Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2014 2015 sở GDĐT nam định

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2014 – 2015
Môn: TOÁN (chung)
Thời gian làm bài: 120 phút.
( Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1: (1,5 điểm):
x−2
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức
2) Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 10cm.

P = x2 + x − 4 + 2

x= 2

3) Cho biểu thức
. Tính giá trị của P khi
.
2
4) Tìm tọa độ của điểm thuộc parbol y = 2x biết điểm đó có hoành độ x = 1.
Bài 2: (1,5 điểm):

Q=


a + 2 a +1  1
2 a
×
−
÷
a −1
 a −1 a a − a + a −1 

a ≥ 0; a ≠ 1
Cho biểu thức
với
.
1) Rút gọn biểu thức Q.
2) Chứng minh rằng khi a > 1 thì giá trị biểu thức Q nhỏ hơn 1.
Bài 3: (2,5 điểm):
x 2 − 2 x + 2 − m = 0 (∗)

1) Cho phương trình
( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm.
x1; x2
b) Giả sử
là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của bi ểu
thức:
A = x12 x2 2 + 3 ( x12 + x2 2 ) − 4

2) Giải hệ phương trình:

 2 x3 − 1 = 5 y − 5 x
 3
3
 x + y = 1.

.

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 4: (3,0 điểm): Cho hai đường tròn
nhau tại A. Đường thẳng

O1O2

cắt

( O1; R1 )

( O1; R1 )

và

và

( O2 ; R2 )

( O2 ; R2 )

thẳng đi qua trung điểm D của BC vuông góc với BC cắt
1) Chứng minh C là trực tâm tam giác APQ.

với

R1 > R2

tiếp xúc trong với

lần lượt tại B và C khác A. Đường

( O1; R1 )

tại P và Q.

DP 2 = R12 − R2 2 .

2) Chứng minh
D1 ; D2 ; D3 ; D4
3) Giả sử
lần lượt là hình chiếu vuông góc của D xuống các đường thẳng
DD1 + DD2 + DD3 + DD4 ≤

BP; PA; AQ; QB
. Chứng minh
Bài 5: (1,5 điểm):
1) Giải phương trình

(

x + 2 − x −1

)(

1
( BP + PA + AQ + QB )
2

)

2 − x + 1 = 1.

(

)

2 y 2 + yz + z 2 + 3 x 2 = 36

2) Xét các số thực x, y, z thỏa mãn
nhỏ nhất của biểu thức

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

A = x + y + z.

Hế t

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 3:

2)

2 x3 − 1 = 5 y − 5 x ( 1)
 3
3
 x + y = 1( 2 )

trừ từng vế tương ứng của (1) và (2) ta được
x = y
x3 − y 3 + 5 ( x − y ) = 0 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 5 ) = 0 ⇔  2
2
 x + xy + y + 5 = 0(3)
2

PT (3)

1  3

⇔  x + y ÷ + y2 + 5 = 0
2  4



1 34
x = y ⇒ 2x = 2 y = 1 ⇒ x = y =
=
2
2
3

Với

vô nghiệm

3

3

34

( x; y ) = 
Vậy hpt có nghiệm duy nhất

 2

3

;

.

4
÷
2 

Bài 4:
1) PBQC là hình thoi => QC // BP
CM // BP (cùng vuông góc với PA)
=> Q, C, M thẳng hàng
Tam giác APQ có 2 đường cao AD và QM
cắt nhau tại C
=> C là trực tâm tam giác APQ
2) c/minh DM là tiếp tuyến tại M của (O2)
Cminh được PD2 = DB.DA = DC.DA = DM2
= O2D2 – O2M2 = O2D2 – R22
Ta đi cminh O2D = R1
AC BC AB 2 R1
O2 D = O2 A + CD =
+
=
=
= R1
2
2
2
2
Ta có
Vậy ta có đpcm.
1
DD1 + DD2 + DD3 + DD4 ≤ ( BP + PA + AQ + QB )
2

c)

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dễ dàng cminh được

DD1 = DD4 ; DD2 + DD3 ; BP = QB; PA + AQ

DD1 + DD2 + DD3 + DD4 ≤

Nên
Ap dụng BĐT Cô-si ta có

1
( BP + PA + AQ + QB ) ⇔ 2 ( DD1 + DD ) 2 ≤ PB + PA
2

DB 2 + DP 2 ≥ 2 DB.DP ⇔ BP 2 ≥ 2 DB.DP( Pi − ta − go DB 2 + DP 2 = BP 2 )
⇒ BP ≥

2 DB.DP
= 2DD1
BP

(dấu « = » xảy ra khi DP = DB) (1)

2 DA.DP
AP ≥
= 2DD 2
AP
Cminh tương tự ta có
(dấu « = » xảy ra khi DP = DA) (2)
2 ( DD1 + DD ) 2 ≤ PB + PA
TỪ (1) và (2) =>
(dấu « = » xảy ra khi DP = DA =DB)
Bài 5:
1≤ x ≤ 2

1) ĐKXĐ
x + 2 − x −1

(

)(

)

2 − x + 1 = 1.

⇔ x + 2 − x −1 =

1
⇔
2 − x +1

⇔ x + 2 + x −1 = 3 2 − x + 3 ⇔

⇔

x−2
+
x+2+2

(

3
1
=
x + 2 + x −1
2 − x +1

) (

x+2 −2 +

)

x −1 −1 = 3 2 − x

x−2
1

= 3 2 − x ⇔ ( x − 2) 
+
x −1 +1
 x+2 +2

1

÷ = 3 2 − x (*)
x −1 +1 

Xét PT (*) ta có:
+) x = 2 thỏa mãn
≤
+) 1 x < 2 Vế trái âm vế phải dương Vô lí !
+) x > 2 không thuộc ĐKXĐ
Vậy x = 2 là nghiệm PT đã cho
2) Ta có:
2
( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 xz
= 2( y 2 + z 2 + yz ) + 3x 2 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) − ( x 2 − 2 xz + z 2 )

( x + y + z)

2

= 36 − ( x − y ) 2 − ( x − z ) 2 ≤ 36

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

−6≤ x+ y+ z ≤ 6

Nên
=> Max(x+y+z) = 6 khi x = y = z = 2
Min(x+y+z) = –6 khi x = y = z = – 2

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

-

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi vào

-

lớp 10 các trường chuyên.
Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong nh ững

-

năm qua.
Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luy ện h ọc sinh
giỏi.

-

Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết

-

quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 5