Tài liệu ôn tập Toán lớp 11

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số: y = sin x
2π
- Tập xác định D = R; tập giá trị T = [-1;1]; hàm lẻ, chu kỳ T0 =
2π
a
- y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 =
⇔
- y = sin(f(x)) xác định
f(x) xác định
2. Hàm số: y = cosx
2π
- Tập xác định D = R; tập giá trị T = [-1;1], hàm chẵn, chu kỳ T0 =
2π
a
- y = cos(ax + b) có chu kỳ To =
⇔
- y = cos(f(x)) xác định
f(x) xác định
3. Hàm số: y = tanx
π

 + k π, k ∈ Z;
2

π
- Tập xác định D = R\
tập giá trị T = R, hàm kẻ, chu kỳ T0 =
π

a
- y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =
π
≠ + k π (k ∈ Z)
⇔
2
f(x)
- y = tan(f(x)) xác định
4. Hàm số: y = cotx
{ k π, k ∈ Z};
π
- Tập xác định D = R\
tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 =
π
a
- y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =
≠ k π (k ∈ Z)
⇔
- y = cot(f(x)) xác định
f(x)
BÀI 2, 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình lượng giác cơ bản
x = α + k 2π
sinα ⇔ 
(k ∈ Z)
cosα ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z)
 x = π − α + k 2π
• cosx =
• sinx =

tanα ⇔ x = α + k π (k ∈ Z)

cotα ⇔ x = α + k π (k ∈ Z)

• tanx =

• cotx =

Chú ý:

1


•

•

 x = arcsina + k2π
sinx = a ( a ≤ 1) ⇔ 
(k ∈ Z)
 x = π − arcsina + k2π
 x = arccosa + k2π
cosx = a ( a ≤ 1) ⇔ 
(k ∈ Z)
 x = −arccosa + k2π

tanx = a ⇔ x = arctana + kπ (k ∈ Z)

•

2. Các trường hợp đặc biệt

(a không thuộc cung đặc biệt)

(a không thuộc cung đặc biệt)
cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k ∈ Z)
•

⇔ x = k π (k ∈ Z)
• sinx = 0

π
+ k 2π (k ∈ Z)
2

⇔x=

π
+ kπ (k ∈ Z)
2

• sinx = 1

⇔x=−
• sinx = -1

⇔x=

π
+ k 2π (k ∈ Z)

2

• cosx = 0

⇔ x = k 2π (k ∈ Z)

• cosx = 1

⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z)

• cosx = -1

⇔ x = k π (k ∈ Z)
• tanx = 0

±1⇔ x = ±

π
+ k π (k ∈ Z)
4

±1⇔ x = ±

π
+ k π (k ∈ Z)
4

• tanx =

⇔x=

π
+ k π (k ∈ Z)
2

• cotx = 0
• cotx =
3. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
• asinx+ b = 0
• acosx + b = 0
• atanx + b = 0
• acotx + b = 0
Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản
4. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
• asin2x + bsinx + c = 0 (1)
• acos2x + bcosx + c = 0 (2)
• atan2x + btanx + c = 0 (3)
• acot2x + bcotx + c = 0 (4)
Trong đó a ≠ 0
Cách giải:
t ∈ [ − 1;1]
* Giải (1): đặt t = sinx, điều kiện
t ∈ [ − 1;1]
* Giải (2): đặt t = cosx, điều kiện
π
x ≠ + kπ
( k ∈ Z)
2
* Giải (3): điều kiện
, đặt t = tanx

(
k
∈
Z
)
x ≠ kπ
* Giải (4): điều kiện
, đặt t = cotx
5. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
∈
Dạng: asinx + bcosx = c (*) trong đó a, b, c R và a2 + b2 ≠ 0
Cách giải:
a
b
c
⇔
sinx +
cosx =
a 2 + b2
a2 + b2
a 2 + b2
(*)

2


⇔ cos α . sin x + sinα . cos x =
⇔ sin( x + α ) =

c

a 2 + b2

(với

a

 sinα =
a 2 + b2

b
cosα =

a 2 + b2

)

c
a 2 + b2

: đây là phương trình lượng giác cơ bản

Các công thức đặc biệt:
π
π


sinx + cosx = 2sin x +  = 2cos x − 
4
4



•
π
π


sinx − cosx = 2sin x − 
cosx − sinx = 2cos x + 
4
4


•
•
6. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng: asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = d (*)
π
x = + kπ
2
+ Xét cosx = 0 hay
có phải là nghiệm của (*) không
π
x ≠ + kπ
2
+ Xét cosx ≠ 0 hay
, chia 2 vế của (*) cho cos2x ta được:
2
atan x + btanx + c = d(1 + tan2x): đây là phương trình bậc hai theo hàm số tanx
7. Phương trình theo tổng – hiệu và tích
Dạng đối xứng: a(sinx + cosx) +bsinxcosx + c = 0 (1)

Đặt t = sinx + cosx
π

t = 2sin x + ; t ∈ − 2 ; 2
4

Khi đó:
và t2 = 1 + 2sinxcosx
t 2 −1
⇒ sinxcosx =
2

[

at + b.
Thay vào (1) ta được:

]

t 2 −1
= c ⇔ bt 2 + 2at − ( b + 2c ) = 0
2

− 2≤t≤ 2
Đây là phương trình bậc 2 theo t với điều kiện:
Dạng phản xứng: a(sinx − cosx) +bsinxcosx + c = 0 (1)
Đặt t = sinx − cosx
π

t = 2sin x − ; t ∈ − 2 ; 2

4

Khi đó:
và t2 = 1 − 2sinxcosx
1− t2
⇒ sinxcosx =
2

[

at + b.
Thay vào (1) ta được:

]

1- t 2
= c ⇔ bt 2 − 2at + ( 2c − b ) = 0
2

3


− 2≤t≤ 2

Đây là phương trình bậc 2 theo t với điều kiện:
NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LỚP 10
1) Các cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau (a và – a)
cos( − a ) = cosa
sin( − a ) = −sina

tan ( − a ) = − tana

b) Hai cung bù nhau (a và
sin( π − a ) = sina

cot ( − a ) = − cota

π

– a)

cos( π − a ) = −cosa

tan ( π − a ) = − tana

c) Hai cung phụ nhau (a và
π

sin − a  = cosa
2


cot ( π − a ) = −cota

π
−a
2

)

π

tan  − a  = cota
2


π

cos − a  = sina
2

π

cot  − a  = tana
2


π
π+a
d) Hai cung hơn, kém (a và
)
sin( π + a ) = −sina

cos( π + a ) = −cosa

tan ( π + a ) = tana

cot ( π + a ) = cota

π

2

e) Cung hơn kém
π

cos + x  = −sinx
2


π

sin + x  = cosx
2


π

tan  + x  = −cotx
2


π

cot  + x  = − tanx
2


2) Các công thức lượng giác cơ bản

• tanx =

• sin2 x + cos 2 x = 1
• cotx =

cosx
sinx

• 1 + cot 2 x =

sinx
cosx

• 1 + tan 2 x =

1
sin2 x

1
cos 2 x

• tanx.cotx = 1

3) Công thức cộng
• sin( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa

• cos( a ± b ) = cosacosb sinasinb

4

• tan ( a ± b ) =

tana ± tanb
1 tanatanb

4) Công thức nhân đôi
• sin2a = 2sinacosa

• tan2a =

• cos2a = cos 2 a − sin2 a = 2cos 2 a − 1 = 1 − 2sin2 a

2tana
1 − tan 2 a

5) Công thức nhân ba
• sin3a = 3sina − 4sin3 a

• tan3a =

• cos3a = 4cos3 a − 3cosa

3tana − tan 3 a
1 − 3tan 2 a

6) Công thức hạ bậc
1 − cos2a
• sin2 a =
2

• sin3 a =

3sina − sin3a
4

7) Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a−b
• cosa + cosb = 2cos
cos
2
2

• sina + sinb = 2sin

a+b
a−b
cos
2
2

tanx − cosx
sinx

• cos 3 a =

3cosa + cos3a
4

• sina − sinb = 2cos

• sinasinb = −

y=

y=
3.

6.

tan2x
1 + cos 2 x

π

y = cot  x + 
3


9. y = tanx + cot2x
x
y=
sinπ x
12.

cos2x
+ tanx
1 − sinx

10.

11.
Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

5

a+b
a−b
sin
2
2

a+b
a−b
sin
2
2

1
[ cos( a + b ) − cos( a − b ) ]
2

1
[ sin( a + b ) + sin( a − b ) ]
2

B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số:
π

 3x + 1 

y = cos 3x + 
y = sin 2

3

 x −1
1.
2.
sinx
1 − sinx
y=
y=
cos(x − π)
1 + tanx
4.
5.
x2 + 1
cotx
y=
y=
xsinx
cosx − 1
7.
8.

y=

1 + cos2a
2

• cosa − cosb = −2sin

8) Công thức biến đổi tích thành tổng
1
• cosacosb = [ cos( a + b ) + cos( a − b ) ]
2

• sinacosb =

• cos 2 a =


1. y = f(x) = 2cos3x – 1
3. y = f(x) = 3cosx + sin2x

5. y = f(x) = sinx cos2x + tanx
cosx + cotx
y = f(x) =
sin2x
7.
y = sinx − 1 + sinx + 1
9.

6.

2. y = f(x) = x3 + sinx
4. y = f(x) = cos(x + 1) + cos(x – 1)
sinx + tanx
y = f(x) =
cos2x

y = f(x) =
8.

1 + sin2 2x
1 + cos3x

y = 2sinx + 1 − 2sinx − 1
10.
π

 3π

y = sin 3x +  + cos − 3x 
4

 4


11. y = xsin2x + x2cosx
12.
Bài 3. Tìm giá trị của x để các hàm số sau xác định:
x ∈ [0;2π ]
x ∈ [0;2π ]
y = 2sinx − 1
y = 1 − 2cosx
1.
với
2.
với

 π π
x ∈ − ;  y = sin4x
x ∈ [π ;2π ]
y = tan2x − 3
 4 4
1 − 2sinx
3.
với
4.
với
Bài 4. Tìm miền giá trị của các hàm số:
y = 1 − cos4x
1.
2. y = 3 – 2cos2x
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
π

y = 3cos 2x +  − 2
y = 3 − 2 sin4x
6

1.
2.
y = 4 − cos 2 x + 1
3. y = 3cos2x – 1
y = 2 (sinx + cosx)
5.

4.

y = 2(4 + 3sinx)
6.
2π 
 π
y = 1 − 4cosx − ≤ x ≤

3 
 3

7. y = sin4x + cos4x
8.
4
4
9. y = sin 2x – cos 2x + 2
10. y = (sinx + cosx + 1)(sinx – cosx + 1)
Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
y = sin4 x + 4cos2 x

y = cosx + sinx

1.
2.
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
1
3sin2 x + 8
y
=
y=
sin2 x + 2
2cos 2 x + 3

1.
2.
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
1. y = cos2x + 2sinx + 2
2. y = cos2x + sinx + 1
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
y = 3 (cos 4 x − sin4 x) + sin2x
1. y = 3cosx + 4sinx + 5
2.
3. y = 3sin2x – sin2x – cos2x
4. y = 2cosx(sinx + cosx) – 2

6


y=

2 + cosx
sinx + cosx − 2

y=

sinx + 2cosx + 1
sinx + cosx + 2

5.
6.
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
π
π


 π π

 3π π 
y = sin 2x + 
− ; 
y = cot  x + 

− 4 ;− 3 
4
4
 4 4


1.
trên đoạn
2.
với
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1
1
y=
− tan 4 x
y = cos2x +
4
cos x
2cos 2 x + 1
1.
2.
1

sinx + 1
y = (sinx + cosx)3 +
y=
2
sin x cos 2 x
sin2 x + sinx + 1
3.
4.
y = sinx cosx + cosx sinx
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f(x)
f(x)
g(x) =
+
− cos3x
cotx − 1 cotx + 1
Bài 13. Cho hàm số f(x) xác định trên R và là hàm số lẻ. Xét hàm số
1. Tìm miền xác định của hàm số g(x)
2. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số g(x)
f(x + k π) = f(x), k ∈ Z
Bài 14. Chứng minh rằng các hàm số sau đều có tính chất:
1. y = cos2x
2. y = sin2x – 2tanx
π
Bài 15. Chứng minh các hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ là :
1. y = sin2x
2. y = cotx
Bài 16. Chứng minh các hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kỳ của nó:
1. y = cosx
2. y = sin3x

3. y = tan4x
π
π
π



y = sin 2x + 
y = sin2  − 2x + 
y = tan  3x + 
4
3
3



4.
5.
6.
cosx − 3sinx + 4
y=
x ∈ [0;2π ]
cosx − 2sinx + 3
Bài 17. Tìm giá trị của
sao cho hàm số:
nhận giá trị nguyên
f(x + 2π ) = f(x)
k∈Z
Bài 18. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đều có tính chất
với

và tìm chu kỳ của mỗi hàm
số:
1. y = sin2x + cos5x
2. y = cos2x sinx
3. y = sin3x + cos3x
y = f(x) = 5 + 3sinx − 2 .
Bài 19. Cho hàm số:
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
2. Chứng minh hàm số trên là hàm số tuần hoàn
y = cosx
y = cos x
Bài 20. Từ đồ thị hàm số y = cosx, hãy suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số
và đồ thị hàm số
Bài 21. Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x (1)
f(x + kπ ) = f(x), ∀x ∈ R
1. Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý, luôn có

7


 π π
− 2 ; 2 

2. Lập bảng biến thiên của hàm số (1) trên
3. Vẽ đồ thị hàm số (1)
Bài 22. Giải các phương trình sau:
π
1
sinx = sin
sinx =

4
2
1.
2.
1
2
cosx = −
sinx = −
2
2
4.
5.
Bài 23. Giải các phương trình sau:

cosx =

3.
cosx = −
6.

2
2

3
2

π

cos 2x +  = 0
3



1. sin3x = 0
2. cos2x = -1
3.
π
π
π



2sin x +  + 3 = 0
2cos 2x +  + 2 = 0
2cos x +  + 3 = 0
6
4
6



4.
5.
6.
Bài 24. Giải các phương trình sau:
1. sin3x = sin(90o – x)
2. cos(3x + 45o) = -cosx
π
2π 



sin 2x +  + sinx = 0
sin x −  − cos2x = 0
3
3 


3.
4.
π
π
3π 
π




cos 2x −  − sin 2x +  = 0
cos x −  + cos 2x +  = 0
4
3
4 
4




5.
6.
Bài 25. Giải các phương trình sau:

3
1. tan3x = 1

2. cot4x +

π
3

tan  2x −  =
3 3


=0
π 3+ 3

cot  x −  =
4 3− 3


3.
4.
Bài 26. Giải các phương trình sau:
π 3
π


sin2  x −  =
cos 2  x −  = cos 2 x
cos3x = sinx
3 4

4


1.
2.
3.
Bài 27. Giải các phương trình sau:
1. 2sin2x cos2x = 0
2. cos2x = sin2x
3. 2cos22x = 1
4. 8sin3x – 1 = 0

3 3tan 3 2x = 1

5.
7. 4sin2x – 1 = 0

9. 4sinx.cosx.cos2x = 1
11. sin4x – cos4x + 1 = 0
13. sin2x = (cosx – sinx)2

6. 3cosx = 1 + 4cos3x
8. 3 – 4cos2x = 0
2
10. sinx + cosx =
12. (sinx + cosx)2 – 1 = 0
14. cosx + sinx = cos2x

3 − 2cosx = 3sinx = 0

2

15. (cos + 2)(2cos x – cosx – 1) = 0
16. sin2x +
Bài 28. Định m để phương trình sau có nghiệm:

8


1. cos(2x – 55o) = 2m2 + m
3. (4m – 1)sinx + 2 = msinx – 3
Bài 29. Giải các phương trình sau:
3
sinx =
, x ∈ [− π; π ]
2
1.
Bài 30. Giải các phương trình sau:
cos2x
cos2x
=0
=1
sinx
sinx
1.
2.
Bài 31. Giải các phương trình sau:
1. sin2x cosx = cosx – cos2x sinx
3. cos3x + cos7x = sin3x – sin7x
5. sin3x – 4sinx cos2x = 0

π

π

sin x +  + sin − x  + 1 = 0
4

4

7.
Bài 32. Giải các phương trình sau:
π

tan  x + 
4

1. tan2x =
π
π


tan  3x −  = tan  x + 
4
6


3.

2. mcosx + 1 = 3cosx – 2m
4. m(m + 1)cos2x = m2 – m – 3 + m2cos2x

2.

3.

π


sin 2x +  = cos x −
3



cos3x
=1
cosx

4.

π
, x ∈ [0; π ]
3

sinx
=0
1 + cosx

2. sin4x cos3x = sinx cos6x
4. (1 + cos4x)sin2x = cos22x
6.

4 3sinx.cosx.cos2x = sin8x

8. 4cos3x + 6sin2x = 3

2.

π

cot  x −  = cot3x
4


4. tan(2x + 1) + cotx = 0

Bài 33. Giải các phương trình sau:
sin(π x) = −1
1.
2. cos(3sinx) = 0
3. sin(x2 – 2x) = 0
4. tan(x2 – 4x + 2) = 1
Bài 34. Định a để phương trình sau có nghiệm:
2a − 3
a +1
sin2x − 1 =
cosx =
4−a
2a
1.
2.

Bài 35. Cho phương trình: (cosx + 1)(cos2x – mcosx) = msin 2x. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm x 1, x2
 3π 
∈ 0; 
 2

Bài 36. Định m để phương trình sau có nghiệm: sin6x + cos6x = cos22x + m
Bài 37. Giải các phương trình sau:
1.

3cosx − sinx = 2
2sin x + 3sin2x + 1 = 0

2.

2

3.

x
2sinx + 2sin2 = 1 + 5
2

5.
Bài 38. Giải các phương trình sau:

4.

π
(0 < x < )
8

cosx + 3sinx = 2
cos 2 x − 3sin2x = 1 + sin2 x
(sinx + cosx)2 = 3 (cos 4 x − sin4 x)

6.

9


1.

3sin3x− 9cos9x = 1 + 4sin3 3x

4(sin4 x + cos 4 x) + 3sin4x = 2
2.
2

3.

2 3sinx.cosx − 2sin2 x = 2 − 1
π

3cos2x + sin2x + 2sin 2x −  = 2 2
6


4.

x

x

 sin + cos  + 3cosx = 2
2
2


( 3 − 1)sinx − ( 3 + 1)cosx + 3 − 1 = 0

5.
6.
Bài 39. Định m để các phương trình sau có nghiệm:
1. msinx + 2cosx = 1
2. mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2
sinx − 5cosx + 1 = m(2 + sinx)
2
3. msinx.cosx + sin x = m
4.
Bài 40. Cho phương trình: msinx – cosx = -2.

3
1. Giải phương trình khi m =
2. Định m để phương trình trên vô nghiệm
Bài 41. Tìm m để phương trình: (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm
Bài 42. Tìm m để phương trình: (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm
2sinx + cosx + 1
=m
sinx − 2cosx + 3
Bài 43. Định m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 44. Tìm giá trị x lớn nhất thuộc đoạn [-4;10] thỏa mãn phương trình:

cosx − 3sinx = 1

4cos3 x + 1 = 3sin3x + 3cosx

Bài 45. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:
Bài 46. Giải các phương trình sau:
π
π


sin x +  − 2sinx = 3cos x + 
6
6
sin3x − 3cos3x = 2sin2x


1.
2.
π

3sin − 5x  − sin(π + 5x) + 2sin2x = 0
cos3x − sinx = 3 (sin3x − cosx)
2

3.
4.
x
2cos 2 + 3sinx − 2sin3x − 1 = 0
3cos5x − 2sin3xcos2x − sinx = 0

2
5.
6.
Bài 47. Giải các phương trình sau:
(1 − 2sinx)cosx
sinx − sin2x
= 3
= 3
(1 + 2sinx)(1 − sinx)
cosx − cos2x
1.
2.
Bài 48. Giải các phương trình sau:
π

2cos 2  − 2x  + 3cos4x = 4cos2 x − 1
4

1.
2. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
x
π




 3π

4sin2  π −  − 3sin − 2x  = 1 + 2cos 2  − x 
2


2

 4

3.

3cos3x
= 2(cos4x + sin3x)

Bài 49. Giải các phương trình sau: sinx + cosx sin2x +
Bài 50. Giải các phương trình sau:

10


1. sinx + cosx + 3sinx cosx – 1 = 0

2. 3(sinx + cosx) + 2sinx cosx + 3 = 0
1− 2
4. 2(sinx + cosx) + sin2x =
(1 + 2 )(sinx + cosx) − sin2x = 1 + 2
6.

3. cosx – sinx + 6sinx cosx = 1
2sin2x − 3 3 (sinx + cosx) + 8 = 0
5.
Bài 51. Giải các phương trình sau:
π
π



sin2x + 2sin x −  = 1
2cos x +  − sin2x = −1
4
4


1.
2.
2
(sinx − cosx) − ( 2 + 1)(sinx − cosx) + 2 = 0
3.
sin3 x + cos3 x = 1 + ( 2 − 2)sinx.cosx
4.
Bài 52. Định m để phương trình sau có nghiệm:
1. sin2x + 4(cosx – sinx) = m
2. 2(sinx + cosx) + sin2x + m – 1 = 0
sin2x − 2 2m(sinx − cosx) + 1 − 4m = 0
3. sinx – cosx = msinx cosx
4.
Bài 53. Giải các phương trình sau:
1. sin2x + sinx cosx – 2cos2x = 0
2. 4sin2x – 5sinx cosx – 6cos2x = 0
2
2
sin x − 3sinx cosx + 2cos x = 1
3.
4. 2sin2x + 2sin2x – 4cos2x = 1
5.

4sin2 x + 3 3sin2x − 2cos 2 x = 4

6. 3sin22x – sin2x cos2x – 4cos22x = 2

cos 2 x + 3sin2 x + 2 3sinx.cosx − 1 = 0

7.
8. 3cos4x – 4sin2x cos2x + sin4x = 0
Bài 54. Định m để phương trình: 3sin2x + msin2x – 4cos2x = 0 có nghiệm
Bài 55. Tìm m để phương trình: (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm
Bài 56. Cho phương trình: (m + 2)cos2x + msin2x + (m + 1)sin2x = m – 2
1. Giải phương trình khi m = -1
2. Định m để phương trình có nghiệm.
Bài 57. Giải các phương trình sau:
1.

2sin2 2x + 3cos2x + 1 = 0

2. cos2x + sinx + 1 = 0

2cos2x + 2cosx − 2 = 0
3.
4. 5cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
Bài 58. Giải các phương trình sau:
1. 5tanx – 2cotx – 3 = 0
2. cot4x – 4cot2x + 3 = 0
4
1 + sin3 x
tan 2 x −

+5=0
2cos 2 x + cot 2 x =
sin2 x
cosx
3.
4.
Bài 59. Giải các phương trình sau:
1. sin4x + cos4x + sinx cosx = 0
2. 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0
2
2
3. 2(1 + cos2x – cos 2x) = 1 + cos4x 4. 4sin 2x + 6sin2x – 9 – 3cos2x = 0
5. 2cos3x cosx – 4sin22x + 1 = 0
6. (3 + 2sinx)cosx – (1 + cos2x) = 1 + sin2x
Bài 60. Giải các phương trình sau:
 17π

 13π

sin
− 2x  + 5cos(x − 7π ) + 4 = 0
3sin
− 2x  = 11 − 14sin(9π − x)
2


 2

1.
2.

Bài 61. Giải các phương trình sau:

11


1. (2tanx – cotx)sin2x = 2sin2x + 2

2.

π


cos 2x +  + cos 2x −
4



Bài 62. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

π
 + 4sinx = 2 + 2 (1 − sinx)
4

1 − cosx = sinx

[π ;3π ]

trên đoạn
cos3x + sin3x 


5 sinx +
 = cos2x + 3
1 + 2sin2x 


(0;2π )

Bài 63. Tìm nghiệm thuộc khoảng
của phương trình:
Bài 64. Cho phương trình: 2cos2x + (m + 4)sinx – (m + 2) = 0
1. Giải phương trình trên với m = 2

2. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc

 π π
− 2 ; 2 
 π
0; 2 

Bài 65. Định m để phương trình: cos2x – cosx + 1 – m có nghiệm thuộc đoạn
Bài 66. Giải các phương trình sau:
1. sin5x + sin3x + sinx = 0
2. cosx + cos3x = sin4x
3. cosx – cos2x = sin3x
4. sin5x + sinx + 2sin2x = 1
Bài 67. Giải các phương trình sau:
1. sin2x sin5x = sin3x sin4x
2. cosx cos5x = cos2x cos4x
3. cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinx sin2x
4. sin4x sin2x + sin9x sin3x = cos2x

Bài 68. Giải các phương trình sau:
π
π
π
π




cos x +  + cos x +  = cos x + 
2 2sin x − cosx = 1
3
6
4
12 




1.
2.
Bài 69. Giải các phương trình sau:
1. cos3x – 2cos2x = 2
2. sin6x + 2 = 2cos4x
Bài 70. Giải các phương trình sau:
1. 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x
2. sin2x = cos22x + cos23x
3. cos23x cos2x – cos2x = 0
4. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
π

2π  1


cos 2  x +  + cos 2  x +  = (sinx + 1)
3
3  2


5. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
6.
Bài 71. Giải các phương trình sau:
2sin2 x + cos4x − cos2x
sin2 x sin2 2x
=0
+
=2
(sinx − cosx)sin2x
sin2 2x sin2 x
1.
2.
(1 − 2cosx)(1 + cosx)
1 − cos4x
sin4x
=1
=
(1 + 2cosx).sinx
2sin2x 1 + cos4x
3.
4.
Bài 72. Giải các phương trình sau:

3 + cos2x
sin2x cos2x
4cotx − 2 =
+
= tanx − cotx
sinx
cosx
sinx
1.
2.
2
2
cot x − tan x
1 + sin3 x
2
2
= 16(1 + cos4x)
2cos x + cot x =
cos2x
sin2 x
3.
4.
Bài 73. Giải các phương trình sau:

12


1. 3 – 4cos2x = sinx(2sinx + 1)
3.

cos3 x + cos 2 x = 4cos2
5.

2.

sin x + 6cosx = 3cos x + 2sinx
2

2

4.

x
2

x
x
sin + cos − sinx − 1 = 0
2
2

sin2 x + cos2x + 2sin2x = 1
cosx − sin2x = 3 (2cos 2 x − sinx − 1)

6.

2cos 2

x
(1 − sinx) + cos 2 x = 0

2

7. 2sin22x + sin7x – 1 – sinx = 0
8.
Bài 74. Giải các phương trình sau:
1. 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1
2. 4cosx + 2sinx = 3 + cos2x
Bài 75. Giải các phương trình sau:
1. (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
2. (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1
3. (2cosx – 1)(2cosx + 2sinx + 1) = 3 – 4sin2x
4. (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = 3
5. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
6. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
7. sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x
8. (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx
2cos 2 x + 2 3sinx cosx + 1 = 3(sinx + 3cosx)
9.
10. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
11. (1 + sin2)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
12. sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x
Bài 76. Giải các phương trình sau:
1. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
2. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
3. sin2x + cos2x + 2(cosx – sinx) – 3 = 0
4. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
5. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
6. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
7.

6cosx − 2sinx + 1 = 3sin2x + cos2x
π

sin2x + 2sin + 2x  = 1 + sinx − 4cosx
2


8.
Bài 77. Giải các phương trình sau:
1. cos2x + sin3x + cosx = 0
3. 2sin3x – cos2x + cosx = 0
5. sin3x – cos3x = 1 + sin2x
Bài 78. Giải các phương trình sau:
1. tanx = sin4x
3. cotx – tanx = sinx + cosx
5. cotx + cot2x = 2sin2x + 1

7. 2tanx cosx + 1 = 2cosx + tanx

2. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0
4. cos3x + sin3 + 2sin2x = 1
4cos3 x + 3 2sin2x = 8cosx
6.
2. 1 + tanx = cos2x
4. tanx = cotx + 4cos22x
6. (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
π

2sin2  x −  = 2sin2 x − tanx
4


8.

13


tanx − 3cotx = 4(sinx + 3cosx)
9. tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
11. 3(cosx – sinx) + sinx tan2x = tanx sinx
π
π
2


sin 2x −  = sin x −  +
4
4 2


13.
Bài 79. Giải các phương trình sau:
π

2sin 2x −  + 4sinx + 1 = 0
6

1.
3x
 5x π 
x π

sin
−  − cos −  = 2cos
2
 2 4
2 4
3.

10.
12. 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2

14. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1

2. sin4x – cosx + 2 = cos3x + 4sinx
π

sin2x + 2 2cosx + 2sin x +  + 3 = 0
4

4.
x
x
π
sin sinx − cos sin2 x + 1 = 2cos 2  −
2
2
4
6.

π


2

5. cos2x + cos5x – sin3x – cos8x = sin10x
Bài 80. Giải các phương trình sau:
sin3 x − 3cos3 x = sinx cos 2 x − 3sin2 x cosx
2cos 2 x + 2 3sinx cosx + 1 = 3(sinx + 3cosx)
1.
2.
3. sin2x cosx + sinx cosx = cos2x + sinx + cosx
4. cos2x sin4x + cos2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1
4
2
4
5. 3sin x + 2cos 3x + cos3x = 3cos x – cosx + 1
6. cosx(2sin2x + 2sinx + 1) = 2cos3x + sinx + 1
π 
3π  2

cos 4 x − sin4 x + cos x − sin 3x −  − = 0
4 
4  3

7.
Bài 81. Giải các phương trình sau:
sin2x + 2cosx − sinx − 1
2cos 2 3x
=0
+ tanx = cotx
tanx + 3
sin2x

1.
2.
π

2cos + x 
tan 2 x + tanx
2 
π
4
 (1 + sin2x) = 1 + cotx
=
sin x + 
2
tan x + 1
2
4

sinx
3.
4.
3
2cosx
sinx − 1
(2sinx − 1)tanx =
+
2(1 + cosx)(cot 2 x + 1) =
cosx sinx − 1
cosx + sinx
5.
6.

1 + sin2x + cos2x
1
2 (cosx − sinx)
= 2sinx sin2x
=
tanx + cot2x
cotx − 1
1 + cot 2 x
7.
8.
Bài 82. Giải các phương trình sau:
π x
3(tanx + sinx)
tanx(sinx − 1) = 2sin2 x − (sin2x − 2)
− 2cosx(1 + cosx) = 2sin2 x
4 2
tanx − sinx
1.
2.
( 3cos2x − 2sinx + 1)(1 + cosx)
π

+ cos2x = 1
(1 + sinx + cos2x)sin x + 
π
1

4

cos x + 

=
cosx
2
1 + tanx

2
3.
4.
Bài 83. Giải các phương trình sau:

14


2
= 7sinx − 3cosx
cosx

1.
Bài 84. Giải các phương trình sau:
x
2 + cosx = 2tan
2
1.

2.

3
= 3cosx + sinx
cosx

2. 6tanx = tan2x
π

3tan x −  = tanx
6

4.

3. 1 + 3tanx = 2sin2x
Bài 85. Giải các phương trình sau:
x
x
tan 2 + cot 2 − tanx = 5
2
2
1.
2. tanx + cotx + 7 = cot22x
3. cot22x + 4(tanx + cotx) = 8
4. tan2x + 4cot2x + 7 = 4tanx + 8cotx
Bài 86. Giải các phương trình sau:
1. cos22x – cos2x = 4sin22x cos2x
2. cos2x + 5 = 2(2 – cosx)(sinx – cosx)
Bài 87. Giải các phương trình sau:
4x
6x
8x
cos
= cos 2 x
2cos 2
+ 1 = 3cos

3
5
5
1.
2.
1
x 1
x
4x
+ cos 2 = sin2
2sin + (sinx + cosx)2 = 0
4
3 2
2
3
3.
4.
Bài 88. Giải các phương trình sau:
π

 3π

π

sin + 2x  = 2sin − x 
2sin 3x +  = cosx
6

 5


5

1.
2.
π
π 1
π



 5π

2sin x +  − sin 2x −  =
5cos 2x +  = 4sin − x  − 9
3
6 2
3



 6

3.
4.
π
π
 3π x  1  π 3x 


sin −  = sin + 

sin 3x −  = sin2x sin x + 
4
4
 10 2  2  10 2 


5.
6.
π
π



tan 3  x −  = tanx − 1
2 2cos 3  x −  − 3cosx − sinx = 0
4
4


7.
8.
Bài 89. Giải các phương trình sau:
1. 4sin3x + cosx sin2x = 4sinx
2. sinx – 4sin3x + cosx = 0
3
3
2
3. cos x – sin x – cosx sin x + sinx = 0
4. sin3x + 2cos3x + sinx cos2x = 2cosx
5. 3cos4x – 4sin2x cos2x + sin4x = 0

6. sinx sin2x + sin3x = 6cos3x
2
7. 6sinx – 2cos x = 5sin2x cosx
8. sin3x = 3cos3x + sin2x cosx = 0
Bài 90. Giải các phương trình sau:
1. sinx + cos2x = 2
2. cos2x + cos4x = -2
3. sin7x – sinx = 2
4. cos4x – cos6x = 2
Bài 91. Giải các phương trình sau: (đánh giá số mũ)
1. sin3x + cos3x = 1
2. cos6x + sin2x = 1
3. sin3x + cos7x = 1
4. sin5x – cos3x = 1
3

3

4

5. sin x + cos x = 2 – sin x

5

5

6. sin x + cos x + sin2x + cos2x = 1 +

15

2


Bài 92. Giải các phương trình sau:
sinx + cosx = 2 (2 − sin3x)
1.
Bài 93. Giải các phương trình sau:
1
2tanx + cot2x = 2sin2x +
sin2x
1.
Bài 94. Giải các phương trình sau:
1. cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2
sinx tan2x + 3 (sinx − 3tan2x) = 3 3

2. cos2x – 2cosx + 2 = cos5x

3tan3x + cot2x = 2tanx +
2.

2
sin4x

2. 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
x

tanx + cosx − cos 2 x = sinx1 + tanx tan 
2

4.

3.
Bài 95. Giải các phương trình sau:
1
sin2x
π

1
cotx +
= 2sin x + 
cos5x +
+ 4sin3xsinx = 2
sinx + cosx
2
2

cosx
1.
2.
1 

cos2x
1
tanx + 2 2cosx −
 = sin2x + cos2x
cotx − 1 =
+ sin2 x − sin2x
cosx 

1 + tanx

2
3.
4.
Bài 96. Giải các phương trình sau:
3(sinx + tanx)
sin4 x + cos 4 x 1
= 2cosx
= (tanx + cotx)
sin2x
2
tanx − sinx
1.
2.
1 − cos2x
2
= 2 − tan 2 x −
1 + cosx
cosx
3.
4. tan2x(1 – sin3x) + cos3x – 1 = 0
π 
π
4cos2 2x

3
4 + 2sin2x
tan  2x −  tan  2x +  =
+
− 2 3 = 2(cotx + 1)
2

4 
4  tanx − cotx

cos x
sin2x
5.
6.
2
(2 − sin 2x)sin3x
tan 4 x + 1 =
cos 4 x
7.
Bài 97. Giải các phương trình sau:
1. cos22x + 2(sinx + cosx)3 – 3(1 + sin2x) = 0

2 x
2 x
2
2
2
 63cos − sin cos x = tan 2x + sin x
2
2

2.
Bài 98. Giải các phương trình sau:
π
π



cos2x + 3sin2x + 3 = cos x +  + 3sin x + 
4
4


1.
1
8
π 1

2cosx + cos 2 x(x + π) = + sin2x + 3cos x +  + sin2 x
3
3
2 3

2.
π  (sinx + cosx)2

cot2x + 2cos x +  =
− 2tanx
4
sin2x

3.

16


(sinx + cosx)2 − 2sin2 x
2  π


π

=
sin − x  − sin − 3x 
2

1 + cot x
2  4

4


4.
Bài 99. Giải các phương trình sau:

1
2

1. 2sin3x(4cos2x – 3) = 1
2. (1 + 2cos2x)cos3x =
Bài 100. Giải các phương trình sau:
3sinx + 2cosx − 1 = 1
5cosx − cos2x + 2sinx = 0
1.
2.
Bài 101. Giải các phương trình sau (đánh giá trực tiếp hai vế):

1 − sin3x + sin3x = 4cosx − 4cos2 x

1. (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x
2.
Bài 102. Giải các phương trình sau (dùng bất đẳng thức cổ điển):
1 

(4 − 2sin2 x) = 1 + 5siny
2 +
2 
cos3x + 2 − cos 2 3x = 2(1 + sin2 x)
cos x 

1.
2.
1
1
cosx
− 1 + cos3x
−1 = 1
2
2
sinx + 2 − sin x + sinx 2 − sin x = 0
cosx
cos3x
3.
4.
Bài 103. Giải các phương trình sau (tổng các số hạng cùng dấu bằng 0):
1. cosx cos3x – cos2x cos4x = 1
2. cos4x + 6sin2x – 2sinx = 0
8cos4xcos 2 2x + 1 − cos3x + 1 = 0
3. 4sin22x + sin26x – 4sin2x sin26x = 0

4.
cos 2 x − cos 3 x − 1
cos2x − tan 2 x =
x ∈ [1;70]
cos 2 x
104. Tìm tổng các nghiệm
của phương trình:
Bài
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (CÓ ĐÁP ÁN)
y = 1+ sinx
1) Tập xác định của hàm số
là:
D = [ −1;1]
D = [ 0;1]
D = ( −1;1)
D= R
A/
B/
C/
D/
y = 1− cos2 x
2) Tập xác định của hàm số
là:
D = [ −1;1]
D = ( −1;1)
D= R
A/
B/
C/
y = tanx + cotx

3) Tập xác định của hàm số
là:
π


x ∈ R x ≠ + kπ 
2


A/
B/
{ x ∈ R x ≠ kπ}
C/
D/
1
y = cotx +
cosx
4) Tập xác định của hàm số
là:

D = R \ { 1}
D/
kπ


, k ∈ Z
x ∈ R x ≠
2



{ x ∈ R x ≠ π + k2π}

17


A/

kπ 

x ∈ R x ≠

2


kπ 

x ∈ R x ≠

3


B/
y = 1− cosx

5) Tập xác định của hàm số
D = [ −1;1]
D=R
A/
B/

là:

C/

kπ 

x ∈ R x ≠

5


D = ( −1;1)

C/

D/

kπ 

x ∈ R x ≠

7


D = R \ { 1}
D/

6) Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?
y = cosx + sinx

y = sinx . cos3x
y = cosx + sin2 x
y = − cosx
A/
B/
C/
D/
7) Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
y = − sinx
y = cosx − sinx
y = sinx . cosx
y = cosx + sin2 x
A/
B/
C/
D/
cosx + 2sinx + 3
y=
2cosx − sinx + 4
8) Giá trị lớn nhất của hàm số
là:
2+ 2
4
8
4
2
1
A/
B/
C/

D/
cosx + 2sinx + 3
y=
2cosx − sinx + 4
9) Giá trị bé nhất của hàm số
là:
2
1
−
11
2
0
1
A/
B/
C/
D/
y = cosx + sinx
10) Giá trị lớn nhất của hàm số
là:
2+ 2
4
8
4
2
1
A/
B/
C/
D/

y = sinx + cosx
11) Giá trị lớn nhất của hàm số sau đây bằng bao nhiêu:
2
2
1
A/
B/
C/
D/ 0
( 0; π )
12) Hàm số nào sau đây có đồng biến trên khoảng
?
y = sinx
y = x2
y = cosx
y = tanx
A/
B/
C/
D/
13) Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
y = 2x + 3sinx
y = sinx + cosx + x
A/
B/
y = sin2 x
y = xsin2 x
C/
D/
14) Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

y = xcos2 x
y = cos2 x
y = x2 − cos2 x
y = x2
A/
B/
C/
D/

18


y = sin2 x
15) Chu kì của hàm số
T=π
A/

là:
T = 2π

B/
y = sin2x + cos3x

16) Chu kì của hàm số

A/

là:

T=π

17) Chu kì của hàm số
T=π
A/

C/

B/

T=

T = 3π

C/

x
x
f ( x) = cotx + cot + cot
2
3
B/

T = 2π

y = cosπx + tan
18) Chu kì của hàm số
T=π
A/
19) Tập giá trị của hàm số
T = [ 4;8]

A/

là:
C/

x
π

π
6

T = 3π

D/

D/

D/

T = 4π

T = 2π

T = 6π

là:

T=2

B/

y = sin2 x + 2sinx + 5

T = [ 0;1]

C/
là:

B/
y = cos2 x + cosx + 1

20) Tập giá trị của hàm số

T = π2

D/ Không có chu kì

T = [ 3; 5]
C/

D/

T=R

là:

T = [ −3;3]
A/

T = π2

B/

3 
T =  ;3
4 

cos2x = 0
21) Phương trình
có nghiệm là:
π
5π
x = + k2π ; x =
+ k2π
6
6
A/
2π
x= ±
+ k2π
3
C/
2
sin3x =
2
22) Phương trình
có nghiệm là:
kπ
x=
4
A/

π k2π
π k2π
x= +
; x= +
12
3
4
3
C/
1
cosx + = 0
2
23) Nghiệm của phương trình:
là:

T = [ 1; 4]
C/

D/

x=
B/

π kπ
+
4 2

x=
D/

B/

π
+ kπ , ( k ∈ Z)
4

x = kπ

x=
D/

19

π kπ
+
, ( k ∈ Z)
6 2

T=R


A/

π
+ k2π
6

5π
+ kπ
6

B/
tanx − 1= 0
24) Nghiệm của phương trình:
là:
π
π
+ kπ
+ kπ
2
4
A/
B/
3tanx + 3 = 0
25) Nghiệm của phương trình:
là:
π
π
+ k2π
− + kπ
3
6
A/
B/
1
cot2x =
3
26) Nghiệm của phương trình:
là:
kπ

x=
4
A/
π k2π
π k2π
x= +
; x= +
12
3
4
3
C/
19
sin9x = −
18
27) Nghiệm của phương trình:
là:
kπ
x=
4
A/
π kπ
x= +
, ( k ∈ Z)
6 2
C/
tan4x = 0
28) Phương trình:
có nghiệm là:
kπ

x=
4
A/
π k2π
π k2π
x= +
; x= +
12
3
4
3
C/
3
sin( 4x − 1) =
2
29) Phương trình:
có nghiệm là:
1 π kπ
1 π kπ
x= + +
; x= + +
4 12 2
4 6 2
A/
1 k
x=
+
24 12
C/

±
C/

C/

C/

B/

2π
+ k2π
3

π
− + kπ
4

π
+ kπ
6

D/

D/

D/

π
+ k2π , ( k ∈ Z)
3

3π
+ k2π , ( k ∈ Z)
4

π
− + kπ , ( k ∈ Z)
3

x = kπ

x=
D/

B/

±

π kπ
+
, ( k ∈ Z)
6 2

x = kπ

D/ Vô nghiệm

B/

x = kπ

x=
D/

B/

π kπ
+
, ( k ∈ Z)
6 2

π
x = − + k2π , x = π + k2π
2
x=

D/

20

1650
1150
+ k1800 ; x = −
+ k1800 ; ( k ∈ Z)
2
2


(

)

cos 2x − 300 = −

2
2

30) Phương trình:
có nghiệm là:
1 π kπ
1 π kπ
π
x= + +
; x= + +
x = − + k2π , x = π + k2π
4 12 2
4 6 2
2
A/
B/
1650
1150
1 k
x=
+ k1800 ; x = −
+ k1800 ; ( k ∈ Z)
x=
+
2
2

24 12
C/
D/
1
sinx =
2
31) Các giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình:
?
π
π
5π
π
+ k2π
+ kπ
+ k2π
− + k2π , ( k ∈ Z)
3
6
6
6
A/
B/
C/
D/
3
sinx = −
2
32) Nghiệm của phương trình:
là:
π

n+1 π
x = + nπ
x = ( −1) . + nπ
6
3
A/
B/
n π
n π
x = ( −1) . + nπ
x = ( −1) . + nπ , n ∈ Z
6
3
C/
D/
2
sinx =
2
33) Nghiệm của phương trình:
là:
π
n+1 π
x = ( −1) . + nπ
x = + kπ , ( k ∈ Z)
4
8
A/
B/
n π
2

x = ( −1) . + nπ , n∈ Z
x=
4
2
C/
D/
1
cosx = −
2
34) Nghiệm của phương trình:
là:
π
π
π
2π
x = ± + kπ
x = ± + k2π
x = ± + kπ
x= ±
+ k2π , ( k ∈ Z)
6
6
3
3
A/
B/
C/
D/
3
cosx = −

2
35) Nghiệm của phương trình:
là:
π
π
5π
5π
x = − + kπ
x = − + k2π
x = ± + kπ
x = ± + k2π , ( k ∈ Z)
6
6
6
6
A/
B/
C/
D/
tanx = 1
36) Phương trình
có nghiệm là:

21


x=
A/

x=

C/

π
5π
+ k2π ; x =
+ k2π
6
6
π
+ kπ
4

x=
B/

D/

π kπ
+
4 2

π
x = − + kπ , ( k ∈ Z)
6

cotx = − 3

37) Phương trình
có nghiệm là:
π

5π
x = + k2π ; x =
+ k2π
6
6
A/
π
x = + kπ
4

x=
B/

D/

π kπ
+
4 2

π
x = − + kπ , ( k ∈ Z)
6

C/

22