LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: MÔĐUN HẦU COHENMACAULAY VÀ HỆ SỐ HILBERT (bao gồm full file latex)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THANH THẢO

MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY
VÀ HỆ SỐ HILBERT
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. CAO HUY LINH

Huế, năm 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng công bố trong bất kỳ một công trình nào
khác.
Học viên thực hiện
Trần Thị Thanh Thảo

i


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, tiến sĩ Cao Huy Linh, đã
tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong
suốt quá trình học Cao học. Tôi xin cám ơn các tác giả của những bài báo
mà chúng tôi đã tham khảo sử dụng trong luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô
giáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm luận văn.
Huế, ngày 30 tháng 7 năm 2015
Học viên thực hiện
Trần Thị Thanh Thảo

ii


MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Vành các thương và địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Tập Ass và tập Supp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Dãy chính quy và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Chiều của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5. Hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.6. Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.7. Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.8. Hàm Hilbert của môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Môđun hầu Cohen-Macaulay và hệ số Hilbert .

22

2.1. Định nghĩa môđun hầu Cohen-Macaulay . . . . . . . . .

22

2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3. Các tính chất của môđun hầu Cohen - Macaulay .

24

1

2.4. Hệ số Hilbert của vành hầu Cohen-Macaulay . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2


BẢNG KÍ HIỆU

RP

Địa phương hóa của R đối với R \ P

MP

Địa phương hóa của M đối với R \ P

Spec(R)

Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R

M ax(R)

Tập hợp tất cả các iđêan cực đại của R

AssR (M ), Ass(M )

Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M

Supp(M )

Tập hợp {P ∈ Spec(R)|MP = 0}

annR (x)

Linh hóa tử của x

depth(I, M )

Độ sâu của M ứng với iđêan I

ZDR (M )

Tập tất cả các ước của không của M

dim(R)

Chiều của vành R

HM

Hàm Hilbert-Samuel của iđêan I trong môđun M

PM

Đa thức Hilbert-Samuel

ei = ei (I, M )

Hệ số Hilbert

n(I, M )

Chỉ số Hilbert

reg(M ) = reg 0 (M ) Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M
HIi (M )
(M )

Đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I
Độ dài của môđun M

3


MỞ ĐẦU
Trong cuốn sách [9], "Commutative Algebra", Matsumura đã phát biểu
rằng nếu R là vành Noether giao hoán và M là R-môđun hữu hạn sinh thì
depth(P, M ) = depth(P RP , MP )

(∗)

với bất kì P ∈ Supp(M ) [[9], (15C), p. 97]. Rất không may, phát biểu trên
không đúng. Trong cuốn sách [3], Eisenbud đã chỉ ra một ví dụ để chứng
tỏ phát biểu của Matsumura là sai (xem [3], Lemma 18.1, p. 448). Sau đó,
Matsumura cũng đã sửa lại phát biểu trên trong cuốn sách [10], "Commutative
Ring Theory", là depth(P, M ) ≤ depth(P RP , MP ) [[10], Exercise 16.5, p. 132].
Năm 1998, Yang Han [4] đã gọi lớp vành thỏa mãn đẳng thức (∗) là D-vành
(D-ring). Năm 2006, Ming-Chang Kang [6] đã nhận thấy rằng lớp môđun thỏa
mãn tính chất (∗) có nhiều tính chất tốt gần với môđun Cohen-Macaulay và
ông gọi lớp môđun này là hầu Cohen-Macaulay (almost Cohen-Macaulay).
Mục đích của luận văn là nghiên cứu môđun hầu Cohen-Macaulay và hệ
số Hilbert của nó ứng với iđêan tham số.
Lớp môđun Cohen-Macaulay có nhiều tính chất tốt và đóng vai trò quan
trọng trong đại số giao hoán. Khi nghiên cứu lớp môđun hầu Cohen-Macaulay
chúng ta cũng sẽ thấy được một số tính chất tương tự như môđun CohenMacaulay. Gần đây, một số kết quả của hệ số Hilbert, số mũ rút gọn, chỉ
số chính quy, chỉ số Hilbert của môđun hầu Cohen-Macaulay được nghiên
cứu như [1], [5],...Tương tự như vậy, các tính chất này cũng đúng cho môđun
Cohen-Macaulay và được phát hiện bởi Yang Han.
Kết quả chính của luận văn là tổng quan lại một số tính chất của môđun
hầu Cohen-Macaulay mà được trình bày trong bài báo [6]. Ngoài ra, chúng
tôi đạt được một số kết quả liên quan đến tính triệt tiêu của hệ số Hilbert
của môđun hầu Cohen-Macaulay ứng với iđêan tham số. Định lí sau đây là
4


kết quả chính mà chúng tôi đã đạt được.
Định lí 2.4.10 Cho (R, m) là vành Noether địa phương hầu Cohen-Macaulay
với số chiều d ≥ 3 và q là iđêan tham số. Nếu depth(Gq (R)) ≥ d − 2 và
reg(Gq (R)) ≤ 1 thì ed−i = 0, ∀i = 0, . . . , d − 3.

Đây là một kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong luận văn. Phương pháp
chính mà chúng tôi sử dụng là dựa vào một kết quả của Brodmann-Linh [1]
về chỉ số chính quy để ước lượng chỉ số Hilbert.
Luận văn được chia làm hai chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày
một số khái niệm và tính chất liên quan đến chương sau. Những khái niệm
đó bao gồm: vành các thương và địa phương hóa, tập Ass và tập Supp, dãy
chính quy và độ sâu, chiều của vành và môđun, hệ tham số, vành và môđun
Cohen-Macaulay, vành và môđun phân bậc, hàm Hilbert của môđun phân
bậc. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lại các tính chất của môđun hầu
Cohen-Macaulay. Phần cuối của Chương 2, chúng tôi đã đưa ra một điều kiện
của môđun hầu Cohen-Macaulay để các hệ số Hilbert triệt tiêu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày
khó tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Huế, ngày 30 tháng 07 năm 2015
Học viên thực hiện
Trần Thị Thanh Thảo

5


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở để hổ trợ
trong chương sau. Các khái niệm này bao gồm: vành các thương và địa phương
hóa, tập Ass và tập Supp, dãy chính quy và độ sâu, chiều của vành và môđun,
hệ tham số, vành và môđun Cohen-Macaulay, vành và môđun phân bậc, hàm
Hilbert của môđun phân bậc.

1.1. Vành các thương và địa phương hóa

Với tập hợp các số nguyên Z, kí hiệu Z∗ = Z \ {0}. Lúc này, Z∗ có tính
chất 1 ∈ Z∗ và nếu x, y ∈ Z∗ thì xy ∈ Z∗ . Một tập có tính chất như thế được
gọi là tập nhân đóng. Tổng quát, ta có định nghĩa của một tập nhân đóng
như sau:
Định nghĩa 1.1. Cho R là một vành và S ⊂ R, S được gọi là tập nhân đóng
nếu
1) 1 ∈ S
2) x, y ∈ S ⇒ xy ∈ S
Định nghĩa 1.2. Cho S là tập nhân đóng của vành giao hoán R. Ta định
nghĩa một quan hệ ∼ trên R × S như sau:
(a, s) ∼ (b, s ) ⇔ ∃u ∈ S : u(s a − sb) = 0, ∀(a, s), (b, s ) ∈ R × S.
Lúc đó, ∼ là một quan hệ tương đương trên R × S. Với mọi (a, s) ∈ R × S,
kí hiệu lớp tương đương của quan hệ ∼ chứa (a, s) là as . Tập hợp tất cả các
6


lớp tương đương của ∼ được kí hiệu là S −1 R. Lúc này, S −1 R có cấu trúc là
một vành với các phép toán cộng và nhân như sau:
b
s a + sb a b
ab
a
+ =
, . =
.
s s
ss
s s
ss
với mọi a, b ∈ R, và s, s ∈ S. Tập S −1 R cùng với hai phép toán trên trở thành

một vành giao hoán có đơn vị 1S −1 R = ss , s ∈ S, mọi phần tử

s
t

với s, t ∈ S là

khả nghịch. Vành S −1 R được gọi là vành các thương của R đối với S.
Ví dụ 1. Cho R = Z, S = Z∗ là tập nhân đóng. Lúc đó, S −1 R = Q là vành
các số hữu tỉ.
Tổng quát hơn, nếu R là một miền nguyên thì vành các thương S −1 R chính
là trường các thương, với S = R \ {0}. Và S −1 R được xác định như sau:
a
S −1 R = { | a ∈ R, s ∈ R \ {0}}.
s
Ví dụ 2. Nếu P là iđêan nguyên tố của vành R thì S = R\P là tập nhân
đóng. Lúc đó, S −1 R = RP là địa phương hóa.
Định nghĩa 1.3. Cho M là R-môđun, S ⊂ R là tập nhân đóng; ta định
nghĩa S −1 M giống như S −1 R.
S −1 M = {

m
|m ∈ M, s ∈ S},
s

và
(m, s) ∼ (m , s ) ⇔ ∃u ∈ S : u(s m − sm ) = 0, ∀(m, s), (m , s ) ∈ M × S
Phép cộng trong S −1 M và phép nhân vô hướng bởi phần tử của S −1 R là
m m
s m + sm a m

am
+
=
, . =
.
s
s
ss
s s
ss
7


thì S −1 M là một S −1 R-môđun.
Để cho gọn, ta có thể viết MS thay cho S −1 M .
Nếu P là iđêan nguyên tố của vành R thì S = R \ P là tập nhân đóng và
ta viết MP thay cho MS .
Định lý 1.1.1. [[10], Theorem 4.1] Cho R là một vành.
1) Mọi iđêan của vành RS có dạng IRS với I là một iđêan của vành R.
2) Mọi iđêan nguyên tố của vành RS có dạng pRS với p là một iđêan nguyên
tố của vành R và p ∩ S = ∅.
Ví dụ 3. Cho a ∈ R là một phần tử không lũy linh của vành R thì tập
S = {1, a, a2 , ...} là tập nhân đóng. Iđêan nguyên tố của RS có dạng pRS với
p là iđêan nguyên tố của R không chứa a.
Ví dụ 4. Cho I là một iđêan thực sự của vành R thì tập S = 1 + I = {1 + x |
x ∈ I} là một tập nhân và iđêan nguyên tố của RS là pRS với p là iđêan
nguyên tố của R mà I + p = R.
Ví dụ 5. Cho p là iđêan nguyên tố của R thì địa phương hóa Rp là vành địa
phương với iđêan cực đại là pRp . Lúc này, pRp cũng là iđêan nguyên tố của
Rp .

Hơn nữa, các iđêan nguyên tố của Rp có dạng qRp với q là iđêan nguyên
tố của R sao cho q ⊆ p.
Định lý 1.1.2. [[10], Corollary 4, p. 24] Nếu S ⊂ R là tập nhân và p là iđêan
nguyên tố của R mà p ∩ S = ∅ thì (RS )pRS = Rp . Đặc biệt, nếu p ⊂ q là
iđêan nguyên tố của R thì (Rq )pRq = Rp .
8


1.2. Tập Ass và tập Supp
Định nghĩa 1.4. Cho R là một vành và M là R-môđun. Iđêan nguyên tố p
của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M sao cho
p = annR (x), với annR (x) = {r ∈ R | rx = 0}.
Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của R được kí hiệu là Spec(R).
Tập hợp tất cả các iđêan cực đại của R được kí hiệu là M ax(R).
Lúc này, ta có R = 0 ⇔ M ax(R) = ∅ ⇔ Spec(R) = ∅.
Tập hợp gồm tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được viết là Ass(M )
hay AssR (M ).
Tập hợp {P ∈ Spec(R)|MP = 0} được gọi là giá của M , kí hiệu là Supp(M ).
Cho I là một iđêan của R, đặt V (I) = {p ∈ Spec(R) | p ⊃ I}.
Nhận xét 1. Nếu M là hữu hạn sinh và giả sử M = Rω1 + ... + Rωn thì
p ∈ Supp(M )
⇔ Mp = 0
⇔ ∃i sao cho ωi = 0 trong Mp
⇔ ∃i sao cho ann(ωi ) ⊂ p
n

⇔ ann(M ) =

ann(ωi ) ⊂ p
i=1

nên Supp(M ) được xem như tập con đóng V (ann(M )) của Spec(R).
Định lý 1.2.1. [[10], Theorem 6.1] Cho R là vành Noether và M là R-môđun
khác không.
9


1) Mọi phần tử cực đại của họ các iđêan F = {ann(x)|0 = x ∈ M } là một
iđêan nguyên tố liên kết của M , nên Ass(M ) = ∅.
2) Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố
liên kết của M .
Chứng minh.

1) Giả sử phần tử cực đại của F là ann(x) với 0 = x ∈ M .

Ta chứng minh ann(x) là iđêan nguyên tố. Rõ ràng ann(x) là iđêan của
R. Nếu a, b ∈ R mà ab ∈ ann(x) và b ∈
/ ann(x) thì abx = 0 và bx = 0 mà
ann(x) ⊆ ann(bx) và ann(x) là phần tử cực đại nên ann(x) = ann(bx).
Do đó a ∈ ann(bx) = ann(x). Vậy ann(x) là iđêan nguyên tố liên kết
của M .
2) Gọi tập tất cả các ước của không của M là G. Nếu a ∈ G thì tồn tại
0 = x ∈ M mà ax = 0 do đó a ∈ ann(x) ∈ F (theo (1)). Nên tồn tại
một iđêan nguyên tố liên kết chứa ann(x). Vậy G ⊆
Ngược lại, nếu a ∈

P ∈Ass(M ) P

P ∈Ass(M ) P .

thì P ∈ Ass(M ) sao cho a ∈ P =

ann(x), 0 = x ∈ M . Do đó a là ước của không của M .

Định lý 1.2.2. [[10], Theorem 6.2] Cho S ⊂ R là tập nhân, N là RS -môđun.
Xem Spec(RS ) là tập con của Spec(R).
1) Ta có AssR (N ) = AssRS (N ).
2) Nếu R là Noether thì mọi R-môđun M ta có
Ass(MS ) = Ass(M ) ∩ Spec(RS )
10


.
Chứng minh.

1) Với mọi x ∈ N ta có annR (x) = annRS (x) ∩ R. Do đó với

mọi P ∈ AssRS (N ) thì P ∈ Spec(RS ) ⊂ Spec(R) và tồn tại 0 = x ∈
N : P = annRS (x). Khi đó P = P ∩ R = annRS (x) ∩ R = annR (x) ∈
AssR (N ). Vậy AssRS (N ) ⊆ AssR (N )
Ngược lại, với P ∈ AssR (N ) thì P ∈ Spec(R) và tồn tại 0 = x ∈ N :
P = annR (x). Do đó P ∩ S = ∅ nên P RS là iđêan nguyên tố của RS
và P RS = annRS (x). Thật vậy, với
p
s

∈ annRS (x). Ngược lại, với

a
s

p
s

∈ P RS thì ps .x =

∈ annRS (x) thì as .x =

0
1

px
s

= 0 nên

nên tồn tại

t ∈ S : t(ax.1 − s.0) = 0 suy ra tax = 0 hay ta ∈ P = annR (x) mà P là
iđêan nguyên tố và t ∈
/ P nên a ∈ P . Do đó

a
s

∈ P RS .

Lúc này ta có P ∈ AnnRS (N ).
2) Với P ∈ Ass(M ) ∩ Spec(RS ) thì P ∈ Spec(RS ) và tồn tại 0 = x ∈
M : P = annR (x) nên P ∩ S = ∅. Nếu as .x = 0MS thì tồn tại t ∈ S :

tax = 0M nên ta ∈ P mà t ∈
/ P nên a ∈ P . Do đó annRS (x) = P RS và
P RS ∈ Ass(MS ).

Hệ quả 1.2.3. [[10], Corollary, p. 38] Cho R là vành Noether, M là R-môđun
và P là iđêan nguyên tố của R ta có
P ∈ AssR (M ) ⇔ P RP ∈ AssRP (MP ).

11


1.3. Dãy chính quy và độ sâu
Định nghĩa 1.5. Cho R là một vành và M là R-môđun. Một phần tử x ∈ R
được gọi là M -chính quy nếu mx = 0 với mọi 0 = m ∈ M .
Một dãy x = x1 , x2 , ..., xr các phần tử của R được gọi là M -dãy, hay M chính quy, nếu x1 là M -chính quy và xi là M/(x1 , ..., xi−1 )M -chính quy với
i = 2, ..., r và M/(x1 , ..., xr )M = 0.
Nếu x = x1 , x2 , ..., xr là M -dãy thì r được gọi là độ dài của M -dãy x.
Định nghĩa 1.6. Cho R là vành Noether, M là R-môđun và I là iđêan của
vành R. Độ sâu của M ứng với iđêan I là




0
nếu I ⊂ ZDR (M );
depth(I, M ) =



sup{r|x1 , ..., xr là M -dãy trong I} nếu I ⊂ ZDR (M ).

với ZDR (M ) =

P ∈Ass(M )

là tập tất cả các ước của không của M .

Nếu (R, m) là vành địa phương thì depth(m, M ) được goi là độ sâu của
môđun M và kí hiệu là depth(M ).
Định lý 1.3.1. [[7], Theorem 128] Cho (R, m) là vành địa phương, I là iđêan
của R, I ⊂ m và M = 0 là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu depth(I, M ) <
depth(m, M ) thì tồn tại iđêan nguyên tố P ⊃ I sao cho depth(P, M ) =
1 + depth(I, M ).
Định lý 1.3.2. [[7], Theorem 135] Cho R là vành Noether và I là iđêan của
R, I = R thì tồn tại iđêan cực đại m sao cho depth(I, R) = depth(Im , Rm ).
12


Từ định lí trên ta có nếu R là vành Noether và I là iđêan của R, I = R, M
là R-môđun thì tồn tại iđêan cực đại m sao cho depth(I, M ) = depth(IRm , Mm ).

1.4. Chiều của vành và môđun
Cho P0 ⊃ P1 ⊃ ... ⊃ Pr là một dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố của
vành R và gọi r là độ dài của dãy này. Ta định nghĩa chiều (Krull) của vành
và môđun như sau:
Định nghĩa 1.7. Cho R là một vành. Chiều của vành R là độ dài lớn nhất
của các dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR. Tức là:
dimR = sup{d | ∃P0 ⊃ P1 ⊃ ... ⊃ Pd là dãy các iđêan nguyên tố của R}.
Ví dụ 6. Mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên Z có dạng pZ với p là
các số nguyên tố. Hơn nữa, pZ cũng là iđêan cực đại của Z và mọi dãy giảm
cực đại các iđêan nguyên tố của Z có dạng pZ ⊃ 0 nên dimZ = 1.

Định nghĩa 1.8. Cho M là R-môđun khác không. Chiều của M , kí hiệu là
dimR M hay đơn giản dimM , và được định nghĩa là
dimM = dim(R/ann(M )).
với ann(M ) = {r ∈ R | rM = 0}.
Nhận xét 2. Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/ann(M ) có dạng
p/ann(M ) với p là iđêan nguyên tố của R chứa ann(M ). Nên chiều của vành
R/ann(M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R
chứa ann(M ). Do đó, dimM ≤ dimR.
13


1.5. Hệ tham số
Một iđêan I của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu I = R và xy ∈ I ⇒
hoặc x ∈ I hoặc tồn tại n > 0 sao cho y n ∈ I.
Cho R là vành Noether có đơn vị, ta định nghĩa
√

I = {x ∈ R | xn ∈ I với n ∈ N nào đó }
=

J, với J là iđêan nguyên tố.
I⊆J

Từ định nghĩa iđêan nguyên sơ, iđêan nguyên tố và iđêan cực đại ta có mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.5.1. [[11], Lemma and Definition 4.5]Cho I là một iđêan của
vành R. Khi đó
1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì
2) Nếu

√

√

I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I.

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.

Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó I là iđêan p-nguyên sơ nếu
√
I là iđêan nguyên sơ và I = p. Giả sử (R, m) là vành địa phương và I là
√
√
iđêan m-nguyên sơ của R. Khi đó, với mỗi n ∈ N ta có I n = I = m. Do
đó, I n cũng là một iđêan m-nguyên sơ. Ta có các điều kiện tương đương của
một iđêan m-nguyên sơ như sau:
Mệnh đề 1.5.2. [[11], Exercise 15.17, p. 296] Cho (R, m) là vành Noether
địa phương và I là iđêan thực sự của vành R. Khi đó, các khẳng định sau là
tương đương:
1) I là iđêan m-nguyên sơ.

14


2) ∃k > 0 : mk ⊂ I.
3) R/I là R-môđun có độ dài hữu hạn.
4) R/I là R-môđun Artin.
5) V ar(I) = {m}.
Định nghĩa 1.9.

1) Cho (R, m) là vành địa phương có chiều d. Nếu x1 , ...,

xd ∈ m sinh ra một iđêan m-nguyên sơ I thì hệ {x1 , ..., xd } được gọi là
hệ tham số của R. Khi đó, I = (x1 , ..., xd ) được gọi là iđêan tham số
của vành R.
2) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều s. Khi đó, hệ {y1 , ..., ys } ⊆
m được gọi là hệ tham số của M nếu (M/(y1 , ..., ys )M ) < ∞.

1.6. Vành và môđun Cohen-Macaulay
Định nghĩa 1.10. Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun
hữu hạn sinh. M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc depth(M ) =
dim(M ). Vành R là vành Cohen-Macaulay nếu nó được xem như là môđun
Cohen-Macaulay trên chính nó.
Định lý 1.6.1. [[10], Exercise 16.1, p. 132] Cho (R, m) là vành Noether địa
phương, M = 0 là R-môđun hữu hạn sinh, và a1 , ..., ar ∈ m là một M -dãy.
Đặt M = M/(a1 , ..., ar )M thì dim(M ) = dim(M ) − r.
Định lý 1.6.2. [[10], Theorem 17.3] Cho R là vành Noether địa phương và
M là R-môđun hữu hạn.
15


1) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì với mỗi P ∈ Ass(M ) ta có
dim(R/P ) = dim(M ) = depth(M ).

2) Nếu a1 , ..., ar ∈ m là một M -dãy và đặt M = M/(a1 , ..., ar ) thì M là
môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay.
3) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì MP là môđun Cohen-Macaulay
trên vành RP với mọi P ∈ Spec(R), và nếu MP = 0 thì depth(P, M ) =
depthRP (MP ).
Chứng minh.

1)
Ta có dimM = sup{dimR/P | P ∈ AssM }
≥ inf {dimR/P | P ∈ AssM } ≥ depthM

nên dim(R/P ) = dim(M ) = depth(M ).
2) Từ định nghĩa, ta có depthM = depthM − r và dimM = dimM − r
suy ra điều phải chứng minh.
3) Ta chỉ cần xét trường hợp MP = 0 khi P ⊃ ann(M ). Lúc này ta có
dimMP ≥ depthMP ≥ depth(P, M ) nên ta chỉ cần chỉ ra rằng dimMP =
depth(P, M ).
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp trên depth(P, M ). Nếu depth(P, M ) = 0
thì P chứa trong một iđêan nguyên tố liên kết của M , mà P ⊃ ann(M )
và kết quả của (1) tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M là cực tiểu,
do đó P là một iđêan nguyên tố liên kết của M . Nên MP = 0, do đó
16


dimMP = depth(P, M ).
Nếu depth(P, M ) > 0 thì ta chọn một phần tử M -chính quy a ∈ P và
đặt M = M/aM . Khi đó
depth(P, M ) = depth(P, M ) − r
và M là môđun Cohen-Macaulay với MP = 0 nên theo quy nạp dimM =
depth(P, M ). Vì a là MP -chính quy và a là phần tử của RP , MP =
MP /aMP nên ta có dimMP = dimMP − 1. Vậy dimMP = depth(P, M ).

1.7. Vành và môđun phân bậc
Định nghĩa 1.11. Một vành R được gọi là vành Z-phân bậc nếu nó phân
tích được thành R =

i∈Z Ri

sao cho Ri Rj ⊂ Ri+j với mọi i, j ∈ Z.

Để thuận tiện, ta thường nói vành phân bậc thay cho vành phân bậc không
âm.
Một vành R được gọi là phân bậc không âm (hay N-phân bậc) nếu Rn =
0, ∀n < 0.
Một phần tử x ∈ R có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng x =

n∈Z xn

với

xn ∈ Rn và chỉ có hữu hạn các thành phần xn = 0. Mỗi hạng tử xn được gọi
là thành phần thuần nhất bậc n của x. Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử
thuần nhất nếu tồn tại n ∈ N sao cho x ∈ Rn .
Từ định nghĩa vành phân bậc ta có nhận xét sau:
Nhận xét 3. Cho R =

n≥0 Rn

là vành phân bậc.

1) R0 luôn là một vành con của R.
17


2) 1R ∈ R0 .
Hơn nữa, với mỗi n ∈ N ta có thể xét Rn như một R0 -môđun.

Ví dụ 7. Cho R = k[x1 , ..., xn ] là vành các đa thức n biến trên trường k. Rn
là tập các đa thức thuần nhất bậc n.
Khi đó, R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕ ...
với R0 = k,
R1 là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc nhất,...
Rn là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n,...
và Rn Rm = Rn+m .
Do đó R là vành phân bậc.
Ví dụ 8. Cho A là vành giao hoán, I là iđêan của A.
Đặt R = A[It] = {a0 + a1 t + ... + an tn | ai ∈ I i , i = 1, ..., n} với I 0 = A. Khi
đó, R = A ⊕ I ⊕ I 2 ⊕ ... = ⊕n≥0 I n .
Đặt R0 = A, R1 = I, ..., Rn = I n , ... thì R là vành phân bậc.
Vành R = A[It] là vành con của vành A[t] và được gọi là vành Rees.
Ví dụ 9. Cho A là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của A. Lúc này,
R = GI (A) = (A/I) ⊕ (I/I 2 ) ⊕ (I 2 /I 3 ) ⊕ ... = ⊕n≤0 (I n /I n+1 )
với R0 = A/I, R1 = I/I 2 , ..., Rn = I n /I n+1 , ...
và ta có Rn Rm = Rn+m
Do đó, R = GI (A) là vành phân bậc còn được gọi là vành phân bậc liên kết
ứng với iđêan I.
Từ định nghĩa vành phân bậc, ta có định nghĩa môđun phân bậc như sau:
18


Định nghĩa 1.12. Cho R là một vành phân bậc và M là R-môđun. Khi đó,
M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại họ {Mn }n∈Z các nhóm con (đối
với phép cộng) của M sao cho:
1) M =

n∈Z Mn .

2) Rn .Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ∈ Z.
Mỗi phần tử u ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng u =

n∈Z un

với un ∈ Mn và chỉ có hữu hạn các thành phần un = 0. Mỗi hạng tử un được
gọi là thành phần thuần nhất bậc n của u. Phần tử u ∈ M được gọi là phần
tử thuần nhất nếu tồn tại n ∈ Z sao cho u ∈ Mn .
Định nghĩa 1.13. Cho M =

n∈Z Mn

là một R-môđun phân bậc và N

là R-môđun con của M . Lúc đó, N được gọi là môđun con phân bậc (hay
thuần nhất) của M nếu N =

n∈Z N

∩ Mn hay N =

n∈Z Nn

với Nn =

N ∩ Mn , ∀n ∈ Z.
Iđêan I của R được gọi là iđêan phân bậc (hay thuần nhất) nếu I là Rmôđun con phân bậc trên chính nó.
Mệnh đề 1.7.1. [[8], Propsition 2.1] Cho M =

n∈Z Mn

là một R-môđun

phân bậc và N là R-môđun con của M . Khi đó các khẳng định sau tương
đương:
1) N là môđun con phân bậc (hay thuần nhất) của M .
2) N =

n∈Z N

∩ Mn là một R-môđun phân bậc.

3) Nếu u ∈ N thì tất cả các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N .
19


4) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất của M .
Ví dụ 10. Cho vành phân bậc R = k[x, y]. Khi đó I = (x2 , xy, y 2 ) là iđêan
thuần nhất vì nó được sinh ra bởi các phần tử thuần nhất là x2 , xy, y 2 . Nhưng
J = (x + y 2 ) lại không phải là iđêan thuần nhất.

1.8. Hàm Hilbert của môđun phân bậc
Một xích của môđun M là một dãy tăng thực sự các môđun con của M
có dạng
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mn = M.
Ta gọi số các môđun con thực sự của M trong một xích là độ dài của
xích đó. Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M . Tức
là, ta không thể bổ sung thêm môđun con nào vào chuỗi hợp thành để được
một xích mới có độ dài lớn hơn. Điều này tương đương với các môđun thương
Mi /Mi−1 là môđun đơn với mọi i = 1, ..., n.

Nếu môđun M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì ta nói M có độ
dài hữu hạn là n. Ngược lại, nếu M không có chuỗi hợp thành thì ta nói M
có độ dài vô hạn. Kí hiệu độ dài của môđun M là

R (M )

hay (M ).

Trong phần này ta luôn xét R là đại số phân bậc và R0 là vành Artin.
Định nghĩa 1.14. Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Lúc đó, (Mn )
là hữu hạn và ta đặt
hM :Z −→ N
n −→ hM (n) = (Mn )
được gọi là hàm Hilbert của M . Hilbert đã chứng minh rằng nếu M là Rmôđun phân bậc chiều d ≥ 1 thì tồn tại đa thức pM ∈ Q [x] có bậc d − 1
20


sao cho hM (n) = pM (n) với mọi n

0. Đa thức pM này được gọi là đa thức

Hilbert của M và được viết dưới dạng
d−1

(−1)i ei

pM (n) =
i=0

với

n+d−i−1
d−i−1

=

1
(d−i−1)! (n

n+d−i−1
.
d−i−1

+ 1) . . . (n + d − i − 1).

Lúc đó, các số nguyên e0 , ..., ed−1 được gọi là các hệ số Hilbert của M . Đặc
biệt, e0 được gọi là số bội và e1 được gọi là hệ số Chern của môđun M .
Số n0 bé nhất sao cho kể từ vị trí kế tiếp trở đi mà đa thức Hilbert và hàm
Hilbert bằng nhau được gọi là chỉ số Hilbert (postulation number), kí hiệu là
nI (M ) = max {n | hM (n) = pM (n)} .

21


CHƯƠNG 2
MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY
VÀ HỆ SỐ HILBERT
2.1. Định nghĩa môđun hầu Cohen-Macaulay
Trong cuốn sách [10] của Matsumura đã phát biểu rằng, nếu R là vành
Noether giao hoán và M là R-môđun hữu hạn sinh thì depth(P, M ) = depth

(P RP , MP ) với bất kì P ∈ Supp(M ) [[9], (15C), p. 97]. Thật không may điều
này là không đúng và đã được sửa chữa trong cuốn "Lý thuyết vành giao
hoán" của ông. Ở đây lại đặt ra câu hỏi có thể xây dựng một môđun M sao
cho depth(P, M ) < depth(P RP , MP ) [[10], Exercise 16.5, p. 132].
Năm 1998, Yang Han gọi một vành Noether giao hoán R là D-vành nếu
depth(P, M ) = depth(P RP , MP ) với mọi P ∈ Spec(R). Từ việc nghiên cứu
các môđun có tính chất depth(P, M ) = depth (P RP , MP ) với mọi P ∈
Supp(M ), người ta nhận thấy các môđun này có một số tính chất như môđun
Cohen-Macaulay nên được đặt tên là môđun hầu Cohen-Macaulay.
Định nghĩa 2.1. Cho R là vành Noether giao hoán, và M là R-môđun hữu
hạn sinh không tầm thường. M được gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay nếu
depth(P, M ) = depth(P RP , MP ) với mọi P ∈ Supp(M ). R được gọi là vành
hầu Cohen-Macaulay khi nó là môđun hầu Cohen-Macaulay trên chính nó.
Mệnh đề 2.1.1. [[6], Lemma 1.5] Cho R là vành Noether giao hoán, M là
R-môđun hữu hạn sinh. M là môđun hầu Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu
dimMP ≤ 1 + depth(P, M ), với mọi P ∈ Supp(M ).

22