China MO 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.63 KB, 2 trang )
China National Olympiad 2016
Ngày thứ nhất
Bài 1. Xét các số nguyên dương
thỏa mãn
và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 2. Cho
và cho
, gọi
và
tại
. Lấy
cắt
nằm trên các đoạn
và
tương ứng,
trên các đoạn
tương ứng sao cho
. Đường tròn nội tiếp của
tiếp xúc
với
tại
tương ứng, đường tròn nội tiếp của
tiếp xúc
với
tại
tương ứng. Chứng minh rằng nếu
cùng
nằm trên một đường tròn thì
Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ
cũng thế.
và các số nguyên
rằng hai điều kiện sau tương đương
1) Tồn tại đa thức
bậc
2) Với mỗi số nguyên dương
sao cho
,
. Chứng minh
ở đây chỉ số được mở rộng theo
.
Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số nguyên dương
là một tập con của
nào của
là số các số nguyên tố
sao cho
thỏa mãn
,
và
và không có hai phần tử
. Chứng minh rằng tồn tại tập
và không có hai phần tử
Bài 5. Cho tứ giác lồi
. Gọi
nào của
sao cho
thỏa mãn
.
. Chứng minh rằng tồn tại hình vuông
sao cho
và
đồng
qui.
Bài 6. Cho
đỉnh
là một graph đủ có hướng với
đỉnh sao cho với mỗi hai
và , ta có thể tìm một đường có hướng từ
a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên
đến .
sao cho với mỗi hai đỉnh
, ta có thể tìm một đường có hướng độ dài
từ
và
đến ; (Các đỉnh có
thể lặp trên đường)
b) Gọi
của
là giá trị nhỏ nhất của
khi
thay đổi.
trong câu trên. Tìm giá trị nhỏ nhất
