Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2015 2016 sở GDĐT ninh thuận (THPT chuyen)

ÁO DỤC VÀ ĐÀ
O TẠO KỲ THI TUY
ỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUY
ÊN
SỞ GI
GIÁ
ĐÀO
TUYỂ
CHUYÊ
ẬN
NINH THU
THUẬ
NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày: 11/ 06 / 2015
ỨC
THỨ
CHÍÍNH TH
ĐỀ CH
ÁN
Môn thi: TO
TOÁ
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ::
ĐỀ
(Đề này gồm 01 trang)
Bài 1: (1,0 điểm)
Giải phương trình: x −

1
1

= x+
x
x

Bài 2: (2,0 điểm)
Cho hàm số y = (m – 2)x + m2 – 1 (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm
m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân.
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho hai số a, b khác 0 và khác 1, thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng :
a
b
2(b − a)
− 3
= 2 2
b −1 a −1 a b + 3
3

Bài 4: (4,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và At là tiếp tuyến với nửa đường
tròn tại A. Từ một điểm P trên tia At vẽ tiếp tuyến PM tới nửa đường tròn (M là tiếp điểm
M ≠ A ).
a) Chứng minh rằng: OP // BM.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh 5
điểm A, P, O, M, N cùng nằm trên một đường tròn.
c) Khi AP = x (x > 0), hãy tính diện tích của tứ giác có các đỉnh là P, O, M, N theo R
và x.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M=

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3
2

-------- Hết --------


ẢI
GỢI Ý BÀI GI
GIẢ
Bài 1: (1,0 điểm)
Giải phương trình: x −

1
1
= x+
x
x

1
1
= t+
2
t

t
4
3
2
2
2
2
⇔ t − t − t − 1 = 0 ⇔ ( t + 1)( t − 1) − t ( t + 1) = 0 ⇔ ( t + 1)( t 2 − t − 1) = 0 ⇔ ( t 2 − t − 1) = 0
x = t (t > 0) , phương trình trở thành: t 2 −

Đặt

1+ 5
1− 5
hoaë c t =
(loại)
2
2
1+ 5
1+ 5
3+ 5
Với t =
⇒ x =
⇒x=
2
2
2
⇒t=

Bài 2: (2,0 điểm)

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Ta có:
m2 − 1
1 − m2
1 − m2
y=0⇒x =
vaø OA=
=
m−2
m−2
m−2

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Oy. Ta có:
x = 0 ⇒ y = m 2 − 1 vaø OB= m 2 − 1
⎧m 2 − 1 ≠ 0
⎧m 2 − 1 ≠ 0
⎪
⎧m − 1 ≠ 0
⎪
Điều kiện để ∆OAB caâ n ⇔ ⎨
⇔ ⎨ m2 − 1
⇔
⎛ 1
⎞
⎨ 2
= m2 −1
⎩OA = OB
⎪
⎪ m − 1 ⎜⎜ m − 2 − 1 ⎟⎟ = 0
⎝
⎠

⎩
⎩ m−2
⎧m 2 − 1 ≠ 0
⎧m ≠ ±1
⎧⎪m ≠ ±1
⎪
⎪
⇔⎨ 1
⇔⎨
⇔ ⎨ ⎡ m − 2 = −1 ⇔ m = 3
−
1
=
0
⎪⎩ m − 2 = 1 ⎪ ⎢
⎪ m−2
⎩
⎩⎣m − 2 = 1
2

Bài 3: (2,0 điểm)
Từ a + b = 1 ⇒ a = 1 − b ; b =1 − a
Khi đó:

a
b
−(b − 1)
a −1
−1
1

− 3
=
+
= 2
+ 2
2
2
b − 1 a − 1 ( b − 1) ( b + b + 1) ( a − 1) ( a + a + 1) b + b + 1 a + a + 1
3

=

−a 2 − a − 1 + b 2 + b + 1
(b − a)(b + a) + (b − a)
= 2 2
2
2
2
( a + a + 1)( b + b + 1) a b + a b + a 2 + ab2 + ab + a + b2 + b + 1

=

(b − a)(b + a + 1)
2(b − a)
= 2 2
2
2
2
2
a b + ( a b + ab ) + ( a + ab ) + (a + b) + b + 1 a b + ab + a + b + 2

=

2(b − a)
2(b − a)
= 2 2
a b + b(a + b) + a + 2 a b + 3

2

2

2

2

2


Bài 4: (4,0 điểm)
a) Do PA, PM là hai tiếp tuyến ⇒ PA = PM và tia PO
� ⇒ PO cũng là đường cao của
là phân giác của APM
tam giác cân PAM ⇒ PO ⊥ AM tại H và HA = HM
� = 900 (góc nội tiếp chắn nủa đường tròn)
Lại có AMB
⇒ BM ⊥ AM . Suy ra PO // BM
b) Ta có:
� = NOP
� (so le trong) ; APO

� = NOP
� (so le trong) ,
MNO

t
P

x

N

M

� = MPO
� , suy ra MNO
� = MPO
� ⇒ Tứ giác
H
mà APO
MNPO nội tiếp.
� = PMO
� = 90 0 ⇒ Tứ giác PAOM nội tiếp
Lại có: PAO
A
B
O
đường tròn đường kính PO.
Vậy 5 điểm A, P, O, M, N cùng nằm trên đường tròn
đường kính PO.
� = 900 nên PAON là hình chữ nhật

c) Do N nằm trên đường tròn đường kính PO ⇒ PNO
⇒ PN = OA = OB, do đó POBN là hình bình hành ⇒ PO = NB
Trong tam giác vuông PAO: PO = R 2 + x 2 = NB (định lý Py ta go) ;
AH.PO = PA.OA ⇒ AH =

PA.OA
R.x
2R.x
=
= MH ⇒ AM =
2
2
PO
R +x
R 2 + x2

4R 2 x 2
4R 4
2R 2
=
=
R 2 + x2
R 2 + x2
R 2 + x2
2R 2
x2 − R2
Suy ra MN = NB − BM = R 2 + x 2 −
=
R2 + x2
R2 + x2

Khi đó BM = AB2 − AM 2 = 4R 2 −

Vậy diên tích MNPO là:
S=

⎞
1
1 ⎛ x2 − R2
Rx
Rx 3
(đvdt)
(NM + PO).MH = ⎜
+ R 2 + x2 ⎟ ⋅
= 2
2
2
2
2 ⎝ R 2 + x2
R + x2
⎠ R +x

Bài 5: (1,0 điểm)
Từ abc = 1 ⇒ a2b2c2 = 1
Đặt x = a2 ; y = b2 ; z = c2 ⇒ x, y, z > 0 và xyz = 1.
Ta có

(

x− y

)

2

≥ 0 ⇔ x + y ≥ 2 xy ;

(

)

2

y − 1 ≥ 0 ⇔ y + 1 ≥ 2 y , đẳng thức xảy ra khi

x = y = 1. Từ đó ta có:
1
1
1
1
1
1
= 2
=
≤
= ⋅
2
2
2
a + 2b + 3 ( a + b ) + ( b + 1) + 2 ( x + y ) + ( y + 1) + 2 2 xy + 2 y + 2 2 xy + y + 1

2

Tương tự:

1
1
1
1
1
1
≤ ⋅
; 2
≤ ⋅
2
2
b + 2c + 3 2 yz + z + 1
c + 2a + 3 2 zx + x + 1
2


⎞
1⎛
1
1
1
Suy ra: M ≤ ⎜
+
+
⎟=
2 ⎜⎝ xy + y + 1

yz + z + 1
zx + x + 1 ⎟⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
1⎜
1
1
1
⎟
=
+
+
2 ⎜ xy + y + 1 1 + 1 + 1 1 + x + 1 ⎟
⎜
⎟
x
xy
y
⎝
⎠
⎞ 1
xy
y
1⎛
1
= ⎜
+
+

⎟=
2 ⎜⎝ xy + y + 1
y + 1 + xy 1 + xy + y ⎟⎠ 2

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1, suy ra a = b = c = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M bằng

1
⇔ a = b = c = 1⋅
2

-------- Hết --------

ần Hồng Hợi
GV: Tr
Trầ
(Trường THCS Lê Đình Chinh – Ninh Thuận)


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào
lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những
năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh
giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1