một số phương pháp giải bài toán chuyển động đều ở lớp 5

MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vị trí rất quan trọng trong cuộc sống thực tiễn. Đó cũng là
công cụ cần thiết cho các môn học khác và để giúp cho học sinh nhận thức thế
giới xung quanh, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn toán rất to lớn: Nó phát triển tư
duy, trí tuệ, có vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tính suy luận, tính khoa
học toàn diện, chính xác, tư duy độc lập, sáng tạo, linh hoạt, góp phần giáo
dục tính nhẫn nại, ý chí vượt khó khăn.
Chính vì vậy, năng lực giải toán của học sinh có vai trò rất quan trọng
trong việc góp phần hình thành và phát triển nhân cách. Để giải quyết được
một bài toán, học sinh cần phải nắm được một số phương pháp giải toán vừa
phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi và trình độ nhận thức.
Toán chuyển động đều nằm trong chương trình toán lớp 5. Đây là dạng
toán ứng dụng thực tế trong cuộc sống của các em, cung cấp lượng vốn sống
hết sức cần thiết cho các em học sinh Tiểu học. Đây là loại toán khó, nội dung
phong phú, đa dạng. Vì thế cần phải có một số phương pháp cụ thể đề ra để
giải các bài toán chuyển động đều nhằm phát triển khả năng tư duy linh hoạt
và óc sáng tạo của học sinh tiểu học.
Tìm hiểu các đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên tiểu học về chủ
đề này em thấy: Các đề tài làm rất tốt việc phân loại các bài toán chuyển
động, tập trung vào các phương pháp dạy học và xây dựng những phương án
hướng dẫn học sinh giải toán khá cụ thể. Tuy vậy chưa có đề tài nào nêu bật
được những phương pháp thường dùng trong giải bài toán chuyển động đều ở
lớp 5, do đó chưa giải quyết được vấn đề cơ bản là kết nối các kiến thức về
phương pháp giải toán đã biết của học sinh với kiến thức của bài toán chuyển
động đều.
Từ những lí do nêu trên, em chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài
toán chuyển động đều ở lớp 5” để nghiên cứu trong khóa luận của mình.
1

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu nội dung một số dạng toán chuyển động đều trong chương
trình Tiểu học.
-Tìm hiểu thực trạng khả năng giải toán chuyển động đều của học sinh
lớp 5 và tình hình dạy học của giáo viên về nội dung này.
- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán chuyển động đều.
3 Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống phương pháp giải phù hợp với các dạng bài
toán chuyển động đều sẽ góp phần nâng cao khả năng giải toán của học sinh
lớp 5.
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân loại các bài toán chuyển động đều.
- Thực trạng khả năng giải toán chuyển động đều của học sinh lớp 5 và
tình hình dạy học của giáo viên về nội dung này.
- Xây dựng một số phương pháp giải bài toán chuyển động đều.
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Bài toán chuyển động đều trong chương trình
Toán lớp 5.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số phương pháp giải bài toán chuyển động
đều trong chương trình Toán lớp 5.
6 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC GIẢI TOÁN
CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Ở TIỂU HỌC CỦA HỌC SINH LỚP 5
1.1. Vị trí, vai trò của việc dạy học giải các bài toán chuyển động đều ở
Tiểu học đối với học sinh lớp 5
Là một bộ phận của môn toán ở Tiểu học, Toán chuyển động đều có vị trí
vai trò chung, cũng như vị trí vai trò riêng của nó, biểu hiện cụ thể ở những
đặc điểm sau:
- Giải bài toán chuyển động đều góp phần bồi dưỡng và phát triển năng
lực trí tuệ một cách toàn diện.
Mỗi bài toán đưa ra là một lần học sinh phải sử dụng rất nhiều các thao
tác trí tuệ nhằm giải quyết các tình huống có vấn đề xảy ra. Toán chuyển động
đều là một trong những loại toán khá phức tạp, thể loại đa dạng , phong phú.
Vì thế đứng trước một bài toán chuyển động, học sinh phải phát huy cao độ
tính năng động của các thao tác tư duy. Qua đó giúp học sinh giải quyết được
các yêu cầu của bài toán. Đồng thời các em thấy được ý nghĩa của bài toán
với hệ thống kiến thức đã học và chuyển những kinh nghiệm, kiến thức vừa
có vào hệ thống kinh nghiệm, kiến thức của bản thân.
- Giải các bài toán chuyển động đều góp phần hình thành kiến thức, kĩ
năng cơ bản.
Toán chuyển động đều không chỉ giúp học sinh đào sâu, củng cố chính
kiến thức cơ bản về loại toán này như đại lượng thời gian, độ dài, vận tốc, mà
nó còn củng cố nhiều kiến thức kĩ năng cơ bản khác. Biểu diễn rõ nhất là kiến
thức đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, kĩ năng tóm tắt bài toán
bằng sơ đồ, kĩ năng tính toán…
- Giải các bài toán chuyển động đều góp phần bồi dưỡng năng khiếu toán
học.
- Giải các bài toán chuyển động đều gây hứng thú toán học, giáo dục tư
tưởng tình cảm và nhân cách cho học sinh.

3


Qua giải bài toán chuyển động đều, không chỉ tạo được sự hứng thú say
mê ở mỗi học sinh, mà còn tạo cho các em một phong cách làm việc khoa học
chính xác, cần mẫn, sáng tạo.
- Giải các bài toán chuyển động đều góp phần cung cấp vốn hiểu biết về
cuộc sống cho học sinh tiểu học.
Các kiến thức trong toán chuyển động đều rất thực tế và gần gũi với
cuộc sống hàng ngày như: quãng đường, thời gian, vận tốc…sẽ được tính toán
và áp dụng ra sao…Chính những bài toán chuyển động đều sẽ đáp ứng được
yêu cầu đó.
1.2. Đặc điểm của bài toán chuyển động đều ở lớp 5
1.2.1. Mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán chuyển động đều
Trong bài toán chuyển động đều, luôn có mối quan hệ là xoay quanh ba
đại lượng vận tốc, quãng đường và thời gian. Đại lượng này luôn phụ thuộc
vào hai đại lượng còn lại.
- Nếu hai chuyển động có cùng vận tốc bằng nhau, thời gian tăng lên
(hoặc giảm đi) bao nhiêu lần thì quãng đường tăng lên (hoặc giảm đi) bấy
nhiêu lần. Nói cách khác, thời gian và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ
thuận.
- Nếu hai chuyển động trong cùng một khoảng thời gian, vận tốc tăng
lên (hoặc giảm đi) bao nhiêu lần thì quãng đường cũng tăng lên (hoặc giảm
đi) bấy nhiêu lần. Nói cách khác, vận tốc và quãng đường là hai đại lượng tỉ
lệ thuận.
- Nếu hai chuyển động có cùng độ dài quãng đường, vận tốc tăng lên
(hoặc giảm đi) bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi (hoặc tăng lên) bầy nhiêu
lần. Nói cách khác, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

4

1.2.2. Giải bài toán chuyển động đều
Giải bài toán chuyển động đều là xác định ba đại lượng của chuyển
động. Thông thường ta đã biết hai trong ba đại lượng: vận tốc, quãng đường
và thời gian. Ta chỉ việc áp dụng công thức để tìm ra đại lượng còn lại.
Một số bài toán chuyển động chỉ xoay quanh hai đại lượng vận tốc và
thời gian, khai thác tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng này với trung
gian là quãng đường (không đổi). Lúc này ta chỉ xác định tường minh được
một trong ba đại lượng ấy.
1.3. Phân loại toán chuyển động đều
Các bài toán chuyển động ở tiểu học rất đa dạng, phong phú. Căn cứ vào
số lượng vật tham gia chuyển động và đặc điểm của chuyển động, ta có thể
chia thành các dạng sau:
Dạng 1: Các bài toán có một vật tham gia chuyển động.
- Bài toán tính vận tốc và bài toán tìm vận tốc trung bình của vật đó.
- Bài toán tính quãng đường đi được của vật đó.
- Bài toán tính thời gian đi được của vật đó.
Dạng 2: Các bài toán có hai vật chuyển động ngược chiều, gặp nhau.
Dạng 3: Các bài toán có hai vật chuyển động cùng chiều, đuổi nhau.
Dạng 4: Các bài toán có hai vật chuyển động ngược chiều, rời xa nhau.
Dạng 5: Các bài toán chuyển động trên dòng nước.
Dạng 6: Các bài toán chuyển động của đoàn tàu.
Dạng 7: Các bài toán chuyển động của đồng hồ.
Các bài toán thuộc dạng 5, dạng 6 và dạng 7 thường có trong các kỳ thi
học sinh giỏi. Tuy nhiên, nội dung bài toán vượt quá phạm vi kiến thức trong
chương trình Tiểu học. Vì vậy, đề tài chỉ tập trung nghiên cứu bốn dạng đầu
tiên của bài toán chuyển động đều.
Sau đây là bốn dạng bài toán chuyển động ở tiểu học theo từng dạng đã
nêu như sau:

5


1.3.1. Dạng 1: Các bài toán có một vật tham gia chuyển động
 Các bài toán tính vận tốc của vật chuyển động
Bài toán: Vật chuyển động trên quãng đường S với thời gian t. Tìm
vận tốc của vật.
Ví dụ 1 (Bài 1, SGK Toán 5, trang 139): Một người đi xe máy trong 3
giờ được 105km. Tính vận tốc của người đi xe máy.
Ví dụ 2 (Bài 2, SGK Toán 5, trang 139): Một người chạy được 400m
trong 1 phút 20 giây. Tính vận tốc chạy của người đó với đơn vị đo là
m/giây.
Ví dụ 3: Một ô tô xuất phát từ thành phố A đến thành phố B lúc 15 giờ
30 phút. Biết rằng quãng đường từ A đến B là 120km và ô tô đó xuất phát
lúc 13 giờ. Tính vận tốc của ô tô đó.
Dạng bài toán tìm vận tốc trung bình của vật chuyển động
Bài toán: Một vật chuyển động đều trong thời gian t 1 được quãng
đường s1, trong thời gian t2 được quãng đường s2, ... tính vận tốc trung bình
của vật trên cả quãng đường (vận tốc trung bình là tổng quãng đường chia
cho tổng thời gian).
Ví dụ: Một người đi xe đạp trong 3 giờ, giờ thứ nhất đi được 12 km,
giờ thứ hai đi được 18km, giờ thứ ba đi được quãng đường bằng nửa quãng
đường đi trong hai giờ đầu. Hỏi trung bình mỗi giờ người đó đi được bao
nhiêu ki-lô-mét?
 Các bài toán tính quãng đường của vật chuyển động

Bài toán: Vật chuyển động với vận tốc v trong khoảng thời gian t. Tính
quãng đường S vật đi được.
Ví dụ 1 (Bài 1, SGK Toán 5, trang 141): Một ca nô đi với vận tốc
15,2km/giờ. Tính quãng đường đi được của ca nô trong 3 giờ.

Ví dụ 2 (Bài 2, SGK Toán 5, trang 141): Một người đi xe đạp trong 15
phút với vận tốc 12,6km/giờ. Tính quãng đường đi được của người đó.
6


Ví dụ 3: Một ô tô dự kiến đi từ A với tốc độ 45km/giờ để đến B lúc 12
giờ trưa. Do trời trở gió nên mỗi giờ xe chỉ đi được 35km và đến B chậm 40
phút so với dự kiến. Tính quãng đường từ A đến B.
Ví dụ 4: Hàng ngày Anh đi xe đạp từ nhà đến trường mất 20phút. Sáng
nay do có việc bận, Anh xuất phát chậm 4 phút so với mọi ngày. Để đến
đúng giờ, Anh tính mỗi phút phải đi nhanh hơn 50m so với mọi ngày. Hỏi
quãng đường từ nhà đến lớp học dài bao nhiêu km?
 Các bài toán tính thời gian của vật chuyển động

Bài toán: Vật chuyển động với vận tốc v trên quãng đường S. Tính
thời gian t vật đã đi trên quãng đường S đó.
Ví dụ 1 (Bài 1, SGK Toán 5, trang 143): Viết số thích hợp vào

ô

trống:
s (km)

35

10,35

108,5

81

v (km/giờ)

14

4,6

62

36

t (giờ)
Ví dụ 2 (Bài 2, SGK Toán 5, trang 143): Một con ốc sên bò với vận tốc
12 cm/phút. Hỏi con ốc sên đó bò được quãng đường 1,08m trong thời gian
bao lâu?
Ví dụ 3: Một máy bay bay với vận tốc 860 km/giờ được quãng đường
2150km. Hỏi máy bay đến nơi lúc mấy giờ, nếu nó khởi hành lúc 8 giờ 45
phút?
Trên đây là 3 dạng bài toán tính vận tốc, quãng đường, thời gian cơ bản
của toán chuyển động đều ở lớp 5, ngoài ra còn các dạng chuyển động khác
được trình bày chủ yếu ở phần luyện tập chung, và ôn tập trong sách giáo
khoa toán lớp 5 nhằm củng cố thêm kiến thức cho học sinh, cụ thể như sau:

7


1.3.2. Dạng 2: Các bài toán có hai vật chuyển động ngược chiều, gặp
nhau
Bài toán: Hai vật chuyển động ngược chiều với vận tốc v 1 và v2.
Khoảng cách khi hai vật bắt đầu cùng chuyển động là S. Tính thời gian để

chúng gặp nhau.
Ví dụ 1 (Bài 1, SGK Toán 5, trang 144):
a) Quãng đường AB dài 180km. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 54
km/giờ, cùng lúc đó một xe máy đi từ B đến A với vận tốc 36 km/giờ. Hỏi kể
từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ ô tô gặp xe máy?
Xe ô tô

Xe máy
180km

b) Quãng đường AB dài 276km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc, một
xe đi từ A đến B với vận tốc 42 km/giờ, một xe đi từ B đến A với vận tốc 50
km/giờ. Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ hai ô tô gặp nhau?
Ví dụ 2: Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc và đi ngược
chiều nhau. Ô tô đi từ A với vận tốc 48,5 km/giờ, xe máy đi từ B với vận tốc
33,5 km/giờ. Sau 1 giờ 30 phút ô tô và xe máy gặp nhau tại C. Hỏi quãng
đường AB dài bao nhiêu ki-lô-mét?
Ví dụ 3: Hai ô tô xuất phát từ A và B, cùng một lúc và đi ngược chiều
nhau, sau 2 giờ chúng gặp nhau. Quãng đường AB dài 180km. Tính vận tốc
của mỗi ô tô, biết vận tốc của ô tô đi từ A bằng vận tốc ô tô đi từ B.
1.3.3. Dạng 3: Các bài toán có hai vật chuyển động cùng chiều, đuổi
nhau
Bài toán: Hai vật chuyển động cùng chiều với vận tốc v1 và v2. Khoảng
cách khi hai vật bắt đầu cùng chuyển động là S. Tính thời gian để chúng
đuổi kịp nhau.
Ví dụ 1 (Bài 1, SGK Toán 5, trang 145):
8


48km

8km

a) Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12 km/giờ, cùng lúc đó
một người đi xe máy từ A cách B là 48km với vận tốc 36 km/giờ và đuổi
theo xe đạp (xem hình dưới đây). Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ xe
máy đuổi kịp xe đạp?
Xe máy

Xe đạp

A

B

C

b) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ. Sau 3 giờ
một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 36 km/giờ. Hỏi kể từ lúc xe máy
bắt đầu đi, sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp
Ví dụ 2: Một xe máy đi từ A lúc 8 giờ 37 phút với vận tốc 36 km/giờ.
Đến 11 giờ 7 phút một ô tô cũng đi từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54
km/giờ. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ?
Ví dụ 3: Cùng một lúc, Vừ đi ngựa với vận tốc 11 km/giờ, Lềnh đi bộ
với vận tốc 5 km/giờ và đi cùng chiều với Vừ. Biết rằng khi bắt đầu đi Lềnh
cách Vừ một quãng đường 8km (xem hình vẽ). Hỏi sau bao nhiêu phút Vừ
đuổi kịp Lềnh?

A. 45 phút

B. 80 phút

C. 60 phút

D. 96 phút

1.3.4. Dạng 4: Các bài toán có hai vật chuyển động ngược chiều, rời xa
nhau

Vừ
Lềnh
Dạng bài toán này được dạy thêm nhằm củng cố kiến thức cho học sinh

khá giỏi ở các bài11
toán
chuyển động trong sách toán nâng cao. 5 km/giờ
km/giờ
Ví dụ 1: Hai người cùng khởi hành cùng một lúc từ một điểm và đi về
9


hai phía ngược nhau, một người đi xe máy với vận tốc 48 km/giờ, một người
đi xe đạp với vận tốc bằng vận tốc người đi xe máy. Hỏi sau 1 giờ 24 phút
hai người cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét?
Ví dụ 2: Hai người cùng khởi hành từ một điểm và đi về hai phía
ngược nhau, một người đi ô tô với vận tốc 50 km/giờ, một người đi xe máy
với vận tốc 40 km/giờ. Hỏi sau 1 giờ 42 phút hai người cách nhau bao nhiêu
ki-lô-mét?

10

CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN
CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU CỦA HỌC SINH LỚP 5
2.1. Khả năng giải toán chuyển động đều của học sinh lớp 5
Học sinh lớp 5 đa phần các em đều giải được toán chuyển động đều có
một vật tham gia chuyển động và dạng toán chuyển động đều có hai vật tham
gia chuyển động ở mức độ đơn giản, các em chỉ việc áp dụng công thức tính.
Những bài tập nâng cao hơn, các em sẽ gặp khó khăn trong việc giải quyết bài
toán khi không thể trực tiếp áp dụng công thức. Ngoài ra, các em thường mắc
phải những sai sót trong khi giải bài toán chuyển động đều như: Tính toán sai,
viết sai đơn vị đo, nhầm lẫn giữa thời gian và thời điểm, vận dụng sai công
thức, học sinh lúng túng khi đưa bài toán chuyển động ngược chiều (hoặc
cùng chiều) lệch thời điểm xuất phát về dạng toán chuyển động ngược chiều
(hoặc cùng chiều) cùng thời điểm xuất phát.
Những sai lầm này thường do những nguyên nhân chủ yếu sau:
- Học sinh không đọc kỹ đề bài, thiếu sự suy nghĩ cặn kẽ dữ kiện và
điều kiện đưa ra trong bài toán.
- Thời lượng cho việc dạy học nội dung này ít, HS không hiểu rõ mối
quan hệ của 3 đại lượng trong chuyển động.
- Khi giải bài toán học sinh còn nặng về trí nhớ máy móc, tư duy
chưa linh hoạt.
- Học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản.
- Vốn ngôn ngữ của học sinh còn nhiều hạn chế.
2.2. Thực trạng việc dạy học toán chuyển động đều ở lớp 5
Dạy giải toán về chuyển động đều, khi hình thành kiến thức mới, giáo
viên phải làm việc tương đối nhiều, việc tổ chức dạy học theo tinh thần lấy
học sinh làm trung tâm chưa hiệu quả khi dạy học dạng toán này. Học sinh
chưa tích cực, chưa chủ động, đôi khi còn tỏ ra chán nản. Chuyển sang khâu

11


luyện tập thực hành, giáo viên vẫn phải theo dõi và giúp đỡ rất nhiều học sinh
mới hoàn thành các bài tập đúng tiến độ.
Tìm hiểu thực trạng việc dạy học toán chuyển động đều của giáo viên
cho thấy những ưu khuyết điểm sau:
- Ưu điểm: Giáo viên đã cung cấp đúng và đầy đủ kiến thức cho học
sinh. Các bài toán chuyển động trong sách giáo khoa được giáo viên giải
quyết thông qua việc dạy kiến thức, kỹ năng mà học sinh vừa học qua.
Nhược điểm: Việc khai thác thế mạnh của bài toán về chuyển động chưa
được chú ý. Một số giáo viên chưa nghiên cứu để khai thác hết kiến thức, dạy
máy móc, chưa chú trọng làm rõ bản chất toán học, nên học sinh chỉ nhớ công
thức và vận dụng công thức làm bài, chứ chưa có sự sáng tạo trong từng bài
toán tình huống chuyển động cụ thể có trong cuộc sống. Các bài toán nâng
cao giáo viên giới thiệu một cách lẻ tẻ, trong quá trình hướng dẫn học sinh
chưa nhấn mạnh những ưu điểm và những điểm cần chú ý của dạng toán này.
Bên cạnh đó, nhìn chung các em đã có sự cố gắng trong học tập, nhiều
em chú ý lắng nghe cô giảng bài trên lớp, hiểu bài ngay và biết vận dụng vào
làm bài tập thực hành khá tốt. Tuy nhiên, học sinh giải bài nào biết bài đó,
chưa có cái nhìn khái quát và phương pháp để giải những bài toán chuyển
động ở dạng nâng cao. Đôi khi học sinh phải chịu bó tay trước những dạng
bài tập này, dẫn đến có ấn tượng những bài toán nâng cao về chuyển động là
khó.

12


CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Ở LỚP 5

Qua nghiên cứu toán chuyển động đều, tìm hiểu thực trạng khả năng giải
toán của học sinh và việc dạy học của giáo viên về chủ đề này, em xin đề xuất
một số phương pháp giải toán áp dụng vào một dạng toán cụ thể của toán
chuyển động đều như sau:
3.1. Dạng 1: Các bài toán có một vật tham gia chuyển động
3.1.1. Đặc điểm của chuyển động
Đây là dạng chuyển động đơn giản, thường có quãng đường không đổi,
vận tốc giữ nguyên, thời gian có thể tính trực tiếp. Đối với dạng toán này
chúng ta chỉ việc áp dụng đúng các công thức về mối liên hệ giữa vận tốc,
quãng đường, và thời gian sau:
- Vận tốc: v = s : t (v là vận tốc; s là quãng đường; t là thời gian)
- Quãng đường: s = v × t
- Thời gian : t = s : v
Trong đó cần lưu ý cách chuyển đổi đơn vị đo của thời gian, quãng
đường, và vận tốc sao cho chính xác, thông thường người ta sử dụng đơn vị
vận tốc là: km/giờ, m/s.
Nhận xét
- Thời gian đi = Thời gian đến - Thời gian khởi hành - Thời gian nghỉ
(nếu có).
- Thời gian đến = Thời gian khởi hành + Thời gian đi + Thời gian nghỉ
(nếu có)
- Thời gian khởi hành = Thời gian đến - Thời gian đi - Thời gian nghỉ
(nếu có).
Tuy nhiên, cũng có một số bài toán ở dạng này khó và phức tạp, dành
cho học sinh khá giỏi. Điều này đòi hỏi phải có một số phương pháp giải cụ
thể để giải được bài toán đó.
13


3.1.2 Một số phương pháp thường dùng

a Phương pháp rút về đơn vị
Các đại lượng của bài toán chuyển động tương quan tỉ lệ. Do đó
phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số thường được dùng khi tính
trực tiếp các yếu tố quãng đường, vận tốc, thời gian (với hình thức áp dụng
công thức).
Ví dụ 1: Một người đi xe máy từ thành phố A đến thành phố B hết 3
giờ. Biết quãng đường từ thành phố A đến thành phố B dài 135km. Tính vận
tốc của xe máy?
Phân tích:
Bài toán đã biết yếu tố thời gian là 3 giờ và quãng đường là 135km.
Vận tốc tính trực tiếp bằng công thức tính vận tốc, thực chất là rút về đơn vị:
quãng đường đi được trong một gờ.
Giải
Vận tốc của xe máy là:
135 : 3 = 45 (km/giờ)
Đáp số: 45 km/giờ
Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát từ thành phố A đến thành phố B mất 2 giờ.
Biết rằng mỗi giờ người đó đi được 50km. Hỏi thành phố A và B cách nhau
bao nhiêu ki-lô-met?
Phân tích:
Bài toán đã biết yếu tố thời gian là 2 giờ và vận tốc là 50 km/giờ. Tính
quãng đường AB tính trực tiếp bằng công thức. Đây là thực chất là sự vận
dụng phương pháp tỉ số:
1 giờ đi được: 50km
2 giờ đi được: ... ? km

14


Giải

Thành phố A cách thành phố B số ki-lô-met là:
50 x 2 = 100 (km)
Đáp số: 100km
b) Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Trong khi vận dụng phương pháp tỉ số để giải toán chuyển động, ta dựa
vào sơ đồ đoạn thẳng để việc giải bài trở nên đơn giản hơn.
Ví dụ 3: Một ô tô dự kiến đi từ A với tốc độ 45km/giờ để đến B lúc 12
giờ trưa. Do trời trở gió nên mỗi giờ xe chỉ đi được 35km và đến B chậm 40
phút so với dự kiến. Tính quãng đường từ A đến B.
Phân tích:
Đề bài đã cho biết vận tốc dự kiến và vận tốc thực nên ta có thể biết
được tỉ số giữa hai vận tốc. Căn cứ vào mối tương quan tỉ lệ nghịch giữa vận
tốc và thời gian nên ta có thể biết được hiệu thời gian thực đi và thời gian dự
kiến chính bằng 40 phút. Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng, ta có thể tính được thời
gian thực đi và tính được yêu cầu bài toán.
Giải
Tỉ số vận tốc dự kiến và vận tốc thực là: =
Do vận tốc và thời gian đi cùng quãng đường AB tỉ lệ nghịch với nhau
nên nếu ta biểu diễn thời gian ô tô dự kiến đi là 7 phần bằng nhau thì thời
gian ô tô thực đi là 9 phần như thế.
Ta có sơ đồ thời gian dự kiến và thời gian thực ô tô đi như sau:
40

Dự kiến:
Thực đi:

Thời gian ô tô đã đi hết quãng đường là:
(40 : 2) x 9 = 180 (phút)
Đổi: 180 phút = 3 giờ
Quãng đường AB dài là:

15


35 x 3 = 105 (km)
Đáp số: 105km
3.2. Dạng 2: Các bài toán có hai vật chuyển động ngược chiều, gặp nhau
3.2.1. Đặc điểm của chuyển động
- Hai vật ở hai địa điểm cách xa nhau cùng chuyển động về gần nhau,
và sẽ gặp nhau tại một địa điểm nào đó trên đoạn đường. Trong đó, tổng vận
tốc tỉ lệ nghịch với thời gian gặp nhau.
- Khi hai vật gặp nhau:
+ Thời gian hai vật chuyển động là như nhau.
+ Tổng quãng đường hai vật đã đi bằng khoảng cách khi hai vật
bắt đầu cùng chuyển động.
Nhận xét:
- Thời gian gặp nhau = Quãng đường : Tổng vận tốc
- Tổng vận tốc = Quãng đường : Thời gian gặp nhau
- Quãng đường = Thời gian gặp nhau × Tổng vận tốc.
3.2.2 Một số phương pháp thường dùng
a) Phương pháp rút về đơn vị
Ví dụ : Hai thành phố A và B cách nhau 186km. Lúc 6 giờ một người
đi ô tô từ A với vận tốc 30km/giờ về B. Lúc 7 giờ một người khác đi xe máy
từ B với vận tốc 35km/giờ về A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và
chỗ gặp nhau cách A bao xa?
Phân tích:
Với bài toán này, ta phải tính được quãng đường xe ô tô đã đi được cho
đến thời điểm xe máy xuất phát là 7 giờ (từ A đến C). Với dữ liệu bài toán đã
cho, ta chỉ việc áp dụng công thức. Đây là phương pháp rút về đơn vị.

Ô tô

Xe máy
186km

16


A

C

B
Giải

Khi người thứ hai xuất phát thì người thứ nhất cách B là:
186 - 30 = 156 (km)
Quãng đường hai người đi được trong 1 giờ là:
30 + 35 = 65 (km)
Thời gian để hai người gặp nhau là:
156 : 65 = 2,4 (giờ)
Đổi 2,4 giờ = 2 giờ 24 phút
7 giờ + 2 giờ 24 phút = 9 giờ 24 phút
Vậy hai người gặp nhau lúc 9 giờ 24 phút
Quãng đường từ A đến địa điểm gặp nhau là:
30 + 2,4 x 30 = 102 (km)
Đáp số: 9 giờ 24 phút; 102 km
b) Phương pháp tỉ số
Ví dụ : Hai thành phố A và B cách nhau 186km. Lúc 6 giờ một người
đi ô tô từ A với vận tốc 30km/giờ về B. Lúc 7 giờ một người khác đi xe máy
từ B với vận tốc 35km/giờ về A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và

chỗ gặp nhau cách A bao xa?
Ô tô
A

Xe máy
C

186km

B

Phân tích:
Hai xe không xuất phát cùng một lúc do vậy ta phải tính quãng đường
xe ô tô đi được khi xe máy bắt đầu xuất phát. Từ đề bài ta có thể tính được tỉ
số giữa hai vận tốc ô tô và xe máy. Dựa vào tương quan tỉ lệ thuận giữa vận

17


tốc và quãng đường, ta có thể tính được quãng đường từ C đến B. Từ đó có
thể tính được yêu cầu bài toán. Ta sử dụng phương pháp tỉ số.
Giải
Khi người thứ hai xuất phát thì người thứ nhất cách B là:
186 - 30 = 156 (km)
Tỉ lệ vận tốc của hai người là:

=
Vì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc nên nếu ta biểu diễn quãng
đường từ C đến điểm gặp nhau là 6 phần bằng nhau thì quãng đường từ B
đến chỗ gặp nhau là 7 phần như thế.

Ta có sơ đồ quãng đường của hai xe như sau:
Ô tô:

156km

Xe máy:
Quãng đường từ C đến điểm gặp nhau là:
(156 : 13) x 6 = 72 (km)
Thời gian để hai người gặp nhau là:
72 : 30 = 2,4 (giờ)
Đổi 2,4 giờ = 2 giờ 24 phút
7 giờ + 2 giờ 24 phút = 9 giờ 24 phút
Vậy hai người gặp nhau lúc 9 giờ 24 phút
Quãng đường từ A đến địa điểm gặp nhau là:
30 + 72 = 102 (km)
Đáp số: 9 giờ 24 phút
102 km

Ví dụ 2: Hai ô tô xuất phát từ A và B, cùng một lúc và đi ngược chiều
nhau, sau 2 giờ chúng gặp nhau. Quãng đường AB dài 180km. Tính vận tốc
của mỗi ô tô, biết vận tốc của ô tô đi từ A bằng vận tốc ô tô đi từ B.
Phân tích:
18


Bài toán đã cho biết tỉ số vận tốc ô tô đi từ A và vận tốc ô tô đi từ B.
Qua đó ta biết được quãng đường ô tô đi từ B bằng 3 phần thì quãng đường
ô tô đi từ A bằng 2 phần như thế. Ta có thể tính bằng phương pháp tỉ số.
Tỉ số vận tốc ô tô đi từ A và vận tốc ô tô đi từ B tỉ lệ thuận với quãng
đường đi được. Ta biểu diễn sơ đồ quãng đường hai ô tô đi được như sau:

Ô tô đi từ B:

180km

Ô tô đi từ A:
Giải
Vận tốc ô tô đi từ B là:
(180 : 5) x 3 : 2 = 54 (km/giờ)
Vận tốc ô tô đi từ A là:
(180 : 5) x 2 : 2 = 36 (km/giờ)
Đáp số: 54 km/giờ; 36 km/giờ
c) Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

Ví dụ: Tỉnh A và B cách nhau 72km. Một người đi xe đạp xuất phát từ
A, một người đi xe máy xuất phát từ B, hai người khởi hành cùng một lúc và
gặp nhau sau khi đi được 1,5 giờ. Tính vận tốc mỗi người biết vận tốc người
đi xe máy gấp 3 lần vận tốc người đi xe đạp
Phân tích:
Từ dữ liệu đầu bài, ta có thể tính được tổng vận tốc hai xe. Dựa vào sơ
đồ đoạn thẳng để tính vận tốc của mỗi xe.
vận tốc xe đạp
vận tốc xe máy
Giải
Tổng vận tốc hai xe là:
72 : 1,5 = 48 (km/giờ)
19


Vận tốc xe đạp là:
48 : 4 = 12 (km/giờ)

Vận tốc xe máy là:
48 - 12 = 36 (km/giờ)
Đáp số: 12 km/giờ; 36 km/giờ
Ví du 2: Hai ô tô xuất phát từ A và B, cùng một lúc và đi ngược chiều
nhau, sau 2 giờ chúng gặp nhau. Quãng đường AB dài 180km. Tính vận tốc
của mỗi ô tô, biết vận tốc của ô tô đi từ A bằng vận tốc ô tô đi từ B.
Phân tích:
Ta có thể tính được tổng vận tốc của hai xe đi trong một giờ:
180 : 2 = 90 (km/giờ). Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng ta dễ dàng tính được vận tốc
mỗi ô tô.
Ta có sơ đồ vận tốc của hai xe như sau:
Xe 1 :

90 km/giờ

Xe 2 :
Giải
Tổng có số phần là :
2 + 3 = 5 (phần)
Một phần có giá trị là:
90 : 5 = 18 (km/giờ)
Vận tốc ô tô đi từ A là:
18 × 2 = 36 (km/giờ)
Vận tốc ô tô đi từ B là:
18 × 3 = 54 (km/giờ)

Đáp số: v1 = 36 km/giờ, v2 = 54 km/giờ

20

3.3. Dạng 3: Các bài toán có hai vật chuyển động cùng chiều, đuổi nhau
3.3.1. Đặc điểm của chuyển động
Hai vật cùng chuyển động cùng chiều nhau trên một đoạn đường, đến
khi hai vật gặp nhau:
+ Thời gian hai vật cùng chuyển động là như nhau.
+ Vận tốc của vật đuổi phải lớn hơn vận tốc của vật còn lại.
+ Vật đuổi đã đi nhiều hơn vật kia đoạn đường đúng bằng khoảng cách hai vật
lúc bắt đầu cùng chuyển động.
Nhận xét
- Thời gian gặp nhau = Khoảng cách ban đầu : Hiệu vận tốc
48kmvận tốc = Khoảng cách ban đầu : Thời gian gặp nhau
- Hiệu
- Khoảng cách ban đầu = Thời gian gặp nhau x Hiệu vận tốc
3.3.2. Một số phương pháp thường dùng
a Phương pháp rút về đơn vị
Ví dụ : Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12 km/giờ, cùng
lúc đó một người đi xe máy từ A cách B là 48km với vận tốc 36 km/giờ và
đuổi theo xe đạp sau 2 giờ. Tính khoảng cách hai xe cùng xuất phát?
Xe máy

Xe đạp

A

B

C

Phân tích:

Ta thấy rằng vận tốc của xe máy là 36 km/giờ, vậy là sau mỗi giờ xe
máy chạy được 36km, còn vận tốc của xe đạp là 12 km/giờ, nghĩa là sau mỗi
giờ xe đạp chạy được 12km. Vậy sau mỗi giờ xe máy gần xe đạp:
36 - 12 = 24 (km).
Bài toán này ta áp dụng phương pháp rút về đơn vị để giải quyết yêu
cầu bài toán.
21


Giải
Sau mỗi giờ xe máy gần xe đạp số ki-lô-mét là:
36 - 12 = 24 (km)
Khoảng cách hai xe khi xuất phát là:
24 x 2 = 48 (km)
Đáp số: 48km
b) Phương pháp tỉ số
Ví dụ: Nhân dịp nghỉ hè, lớp 5A tổ chức cắm trại ở một địa điểm cách
trường 8km. Các bạn chia làm 2 tốp: tốp thứ nhất đi bộ khởi hành từ 6 giờ
sáng, tốp thứ hai chở dụng cụ bằng xe đạp với vận tốc 10 km/giờ. Biết tỉ số
vận tốc đi bộ và đi xe đạp là 2 : 5. Hỏi tốp đi xe đạp phải khởi hành lúc mấy
giờ để tới nơi cùng một lúc với tốp đi bộ?
Phân tích:
Bài toán đã cho biết tỉ số vận tốc đi bộ và đi xe đạp là 2 : 5. Biểu diễn
thời gian xe đạp đến nơi là 2 phần và thời gian đi bộ là 5 phần như thế do
vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian.
Thời gian tốp đi xe đạp có thể tính được: 8 : 10 = 0,8 (giờ).
Sơ đồ thời gian của hai tốp:
Xe đạp:
Đi bộ:
Giải

Tốp đi xe đạp đến nơi mất thời gian là:
8 : 10 = 0,8 (giờ)
Vì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau nên thời gian tốp đi xe đạp
là 2 phần và thời gian tốp đi bộ là 5 phần như thế. Thời gian để tốp đi bộ đến
nơi là:
0,8 : 2 x 5 = 2 (giờ)
22


Tốp đi xe đạp xuất phát sau tốp đi bộ khoảng thời gian là:
2 - 0,8 = 1,2 (giờ)
Đổi: 1,2 giờ = 1 giờ 12 phút
Thời gian tốp đi xe đạp xuất phát là:
6 giờ + 1 giờ 12 phút = 7 giờ 12 phút
Đáp sô: 7 giờ 12 phút
c) Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Ví dụ: Một người đi bộ xuất phát từ A đến B, người đó đi được 5km thì
một người đi xe đạp cũng từ A đến B. Sau 0,5 giờ thì gặp nhau tại B. Biết
rằng vận tốc của người đi bộ bằng 1/3 vận tốc của người đi xe đạp. Tính vận
tốc của người đi bộ và người đi xe đạp.
Phân tích:
Dữ liệu bài toán đã cho ta có thể tính được hiệu vận tốc. Mặt khác vận
tốc của người đi bộ bằng 1/3 vận tốc của người đi xe đạp nên ta áp dụng
phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải quyết yêu cầu bài toán.
Sơ đồ đoạn thẳng vận tốc của người đi bộ và người đi xe đạp:
Hiệu hai vận tốc

Người đi bộ:
Người đi xe đạp:

Giải
Hiệu hai vận tốc là:
5 : 0,5 = 10 (km/giờ)
Vận tốc của người đi bộ là:
10 : 2 = 5 (km/giờ)
Vận tốc của người đi xe đạp là:
10 : 2 x 3 = 15 (km/giờ)
Đáp số: 5 km/giờ; 15 km/giờ

23


3.4. Dạng 4: Các bài toán về hai vật chuyển động ngược chiều, rời xa
nhau
3.4.1. Đặc điểm chuyển động
Đây thực chất là dạng bài toán hai vật chuyển động ngược chiều sau
khi đã gặp nhau và có xu hướng rời xa nhau. Đối với dạng toán chuyển động
này, tổng vận tốc tỉ lệ thuận với khoảng cách hai xe.
b) Nhận xét
- Khoảng cách hai xe = Thời gian × Tổng vận tốc.
- Thời gian = Khoảng cách hai xe : Tổng vận tốc.
- Tổng vận tốc = Khoảng cách hai xe : Thời gian
3.4.2. Một số phương pháp thường dùng
a Phương pháp rút về đơn vị
Ví dụ: Hai người cùng khởi hành từ một điểm và đi về hai phía ngược
nhau, một người đi ô tô với vận tốc 50 km/giờ, một người đi xe máy với vận
tốc 40 km/giờ. Hỏi sau 1 giờ 42 phút hai người cách nhau bao nhiêu ki-lômét?
Phân tích:
Bài toán này ta sử dụng phương pháp rút về đơn vị cũng chính là áp
dụng công thức để tính.

Bài giải
Đổi: 1 giờ 42 phút = 1,7 giờ
Sau 1 giờ 42 phút, hai người cách nhau số ki-lô-mét là:
(40 + 50) × 1,7 = 153 (km)
Đáp số: 153km
b Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Ví dụ 2: Hai người cùng khởi hành cùng một lúc từ một điểm và đi về
hai phía ngược nhau, một người đi xe máy với vận tốc 48 km/giờ, một người

24


đi xe đạp với vận tốc bằng vận tốc người đi xe máy. Hỏi sau 1 giờ 24 phút
hai người cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét?
Phân tích:
Bài toán này đã cho biết người đi xe đạp với vận tốc bằng

vận tốc

người đi xe máy. Vì vậy ta có thể áp dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để
giải bài toán. Với vận tốc người đi xe máy đã biết, ta có thể tính được vận
tốc người đi xe đạp. Từ đây ta áp dụng công thức để giải quyết yêu cầu bài
toán.
Có thể tóm tắt bài toán trên bằng hình vẽ sau:
Xe máy

Ô tô

Giải
Ta biểu diễn vận tốc của người đi xe máy là 3 phần bằng nhau thì vận

tốc của người đi xe đạp là 1 phần như thế.

48 km/giờ

Sơ đồ vận tốc của hai xe:
Xe máy:
Xe đạp:
Vận tốc người đi xe đạp là:

48 : 3 = 16 (km/giờ)
Đổi 1 giờ 24 phút = 1,4 giờ
Sau 1,8 giờ, khoảng cách giữa hai xe là:
(16 + 48) × 1,4 = 89,6 (km)
Đáp số: 89,6km

25