Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2014 2015 THPT chuyên lê quý đôn (sở GDĐT bình định)

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
---------------ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUY ỂN SINH L ỚP 10 THPT
NĂM H ỌC 2014-2015
TR ƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
---------------------------------------------------

Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 13/06/2014
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề).
---------------------------------------------------------------------A=

Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức
a. Rút gọn A.
b. Tìm giá trị của a để A = 2.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

a2 + a
a − a +1

Bài 2: (2,0 điểm)

−

2a + a

a

+1

, với a > 0.

y = ( m + 4 ) x − 2m − 5

y = x2

Gọi đồ thị hàm số
là parabol (P), đồ thị hàm số
thẳng (d).
a. tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là

x1 ; x2

là đường

. Tìm các giá trị

x + x =0

của m sao cho

3
1

3
2

.

Bài 3: (1,5 điểm )
x+

y = 18

Tìm x, y nguyên sao cho
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường
tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm gi ữa P và O)
và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao đi ểm của PD và đường tròn
(O).
a)
Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.
AC ⊥ CH .

b)
Chứng minh
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là

trung điểm của AQ.
Bài 5: (1,0 điểm)

Trang | 6

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

y=

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2
1
+ ,
1− x x

với 0< x<1

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

BÀI GIẢI

Bài 1: (2,0 điểm)
a) Rút gọn A.
A=

Ta có:

a2 + a
2a + a
−
+1
a − a +1
a
2

Với

a > 0 => a

a>0

.

có nghĩa;

( )

1 3

a − a +1 =  a − ÷ + > 0
2 4


với mọi a > 0 => A có nghĩa với mọi

3
a  a + 1

a 2 a +1

−
+1= a − a
a − a +1
a

A=

(

)

b)Tìm giá trị của a để A = 2
Ta có:

A= a− a

a =t >0

Đặt:

Với t = 2

. Để: A = 2 =>

có pt:

t2 − t − 2 = 0 ⇔

a =2⇔a=4

⇔

a− a = 2⇔ a− a −2=0

a=4

t1= -1 (loại) t2 = 2 (thõa mãn điều kiện)

(thõa mãn điều kiện)

Vậy:
là giá trị cần tìm.
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
2

Ta có:

A= a− a

= a−2 a

2

2

1 1 1 
1 1
1

+ ÷ − ÷ =  a − ÷ − ≥ −
2 2  2 
2 4
4

với mọi a >0

2

( vì:

1

 a − 2÷ ≥ 0



Dấu “=” khi
Anho nhat

với mọi a > 0)

1
1
a − =0⇔a=
2
4
−1
=
4

(thõa mãn điều kiện

a>0

)

1
a=
4

Vậy:
khi
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Ta có: (d):
(P):

y = ( m + 4 ) x − 2m − 5

y = x2

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x 2 = ( m + 4 ) x − 2m − 5 ⇔ x 2 − ( m + 4 ) x + 2m + 5 = 0 ( 1)

∆ =  − ( m + 4 )  − 4 ( 2m + 5 ) = ( m + 4 ) − 4 ( 2m + 5 ) = m 2 − 4 = ( m + 2 ) ( m − 2 )
2

2

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi Pt (1) có hai nghiệm phân bi ệt khi

∆>0

 m + 2 > 0

m − 2 > 0
 m>2
m − 2 > 0
⇔ ( m + 2) ( m − 2) > 0 ⇔ 
⇔
⇔
 m + 2 < 0
m + 2 < 0
 m < −2

  m − 2 < 0

Vậy: với m > 2 hoặc m < -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân bi ệt.
b) Tìm các giá trị của m sao cho

Với m > 2 hoặc m < -2. Thì Pt:

x13 + x23 = 0

.

x 2 − ( m + 4 ) x + 2m + 5 = 0 ( 1)

x1 + x2 = m + 4
x1 x2 = 2m + 5

Theo Viet ta có:
Ta có

2
2
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  = ( m + 4 ) ( m + 4 ) − 3 ( 2m + 5 ) 





= ( m + 4 ) ( m + 1)

2

.

x + x = 0 ⇔ ( m + 4 ) ( m + 1) = 0 ⇔ m = −4
3
1

2

3
2

Để:
mãn điều kiện)
Vậy :

có hai nghiệm phân biệt x1, x2

m = −4

(thõa mãn điều kiện) hoặc

m = −1

(không thõa

là giá trị cần tìm.

Bài 3: (1,5 điểm )
x+

y = 18

Ta có :
ĐK:

x ≥ 0; y ≥ 0
x+

y =3 2

Pt viết:
x ≤3 2

(1) ( Với ĐK:

x ≥ 0; y ≥ 0

x ≥0;

y ≥0

x+

mà

y =3 2

=>

y ≤3 2

và

)

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

x =3 2−

y ≥0

⇔

( x) =(3
2

2− y

)

2

⇔ 6 2 y = y − x + 18 ⇔ 2 y =

Pt viết:

y − x + 18
∈Q
6

a 2 ∈ N ( vi 2 y ∈ Z va a ≥ 0 )
⇔ 2 y = a ∈ Q ⇔ 2 y = a2 ∈ Q ⇔ 
a M2

a = 2m ( m ∈ N )

2 y = ( 2m ) ⇔ y = 2m 2 ⇔
2

Vậy:

Pt (1) viết:
n = 0
⇔
m = 3
 x=0
⇔
 y = 18

y =m 2

. Tương tự:

x =n 2

n 2 + m 2 = 3 2 ⇔ n + m = 3 ( voi m, n ∈ N )

hoặc

 n =1


m = 2

hoặc

hoặc

x = 2

y = 8

n = 2

m = 1

hoặc

hoặc

x = 8

y = 2

 x=0

 y = 18

n =3

m = 0

hoặc

 x = 18

 y=0

x = 2

y = 8

x = 8

y = 2

 x = 18

 y=0

Vậy Pt đã cho có 4 nghiệm
;
;
;
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường
tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm gi ữa P và O)
và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao đi ểm của PD và đường tròn
(O).
a) Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.
b) Chứng minh

AC ⊥ CH .

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là
trung điểm của AQ.
Bài 4: ( 3,5 điểm )
a) Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp
Xét
và
=>

VABP

có: PA = PB

·APO = OPB
·
VABP

B

cân tại P có PO là phân giác

=> PO cũng là đường cao, trung tuyến
Xét tứ giácBHCP ta có

·
BHP
= 90

VABP

0

(Vì PO

Q

1

(tính giất hai tiếp tuyến cắt nhau)

I
O

H

.

K

1
M

⊥ AB )
P

C

D

A

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

·
BCP
= 900
·
BCD
= 900

(Vì kề bù

·
·
BHP
= BCP

(nội tiếp nửa đường tròn (O))

=> Tứ giácBHCP nội tiếp (Qũi tích cung chứa góc)
b) Chứng minh
VACH

Xét

·
µ
HAC
=B
1

Mà

AC ⊥ CH .

ta có
(chắn cung

µ =H
¶
B
1
1

¼
BKC

của đường tròn (O))

( do BHCP nội tiếp)

·
¶
HAC

=H
1

=>
Mà
=>
=>

¶ + ·AHC = 900
H
1

⊥

( Vì: PO AB)

·
HAC
+ ·AHC = 900

VAHC

vuông tại C

AC ⊥ CH .

Hay
c) Chứng minh M là trung điểm của AQ.
Xét tứ giác ACHM ta có M nằm trên đường tròn ngoại tiếp
=> tứ giác ACHM nội tiếp

·
·
CMH
= HAC

=>
Mà

·
·
HAC
= BIC

·
·
CMH
= BIC

(chắn cung
(chắn cung

»
HC

»
BC

VACH

)

)

của đường tròn (O))

=>
=> MH//BI (vì cặp góc đồng vị bằng nhau)
VABQ

Xét
có AH = BH ( do PH là trung tuyến
Và: MH//BI

VAPB

(C/m trên))

VABQ

=> MH là trung bình
=> M là trung điểm của AQ
Bài 5: (1,0 điểm)

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

y=

Ta có:

2
1
2
1
2x x −1
+ =
− 2 + −1 + 3 =
+
+3
1− x x 1− x
x
1− x
x

Vì 0< x<1 =>

Ta có:

2x
>0
1− x

2x x −1
2x x −1
+
≥2

.
=2 2
1− x
x
1− x x

Dấu “=” xảy ra khi:
x2 = −1 − 2

=>

và

(Bất đẳng thức Cô si)

2x
x −1
=
2
1− x
x ⇔ x + 2 x − 1 = 0 ⇔ x1 = −1 + 2

(thõa mãn điều kiện)

(không thõa mãn điều kiện; loại)

y ≥ 2 2 +3

Dấu “=” xảy ra khi

ynho nhat = 2 2 + 3

Vậy

x −1
>0
x

khi

x1 = −1 + 2

x1 = −1 + 2

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm trong việc ôn luy ện h ọc
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại

-

kết quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 6