Luận văn thạc sĩ toán học lý thuyết KKM và bài toán cân bằng

Mục lục
Lời nói đầu 1
Chơng 1 Cơ sở lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô 3
1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động . . . . . . . . . . . 3
1.2 Bất đẳng thức Ky Fan và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chơng 2 Bài toán cân bằng 33
2.1 CânbằngNash 33
2.2 Bàitoáncânbằng 38
2.3 Cáckếtquảgầnđây 49
Chơng 3 Bất đẳng thức biến phân 60
3.1 Bàitoánbiếnphâncổđiển 60
3.2 Kết quả cơ bản về bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . 61
3.3 Cáckếtquảgầnđây 66
Kết luận 102
Tài liệu tham khảo 104
Lời nói đầu
Lý thuyết KKM ra đời năm 1961 với bài báo của Ky Fan: A generalization
of Tychonoffs fixed point theorem, trong đó có một kết quả quan trọng mà
ngày nay đợc gọi là nguyên lý ánh xạ KKM. Kết quả này là sự mở rộng bổ đề
Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (1929) từ không gian tuyến tính hữu hạn
chiều ra không gian vectơ tôpô tách bất kỳ. Nguyên lý ánh xạ KKM khởi nguồn
cho một loạt kết quả quan trọng khác, có nhiều ứng dụng trong giải tích phi
tuyến, đặc biệt là một bất đẳng thức minimax mà ngày nay gọi là bất đẳng thức
Ky Fan. Từ bất đẳng thức này có thể dễ dàng suy ra một số kết quả nổi tiếng
nh nguyên lý điểm bất động Schauder, định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thức
biến phân. Mặt khác, cũng từ nguyên lý ánh xạ KKM có thể nhận đợc định
lý điểm bất động Browder - Fan, từ đây lại nhận đợc định lý minimax Sion -
Neumann, định lý tồn tại điểm cân bằng Nash Những kết quả này đợc tập
hợp lại dới một cái tên c hung: L ý thuyết KKM. Lý thuyết này đã phát triển ra
các không gian siêu lồi và nửa dàn tôpô.
Năm 1950 chứng kiến sự ra đời của một lý thuyết quan trọng trong Toán kinh

tế với bài báo của John Nash: Equilibrium points in
n-person games về trò
chơi không hợp tác. Lý thuyết này có một tầm quan trọng đặc biệt trong kinh
tế nên tác giả c ủa nó đã đợc nhận giải thởng Nobel vào năm 1994. Định lý
cơ bản của Nash về tồn tại điểm cân bằng cho một hệ kinh tế đến nay đã đợc
nhiều nhà toán học cải tiến và nâng cao, từ không gian hữu hạn c hiều ra không
gian vô hạn chiều, từ ánh xạ đơn trị ra á nh xạ đa trị, Dạng tổng quát nhất
của bài toán cân bằng rất gần với bất đẳng thức Ky Fan, vì vậy lý thuyết KKM
đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu bài toán cân bằng, mà một trờng
hợp riêng là các bất đẳng thức biến phân.
Cả hai lý thuyết nêu trên đều rất quan trọng về lý thuyết và ứng dụng, vẫn
đang trong quá trình phát triển và hoàn thiện. Có thể nói lý thuyết KKM là một
cơ sở lý thuyết cho bài toán cân bằng. Đã có nhiều bài báo về các vấn đề này
nhng theo chúng tôi đợc biết, cha có một tài liệu nào giới thiệu một cách hệ
thống mối liên hệ giữa các lý thuyết nói trên. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: Lý
thuyết KKM và bài toán cân bằng với hy vọng cung cấp cho độc giả những
thông tin bổ ích. Vì thời gian hạn chế nên chúng tôi chỉ giới thiệu các kết quả
cơ bản theo các hớng nêu trên, đặc biệt là những kết quả gần đây.
Trong bản luận văn này, chúng tôi trình ba chơng gồm những nội dung chính
sau đây:
Chơng 1 giới thiệu cơ lý thuyết KKM trong không gian vectơ tôpô.
Chơng 2 giới thiệu bài toán cân bằng.
Chơng 3 giới thiệu bất đẳng thức biến phân.
1
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TSKH Đỗ
Hồng Tân đã hớng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Sự chỉ bảo
ân cần của thầy Đỗ Hồng Tân trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp
cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của
mình. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thạc sĩ Nguyễn Thế Vinh đã
cung cấp cho tác giả các tài liệu quan trọng và những lời khuyên quý báu. Tác

giả cũng xin chân thành cám ơn những đóng góp bổ ích của các thành v iên của
Xêmina Hình học của các không gian Banach và lý thuyết điểm bất động do
Bộ môn Giải tích, Trờng Đại học S phạm Hà Nội tổ chức. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo Khoa Toán, Trờng Đại học S phạm
Hà Nội, cùng toàn thể bạn bè và ngời thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động
viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 02 tháng 09 năm 2007
Học viên: Trần Việt Anh
1
1
E-mail:
2
Chơng 1
Cơ sở lý thuyết KKM trong
không gian vectơ tôpô
Trong chơng này, chúng tôi trình bày các kết quả cơ bản của lý thuyết KKM
trong không gian vectơ tôpô. Đó là Nguyên lý ánh xạ KKM, bất đẳng thức Ky
Fan và các ứng dụng của nó. Sau cùng chúng tôi trình bày một ứng dụng khá
mới và hay của bất đẳng thức Ky Fan, đó là chứng minh định lý định lý điểm
bất động Fan-Glicksberg.
1.1 Nguyên lý ánh xạ KKM và điểm bất động
Năm 1929, ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng
minh đợc một kết quả quan trọng mang tên Bổ đề KKM([35, trang 68]
1
).
Định lý 1.1.1. Cho
n
:= conv({e
0
,e

1
, ,e
n
}) là n-đơn hình tiêu chuẩn
trong R
n
, trong đó e
i
,i=0, 1, ,n, là vectơ đơn vị thứ (i +1)của R
n+1
và
các tập hợp đóng F
0
,F
1
, ,F
n
trong
n
thỏa mãn điều kiện: với mọi tập
con khác rỗng J {0, 1, ,n},tacóconv({e
j
: j J})

{F
j
: j J}.
Khi đó
n

j=0
F
j
= .
ĐiềuthúvịlàBổđềKKMđợc chứng minh dựa trên một kết quả của
Sperner năm 1928 ([35, trang 67]) về phép tam giác phân một đơn hình, thuộc
lĩnh vực toán học tổ hợp, một lĩnh vực tởng chừng nh không liên quan gì đến
lý thuyết điểm bất động. Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một
chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer (xem Định lý 1.1.3),
nhng lại hạn chế do chỉ áp dụng đợc cho các không gian vectơ hữu hạn chiều.
Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng
Bổ đề KKM cho trờng hợp không gian vectơ tôpô Hausdorff. Định lý của Ky
Fan ngày nay đợc gọi là Nguyên lý ánh xạ K KM. Sau đây chúng tôi sẽ phát
biểu và chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM bằng cách sử dụng Bổ đề KKM.
Điều thú vị và ngạc nhiên là Nguyên lý ánh xạ KKM vẫn còn đúng khi không
gian nền không cần tính tách. Theo nh tác giả đợc biết thì ý tởng chứng
1
Trong [35], các tác giả phát biểu cho đơn hình S bất kỳ trong R
n
, ở đây ta chỉ sử dụng đơn hình tiêu chuẩn

n
trong R
n
.
3
minh định lý sau đây gần gũi với ý tởng của Horvath và Llinares Ciscar (1996)
khi họ chứng minh nguyên lý ánh xạ KKM cho nửa dàn tôpô [17], tuy nhiên
bản thân tác giả không hề biết phép chứng minh này.
Định lý 1.1.2 (Nguyên lý ánh xạ KKM). Cho C là một tập hợp khác rỗng

trong không gian vectơ tôpô X, F : C 2
X
là một ánh xạ KKM, nghĩa là
với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C ta có
conv(A)

{F (x):x A}.
Giả sử rằng F (x) là tập đóng trong X với mọi x C. Khi đó với mọi tập
hợp hữu hạn khác rỗng A trong C,tacó

xA
F (x) = .
Chứng minh. Xét A = {a
0
,a
1
, ,a
n
} là tập con hữu hạn khác rỗng trong
C, ta chứng minh
n

j=0
F (a
j
) = .
Xét ánh xạ
A
:
n

X cho bởi, với x =
n

i=0

i
(x)e
i

n
,
i
(x) 0,i=
0, 1, ,n,
n

i=0

i
(x)=1,thì
A
(x)=
n

i=0

i
(x)a
i
.

Với i =0, 1, ,n,taxétánhxạp
i
:
n
R cho bởi, với x =
n

i=0

i
e
i

n
,
i
0,i =0, 1, ,n,
n

i=0

i
=1,thìp
i
(x)=
i
.Rõràng
các ánh xạ p
i
là liên tục.

Với i =0, 1, ,n,taxétánhxạf
i
: R X cho bởi f
i
()=a
i
với mọi
R.VìX là không gian vectơ tôpô nên f
i
là ánh xạ liên tục.
Từ đó, vì
A
=
n

i=0
f
i
p
i
nên
A
:
n
X là ánh xạ liên tục.
Ta chứng minh với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, ,n} thì

A
(conv({e
j

: j J})) conv({a
j
: j J}).
Thật vậy, với x =

jJ

j
(x)e
j
conv({e
j
: j J}),
j
(x) 0 với mọi j J,

jJ

j
(x)=1,thì
A
(x)=

jJ

j
(x)a
j
.Dođó
A

(x) conv({a
j
: j J}).
4
Vì x conv({e
j
: j J}) là tuỳ ý nên

A
(conv({e
j
: j J})) conv({a
j
: j J}). (1.1)
Vì F : C 2
X
là một ánh xạ KKM nên conv({a
j
: j J})

{F (a
j
):j J}. Kết hợp với (1.1), ta có
A
(conv({e
j
: j J}))

{F (a
j

):j J}.
Suy ra
conv({e
j
: j J})
1
A
(

{F (a
j
):j J})=

{
1
A
(F (a
j
)) : j J}.
(1.2)
Đặt F
j
=
1
A
(F (a
j
)),j =0, 1, ,n. Khi đó theo (1.2), với mọi tập con
khác rỗng J {0, 1, ,n},tacóconv({e
j

: j J})

{F
j
: j J}.
Vì ánh xạ
A
:
n
X là liên tục và các tập F (a
0
),F(a
1
), ,F(a
n
) là
đóng trong X nên các tập F
j
=
1
A
(F (a
j
)) là đóng trong
n
. Khi đó, theo
BổđềKKM(Địnhlý1.1.1)
n

j=0

F
j
= . Nghĩa là
n

j=0

1
A
(F (a
j
)) = ,suyra
n

j=0
F (a
j
) = .
Vậy Nguyên lý ánh xạ KKM đợc chứng minh.
Trong Nguyên lý ánh xạ KKM, ta chỉ khẳng định

xA
F (x) = với mọi A
hữu hạn trong C. Tính chất này thờng đợc phát biểu là họ {F (x):x C}
có tính chất giao hữu hạn. Trong [35], các tác giả đã đarađiềukiệnđể

xC
F (x) = , sau đây tác giả xin đa ra điều kiện có phần tốt hơn. Điều
kiện đó là: tồn tại hữu hạn các điểm
a

1
,a
2
, ,a
n
thuộc C và tập compact K
trong không gian vectơ tôpô X để
n

j=1
F (a
j
) K.
Thật vậy, ta chứng minh

xC
F (x) = .
Giả sử

xC
F (x)=.SuyraX = X\

xC
F (x)=

xC
(X\F (x)).VìF(x)
là đóng trong X và K X =

xC

(X\F (x)) nên {X\F (x):x C} là
5
phủmởcủatậpcompactK. Do đó, tồn tại x
1
,x
2
, ,x
k
C sao cho K
k

i=1
(X\F (x
i
)) = X\
k

i=1
F (x
i
).TừđótacóK
k

i=1
F (x
i
)=. Kết hợp với
n

j=1

F (a
j
) K,tasuyra
n

j=1
F (a
j
)
k

i=1
F (x
i
)=. Điều này trái với tính chất
giao hữu hạn của họ
{F (x):x C}.Vậy

xC
F (x) = .
Một trong những định lý nổi tiếng nhất của Toán học trong thế kỷ trớc là
Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm
bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến.
Định lý này đợc Brouwer chứng minh năm 1912 dựa vào một công cụ rất sâu
sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp. Vì thế, nhiều
nhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer bằng
những công cụ đơn giản hơn. Bây giờ ta sẽ chứng minh Nguyên lý điểm bất
động Brouwer từ Bổ đề KKM.
Định lý 1.1.3 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer). Cho T :
n

n
là
một ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động trong
n
.
2
Chứng minh. Mỗi điểm x
n
đợc biểu diễn duy nhất dới dạng
x =
n

i=0
x
i
e
i
, với x
i
0 với mọi i =0, 1, ,n và
n

i=0
x
i
=1.
Vì T (x)
n
nên ta có thể viết T (x)=

n

i=0
(T (x))
i
e
i
,với(T (x))
i
0 với
mọi i =0, 1, ,n và
n

i=0
(T (x))
i
=1.
Với mỗi i =0, 1, ,n,đặt
F
i
= {x
n
: x
i
(T (x))
i
}.
Vì T :
n

n
là á nh xạ liên tục nên các tập F
i
là đóng trong
n
.
Thật vậy, với i =0, 1, ,n,taxétánhxạp
i
:
n
R cho bởi, v ới
x =
n

i=0

i
e
i

n
,
i
0,i =0, 1, ,n,
n

i=0

i
=1,thìp

i
(x)=
i
.Rõ
ràng các ánh xạ p
i
là liên tục. Vì T :
n

n
là ánh xạ liên tục và
2
Trong một số tài liệu, Nguyên lý điểm bất động Brouwer thờng đợc phát biểu là:Mọi ánh xạ liên tục từ
hình cầu đơn vị đóng trong R
n
vào chính nó đều có điểm bất động.
6
p
i
:
n
R là ánh xạ liên tục nên p
i
T :
n
R cũng là ánh xạ liên
tục.Chúýrằng,vì(p
i
T )(x)=(T (x))
i

nên các tập F
i
có thể đợc viết lại
nh sau
F
i
= {x
n
: p
i
(x) (p
i
T )(x)}.
Vì p
i
:
n
R và p
i
T :
n
R là các ánh xạ liên tục với mọi
i =0, 1, ,n nên các tập F
i
là đóng trong
n
với mọi i =0, 1, ,n.
Giả sử I {0, 1, ,n} là một tập hợp khác rỗng, ta chứng minh
conv({e
i

: i I})

{F
i
: i I}.
Lấy x conv({e
i
: i I}) tuỳ ý, khi đó x =
n

i=0
x
i
e
i
với x
i
0 với mọi
i =0, 1, ,n,
n

i=0
x
i
=1và x
i
=0với mọi i/ I.
Ta chứng minh x

{F

i
: i I}.Giảsửx/ F
i
với mọi i I,suyra
x
i
< (T (x))
i
với mọi i I.
Khiđótagặpmâuthuẫn
1=
n

i=0
x
i
=

iI
x
i
<

iI
(T (x))
i

n

i=0

(T (x))
i
=1.
Vậy x

{F
i
: i I}.Vìx conv({e
i
: i I}) là tuỳ ý nên conv({e
i
:
i I})

{F
i
: i I}. Theo Bổ đề KKM
n

i=0
F
i
= , nghĩa là tồn tại
x


n

i=0
F

i
. Khi đó x

F
i
với mọi i =0, 1, ,n hay x

i
(T (x

))
i
với mọi i =0, 1, ,n. Kết hợp với
n

i=0
x

i
=1=
n

i=0
(T (x

))
i
,tasuyra
x

i
=(T(x

))
i
với mọi i =0, 1, ,n.DođóT (x

)=x

.VậyT có điểm
bất động trong
n
.
Nguyên lý điểm bất động Brouwer có nội dung trực quan rất tự nhiên nh
sau. Giả sử có
n +1doanh nghiệp cạnh tranh nhau trên một thị trờng, và mỗi
điểm
x
n
biểu thị tình thế trong đó doanh nghiệp i chiếm đợc một thị phần
bằng
x
i
.Docạnhtranhnêntừmộttìnhthếx
n
có thể dẫn tới tình thế mới
f(x).Đơng nhiên, doanh nghiệp i mong muốn chuyển đến một tình thế f(x)
7
với (f(x))
i

>x
i
. Nguyên lý điểm bất động Brouwer cho biết nếu á nh xạ f liên
tục thì bao giờ cũng có một điểm
x

= f(x

), nghĩa là một tình thế cân bằng
mà không doanh nghiệp nào muốn thay đổi để đợc lợi hơn. Chính vì thế mà
Nguyên lý điểm bất động Brouwer (cùng với c ác mở rộng của nó) là công cụ
xây dựng các lý thuyết cân bằng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác.
Trong chứng minh Bổ đề KKM, tính đóng của các tập
F
0
,F
1
, ,F
n
là bắt
buộc. Một điều bất ngờ lý thú là tính đóng ở đây có thể thay bằng tính mở và
việc chứng minh lại dựa chính vào Bổ đề KKM.
Định lý 1.1.4. Cho F
0
,F
1
, ,F
n
là các tập hợp mở trong
n

thỏa mãn đ iều
kiện: với mọi tập con khác rỗng J {0, 1, ,n},tacó
conv({e
j
: j J})

{F
j
: j J}.
Khi đó
n

j=0
F
j
= .
Chứng minh. Với mỗi y
n

i=0
F
i
,đặtH
y
=
n

i=0
{F
i

: y F
i
}. Khi đó y H
y
và H
y
là tập hợp mở trong
n
. Do đó tồn tại tập hợp mở U
y
trong
n
sao
cho y U
y
U
y
H
y
.
Với mọi I {0, 1, ,n},tacó

{F
i
: i I}

{U
y
: y

iI
F
i
}.
và
conv({e
i
: i I})

{F
i
: i I}.
Suy ra
conv({e
i
: i I})

{U
y
: y

iI
F
i
}.
Vì conv({e
i
: i I}) là tập compact trong R
n+1
nên tồn tại tập hữu hạn khác

rỗng B
I


iI
F
i
sao cho
conv({e
i
: i I})

{U
y
: y B
I
}.
Đặt B =

{B
I
: I {0, 1, ,n}} thì B là tập hữu hạn khác rỗng.
Với mỗi i {0, 1, ,n},đặt
G
i
=

{U
y
: y B,U

y
F
i
}.
8
Ta chứng tỏ rằng tập G
i
là xác định. Đặt I = {i},vìB
I
= nên tồn tại
y B
I
.NgoàiravìB
I
F
i
nên y F
i
. Theo định nghĩa của H
y
thì H
y
F
i
và do đó U
y
F
i
.Vìy B
I

và B
I
B nên y B.Vậytồntạiy B để
U
y
F
i
, tức là tập G
i
xác định. Mà B là tập hữu hạn nên G
i
là tập hợp đóng
trong
n
.
Nếu z G
i
thì tồn tại y B để y U
y
F
i
và z U
y
H
y
. Từ định nghĩa
của H
y
,tasuyraz F
i

.VậyG
i
F
i
.
Bây g iờ ta chứng minh conv({e
i
: i I})

{G
i
: i I} với mọi tập con
khác rỗng I của {0, 1, ,n}.
Lấy z conv({e
i
: i I})

{U
y
: y B
I
} thì tồn tại y B
I


{F
i
:
i I} để z U
y

.Dođótồntạij I để y F
j
. Theo định nghĩa của H
y
thì H
y
F
j
,dođóU
y
F
j
.
Mặt khác, từ định nghĩa của G
j
thì U
y
G
j
và do đó z U
y
U
y
G
j
hay z G
j
.Vậytacóz

{G

i
: i I}.Vìz conv({e
i
: i I}) là
tùy ý nên conv({e
i
: i I})

{G
i
: i I}. Chú ý rằng, vì các tập G
i
là đóng trong
n
nêntheoĐịnhlý1.1.1
n

j=0
G
j
= .TừG
j
F
j
với mọi
j =0, 1, ,n,tasuyra
n

j=0
F

j
= .Địnhlýđợc chứng minh.
Định lý 1.1.4 đợc gọi là Bổ đề KKM cho các tập hợp mở. Vận dụng Định
lý 1.1.4, ta phát biểu và chứng minh định lý Shih.
Định lý 1.1.5 (Định lý Shih). Cho C là một tập hợp lồi khác rỗng trong
không gian vectơ tôpô X và A là một tập con hữu hạn của C.Giảsử
F : A 2
C
là một ánh xạ KKM và F (x) là tập mở tr ong C với mọi x A.
Khi đó

xA
F (x) = .
Chứng minh. Xét A = {a
0
,a
1
, ,a
n
} là tập con hữu hạn khác rỗng trong
C, ta chứng minh
n

j=0
F (a
j
) = .
Xét ánh xạ
A
:

n
X cho bởi, với x =
n

i=0

i
(x)e
i

n
,
i
(x) 0,i=
0, 1, ,n,
n

i=0

i
(x)=1,thì
A
(x)=
n

i=0

i
(x)a
i

.
9
Ta thấy rằng
A
(x) C với mọi x
n
. Thật vậy, với x =
n

i=0

i
(x)e
i


n
,
i
(x) 0,i=0, 1, ,n,
n

i=0

i
(x)=1thì

A
(x)=
n

i=0

i
(x)a
i
conv({a
0
,a
1
, ,a
n
}).
Vì a
0
,a
1
, ,a
n
C và C là tập lồi nên conv({a
0
,a
1
, ,a
n
}) C,dođó

A
(x) C.
Khi đó, theo nh chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM ta có

A
:
n
X
là ánh xạ liên tục và với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, ,n} thì

A
(conv({e
j
: j J})) conv({a
j
: j J}). (1.3)
Vì F : A 2
C
là một ánh xạ KKM nên conv({a
j
: j J})

{F (a
j
):j J} với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, ,n}.Từ
giả thiết F(x) là tập mở trong C với mọi x A,tacóthểviếtF(x)=
C T (x) với T (x) là tập mở trong X với mọi x A.VìF (x) T (x)
với mọi x A nên từ conv({a
j
: j J})

{F (a
j
):j J} ta

có conv({a
j
: j J})

{T (a
j
):j J}. Kết hợp với (1.3), ta có

A
(conv({e
j
: j J}))

{T (a
j
):j J}.
Suy ra
conv({e
j
: j J})
1
A
(

{T (a
j
):j J})=

{
1

A
(T (a
j
)) : j J}.
(1.4)
Đặt T
j
=
1
A
(T (a
j
)),j =0, 1, ,n. Khi đó theo (1.4), với mọi tập con
khác rỗng J {0, 1, ,n},tacóconv({e
j
: j J})

{T
j
: j J}.
Vì ánh xạ
A
:
n
X là liên tục và các tập T(a
0
),T(a
1
), ,T(a
n

)
là mở trong X nên các tập T
j
=
1
A
(T (a
j
)), j =0, 1, ,n là mở trong

n
. K hi đó, theo Bổ đề KKM cho cá c tập hợp mở (Định lý 1.1.4)
n

j=0
T
j
= .
Nghĩa là
n

j=0

1
A
(T (a
j
)) = .Lấyx
n

j=0

1
A
(T (a
j
)) thì x
n
và
A
(x)
n

j=0
T (a
j
). Kết hợp với
A
(x) C,tasuyra
A
(x)
n

j=0
(C T (a
j
)) hay
10

A

(x)
n

j=0
F (a
j
).Vậy
n

j=0
F (a
j
) = .
VậyđịnhlýShihđợc chứng minh.
Bằng cách sử dụng định lý Shih, ta có thể chứng minh định lý điểm bất động
Fan-Glicksberg (xem [35, trang 91]). Trong mục tiếp theo, ta sẽ chứng minh
định lý điểm bất động Fan-Glicksberg bằng cách sử dụng bất đẳng thức Ky Fan
và định lý Hahn-Banach.
Ta nhắc lại một số khái niệm và Bổ đề sau:
Định nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai không gian tôpô và T : X 2
Y
,khi
đó
. T đợc gọi là nửa liên tục trên tại điểm x
0
X nếu với mọi tập hợp G
mở chứa T (x
0
), tồn tại lân cận U của x
0

trong X sao cho T (x) G với mọi
x U. Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi x X thì T đợc gọi là nửa
liên tục trên.
T đợc gọi là nửa liên tục dới tại điểm x
0
X nếu với mọi tập hợp G
mở thỏa mãn G T (x
0
) = , tồn tại lân cận U của x
0
trong X sao cho
G T (x) = với mọi x U. Nếu ánh xạ T nửa liên tục dới tại mọi x X
thì T đợc gọi là nửa liên tục dới.
T đợc gọi là đóng nếu đồ thị Gr(T ):={(x, y) X ì Y : y T (x)} của
T là tập đóng trong X ì Y .
Bổ đề 1.1.7. Cho X và Y là hai không gian tôpô Hausdorff và T : X 2
Y
là ánh xạ đa trị.
(i) Nếu X là compact và T là nửa liên tục trên với giá trị compact thì T (X)
là compact.
(ii) Nếu Y là compact và T là đóng thì T là nửa liên tục tr ên.
(iii) Nếu T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị compact thì T là đóng.
Chứng minh.
(i) Giả sử G = {G
i
: i I} là một phủ mở tuỳ ý của T(X). Khi đó
với mọi x X thì G = {G
i
: i I} cũng là một p hủ mở của T (x).Vì
T (x) là compact nên tồn tại A

x
I để T (x)

iA
x
G
i
, trong đó I là họ
các tập con hữu hạn khác rỗng của I.VìcáctậpG
i
là mở với mọi i I
nên

iA
x
G
i
cũng là tập mở. Do đó từ tính liên tục trên tại điểm x X
của T và T (x)

iA
x
G
i
, tồn tại lân cận mở U
x
của x trong X sao cho
11
T (u)

iA
x
G
i
với mọi u U
x
.VìX =

xX
U
x
và X là compact nên tồn
tại các điểm x
1
,x
2
, ,x
n
X sao cho X =
n

i=1
U
x
i
. Ta chứng minh rằng
T (X)

{G
i

: i A
x
1
A
x
2
ãããA
x
n
}.Thậtvậylấyy T (X) tuỳ
ý, vì T (X)=

xX
T (x) nên tồn tại x X để cho y T (x).Vìx X và
X =
n

i=1
U
x
i
nên tồn tại số nguyên dơng k không vợt quá n sao cho x U
x
k
.
Do đó T (x)

iA
x
k

G
i
. Kết hợp với y T (x) và

iA
x
k
G
i


{G
i
: i
A
x
1
A
x
2
ãããA
x
n
},tasuyray

{G
i
: i A
x
1

A
x
2
ãããA
x
n
}.Vì
y T (X) là tuỳ ý nên T (X)

{G
i
: i A
x
1
A
x
2
ãããA
x
n
}.Chú
ý rằng, vì các tập hợp A
x
i
I nên A
x
1
A
x
2

ãããA
x
n
I.Dođó
G
0
= {G
i
: i A
x
1
A
x
2
ãããA
x
n
} là một phủ con hữu hạn của G.Vìmọi
phủ mở G của T (X) đều có một phủ con hữu hạn G
0
nên T (X) là compact.
(ii) Lấy x
0
X tuỳ ý , ta chứng minh T là nửa liên tục trên tại x
0
và do đó
T là nửa liên tục trên. Vì Y là compact và
T (X) là đóng trong Y nên T(X)
là compact.
Giả sử G là tập mở chứa T(x

0
), ta cần phải chứng minh tồn tại lân cận U của
x
0
trong X sao cho T(x) G với mọi x U.
Với mọi y/ G,vìG chứa T (x
0
) nên y/ T (x
0
),dođó(x
0
,y) / Gr(T ).VìT
là đóng, nghĩa là Gr(T ) là tập đóng trong X ìY nên tồn tại lân cận mở V
y
của
y trong Y và lân cận U
x
0
(y) của x
0
trong X sao cho (U
x
0
(y) ìV
y
) Gr(T )=
.Vì{V
y
G : y/ G} là phủ mở của tập compact T (X) nên tồn tại
y

1
,y
2
, ,y
n
/ G sao cho T (X)
n

i=1
(V
y
i
G).ĐặtU =
n

i=1
U
x
0
(y
i
) thì U
là lân cận của x
0
trong X.
Ta chứng minh T (x) G với mọi x U.
Lấy z T(x) tuỳ ý, từ T (x)
T (X) và T (X)
n

i=1
(V
y
i
G),tasuyra
z
n

i=1
(V
y
i
G).Giảsửz/ G, khi đó tồn tại số nguyên dơng k không vợt
quá n sao cho z V
y
k
.Vìx U =
n

i=1
U
x
0
(y
i
) nên x U
x
0
(y
k

). Kết hợp
12
với z V
y
k
và z T (x),tasuyra(x, z) (U
x
0
(y
k
) ì V
y
k
) Gr(T ).Vậy
(U
x
0
(y
k
)ìV
y
k
)Gr(T ) = , tuy nhiên điều này trái với (U
x
0
(y)ìV
y
)Gr(T )=
ởtrên. Vậyz G,vìz T (x) là tuỳ ý nên T (x) G.Nh vậy, ta đã
chứng minh đợc T (x) G với mọi x U.ChúýrằngvìU là lân cận của

x
0
trong X nên T là nửa liên tục trên tại x
0
và do đó T là nửa liên tục trên.
(iii) Ta chứng minh T là đóng, nghĩa là phải chứng minh đồ thị Gr(T ):=
{(x, y) X ìY : y T (x)} của T là tập đóng trong X ìY hay tơng đơng
với (X ì Y )\ Gr(T ) là tập mở trong X ì Y Giả sử (a, b) (X ì Y )\ Gr(T ),
suy ra (a, b) / Gr(T ) hay b/ T (a). Suy ra với mọi y T (a) thì y = b.Vì
Y là không gian tôpô Hausdorff nên tồn tại lân cận mở V
y
của y trong Y và
lân cận U
b
(y) của b trong Y sao cho V
y
U
b
(y)=.Vì{ V
y
: y T (a)}
là phủ mở của tập compact T(a) nên tồn tại y
1
,y
2
, ,y
n
T (a) sao cho
T (a)
n

i=1
V
y
i
.ĐặtG =
n

i=1
V
y
i
, khi đó G là tập mở chứa T (a). Mặt khác,
vì T là nửa liên tục trên tại a nên tồn tại lân cận U của a trong X sao cho
T (x) G với mọi x U.ĐặtV =
n

i=1
U
b
(y
i
) thì V là lân cận của b trong Y .
Ta chứng minh (U ì V ) Gr(T )=.Thậtvậy,nếu(U ì V ) Gr(T ) = ,
tức là tồn tại (x, y) (U ì V ) Gr(T ). Khi đó y T (x) và x U.Vì
x U nên T (x) G. Kết hợp với y T (x),tasuyray G.VìG =
n

j=1
V

y
j
và y G nên tồn tại số nguyên dơng i không vợt quá n để y V
y
i
.Từ
y V =
n

i=1
U
b
(y
i
),tasuyray U
b
(y
i
). Kết hợp với y V
y
i
,tasuyra
V
y
i
U
b
(y
i
) = . Điều này trái với V

y
U
b
(y)= với mọi y T (a).Vậy
(U ì V ) Gr(T)= và do đó U ì V (X ì Y )\ Gr(T ).Nh vậy với mọi
(a, b) (X ì Y )\ Gr(T ), tồn tại lân cận U của a trong X và lân cận V của
b trong Y sao cho U ì V (X ì Y )\ Gr(T ).Dođó(X ì Y )\ Gr(T ) là tập
mở trong X ì Y hay Gr(T ) là tập đóng trong X ì Y
.VậyT là đóng.
Kết hợp Định lý 1.1.1 và Định lý 1.1.4, ta có Bổ đề KKM tổng quát
3
sau:
Định lý 1.1.8 (Bổ đề KKM tổng quát). Cho F
0
,F
1
, ,F
n
là các tập hợp
đóng trong
n
(tơng ứng mở) thỏa mãn điều kiện: với mọi tập con khác
rỗng J {0, 1, ,n},tacó
conv({e
j
: j J})

{F
j
: j J}.

3
Do tác giả tự đặt
13
Khi đó
n

j=0
F
j
= .
Vận dụng Bổ đề KKM tổng quát, ta phát biểu và chứng minh Nguyên lý ánh
xạ KKM tổng quát
4
sau:
Định lý 1.1.9 (Nguyên lý ánh xạ KKM tổng quát). Cho C là một tập hợp
khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X, F : C 2
X
là một ánh xạ KKM.
Giả sử F (x) là tập đóng trong X (tơng ứng mở) với mọi x C. Khi đó với
mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong C,tacó

xA
F (x) = .
Hơn nữa, nếu tồn tại hữu hạn các điểm a
1
,a
2
, ,a
n
thuộc C và tập compact

K trong không gian vectơ tôpô X để
n

j=1
F (a
j
) K thì

xC
F (x) = .
Chứng minh. Xét A = {a
0
,a
1
, ,a
n
} là tập con hữu hạn khác rỗng trong
C, ta chứng minh
n

j=0
F (a
j
) = .
Xét ánh xạ
A
:
n
X cho bởi, với x =
n

i=0

i
(x)e
i

n
,
i
(x) 0,i=
0, 1, ,n,
n

i=0

i
(x)=1,thì
A
(x)=
n

i=0

i
(x)a
i
.
Khi đó, theo nh chứng minh Nguyên lý ánh xạ KKM ta có
A

:
n
X
là ánh xạ liên tục và với mọi tập con J khác rỗng của {0, 1, ,n} thì
conv({e
j
: j J})

{F
j
: j J}, (1.5)
trong đó F
j
=
1
A
(F (a
j
)) với mọi j =0, 1, ,n.
Vì ánh xạ
A
:
n
X là liên tục và các tập F (a
0
),F(a
1
), ,F(a
n
) là

đóng trong X (tơng ứng mở) nên các tập F
j
=
1
A
(F (a
j
)) là đóng trong
4
Do tác giả tự đặt
14

n
(tơng ứng mở). Khi đó, theo Bổ đề KKM tổng quát (Định lý 1.1.8)
n

j=0
F
j
= . Nghĩa là
n

j=0

1
A
(F (a
j
)) = ,suyra
n

j=0
F (a
j
) = .
Ta chứng minh

xC
F (x) = .
Giả sử

xC
F (x)=.SuyraX = X\

xC
F (x)=

xC
(X\F (x)).VìK
X =

xC
(X\F (x)) nên {X\F (x):x C} làphủmởcủatậpcompactK.Do
đó, tồn tại x
1
,x
2
, ,x
k
C sao cho K

k

i=1
(X\F (x
i
))) = X\
k

i=1
F (x
i
).
Từ đó ta có K
k

i=1
F (x
i
)=. Kết hợp với
n

j=1
F (a
j
) K,tasuyra
n

j=1
F (a
j

)
k

i=1
F (x
i
)= và do đó
n

j=1
F (a
j
)
k

i=1
F (x
i
)=. Điều này trái
với tính chất giao hữu hạn của họ {F (x):x C}.Vậy

xC
F (x) = .
1.2 Bất đẳng thức Ky Fan và ứng dụng
Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, đợc sử dụng rộng rãi
trong Giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minh năm 1961.
Nhng trớc hết ta cần một số khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một không gian tôpô và f : X R là một
hàm số. Ta nói rằng f là nửa liên tục dới nếu tập {x X : f(x) >} là mở
trong X với mọi R và f là nửa liên tục trên nếu tập {x X : f(x) <}

là mở trong X với mọi R.
Từ định nghĩa trên ta thấy f nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu f nửa liên
tục dới.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử C là một tập hợp trong không gian vectơ X và
f : C R là một hàm số. Ta nói rằng f là tựa lõm nếu tập {x C :
f(x) } là lồi với mọi R và f là tựa lồi nếu tập {x C : f(x) }
là lồi với mọi R.
15
Dễ dàng thấy rằng nếu f là tựa lõm (tơng ứng tựa lồi) thì tập hợp {x X :
f(x) >}
(tơng ứng tập hợp {x X : f(x) <}) là lồi với mọi R.
Bây giờ ta phát biểu và chứng minh bất đẳng thức Ky Fan.
Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Ky Fan). Cho C là tập lồi compact khác rỗng
trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và hàm số f : C ì C R thỏa
mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) với mỗi y C cố định thì hàm f(ã,y) là tựa lõm, nghĩa là tập {x C :
f(x, y) } là lồi với mọi số thực ;
(ii) với mỗi x C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dới, nghĩa là tập
{y C : f(x, y) >} là mở trong C với mọi số thực ;
(iii) f(x, x) 0 với mọi x C.
Khi đó tồn tại y

C sao cho f(x, y

) 0 với mọi x C.
Chứng minh. Xét ánh xạ F : C 2
X
cho bởi
F (x)={y C : f(x, y) 0} với mọi x C.
Vì với x C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dới nên tập {y C :

f(x, y) > 0} là mở trong C.DođóF(x)={y C : f(x, y) 0} là đóng
trong C.VìC là tập compact trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X nên
C là đóng trong X. Cùng với F (x) là đóng trong C với mọi x C,tasuy
ra F (x) là đóng trong X với mọi x C.
Ta chứng minh
F là ánh xạ KKM. Lấy x
1
,x
2
, ,x
n
C tuỳ ý, ta chứng
minh
conv({x
1
,x
2
, ,x
n
})
n

i=1
F (x
i
).
Lấy y conv({x
1
,x
2

, ,x
n
}) tuỳ ý, khi đó tồn tại
1
,
2
, ,
n
0 với
n

i=1

i
=1sao cho y =
n

i=1

i
x
i
.VìC là lồi và x
1
,x
2
, ,x
n
C nên y C.
Giả sử y/

n

i=1
F (x
i
), khi đó f(x
i
,y) > 0 với mọi i =1, 2, ,n.Vìf(ã,y)
là tựa lõm nên tập {x C : f(x, y) > 0} là lồi. Từ x
1
,x
2
, ,x
n
C và
f(x
i
,y) > 0 với mọi i =1, 2, ,n nên x
1
,x
2
, ,x
n
{x C : f(x, y) >
0}.Màtập{x C : f(x, y) > 0} là lồi nên y =
n

i=1

i

x
i
{x C :
f(x, y) > 0}, nghĩa là f(y, y) > 0. Điều này trái với f(x, x) 0 với mọi
16
x C.VậyF : C 2
X
là ánh xạ KKM.
Theo Nguyên lý ánh xạ KKM, với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong
C,tacó

xA
F (x) = . Chú ý rằng, vì F (x) C với mọi x C và C là tập
compact trong X nên ta có

xC
F (x) = .Lấyy



xC
F (x), khi đó y

C
và f(x, y

) 0 với mọi x C.Địnhlýđợc chứng minh.
Xem kỹ lại chứng minh bất đẳng thức Ky Fan thì điều kiện v ới mỗi y C
cố định thì hàm f(ã,y) là tựa lõm chỉ đợc sử dụng để chứng minh tập hợp
{x C : f(x, y) > 0} là lồi. Do đó điều kiện thứ nhất trong bất đẳng thức Ky

Fancóthểđợc thay thế bằng điều kiện với mỗi
y C cố định thì tập hợp
{x C : f(x, y) > 0} là lồi. Do đó bất đẳng thức Ky Fan có thể đợc phát
biểu lại cho tốt hơn nh sau:
Định lý 1.2.4. Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ
tôpô Hausdorff X và hàm số f : C ì C R thỏa mãn đồng thời các điều
kiện sau:
(i) với mỗi y C cố định thì tập hợp {x C : f(x, y) > 0} là lồi;
(ii) với mỗi x C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dới;
(iii) f(x, x) 0 với mọi x C.
Khi đó tồn tại y

C sao cho f(x, y

) 0 với mọi x C.
Trong bất đẳng thức Ky Fan, điều kiện C là tập co mpact là cần thiết cho
chứng minh. Sau đây ta sẽ thay điều kiện
C là tập compact bằng điều kiện C là
tập đóng, điều thú vị là không gian nền
X chỉ cần giả thiết là không gian vectơ
tôpô.
Định lý 1.2.5. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
X và hàm số f : C ì C R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) với mỗi y C cố định thì tập hợp {x C : f(x, y) > 0} là lồi;
(ii) với mỗi x C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dới;
(iii) f(x, x) 0 với mọi x C;
(iv) tồn tại tập con compact khác rỗng B trong C và w
0
C sao cho
f(w

0
,x) > 0 với mọi x C\B.
Khi đó tồn tại y

C sao cho f(x, y

) 0 với mọi x C.
17
Chứng minh. Xét ánh xạ F : C 2
X
cho bởi
F (x)={y C : f(x, y) 0} với mọi x C.
Vì với x C cố định thì hàm f(x, ã) là nửa liên tục dới nên tập {y C :
f(x, y) > 0} là mở trong C.DođóF(x)={y C : f(x, y) 0} là đóng
trong C.VìC là tập đóng trong X nên ta suy ra F (x) là đóng trong X với
mọi x C.
Ta chứng minh F là ánh xạ KKM. Lấy x
1
,x
2
, ,x
n
C tuỳ ý, ta chứng
minh
conv({x
1
,x
2
, ,x
n

})
n

i=1
F (x
i
).
Lấy y conv({x
1
,x
2
, ,x
n
}) tuỳ ý, khi đó tồn tại
1
,
2
, ,
n
0
với
n

i=1

i
=1sao cho y =
n

i=1

i
x
i
.VìC là lồi và x
1
,x
2
, ,x
n
C
nên y C.Giảsửy/
n

i=1
F (x
i
), khi đó f(x
i
,y) > 0 với mọi i =
1, 2, ,n.Vìx
1
,x
2
, ,x
n
C và f(x
i
,y) > 0 với mọi i =1, 2, ,n
nên x

1
,x
2
, ,x
n
{x C : f(x, y) > 0}.Vìtập{x C : f (x, y) > 0} là
lồi nên y =
n

i=1

i
x
i
{x C : f(x, y) > 0}, nghĩa là f(y, y) > 0.Điềunày
trái với f(x, x) 0 với mọi x C.VậyF : C 2
X
là ánh xạ KKM.
Theo Nguyên lý ánh xạ KKM, với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A trong
C,tacó

xA
F (x) = . Chú ý r ằng, từ điều kiện (iv) ta có F (w
0
) B.Thật
vậy, với x F (w
0
) thì x C và f(w
0
,x) 0. Khi đó x B vì nếu không

thì x C\B và do đó f(w
0
,x) > 0 theo điều kiện (iv), trái với f(w
0
,x) 0.
Vậy F (w
0
) B,chúýrằngvìB là tập compact nên ta có

xC
F (x) = .
Lấy y



xC
F (x), khi đó y

C và f(x, y

) 0 với mọi x C.Địnhlý
đợc chứng minh.
Bằng cách đổi vai trò của hai biến x và y trong Định lý 1.2.5 đồng thời thay
f bởi f,tathuđợc định lý sau:
Định lý 1.2.6. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
X và hàm số f : C ì C R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
18
(i) với mỗi x C cố định thì tập hợp {y C : f(x, y) < 0} là lồi;
(ii) với mỗi y C cố định thì hàm f(ã,y) là nửa liên tục trên;
(iii) f(x, x) 0 với mọi x C;

(iv) tồn tại tập con compact khác rỗng B trong C và y
0
C sao cho
f(x, y
0
) < 0 với mọi x C\B.
Khi đó tồn tại x

C sao cho f(x

,y) 0 với mọi y C.
TrongĐịnhlý1.2.6,điềukiệnthứnhấtcóthểđợc thay bởi điều kiện: với
mỗi
x C cố định thì hàm f (x, ã) là tựa lồi, do đó ta có:
Định lý 1.2.7. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
X và hàm số f : C ì C R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) với mỗi x C cố định thì hàm f(x, ã) là tựa lồi;
(ii) với mỗi y C cố định thì hàm f(ã,y) là nửa liên tục trên;
(iii) f(x, x) 0 với mọi x C;
(iv) tồn tại tập con compact khác rỗng K trong C và y
0
C sao cho
f(x, y
0
) < 0 với mọi x C\K.
Khi đó tồn tại x

C sao cho f(x

,y) 0 với mọi y C.

Định lý 1.2.7 sẽ đợc sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bất
đẳng thức biến phân sẽ đợc đề cập ở trong Chơng 3.
Bằng cách đổi vai trò của hai biến
x và y, đôi khi bất đẳng thức Ky Fan ở
Định lý 1.2.3 đợc phát biểu dới dạng sau:
Định lý 1.2.8. Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ
tôpô Hausdorff X và hàm số f : C ì C R thỏa mãn đồng thời các điều
kiện sau:
(i) với mỗi y C cố định thì hàm f(ã,y) là nửa liên tục dới;
(ii) với mỗi x C cố định thì hàm f(x, ã) là tựa lõm;
(iii) f(x, x) 0 với mọi x C.
Khi đó tồn tại x

C sao cho f(x

,y) 0 với mọi y C.
19
Một trong những hiệu lực của bất đẳng thức Ky Fan là từ đây suy ra một loạt
định lý điểm bất động quan trọng, chi tiết bạn đọc có thể xem trong [35]. Trong
phần cuối chơng này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Ky Fan để chứng minh định
lý điểm bất động Fan-Glicksberg, từ đó suy ra một loạt các định lý điểm bất
động khác.
Định lý điểm bất động sau đây là một hệ quả của Nguyên lý ánh xạ KKM,
thờng gọi là định lý Browder - Fan.
Định lý 1.2.9. Cho C là tập lồi compact khác rỗng trong không gian vectơ
tôpô Hausdorff X và ánh xạ T : C 2
C
thoả mãn đồng thời các điều kiện
sau:
(i) T (x) là tập lồi khác rỗng với mọi x C;

(ii) T
1
(y):={x C : y T (x)} là tập mở trong C với mọi y C.
Khi đó tồn tại x
0
C sao cho x
0
T (x
0
).
Chứng minh. Xét ánh xạ F : C 2
X
cho bởi
F (x)=C\T
1
(x) với mọi x C.
Vì T
1
(x) là tập mở trong C với mọi x C nên F (x) là tập đóng trong C
với mọi x C.VìC là tập compact trong không gian vectơ tôpô Hausdorff
X nên C là đóng trong X. Cùng với F (x) là đóng trong C với mọi x C,
ta suy ra F (x) là đóng trong X với mọi x C.
Nếu F là ánh xạ KKM, khi đó theo Nguyên lý á nh xạ KKM

xA
F (x) =
với mọi tập hợp hữu hạn khác rỗng A C.VìC là tập c ompact trong X
nên ta suy ra

xC

F (x) = .Lấyy

xC
F (x), khi đó y C và y/ T
1
(x)
với mọi x C.Suyrax/ T (y) với mọi x C. Điều này là vô lý vì T (y)
là tập con khác rỗng của C theo điều kiện (i).
Vậy F không phải là ánh xạ KKM, khi đó tồn tại x
1
,x
2
, ,x
n
C sao
cho
conv({x
1
,x
2
, ,x
n
})
n

i=1
F (x
i
). (2.6)
Từ (2.6) ta suy ra tồn tại x

0
conv({x
1
,x
2
, ,x
n
}) sao cho x
0
/ F (x
i
)
với mọi i =1, 2, ,n.VìC là lồi và x
1
,x
2
, ,x
n
C nên ta suy ra
conv({x
1
,x
2
, ,x
n
}) C,dođóx
0
C. Kết hợp với x
0
/ F (x

i
) với
mọi i =1, 2, ,n,tasuyrax
0
T
1
(x
i
) với mọi i =1, 2, ,n hay
x
i
T (x
0
) với mọi i =1, 2, ,n.VìT(x
0
) là tập lồi nên ta suy ra
conv({x
1
,x
2
, ,x
n
}) T (x
0
). Kết hợp với x
0
conv({x
1
,x
2

, ,x
n
}),
ta suy ra x
0
T (x
0
).Vậytồntạix
0
C sao cho x
0
T (x
0
).
20
Bây giờ ta sẽ mở rộng định lý Browder - Fan cho hai ánh xạ, ta có kết quả
sau đây:
Định lý 1.2.10. Cho C là tập con lồi compact khác rỗng trong không gian
vectơ tôpô Hausdorff X.GiảsửS, T : C 2
C
là hai ánh xạ đa trị thoả
mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) conv(S(x)) T (x) với mọi x C;
(ii) S(x) = với mọi x C;
(iii) tập hợp S
1
(y):={x C : y S(x)} là mở trong C với mọi y C.
Khi đó tồn tại x
0
C sao cho x

0
T (x
0
).
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh
C =

{S
1
(y):y C}. (2.7)
Thật vậy, lấy x C bất kỳ. Vì S(x) = nên tồn tại y
0
C để y
0
S(x),
nghĩa là x S
1
(y
0
).Dođóx

{S
1
(y):y C}.Vìx C là bất
kỳ nên ta suy ra C

{S
1
(y):y C} . Bao hàm thức ngợc lại là hiển
nhiên. Vậy (2.7) đợc chứng minh.

Vì C là compact và S
1
(y) là mở trong C với mọi y C nên từ (2.7), ta suy
ra tồn tại hữu hạn các điểm y
1
,y
2
, ,y
n
C sao cho C =
n

i=1
S
1
(y
i
).Xét
ánh xạ F : C 2
X
cho bởi
F (y)=C\S
1
(y) với mọi y C.
Vì S
1
(y) là tập mở trong C với mọi y C nên F (y) là tập đóng trong C
với mọi y C.NgoàiravìC là tập compact trong không gian vectơ tôpô
Hausdorff X nên C là đóng trong X. Cùng với F (y) là đóng trong C với mọi
y C,tasuyraF (y) là đóng trong X với mọi y C.TừC =

n

i=1
S
1
(y
i
)
ta suy ra
n

i=1
F (y
i
)=
n

i=1
(C\S
1
(y
i
)) = C\
n

i=1
S
1
(y
i

)=.VậyF không có
tính chất giao hữu hạn. Theo Nguyên lý ánh xạ KKM thì F không phải là
ánh xạ KKM, do đó tồn tại x
1
,x
2
, ,x
k
C sao cho
conv({x
1
,x
2
, ,x
k
})
k

i=1
F (x
i
). (2.8)
21
Từ (2.8) ta suy ra tồn tại x
0
conv({x
1
,x
2
, ,x

k
}) sao cho x
0
/ F (x
i
)
với mọi i =1, 2, ,k.VìC là lồi và x
1
,x
2
, ,x
k
C nên ta suy ra
conv({x
1
,x
2
, ,x
k
}) C,dođóx
0
C. Kết hợp với x
0
/ F (x
i
) với mọi
i =1, 2, ,k,tasuyrax
0
S
1

(x
i
) với mọi i =1, 2, ,k hay x
i
S(x
0
)
với mọi i =1, 2, ,k.Suyrax
i
conv S(x
0
) với mọi i =1, 2, ,k.Vì
conv S(x
0
) là tập lồi nên ta suy ra conv({x
1
,x
2
, ,x
k
}) conv S(x
0
).Chú
ý rằng, vì x
0
conv({x
1
,x
2
, ,x

k
}) nên ta suy ra x
0
conv S(x
0
).Kết
hợp với conv S(x
0
) T (x
0
),tasuyrax
0
T (x
0
).Vậytồntạix
0
C sao
cho x
0
T (x
0
).
Dễ dàng thấy rằng trong Định lý 1.2.10 khi S = T là ánh xạ đa trị với giá
trị lồi khác rỗng, ta thu đợc định lý Browder - Fan.
Tiếp theo ta sẽ mở rộng định lý Browder - Fan cho hai ánh xạ nhng trong
trờng hợp tập
C không nhất thiết là compact. Trớc hết, chúng tôi nhắc lại kết
quả sau sẽ đợc sử dụng trong chứng minh Định lý Browder - Fan tổng quát
5
:

Cho
A
1
,A
2
, ,A
n
là các tập hợp lồi compact khác rỗng trong không gian
vectơ tôpô
X, khi đó conv(A
1
A
2
ãããA
n
) là tập compact.
Chứng minh kết quả này không khó, bạn đọc có thể xem ở trong [40, trang
72].
Một kết quả trực tiếp đợc suy ra từ kết quả trên là Cho các điểm
a
1
,a
2
, ,a
n
trong không gian vectơ tôpô X, khi đó conv({a
1
,a
2
, ,a

n
}) là tập compact.
Thật vậy, vì các tập hợp
A
i
= {a
i
} với i =1, 2, ,n là các tập hợp lồi com-
pact khác rỗng trong không gian vectơ tôpô
X nên conv({a
1
,a
2
, ,a
n
})=
conv(A
1
A
2
ãããA
n
) là tập compact.
Bây giờ ta phát biểu và chứng minh Định lý Browder - Fan tổng quát. Phép
chứng minh này đợc tác giả độc lập chứng minh.
Định lý 1.2.11 (Định lý Browder - Fan tổng quát). Cho C là tập con lồi
khác rỗng của không gian vectơ tôpô Hausdorff X.ChoS, T : C 2
C
là
hai ánh xạ đa trị thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) conv(S(u)) T (u) với mọi u C;
(ii) S(u) = với mọi u C;
(iii) tập hợp S
1
(v):={u C : v S(u)} là mở trong C với mọi v C;
(iv) tồn tại tập compact khác rỗng K C và tập lồi compact khác rỗng
D C sao cho với mọi u C\K,tồntạiv D sao cho u S
1
(v).
Khi đó tồn tại
u C sao cho u T (u).
5
Do tác giả tự đặt
22
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh
C =

{S
1
(v):v C}.
Lấy u C bất kỳ, vì S(u) = nên tồn tại v C để v S(u), nghĩa là
u S
1
(v).Dođóu

{S
1
(v):v C}.Vìu C là bất kỳ nên ta suy
ra C

{S
1
(v):v C}. Bao hàm thức ngợc lại là hiển nhiên. Tóm lại
ta có
C =

{S
1
(v):v C}.
Từ C =

{S
1
(v):v C}, K C là tập compact và S
1
(v) là tập mở
trong C với mọi v C,tasuyratồntạiM C sao cho
K

{S
1
(v):v M}, (2.9)
ở đây ký hiệu A là họ các tập con hữu hạn khác rỗng của tập hợp A.
Đặt L
M
=conv(conv(M) D). Khi đó, vì M là tập hữu hạn khác rỗng nên
conv(M) là tập lồi compact trong X.VìD là tập con lồi compact của C nên
D cũng là tập lồi compact trong X.DođóL
M
là tập lồi, compact trong X

và chứa M.VìM,D C và C là lồi nên L
M
=conv(conv(M) D) C.
Ta chứng minh
L
M


{C\S
1
(v):v L
M
}K.
Lấy u L
M


{C\S
1
(v):v L
M
} bất kỳ, khi đó u C.Giảsửu/ K,
khi đó u C\K. Theo điều kiện (iv), tồn tại v D sao cho u S
1
(v).
Vì v D và D L
M
nên v L
M
. Điều này là vô lý vì ta biết rằng

u

{C\S
1
(v):v L
M
} và v L
M
nên u/ S
1
(v).Nh vậy u K,
vì u L
M


{C\S
1
(v):v L
M
} là bất kỳ nên
L
M


{C\S
1
(v):v L
M
}K.
Từ đó suy ra

L
M
\K

{S
1
(v):v L
M
} (2.10)
Vì L
M
chứa M nên theo (2.9) thì
L
M
K

{S
1
(v):v L
M
}. (2.11)
Từ (2.10) và (2.11), ta suy ra
L
M


{S
1
(v):v L
M

}. (2.12)
23
Vì L
M
là tập compact trong X và L
M
C nên L
M
là tập compact trong C.
Chú ý rằng, vì S
1
(v) là tập mở trong C với mọi v C nên từ (2.12), ta suy
ra tồn tại A = {v
0
,v
1
, ,v
n
}L
M
sao cho
L
M

n

i=0
S
1
(v

i
). (2.13)
Từ (2.13), ta suy ra
L
M
=
n

i=0
(S
1
(v
i
) L
M
).
Xét ánh xạ
A
:
n
X cho bởi, với x =
n

i=0

i
(x)e
i

n

,
i
(x) 0,i=
0, 1, ,n,
n

i=0

i
(x)=1,thì
A
(x)=
n

i=0

i
(x)v
i
. Khi đó theo chứng minh
trong Nguyên lý ánh xạ KKM,
A
:
n
X là ánh xạ liên tục và với mọi
tập con J khác rỗng của {0, 1, ,n}

A
(conv({e
j

: j J})) conv({v
j
: j J}).
Đặc biệt, khi J = {0, 1, ,n},tađợc
A
(
n
) conv(A). Mặt khác, vì
ánh xạ
A
:
n
X là liên tục nên ánh xạ
A
:
n
conv(A) cũng
liên tục.
Vì X là không gian tôpô Hausdorff và L
M
X là tập compact khác rỗng
nên L
M
là không gian compact Hausdorff với tôpô cảm sinh bởi tôpô của X
trên L
M
.VìS
1
(v
i

) là mở trong C và L
M
C nên S
1
(v
i
) L
M
là mở
trong L
M
.
Theo bổ đề về phân hoạch đơn vị, tồn tại một dãy hàm liên tục


i

n
i=0
trên L
M
thỏa mãn các tính chất sau:
a)
i
(x) 0 với mọi x L
M
và mọi i =0, 1, ,n;
b)
i
(x)=0với mọi x/ S

1
(v
i
) L
M
;
c)
n

i=0

i
(x)=1với mọi x L
M
.
Xét ánh xạ liên tục p : L
M

n
cho bởi
6
p(x)=
n

i=0

i
(x)e
i
với mọi x L

M
.
6
Với i =0, 1, ,n,taxétánhxạf
i
: R R
n+1
cho bởi f
i
()=e
i
. Khi đó f
i
là ánh xạ liên tục với
mọi i =0, 1, ,n.Vì
i
: L
M
R là liên tụ c với mọi i =0, 1, ,n nên p =
n

i=0
f
i

i
: L
M
R
n+1

24