Tích phân trong đề thi THPT quốc gia 2017 và hướng dẫn giải

TÍCH PHÂN
1.NGUYÊN HÀM
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x
sin 3 x
sin 3 x
+ C .C. ∫ cos 3 xdx = −
+ C .D. ∫ cos 3 xdx = sin 3 x + C
A. ∫ cos 3 xdx = 3sin 3 x + C .B. ∫ cos 3 xdx =
3
3
.
Đáp án B
1
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
5x − 2
dx
1
dx
1
= ln 5 x − 2 + C .
= − ln(5 x − 2) + C .
A. ∫
B. ∫
5x − 2 5
5x − 2
2
dx
dx
= 5ln 5 x − 2 + C .
= ln 5 x − 2 + C .
C. ∫

D. ∫
5x − 2
5x − 2
Đáp án A
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2sin x
A. ∫ 2sin xdx = 2 cos x + C .
C. ∫ 2sin xdx = sin 2 x + C

2
B. ∫ 2sin xdx = sin x + C

D. ∫ 2sin xdx = −2 cos x + C
Đáp án D

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 7 x .
x
x
A. ∫ 7 dx = 7 ln 7 + C
x
x +1
C. ∫ 7 dx = 7 + C

7x
+C
ln 7
7 x +1
D. ∫ 7 x dx =
+C
x +1
Đáp án B

B. ∫ 7 x dx =

Câu 13. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + 2 x thỏa mãn F (0) =
x
2
A. F ( x) = e + x +

3
2

x
2
B. F ( x) = 2e + x −

x
2
C. F ( x) = e + x +

5
2

x
2
D. F ( x) = e + x +

3
. Tìm F ( x) .
2

1
2

1
2

π 
Câu 28. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + cos x thỏa mãn F  ÷ = 2 .
2
A. F ( x) = cos x − sin x + 3
B. F ( x ) = − cos x + sin x + 3
C. F ( x ) = − cos x + sin x − 1
D. F ( x) = − cos x + sin x + 1

Câu 27. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x) = 3 − 5sin x và f (0) = 10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. f ( x) = 3x + 5 cos x + 5
B. f ( x) = 3 x + 5cos x + 2
C. f ( x) = 3x − 5 cos x + 2
D. f ( x) = 3x − 5cos x + 15

Trang 1


Câu 32. Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x .
2x
2
2x
2
A. ∫ f ′( x)e dx = − x + 2 x + C
B. ∫ f ′( x )e dx = − x + x + C

C.

∫ f ′( x)e

2x

dx = 2 x 2 − 2 x + C

D.

∫ f ′( x)e

2x

dx = −2 x 2 + 2 x + C

Câu 40. Cho F ( x ) = ( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x .
2−x x
2x
x
2x
e +C
A. ∫ f ′( x)e dx = (4 − 2 x)e + C
B. ∫ f ′( x)e dx =
2
2x
x
2x
x
C. ∫ f ′( x)e dx = (2 − x)e + C

D. ∫ f ′( x)e dx = ( x − 2)e + C

1
f ( x)
. Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x .
3 là một nguyên hàm của hàm số
3x
x
ln x
1
ln x
1
f ′( x) ln xdx = 3 + 5 + C
B. ∫ f ′( x) ln xdx = 3 − 5 + C
x
5x
x
5x
ln x
1
ln x
1
f ′( x) ln xdx = 3 + 3 + C
D. ∫ f ′( x) ln xdx = − 3 + 3 + C
x
3x
x
3x

Câu 37. Cho y = −

A.

∫

C.

∫

Câu 42. Cho F ( x) =

1
f ( x)
. Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x
2 là một nguyên hàm của hàm số
x
2x
Trang 2


 ln x
+
x2
 ln x
f ′( x) ln xdx = −  2 +
 x

A.

∫ f ′( x) ln xdx = − 

C.

∫

1 
÷+ C
2x2 
1
÷+ C
x2 

ln x 1
+ +C
x2 x2
ln x
1
f ′( x) ln xdx = 2 + 2 + C
x
2x

B.

∫ f ′( x) ln xdx =

D.

∫

ĐỀ MINH HỌA

2.TÍCH PHÂN
Câu 12. Cho F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. I = e .

1
B. I = .
e

ln x
. Tính F (e) − F (1)
x

C. I =

1
.
2

D. I = 1 .

Trang 3


6

Câu 25. Cho

2

∫ f ( x)dx = 12 . Tính I = ∫ f (3x)dx .

0

A. I = 6

Câu 21. Cho

C. I = 2

2

2

2

−1

−1

−1

D. I = 4

∫ f ( x)dx = 2 và ∫ g ( x)dx = −1 . Tính I = ∫ [ x + 2 f ( x) − 3g ( x)] dx

5
A. I =
2

Câu 25. Cho

0

B. I = 36

7
B. I =
2

C. I =

π
2

π
2

0

0

17
2

D. I =

11
2

∫ f ( x)dx = 5 . Tính I = ∫ [ f ( x) + 2sin x ] dx .
B. I = 5 +

A. I = 7

π
2

C. I = 3

D. I = 5 + π

1

1 
 1
−
Câu 18. Cho ∫ 
÷dx = a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Mđ nào dưới đây đúng ?
x +1 x + 2 
0
A. a + b = 2 .
B. a − 2b = 0 .
C. a + b = −2 .
D. a + 2b = 0 .

ĐỀ MINH HỌA

Trang 4


Trang 5

3.DIỆN TICH-THỂ TICH
Câu 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng
x = 0, x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V = 2(π + 1)
B. V = 2π (π + 1)
C. V = 2π 2
D. V = 2π

Trang 6


Câu 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng
π
x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
2
A. V = π − 1
B. V = (π − 1)π
C. V = (π + 1)π
D. V = π + 1

Câu 21. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 . Khối
tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
π e2
π (e 2 + 1)
e2 − 1
π (e 2 − 1)
A. V =
B. V =

C. V =
D. V =
2
2
2
2

Câu 14. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 .
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V = 4π
B. V = 2π
C. V = 4
D. V = 2
3
3

ĐỀ MINH HỌA

Đáp án A

Trang 7


Trang 8


4.DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Câu 41. Một vật chuyển động trong 3 giờ với
vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h)
có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng

thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,
đồ thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với
trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là
một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3
giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. s = 23, 25 (km)
B.
s = 21,58 (km)
C. s = 15,50 (km)
D. s = 13,83 (km)

1

3

31
259
 5 2

∫0  − 4 t + 5t + 4 ÷dt + ∫1 4 dt = 12

Câu 38. Một vật chuyển động trong 3 giờ
với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
vào thời gian t (h) có đồ thị là một
phần của đường parabol có đỉnh
I (2;9) và trục đối xứng song song
với trục tung như hình bên. Tính
quãng đường s mà vật di chuyển

được trong 3 giờ đó.
A. s = 24, 25 (km)
B. s = 26, 75 (km)
C. s = 24, 75 (km)
D. s = 25, 25 (km)

Trang 9


Câu 35. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc
v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị
vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ
thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song với
trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là
một đoạn thẳng song song với trục hoành.
Tính quãng đường s mà vật di chuyển được
trong 4 giờ đó
A. 26,5 (km)

B. 28,5 (km)

C. 27 (km)

D. 24 (km)

Câu 35. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc
v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là
1 

một phần của đường parabol với đỉnh I  ;8 ÷
2 
và trục đối xứng song song với trục tung như
hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy
được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi
bắt đầu chạy.
A. s = 4, 0 (km)
B. s = 2,3 (km)
C. s = 4,5 (km)
D. s = 5,3 (km)

Trang 10


ĐỀ MINH HỌA

5.TỔNG HỢP
Câu 49. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′( x)
như hình bên. Đặt h( x) = 2 f ( x) − x 2 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng ?
A. h(4) = h(−2) > h(2)
B. h(4) = h(−2) < h(2)
C. h(2) > h(4) > h( −2)
D. h(2) > h(−2) > h(4)

Câu 48. Cho hàm số y = f ( x ) .
Đồ thị của hàm số
y = f ′( x ) như hình
bên. Đặt
g ( x) = 2 f ( x) − ( x + 1) 2 .

Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A. g (−3) > g (3) > g (1)
C. g (3) > g (−3) > g (1)

B. g (1) > g (−3) > g (3)
D. g (1) > g (3) > g (−3)

Trang 11


Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình
bên. Đặt g ( x) = 2 f 2 ( x) + x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. g (3) < g (−3) < g (1)
B. g (1) < g (3) < g (−3)
C. g (1) < g (−3) < g (3)
D. g (−3) < g (3) < g (1)

Câu 48. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f '( x )
như hình bên. Đặt g ( x) = 2 f ( x ) + ( x + 1) 2 . Mệnh đề
nào dưới đây đúng ?
A. g (1) < g (3) < g ( −3)
B. g (1) < g (−3) < g (3)
C. g (3) = g (−3) < g (1)
D. g (3) = g (−3) > g (1)

Trang 12


ĐỀ MINH HỌA

Trang 13


Trang 14