Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 THPT chuyên lê quý đôn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Đề chính thức
Môn: TOÁN(CHUYÊN)
Ngày thi: 05/06/2015
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho số thực x > 0 thỏa mãn điều kiện: x 2 
Tính giá trị các biểu thức A  x 3 

1
x

3

1
x2

 14

và B  x 5 

1
x5

b) Rút gọn biểu thức A  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5

Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x 2  5y 2  z 2  2(y  z)  4xy  1

b) Giải hệ phương trình:









1
1
 2  2
y
x
1
1
 2  2
x
y

Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh phân số

21n  4
là tối giản với mọi n nguyên dương.
14n  3

b) Giải phương trình x 2  mx  n  0 , biết rằng phương trình có hai nghiệm nguyên dương
phân biệt và m, n là hai số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung
của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên
với (O’; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt
phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’; R’) tại M (điểm M khác điểm I ).
a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh KB2 = KI.KJ ; từ đó suy ra
KB = KD.
b) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD
Bài 5: (1 điểm)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

a3
a 2 + ab + b

+
2

b3
b 2 + bc + c

+
2

c3
c 2 + ac + a 2



a+b+c
3

GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
2

1
1

a) Từ giả thiết suy ra:  x +   16  x +  4 (do x > 0)
x
x


1
1 
1  
1  
1

 4.14   x +  x 2 + 2  =  x 3 + 3  +  x +   A  x 3 + 3  52
x 
x
x


x  
x  
1
1 
1  
1  
1

 14.52   x 2  2  x 3  3    x 5  5    x    B  x 5  5  724
x
x

x 
x  
x  
b) Ta chứng minh được

X + X2  Y
X ± Y=
±
2

X  X2  Y
, với
2

X  0; Y  0; X 2  Y



8  64  40  8 5
8  64  40  8 5 

A  8  40  8 5  8  40  8 5 



2
2




8  64  40  8 5
8  64  40  8 5 





2
2


 2.

8  24  8 5
8 2 5 2
 2.
 12  4 5 

2
2



10  2



2

 10  2

Bài 2: (2 điểm)
a) BĐT  x 2 + 5y 2 + z 2 + 2y  2z  4xy  1
Vì x, y, z nguyên nên: x 2 + 5y 2 + z 2 + 2y  2z  4xy  2

 x 2  4xy + 4y 2 + y 2 + 2y + 1 + z 2  2z + 1  0
2

2

  x  2y  +  y + 1 +  z  1

2

 x  2y=0
x =  2



 0   y + 1=0   y=  1 .
 z  1=0
 z =1



1
1
b) Điều kiện: x  ; y 
2
2

Từ hệ suy ra

1
1
1
1
 2 
 2
y
x
x
y

Nếu x  y 

1
1



x
y

2

1
1
 2
y
x

Nếu x  y 

1
1


x
y

2

1
1
 2
y
x

(1)

VT(1) > VP(1)

VT(1) < VP(1)

nên (1) chỉ xảy ra khi x = y thế vào hệ ta giải được x = 1, y = 1


Bài 3: (2 điểm)
a) Gọi d(d  1) là ước chung lớn nhất của hai số  21n  4  và 14n  3

 21n  4  kd ; 14n  3  ld với k, l là những số nguyên dương
 7n  1   k  l  d  21n  3  3(k  l)d

 1  (21n  4)  (21n  3)  kd  3(k  l)d  (3l  2k)d
Vì  3l  2k  và d là các số nguyên dương  3l  2k  d  1
Vậy phân số

21n  4
tối giản
14n  3

b) Gọi x1,x 2 là các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho, giả sử  x1  x 2  . Theo hệ
thức Viet: x1 + x 2 = m; x1.x 2 = n .
Do n là số nguyên tố nên x1  1; x 2  n
Từ x1 + x 2 = m  1  n = m  n; m là hai số tự nhiên liên tiếp  n = 2; m = 3.
Khi đó phương trình là x 2  3x  2  0 và có hai nghiệm x1  1; x 2  2
Bài 4: (3 điểm)
a) Chứng minh KB2 = KI.KJ ; từ đó suy ra KB = KD.

  A, O, O’ thẳng hàng.
Do AO và AO’ là hai tia phân giác của BAC
Xét:  KBI và Δ KJB

 chung
 (góc tạo bởi tia tt và dây và góc nt cùng chắn cung BI) ; BKI
Có: J1  B
1
 Δ KBI ∽  KJB (g.g) 

KI
KB

 KB2  KI.KJ (1)
KB
KJ

Tương tự:  KDI ∽  KJD 

KI
KD

 KD 2  KI.KJ (2)
KD
KJ

Từ (1) và (2)  KB  KD .

B
K

1

D

1
2

I
1

A

1

O

H

O'

J

C

b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.

M

b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.

B
K

1

D

1

M

2

I
1

A
O

O'

H

1

J

C

2

Xét tam giác ABO’ vuông tại B, có: AB  AH.AO '

(3)

Xét  ABI và  AMB có:

M
 (góc tạo bởi tia tt và dây và góc nt cùng chắn cung BI); BAI
 chung
B
1
1
  ABI ∽  AMB (g.g) 

AB AI

 AB2  AM.AI (4).
AM AB

Từ (3),(4)  AI.AM  AH.AO' 

  AHI ∽  AMO' ( vì

AH AM

.
AI AO'

AH AM 

; MAO' : chung ).
AI AO'

  M
  4 điểm I, H, M, O’ cùng thuộc một đường tròn.
H
1
2
c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD
Do: OD // O’B (cùng  AB) 

AO OD R
OI
OI

 

AO' O'B R' O'M O'I

nhưng OI cắt O’I và A, I, M thẳng hàng  OI // O’M.

 
 DOI
BO'M .

  1 DOI
  1 sđ DI
 và BIM

  1 BO'M
  1 sđ BM

mà BDI

2
2
2
2
  BIM
  IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BID
 BDI
Hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BID .
Bài 5 (1,0 điểm)
Ta có:



a 3  b3
a 2 + ab + b 2

a3

+

b3  c3
b 2 + bc + c 2

b3

+

c3  a 3
c2 + ac + c 2

c3

b3

= a  b +  b  c +  c  a  = 0

c3

a3






a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2

Vì thế bất đẳng thức đã cho tương đương với:


a 3 + b3
2

a + ab + b

+
2

b3 + c3
2

b + bc + c

+
2

c3 + a 3
2

c + ac + a

2



2 a + b + c
3

a 2  ab + b 2

1
a 2  ab + b 2 1
2
Vì 2
  2  a  b   0 (đúng)   a  b  2

 a  b
a + ab + b 2 3
a + ab + b 2 3
hay

a 3  b3
2

a  ab  b

2



1
 a  b  (1) đẳng thức xảy ra khi a = b
3

b3  c3

1
c3  a 3
1
Tương tự 2
  b  c  (2) và 2
  c  a  (3)
2
2
3
3

b  bc  c
c  ac  a
Cộng (1), (2), (3) suy ra

a3
a 2 + ab + b

+
2

b3
b 2 + bc + c

+
2

c3
c 2 + ac + a 2

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát



a+b+c
3


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1