Bài tập toán lớp 11 phần giới hạn và liên tục
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (80.48 KB, 3 trang )
BÀI TẬP GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
PHẦN 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
(1 + 2n)(2 − 3n)
2n3 − 5n + 3
n 3 − 2n
1) lim 2
2) lim
3) lim
(4n − 5) 2
n − 3n3
1 − 3n 2
n 2 − 3n 3
2n 3 − 4n 2 + 3n + 3
4) lim
5)
lim
(
6)
lim
n
+
1
−
n
)
2n 3 + 5n − 2
n 3 − 5n + 7
(1 − n) 3 (3 + 2n)
4 n − 5n
7) lim
8) lim( 3n − 1 − 2n − 1)
9) lim n
(3n 2 + 1) 2
2 + 3.5n
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
−3n + 2
1 + 2n − 3n5
2n − 3n3 + 1
n3 + 3n − 2
c) lim 3
d ) lim
a ) lim
b) lim
n + 2n − 1
(n − 2)3 (5n − 1) 2
n3 + n 2
2n 2 + 1
3n − 2.5n
3n − 4n + 1
4n 2 + n + 1
4n 2 + 1 − 9n 2 + 2
f ) lim n
g
)
lim
e) lim
h
)
lim
3.5 − 4n
2.4n + 2n
1 − 2n
2−n
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
c) lim 3n 2 + n sin 2n d ) lim 3n 2 + n − 1
a ) lim(3n 2 + n − 1)
b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3)
(
e) lim 2.3n − 5.4n
i ) lim
(
(
)
3n 2 − 6n + 1 − 7 n
(
l ) lim ( n − 3n − n ) m) lim (
f ) lim 3n 2 + 1 − 2n
)
k ) lim n
(
n −1 − n
)
)
)
n2 − n + n
h)lim
g ) lim n 2 + 1 − n
2
3
n3 + n 2 − n
PHẦN 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
)
(
1− x
x +1
2x −1
3, lim−
4, lim
x
→
4
x →3 x − 2
x →3 x − 3
( x − 4) 2
2− x
x2 + 2x − 3
2 x3 + 3x − 4
(− x 3 + x 2 − x + 1)
lim
5, xlim
6,
7,
8,
lim
lim
→−∞
x →2
x →1 2 x 2 − x − 1
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1
x+7 −3
1 1
x2 − x − 4x2 + 1
− 1÷ 11, lim ( 4 x 2 − x + 2 x)
9, lim
10, lim−
x →−∞
x
→
0
x →−∞
x x +1
2x + 3
x+3
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
x 2 − x − x 2 + 1 13, lim 2
12, xlim
14,
lim
→±∞
x →−1 x + 2 x − 3
x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
x+2 −2
( x + 3)3 − 27
2− x −3
15, lim
16, lim
17, lim 2
x
→
2
x→0
x →7
x
x +7 −3
x − 49
∞
Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
∞
3
3
− x + 5x −1
−3 x + 2
5 x3 − x 2 + 1
a) lim 3
b)
c)
lim
lim
x →+∞ 2 x + 3 x 2 + 1
x →−∞ 2 x + 1
x →−∞
3x 2 + x
x5 + 2 x 3 − 4 x
5x2 − 1
x2 + 2 x − 4 x2 + 1
d) lim
f)
e
)
lim
lim
x →+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1
x →−∞
2 − 5x
Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
1, xlim
→−2
x2 + 5 −1
(
2, lim−
)
(−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)
a) xlim
→−∞
(− x 4 + x 3 + 5 x − 3)
b) xlim
→+∞
x 2 − 3x + 2
d) xlim
→−∞
e) xlim
→+∞
(
3x 2 + x − 2 x
)
1
4 x2 + x + 2
c) xlim
→+∞
f) xlim
→−∞
(
2x2 + x + x
)
)
Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
1− x
x +1
2x −1
−2 x + 1
3x − 1
a) lim−
b) lim
2
c) lim+
d) lim+
e) lim−
x →4
x →3 x − 3
x →3 x − 3
x →−2
x →−1 x + 1
( x − 4)
x+2
0
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
0
2
2
x+3
x −9
x − 3x + 2
x3 − 1
a/ lim
b/ lim
c) lim 2
d) lim 2
x →−3 x + 2 x − 3
x →3 x − 3
x →1
x →1 x − 1
x −1
2
2− x
x −9
2x +1 − 3
x + 2 −1
lim
f) lim
g)
h) lim
i) lim
x →2
x
→
3
x
→
4
x
→−
1
x+7 −3
x +1 − 2
x −2
x+5 −2
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
2x +1
2x + 3
x
2
a) lim+ ( x − 1)
b) lim+ x − 9.
c/ lim− x 3 − 8
2
x →3
x →1
x →2
x −3
x −1
2 − x2
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
(
a) xlim
→+∞
(
x2 + 1 − x
)
b) xlim
→+∞
(
x2 + 2x − x2 + 1
PHẦN 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
x2 − 4
voi x ≠ − 2
1, f ( x) = x + 2
tại x = -2
−4
voi x = − 2
x 2 voi x < 0
3, f ( x) =
1 − x voi x ≥ 0
tai x = 0
)
c) xlim
→−∞
(
)
4x2 − x + 2x
)
(
x2 − x − x2 −1
tại x = 3
2 x − 1 , x < 1
4, f ( x) = 2
tại x = 1
,x ≥1
x
1 − 1 − x , x ≠ 0
x
3, f ( x) =
1
,x = 0
2
1
5, f ( x ) =
2− x
Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
x
1, f ( x) =
2ax − 3
d) xlim
→−∞
2− x + 1
nÕu x ≠ 3
2, f(x) = 3− x
4
nÕu x = 3
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
x2 − 2
1− x
voi x ≠ 2
2
1, f ( x) = x − 2
2, g ( x) = ( x − 2)
2 2
3
voi x = 2
2
x2 + 2x − 3
x →1 2 x 2 − x − 1
x 2 − 3x + 2
lim
k)
x → 2−
2− x
e) lim
voi
x≠2
voi
x=2
x2 − x − 2
f ( x) = x − 2
4,
5− x
khi x > 2
khi x ≤ 2
6, f ( x ) = x − 3 + 1
x2 − x − 2
f ( x) = x +1
2,
a
voi x < 1
voi x ≥ 1
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
x2 − 4
khi x ≠ -2
a) f ( x) = x + 2
tại x0 = -2
−4
khi x = -2
x2 − 4 x + 3
b) f ( x ) = x − 3
5
2
khi x ≠ −1
khi x = -1
khi x<3
khi x ≥ 3
tại x0 = 3
)
2 − x +1
2 x 2 + 3x − 5
khi x > 1
khi x ≠ 3
c) f ( x) =
tại x0 = 1
d) f ( x ) = 3 − x
x −1
7
khi x ≤ 1
3
khi x = 3
x2 − 2
x−2
khi x ≠ 2
khi x > 2
e/ f ( x) = x − 2
tại x0 = 2
f) f ( x) = x − 1 − 1
2 2
3x − 4
khi x ≤ 2
khi x = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
1− x
x 2 − 3x + 2
khi x ≠ 2
2
a) f ( x ) = x − 2
b) f ( x ) = ( x − 2 )
3
1
khi x = 2
tại x0 = 3
tại x0 = 2
khi x ≠ 2
khi x = 2
x
khi x < 0
x2 − x − 2
khi x > 2
2
x
khi 0 ≤ x < 1
c) f ( x ) = x − 2
d) f ( x ) =
5− x
2
khi x ≤ 2
− x − 2 x + 1 khi x ≥ 1
ĐS: a) hsliên tục trên R ;
b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ;
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
x2 − x − 2
x2
khi x < 1
khi x ≠ −1
a) f ( x ) = x + 1
với x0 = -1
b) f ( x) =
với x0 = 1
2ax − 3 khi x ≥ 1
a
khi x = −1
x+7 −3
3x 2 − 1 khi x < 1
khi x ≠ 2
f
(
x
)
=
f
(
x
)
=
c)
với x0 = 2
d)
với x0 = 1
x−2
2a + 1
khi x ≥ 1
a −1
khi x = 2
ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6
d) a = 1/2
Bài 7:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x3 − 10 x − 7 = 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình x 2 sin x + x cos x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0; π ) .
e) Chứng minh phương trình m ( x − 1)
3
( x − 2) + 2x − 3 = 0
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 8:
a) x 4 − 5 x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b) x 5 − 3 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = 0 có ít nhất một nghiệm
d) 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x 3 + 3 x 2 − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
2
2
h) 1 − m ( x + 1) + x − x − 3 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
(
)
i) m ( x − 1)
3
(x
2
)
− 4 + x 4 − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
3
