Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2016 2017 THPT chuyên quảng nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM
NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 : (2 điểm ).
 16 y

a/Cho A  

 x  xy



17 x   1
1 

 : 
 với x  0, y  0, x  y .
xy  y   x
y 

Rút gọn biểu thức A sau đó tính giá trị biểu thức A biết x( x  2 y)  8 y2
b/ Hãy tìm ba bộ số nguyên dương a,b và c sao cho a  b  c thỏa mãn đẳng thức
sau : abc  2(a  b  c) .
Câu 2 : (2 điểm ).
a/ Giải phương trình sau 2 x2  2 x  1  2 x 2 x2  1  2 x2  1

 x2  ( x  y) y  2  9 y
b/Giải hệ phương trình 
y
 x y7  2
x 2


Câu 3 : (1 điểm ).
Cho phương trình x2  2(m  2) x  m2  m  1  0 (m là tham số ).Hãy xác định m để
phương trình có nghiệm .Gọi hai nghiệm là x1 , x2 (kể cả trùng nhau ),tìm giá trị
nhỏ nhất của C  x12  x22  x1 x2 .
Câu 4 : (2 điểm ).
Cho hình bình hành ABCD có góc A tù và AC=AB ,gọi H là hình chiếu của điểm
C lên AB .Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE ,gọi F là điểm
đối xứng với D qua E ,gọi G là điểm đối xứng với A qua B .
a/Chứng minh rằng EC là tia phân giác của góc DEB.
b/ Chứng minh tam giác CFG cân .


Câu 5 : (2 điểm ).
Cho đường tròn ( O) đường kính AB ,dây CD vuông góc với AB tại H (H nằm
giữa O và A ).Điểm E bất kỳ trên cung nhỏ BD ,gọi M là hình chiếu của điểm B
lên CE .
a/HM song song với AE .
b/Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN đi qua trung điểm N của
đoạn AE .
Câu 6 : (1 điểm ) Cho ba số thực a,b,c sao cho 0  a  1;0  b  1;0  c  1 .
Chứng minh rằng a  b  c  3abc  2(ab  bc  ca)
Bài giải
Câu 1 : (2 điểm ).

 16 y

a/Cho A  

 x  xy



17 x   1
1 

 : 
 với x  0, y  0, x  y .
xy  y   x
y 

Rút gọn biểu thức A sau đó tính giá trị biểu thức A biết x( x  2 y)  8 y2
b/ Hãy tìm ba bộ số nguyên dương a,b và c sao cho a  b  c thỏa mãn đẳng thức
sau : abc  2(a  b  c)
Bài làm
 16 y

a.Ta có A  

 x  xy



17 x   1
1 


 : 

xy  y   x
y 

 16 y  17 x   x  y  16 y  17 x
.

:

 xy ( x  y )  
x y
xy 

 

Ta có x( x  2 y)  8 y 2  ( x  2 y)( x  4 y)  0 (1) .
Theo điều kiện đề bài ta suy ra x+4y>0 nên từ (1) ta có x=2y .


A

16 y  17 x 16 y  34 y

 18 .
x y
2y  y

b. Ta có abc  2(a  b  c) 2 (2) .Từ (2) ta suy ra một trong ba số a,b,c phải có một số

bằng 2 .Gỉa sử a=2 ,lúc đó ta có b+c+1=bc nên (c-1)(b-1)=2 (3) . Mà ta có
b 1  1
b  2
.

b  c  b 1  c  1 nên từ (3) ta có 
c  1  2
c  3

Vậy ba bộ số nguyên dương a,b và c sao cho a  b  c thỏa mãn đẳng thức
abc  2(a  b  c) là (2;2;3).
Câu 2 : (2 điểm ).
a/ Giải phương trình sau 2 x2  2 x  1  2 x 2 x2  1  2 x2  1 (1)
 x 2  ( x  y ) y  2  9 y (1)
b/Giải hệ phương trình 
y
(2)
 x y 7  2
x 2


Bài làm
a. Đặt a  2 x2  1; b  2 x(a  1) .Phương trình (1) tương đương :
(a-b)(a+1)=0 (2) . Mà a  1  1  a  1  0 .Từ (2) suy ra a=b .Lúc đó ta có
2 x 2  1
1
2x2  1  2 x  
x
.
x


0
2


Vậy nghiệm của phương trình là x 

1
.
2

b. Với y =0 thay vào hệ phương trình không thỏa mãn .
Với y  0 .Từ phương trình (1) ta có x  y  9 
Từ phương trình (2) ta có x  y  7 
Từ (3) và (4) suy ra 7 

y
(4) .
x 2
2

y
x2  y

9

(5) .
x2  2
y

x2  2
(3) .
y


Đặt t 

x2  2
1
 0 nên (5) tương đương 9  t  7   t  1  x 2  2  y .
t
y

  x  3

x  2  y
x  x  6  0
 y  11
Ta có 
.


 x  2
 x y 8
 y  x 8

  y  4
2

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (-3;11) ;(2;4).
Câu 3 : (1 điểm ).
Cho phương trình x2  2(m  2) x  m2  m  1  0 (m là tham số ).Hãy xác định m để
phương trình có nghiệm .Gọi hai nghiệm là x1 , x2 (kể cả trùng nhau ),tìm giá trị
nhỏ nhất của C  x12  x22  x1 x2 .
Bài giải
Ta có để phương trình có nghiệm thì  '  3m  3  0  m  1 .Theo định lí vi-ét ta
có x1  x2  2(m  2); x1 x2  m2  m  1 .Khi đó
13  117 117

.
C  x  x2  x1 x2  ( x1  x2 )  3x1 x2  m  13m  13   m   

2
4
4

2

2
1

2

2

2

Giá trị nhỏ nhất của C  x12  x22  x1 x2 là

117
13
khi m 
4
2


Câu 4 : (2 điểm ).
Cho hình bình hành ABCD có góc A tù và AC=AB ,gọi H là hình chiếu của điểm
C lên AB .Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE ,gọi F là điểm
đối xứng với D qua E ,gọi G là điểm đối xứng với A qua B .
a/Chứng minh rằng EC là tia phân giác của góc DEB.
b/ Chứng minh tam giác CFG cân .

C

D

G
B

H

E

A

F

Câu 5 : (2 điểm ).
Cho đường tròn ( O) đường kính AB ,dây CD vuông góc với AB tại H (H nằm
giữa O và A ).Điểm E bất kỳ trên cung nhỏ BD ,gọi M là hình chiếu của điểm B
lên CE .
a/HM song song với AE .
b/Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN đi qua trung điểm N của
đoạn AE .
Bài giải


a. ACBE nội tiếp => AEC  ABC (1)
Mặt khác CHMB nội tiếp => HBC  HMC (2).
Từ (1), (2) => AEC  HMC nên HM song song với AE .
b. Gọi K là giao điểm AE, CD. Ta có AC=AD => AE là phân giác góc CED =>
tam giác NDM cân tại N.Gọi I là giao điểm của NE, DM.
Theo câu a =>

HK IM
ME
HK ME
mà



HD DM ME  ED
HC MC

=> ME+ED=MC (3) .
Trên tia đối tia DE lấy điểm Q sao cho QD=DE, trên đoạn CM lấy điểm P sao
cho ME=MP => DM là đường trung bình của tam giác EPQ .

Xét hai tam giác QAD và PAC ta có :
AC=AD,
QDA  ACP ,


Theo (3) => QD=DE=CM−ME=CM−PM=CP
=> △QAD=△PAC (c-g-c) .
Nên tam giác APQ cân và APC  AQD => AQEP nội tiếp
=> ∠QAP=∠DNM => tam giác cân QAP đồng dạng với tam giác cân DNM.
Mà DM//QP => NM//AP .
Lúc đó MN là đường trung bình của tam giác AEP => đường tròn ngoại tiếp tam
giác DEN đi qua trung điểm N của đoạn AE .
Câu 6 : (1 điểm ) Cho ba số thực a,b,c sao cho 0  a  1;0  b  1;0  c  1 .
Chứng minh rằng a  b  c  3abc  2(ab  bc  ca)
Vì

Bài làm
0  a  1;0  b  1;0  c  1 nên ta có :

(1  a)(1  b)  0  1  ab  a  b  c  abc  ac  bc .

Tượng tự ta được các bất đẳng thức:
(1  b)(1  c)  0  1  bc  b  c  a  abc  ab  ac .
(1  c)(1  a)  0  1  ac  a  c  b  abc  ab  bc .

Cộng các bất đẳng thức này ta được: a  b  c  3abc  2(ab  bc  ca) .Vậy bài toán
được chứng minh.