức khai triển ở vế trái và áp dụng quy tắc nhân đa

thức với đa thức ở vế phải của bất phương trình ta có

2 2 2
( 1) ( 3) 2 1 3x x x x x x x− ≤ + ⇔ − + ≤ +

5 1x⇔ − ≤ −
⇔
1
5
x ≥
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
{ }
= ≥
1
/
5
S x x
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(b) Tương tự câu (a) ta có
2 2
( 2)( 2) ( 4) 4 4x x x x x x x− + > − ⇔ − > −

4 4x⇔ >

⇔

1x >
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

{ }
/ 1S x x= >
.
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(c) Khai triển hằng đẳng thức và nhân đa thức với đa thức ta có

2 2 2
( 2) 2 ( 2) 4 4 4 2 4 4x x x x x x x+ < + + ⇔ + + < + +
⇔
2
0x− <
.
Ta nhận thấy
2
x
là một số không âm nên
2
x−
là một số không dương, do đó bất
phương trình luôn có nghiệm với mọi
\ {0}x ∈ ¡
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{ / \ {0}}S x x= ∈ ¡
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(d) Tương tự câu trên ta có
.
0
(
1

.
0
[
.
0