Tổng hợp bài tập học kỳ 1 toán 11 phần đại số

Nguyn Quc Tun Bi tp tng hp hc kỡ 1-toỏn i s 11
CHNG I: HM S LNG GIC V PHNG TRèNH LNG GIC
Baứi 1. CAC HAỉM SO LệễẽNG GIAC
I. Kiờn thc c ban:
y = sinx
Tõp
xac
inh
Tõp
gia tri
Chu ky
Tớnh
chn le

y = cosx

D=R\{


+ k}
2

y = cotx

D=R

D=R

T = [ 1 ; 1 ]

T = [ 1 ; 1 ]

R

R

T = 2

T = 2

T=

T=

Le

Chn

Le

Le

ụng biờn trờn:



k2 ; k2
2
2

S biờn
thiờn
Nghich biờn trờn:


3
k2
k2 ;
2
2


x

Bang
biờn
thiờn

y = tanx


y=
sinx

x

a
y = sinx

2

k2 ; k2

ụng biờn trờn mụi
khoang:



k ; k
2
2


Nghich biờn trờn:

k2 ; k2
0


2



x

1
0

0

1

0
1

0





y=
tanx

1


y=
cosx



ụng biờn trờn:

x
y=
cotx

1

D = R \ {k}

Nghich biờn
trờn mụi
khoang:

k ; k


2


2

+

0
+





a
y = tanx

ụ thi

y = cosx

y = cotx

Bn ó ti ti liu trờn Xuctu.com. Vui lũng ng h cỏc sn phm ca chỳng tụi ti: Xuctu.com/sach/

1


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11

Bài tập ứng dụng: Giáo viên cho hs ôn tập hoặc cho hs làm kiểm tra tùy theo mức độ
của hs
1.

3 



Hãy xác định giá trị của x trên đọan   ;  để hàm số y = sinx :
2

a) Nhận giá trị bằng 0.
c) Nhận giá trị dương

2.

3.

b) y =

3 - sinx

e) y = tan  x - 300 
i) y = cos x
y

x2  1
x sin x

y

tan x
tan x  1

1- cosx
sinx

f) y = cot  x + 600 

1+ x
1- x
π

n) y = tan  2x - 
4


j) y = sin

r) y 

c) y =

1- sinx
1+ cosx

g) y = sin3x
3
2cosx
2x
o) y = cos
x -1

k) y =




e) y =

i) y = x3sin2x
k) y = cos3x

π

d) y = tan  2x + 
3
x
2
cotx

l) y =
cosx -1
x
p) y = tan
3



h) y = cos

m)
q)

1  x2
sin x

Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:
a) y = x – sinx
b) y = 3sinx – 2
c)y = sinx – cosx
tanx

5.

3 



Hãy xác định giá trị của x trên đọan   ;  để hàm số y = cosx
2


a) Nhận giá trị bằng 0.
b) Nhận giá trị bằng -1.
c) Nhận giá trị dương
d) Nhận giá trị âm.
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) y =

4.

b)Nhận giá trị bằng 1.
d) Nhận giá trị âm.

cos x
x

f) y = 1- cosx


g) y =

1+ cosx
1- cosx

d) y = sinxcosx +
h) y  2 cos 3 x  4



j) y = tan  x  

5



2
l) y  sin  x  3

m) y  tan x cot x  2sin 2 x  cos 2 x

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

2


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11

Chú ý 1  sin x  1 , 1  cos x  1
sin 2 x.cos 2 x 



 2 sin x.cos x 



a) y = 2cos  x   + 3
3



d) y = 2 cosx +1


và 0  sin 2 x  1 , 0  cos 2 x  1



g) y = 3sin  x   – 2
6




j) y = cosx + cos  x  
3


2

4



sin x.cos x 

sin 2 x
2

sin 2 2 x

4

b) y = 1- sin(x 2 ) -1

c)

y = 4sin x

e) y = 3 – 2sinx

f)

y=

h) y = 2 + 3cosx

i)

y = 3 – 4sin2xcos2x

2(1+ cosx) +1



m) y = 3 – 4sinx

k) y = cos2x + 2cos2x l)

n) y = 2 –

y=

5 - 2cos 2 xsin 2 x



o) y  2 cos  3x  
3

cosx








p) y  sin  2 x 



3

6. Trong mỗi khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải
thích vì sao?
a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch
biến.
b) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin2x đồng biến thì hàm số y = cos2x nghịch
biến.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Hệ thức cơ bản
sin(x  k2 )  sin x, 1  sin x  1
cos(x  k2 )  cos x, 1  cos x  1
tan(x  k )  tan x, x 


2

tan x.cot x  1, x  k

 k

cot(x  k )  cot x, x  k

1
cos 2 x
1
cot 2 x 
sin 2 x

sin 2 x  cos 2 x  1

tan x 

tan 2 x 


2

sin x
cos x
cos x

II. Công thức góc liên quan:
1. Góc đối a và a
2. Góc bù a và   a

phụ nhau: a và  a

3. Góc hơn  : a và   a

cos(  a )  cos a

sin(
2   a )  sin a

sin(  a)   sin a

sin(  a )   sin a

cos(  a )   cos a

cos(  a)   cos a

tan(  a )   tan a

tan(  a )   tan a

tan(  a)  tan a

cot(  a )   cot a

cot(  a )   cot a

cot(  a)  cot a

sin(

4. Góc



cos(

 a )  cos a tan(   a )  cot a
2
2


2

 a )  sin a cot(



 a )  tan a

2

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

3


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11

5.Góc hơn


2

: a và


2

III. Công thức lượng giác

a

1. Công thức cộng


Công
sin( thức
 a )nhân
 co sđôi
a
2

cos(
tan (
cot(



 a )   sin a

2


2


2

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

 2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x
sin 2 x  2sin x cos x
x
x
sin x  2sin cos
2
2

2 tan x
tan 2 x 
1  tan 2 x

sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
 a )   cot a

sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b

 a )   tan a

tan(a  b) 

tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a tan b

3. Công thức tích thành tổng
thành tích

4. Công thức tổng

1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a.sin b   cos( a  b)  cos( a  b)
2

1
sin a.cos b  sin( a  b)  sin(a  b)
2

ab
a b
.cos
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2
ab
ab
cos a  cos b  2 cos
.cos
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2sin
sin
2
2

cos a.cos b 

5. Công thức nhân ba
3

sin 3 x  3sin x  4sin x
3

cos 3 x  4 cos x  3cos x

2.

sin a  sin b  2sin

6. Công thức hạ bậc
1  cos 2 x
2
1

cos
2x
sin 2 x 
2
cos 2 x 

3sin x  sin 3 x
4
3cos
x
 cos 3 x
cos3 x 
4

sin 3 x 

x
8. Các hệ thức cần
2
1
sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x
2
3
sin 6 x  cos 6 x  1  3sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x
4

7. Công thức tính theo sinx , cosx , tanx theo t = tan
nhớ:

sinx =

2t
1+ t 2

, cosx =

1- t 2
2t
, tanx =
2
1+ t
1- t 2

8. Đặc biệt
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

4


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11











cos x  sin x  2 cos  x 
cos x  sin x  2 cos  x 





3 sin x  cos x  2sin  x    2 cos  x  
6
3



 
 = 2 sin  x  
4


4





3 cos x  sin x  2sin  x    2 cos  x  
3
6



 
 = 2 sin  x  
4
 4

§2 PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. Kiến thức cơ bản
1.Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một HSLG.
Tổng quát: Nếu a là một giá trị không đặc biệt
 sinx = a

 x = arcsina + k2π

 tanx = a  x = arctana + kπ

 
 x = π - arcsina + k2π

 cosx = a

 x = arccosa + k2π

 
 x = -arccosa + k2π
Nếu a là một giá trị đặc biệt: thì :

 cotx = a  x = arccota + kπ

 sinu = sinv

 

 u = π - v + k2π

u = v + kπ

 u = v + k2π

(chú ý k  Z )

tanu = tanv



(chú ý k  Z )
 u = v + k2π

 cosu = cosv

 
 u = -v + k2π



cotu = cotv  u = v + kπ

Chú ý:
1. Khi gặp dấu trừ ở trước thì:
– sinx = sin(– x)
– cosx = cos( – x)
– tanx = tan(– x)
– cotx = cot(– x)
Khi giải phải dùng đơn vị là rad nếu đề bài không cho độ (0).
2. Các trường hợp đặc biệt:

+ k2
2

sinx = – 1 

x=–

sinx = 0 

x = k

sinx = 1 

x=

cosx = – 1

x = (2k + 1)

cosx = 0 

x=

cosx = 1 

x = k2


+ k2
2


+ k
2

tanx = – 1  x = –


+ k
4

tanx = 0  x = k

+ k
4

cotx = – 1  x = –
+ k
4

cotx = 0  x =
+ k
2

cotx = 1
x=
+ k
4

tanx = 1

x=

2. Phương trình bậc hai theo môṭ HSLG.
Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a  0):
 asin2u + bsinu + c = 0 (1)
 acos2u + bcosu + c = 0

(1)
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

5


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
điều kiện: – 1  t  1.

đặt t = sinu.

đặt t = cosu.

điều kiện: – 1  t 

1.
(1)  at2 + bt + c = 0…

(1)  at2 + bt + c = 0…

 atan2u + btanu + c = 0 (1)
 acot2u + bcotu + c = 0
(1)
điều kiện: cosu  0.
điều kiện: sinu  0.
2
đặt t = tanu, (1)  at + bt + c = 0…
đặt t = cotu, (1)  at2 + bt + c =
0…
Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u,.. đặt

t = tanu, khi đó:
1  t2
1  t2
1
2t
2t
,
cos2u
=
,
tan2u
=
,
cot2u
=
.
cotu = , sin2u =
t
1  t2
1  t2
1  t2
2t

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển).
asinx + bcosx = c
(1)
với a, b, c  R, và a2 + b2  0
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2  c2
Chia 2 vế phương trình cho a2  b 2 , ta được:
a

2

a +b

2

b

sinx +

2

a +b

2

cosx =

2

c
2

a + b2

2


 


a
b
Vì 
+

 = 1 nên đặt cos =
2
2
2
2
 a +b   a +b 
c

Khi đó ta được:

sin(x + ) =

a2  b 2

a
a 2 + b2

, sin =

b
a 2 + b2

rồi giải như phương trình cơ bản.

Chú ý:

x
2

Ngoài ra ta có thể dùng công thức tính sinx, cosx theo t = tan .
Sau đây là cách giải:
x
2

Đặt t = tan . điều kiện x   + k2


sinu =

2t
1  t2

và

cosu =

1  t2
1  t2

2t
1  t2
(1)  a.
+ b.
= c  (a + c)t2 – 2bt + c –
1  t2
1  t2

a = 0 (2)
Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 nếu có, rồi sau đó giải
phương trình tan

x
x
= t1, tan = t2 để tìm nghiệm x
2
2

(phải thỏa điều kiện)
Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:
sinx  cosx =

2 sin(x 


)=
4

2 cos(x 


)
4

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

6

Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
4. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương
trình đẳng cấp).
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (1)
Hoặc
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
(2)
2
2
2
(2)  asin x + bsinxcosx + ccos x = d(sin x + cos2x)
 (a– d)sin2x + bsinxcosx + (c– d)cos2x = 0 (2)
Phương trình (2) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng (2) thì ta
đưa về dạng (1) như trên.
Sau đây là cách giải dạng (1):
cosx = 0

Nếu a = 0 và b, c  0 thì (1)

 cosx.(bsinx + ccosx) = 0

 
 bsinx + ccosx = 0

Nếu c = 0 và b, a  0 thì (1)

 sinx.(asinx + bcosx) = 0

 
asinx + bcosx = 0

sinx = 0

Nếu a, b, c  0:
Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx =  1).
Nếu thỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x =


+ k (k  Z).
2

Với cosx  0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình:
atan2x + btanx + c = 0
(1)
(1) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2).
Nghiệm của (1) là nghiệm của (1) và x =


+ k (nếu có).
2

Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương
trình bậc nhất theo sinx và cosx (Phần 3). Với: sin 2 x =
sinx.cosx =

1- cos2x
1+ cos2x
, cos 2 x =

,
2
2

1
sin2x
2

Phương trình đẳng cấp bâc̣ 3: asin3x + bsin2xcosx + c.sinxcos2x + dcos3x = 0 giải
tương tự như đẳng cấp bậc 2.
5. Phương trình đối xứng – Phản đối xứng.
Dạng1:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)
Đặt t = sinx + cosx =
 t2 = 1 + 2sinxcosx
(1)  at + b.

2 sin(x +


)
4

 sinxcosx =

t2 1
=c
2

Điều kiện: – 2  t  2

t2 1
2

bt2 + 2at – b – 2c = 0

(2)

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2  t  2
Giải phương trình

2 sin(x +


) = t để tìm x.
4

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

7


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Dạng 2: ( phản đối xứng )
(1)

a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c

)
4

Đặt t = sinx – cosx =

2 sin(x –

 t2 = 1 – 2sinxcosx

 sinxcosx =

(1)  at + b.

1  t2
=c
2

Điều kiện: – 2  t  2
1  t2
2

bt2 – 2at – b + 2c = 0

(2)

Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2  t  2
Giải phương trình
Dạng 3:

2 sin(x –


) = t để tìm x.

4

a|sinx  cosx| + bsinxcosx = c

Đặt t = |sinx  cosx| =

2 sin(x ±

π
)
4

(1)

Điều kiện: 0  t  2 . Giải

tương tự như trên.
6. Phương trình lượng giác không mẫu mực.
A  0  B  0
A  0
 

A  B  0
B  0
A  M  B
A  M
b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:
 

A  B

B  M
A  M vaøB  N
A  M
c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất : 
 
A  B  M  N
B  N
sinu = 1
 sinu + sinv = 2
 sinu – sinv = 2

sinv = 1
sinu = 1

sinv = -1
sinu = -1
 sinu + sinv = – 2
 sinu – sinv = – 2

sinv = -1
sinu = -1

sinv = -1
a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm:

 Tương tự cho các trường hợp cosu  cosv =  2 và cosu  cosv  2.
d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất :

 sinu.sinv = 1

A  M vaøB  N
A  M
A   M
 
 

A.B  M.N
B  N
B   N
sinu = 1 sinu = -1

sinu.sinv =


sinv = 1 sinv = -1

sinu = -1 sinu = 1

sinv = 1
sinv = -1

–1  

 Tương tự cho các trường hợp cosu.cosv = 1, sinu.cosv = 1, cosu.sinv = 1.
II. Bài tập ứng dụng:
1. Phương trin
̀ h cơ ban
̉ – phương trình bậc nhất một HSLG
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

8


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1
4

1)

sinx = –

3
2

2)

sinx =

4)

sin2x = – 1

5)

cos(3x –

7)

π

1

cos  2x +  = 3
2


8)

π

13) tan  -  = tan
8
2 4

3
2

16) cos(3x – 450) =
x

19) sin  +100  = 2
2


20) cos(x + 3) =

22) cos(2x + 500) = –

3
23) 2cosx –

2

sin(x – 600) =

1
2

2
5
2
tan2x = tan
7

cos(x – 2) =



π

3

12) cot  x +  =
3 3

x

3



15) cot  + 200  = 3
3


3
2

17) sin3x = –

1




2
)=–
6)
6
2
1
cos(2x + 500) =
9)
2

π
3

11) cot  4x -  = 3
3
6


2
14) sin4x =
3

10) tan(3x – 300) = –
x π

3)

2
2

18) sin(2x – 150) =
1
3

21) sin2x =

3 =0

24)

3
2

3 tan3x – 3 = 0

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)

3)
5)
8)
9)
Bài 3.
1)


4




cos2x . cot  x   = 0
(cotx + 1) . sin3x = 0
tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 0
tan(2x + 600)cos(x + 750) = 0
(2 + cosx)(3cos2x – 1) = 0
Giải các phương trình sau:
sin(2x – 150) =

2)

x 
x 

 cot -1  cot +1 = 0
3 
2 


4)
6)
7)
10)

sin2x . cotx = 0
(2cos2x – 1)(2sin2x – 3 ) = 0
(3tanx + 3 )(2sinx – 1) = 0
(sin2x – 1)(cosx + 1) = 0

2
với – 1200 < x < 900
2

2) cos(2x + 10 =

1
2

với –  < x < 
3)

sin  2x    





3

1
với 0 < x < 2
2

4)

tan  2x    

5)

sinx = –

1
2

với –  < x < 0

6)

cos(x – 2) =

7)

tan(x – 100) = 1

Bài 4.
1)
3)
5)

với x  [ ; 2]
Giải các phương trình sau:
cos3x – sin2x = 0
sin3x + sin5x = 0
sinx – cos(x + 600) = 0





4

3
2

với – 150 < x < 150

6)

2)
4)
6)

3
với 0 < x < 
3

với x  [0 ; ]








8) sin  x   = 1
4

tanx tan2x = – 1
cot2x cot3x = 1
0
cos(x – 10 ) + sinx = 0

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

9


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11

7)

π
π


sin  x +  = -sin  2x - 
3

4



8)

9) sin3x = cos2x
11) sin2x + cos3x = 0
0
13) tanx . tan3x = 1
1



π

π


10) cosx = – sin2x
12)




sin2x =

1
4

2)

cot2x.cot(x + 450) =
π







π

16) cos  2x +  + cos  x -  = 0
3
6

17) tan3x + tanx = 0
=0
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1)

tan(3x + 2) + cot2x =

14)

15) cos  2x -  - sin  - x  = 0
4
3


π

cos  2x -  = -cosx
4




18)

4cos2x – 3 = 0



tan3x + tan(2x – 450)

3)

sin23x – cos2x = 0

2. Phương trình bậc hai – bậc ba một HSLG
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1) 2cos2x – 2( 3 + 1)cosx + 3 + 2 = 0 2) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0
4)

cos2x + 9cosx + 5 = 0

5)

cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 16) cot4x – 4cot2x + 3 = 0

7)

cos2(x +

9)

1
– 1 + tanx –
cos 2 x



5
) + 4cos(  x ) =
3
6
2

11) 2cos2x +

8)

3 (tanx + 1) = 0

2 cosx – 2 = 0

sin2x – 2cos2x +

3
=0
4

3)

tan2x –
10)

4
+5=0
cosx
1- tan 2 x
cos4x – 3
+2=0
1+ tan 2 x

12) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
x
x
- 2( 2 +1)cos + 2 = 0
2
2
x
x
16) 4cot 2 - 2( 3 -1)cot - 3 = 0
3
2

14) 4cos 2

13) 6sin2x – 5sinx – 4 = 0
15) tan 2 3x + (1- 3)tan3x - 3 = 0

17) 3tan 2 x - (1+ 3)tanx +1 = 0
18) cos2x + sinx + 1 = 0
3. Phương trình bậc nhất đôí với sinx và cosx (Phương trình cổ điển).
Bài 8. Giải các phương trình sau:
1)

sinx – cosx =

3 cos4x =

6
2

2)

3 cosx + sinx = – 2

3) sin4x +

3

4) 2sinx – 9cosx = 85
4sinx + 1 = 0
7) 2 sin2x + 3cos2x = 4
3 cos2x = 1

5)

cos(2x – 150) + sin(2x – 150) = – 1

8)

2sinx – 2 cosx =

10) cosx – 3 sinx =
+ 12sin2x – 13 = 0

11) 3sin3x – 4cos3x = 5

2

2

6) cosx +

9) sin2x –
12) 5cos2x

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

10


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
13) 3sinx + 3 cosx = 1
Bài 9. Giải các phương trình sau:

3 sin4x = – 3

1)

2sin22x +

3)

3sin3x –

5)

2cos  x   + 3cos  x   =
6
3

3 cos9x = 1 + 4sin33x

















7)

2sin2x +

9)

sin9x +

3 sin2x = 3
3 cos7x = sin7x +

x
– 3sinx – 4 = 0
2
1- cos4x
sin4x
=
13)
2sin2x 1+ cos4x

11) 8sin2

5 2
2





2)

cosx + 3 sinx = 2 cos   x 
3


4)

5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –13

6)

sin2x + sin2x =

8)

3cos2x – sin2x – sin2x = 0

3 cos9x

12)

10)

1
2

sin5x + cos5x =

2 cos13x

1+ sinx 1
=
1+ cosx 2

14) 3cosx – 4sinx +

2
=3
3cosx - 4sinx - 6

Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:
1) y = 2sinx + 3 cosx + 1
2) y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3
3)

y = sin2x + cos2x – 2

4)

y=

sinx + cosx -1
sinx - cosx + 3

4. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương
trình đẳng cấp).

Bài 11. Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0
2) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2
1
3) sin2x + sin2x – 2cos2x =
4) 2cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4
2

5)
7)

sin2x

– 10sinxcosx + 21cos2x = 0 6)
cos2x – 3 sin2x – sin2x = 1
8)

cos2x – 3sinxcosx + 1 = 0
2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

9) 3sin2x – 2 3 sinxcosx + cos2x – 1 = 0 10)
4sin2x – 3 3 sin2x – 2cos2x =
4
11) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 2
12) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 1
13 3 cos2x – sin2x – 3 sin2x = 1
14) 3 sin2x + 2cos2x – 1 = 0
15) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 0
16) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 + 3
17) sin3x + cos3x = sinx + cosx

18) sin3x + 2sin2xcosx – 3cos3x = 0
3
2
2
19) sin x – 5sin xcosx – 3sinxcos x + 3cos3x = 0 20) cos3x – 4cos2xsinx +
cosxsin2x + 2sin3x = 0
5. Phương trình đối xứng – Phản đối xứng.
Bài 12. Giải các phương trình sau:
1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 2) (cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0
3) 2sinx + cosx+ 3sin2x = 2
4) sinx – cosx+ 4sin2x = 1
5) tanx + cotx = 2 (sinx + cosx)
6) (1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x
7) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0
8) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

11


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11

9)

cosx +

10
1
1

+ sinx +
=
3
cosx
sinx

π

2 sin  x +  + 1 = 0
4


10) sin2x –

6. Phương trình lượng giác không mẫu mực.
Bài 13. Giải các phương trình sau:
1) sin25x + 1 = cos23x
2) sin2x – 2sinx + 2 = sin23x
3) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x)
4) 2cos2x = 3sin25x + 2
2
2
5) (cos4x – cos2x) = 4 + cos 3x
6) sinx + cosx = tanx + cotx
7) cos5x.sin3x = 1
8) sin2x + sin3x + sin4x = 3
7. Phương trình dạng khác ( tổng quát )
Bài 14. Giải các phương trình sau:
1) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x 2) sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2
3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 4) sin2x + sin2x = cos23x + cos24x

5) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0 6) sin2x + sin22x = sin23x
7) cos2x – cos8x + cos6x = 1
8) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
9) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x
10) sin6x.sin2x = sin5x.sinx
11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x
12) sin7x.cosx = sin5x.cos3x
13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 0 14) sin3x + sin5x + sin7x = 0
15) cos2x + 4sin4x = 8cos6x
16) sinx = 2 sin5x – cosx
17) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x
18) sinx+sin2x+sin3x =
cosx+cos2x+cos3x
19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x 20) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0
21) tanx + cot2x = 2cot4x
22) 2cos2x + sin10x = 1
23) tanx + tan2x = sin3x.cosx
24) 5tanx – 2cotx = 3
25)

1+ cos2x
sin2x
=
cosx
1- cos2x

27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
29)

1

1
2
+
=
cos2x sin2x sin4x

26) sinx + cosx =

cos2x
1- sin2x

28) 4sin3x = sinx + cosx
3 - cos6x
4

30) sin4x + cos4x =

9. Phương trin
̀ h lượng giac
́ trong cac
́ đề thi Đại học – Cao đẳng
cos3x + sin3x 

1) 5  sinx +
= cos2x + 3
1+ 2sin2x 


2)
sin23x – cos24x = sin25x –

cos26x
3)
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
, với x  [0 ; 14]
cos 2x
1
2
4) cot x -1 
 sin x - sin 2x
1  tan x
2
2
sin2x
x
x π
6) sin 2  -  tan 2 x - cos 2 = 0
2
2 4

5) cotx - tanx + 4sin2x =

2

7) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tan x

8) (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
2

2

9) cos 3x.cos2x - cos x = 0
10) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0




11) sin 4 x + cos 4 x + cos  x 

12) 4 sin

2

x
2


 3

 sin  3 x    = 0
4
4 2

2




 3 cos 2 x  1  2 cos  x 
3




13) 2 2 cos  x 

3 



4 

 

  3 cos x  sin x  0

4

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

12


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-tốn đại số 11

14) tan(



2

 x )  3 tan x 

cos 2 x  1
2

sin x

2
cos x
sin x
 3π

1 5 ) ta n 
-x+
= 2
2
1
+
c
o
sx



3

17)

1






sin  x -

3





2

3

2

 7
 4

 4 sin 




-x

2

19) sin x - 3 cos x  sin x cos x - 3 sin x cos x

16) sin 2 x  cos 2 x  3 sin x - cos x - 2  0
2(cos 6 x + sin 6 x) - sinxcosx

1

18)

20) 2 sin x (1  cos 2 x )  sin 2 x  1  2 cos x

= 0

2 - 2sinx

Hết

CHƯƠNG II: HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
§1. Quy tắc đếm
1) Quy tắc cộng:
Thực hiện 1 cơng việc được thực hiện bởi k phương án.
Phương án 1 có n1 thực hiện.
“
2 “ n2 “
.
…………………………….
Phương án k có nk cách thực hiện
Thì ta có n1+ n2 + …..+ nk cách thực hiện.
Phát biểu dưới dạng khái niệm tập hợp: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn khơng giao

nhau thì:
n(A  B) = n(A) + n(B)
2) Quy tắc nhân:
Một cơng việc được thực hiện bởi hai hay nhiều hành động mà trong đó :
Có m cách thực hiện hành động thứ nhất
Có n cách thực hiện hành động thứ hai
……………………………………….
Có i cách thực hiện hành động thứ k
Thì ta có : m.n……i
cách thực hiện.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1 : Sử dụng qui tắc cộng
Bài 1: Trên kệ sách có 12 qủn sách tham khảo Toán 11 và 6 qủn sách tham
khảo Lý 11. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn mợt trong hai loại sách nói
trên
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tơi tại: Xuctu.com/sach/

13


Nguyn Quc Tun Bi tp tng hp hc kỡ 1-toỏn i s 11
Bai 2: Cho tõp hp E = {a,b,c}. Co bao nhiờu cach chon mụt tõp hp con khac rụng
cua E.
Bai 3: T cỏc s 1, 2, 3 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn bộ hn 100.
Dang 2: Sửỷ duùng qui taộc nhõn
Bai 4:
1) T nh An n nh Bỡnh cú 5 con ng i, t nh Bỡnh n nh Ton cú 3
con ng i. Hi cú bao cỏch i tự nh An n nh Ton?
2) T cac sụ 1,3, 5, 6, 8.Cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn chn gm 3 ch s
a) Cỏc s t nhiờn cú ch s ging nhau.

b) Cỏc s t nhiờn cú ch s khỏc nhau.
Bai 5: Trờn kờ co 3 quyờn toan khac nhau, 5 quyờn li khac nhau va 7 quyờn hoa
khac nhau. Hoi co bao nhiờu cach chon.
a, Mụt quyờn sach?
b, Ba quyờn sach khac nhau?
c,
Hai quyờn sach khac nhau?
Bai 6: Cu ờn ca hang vn phong phõm ờ mua qua tng ban en, trong ca
hang co ba mt hang thich hp: o la 5 loai but, 4 loai v va 3 loai thc. Hoi ban
Cu co bao nhiờu cach chon mụt mon qua gụm but, v va thc ờ tng ban en?
Bai 7: Trong mụt ụi vn nghờ co 8 nam va 6 ban n. Hoi co bao nhiờu cach chon
mụt ụi song ca gụm co:
a, Hai nam?
b, Hai n
c, Mụt nam va mụt n
Bai 8: T cac sụ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hoi co thờ lõp c bao nhiờu sụ t nhiờn trong
o:
a, Sụ co ba ch sụ?
b, Sụ co ba ch sụ khac nhau?
c, Co bao nhiờu sụ chn co ba ch sụ?
d, Co bao nhiờu sụ chn co
ba ch sụ khac nhau?
e, Co bao nhiờu sụ le co bụn ch sụ?
f, Co bao nhiờu sụ le co bụn
ch sụ khac nhau?
Bi 9: Mt tp th gm 14 ngi gm 6 nam v 8 n, ngi ta mun chn 1 t cụng
tỏc gm 6 ngi.Tỡm s cỏch chn sao cho trong t phi cú 2 nam v 4 n
Bi 10: Cú bao nhiờu s t nhiờn gm 4 ch s sao cho khụng cú ch s no lp li
ỳng 3 ln?
Bi 11: T 1 nhúm hc sinh gm 7 nam v 6 n. Thy giỏo cn chn ra 5 em tham

d l mớt tinh ti trng vi yờu cu cú 2 nam v 3 n. Hi cú bao nhiờu cỏch chn.
Đ2. Hoỏn v - chnh hp T hp
CT Khỏc
Nụi dung
nh ngha
Cụng thc
Cho tp A gm N pt. Mi kq Sx n
P(n) = n!
Pn = 1.2.3..n = n!
Hoỏn v
pt l 1 HV
n!
n(A)= n. Mi cỏch chn k pt cú
Pn = Ank
Ank =
Chnh hp th t ca A c gi l 1 chnh
(n k )!
0! = 1
hp chp k ca n pt.
Cnk Cnn k
n!
n(A)= n. Mi tp con gm k pt ca C k =
n
T hp
k !(n k )!
A c gi l 1 t hp chp k ca
Cnk11 Cnk1 Cnk
n pt.
Bn ó ti ti liu trờn Xuctu.com. Vui lũng ng h cỏc sn phm ca chỳng tụi ti: Xuctu.com/sach/

14


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Bài 12:
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người vào 10 cái ghế xếp thành 1 hàng ngang.
b) Một lớp học có 35 hs trong đó 15 nam và 20 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
1) 5 bạn để đi dự hội trại của Đoàn Trường.
2) 5 bạn trong đó gồm 2 nam và 3 nữ
3) 3 bạn trong đó gồm 1 bạn làm lớp trưởng, 1 bạn lớp phó và 1 bạn bí thư đoàn.
Bài 13: Trên giá sách có 10 quyển sách toán, 8 quyển sách văn và 3 quyển sách
lý, lấy 3 quyển.Tính số cách lấy để:
a) Mỗi loại có 1 quyển.
b) Cả 3 quyển cùng loại.
c) Chỉ có đúng 1 quyển sách văn.
d) Có ít nhất 1 quyển toán.
Bài 14: Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
sắp xếp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền
nhau.
Bài 15: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
trong đó:
a, Số có ba chữ số?
b, Số có ba chữ số khác nhau?
c, Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số?
d, Có bao nhiêu số chẵn có
ba chữ số khác nhau?
e, Có bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số?
f, Có bao nhiêu số lẻ có bốn
chữ số khác nhau?
Bài 16: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

trong đó:
a, Số có hai chữ số?
b, Số có hai chữ số khác nhau?
c, Số có ba chữ số?
d, Số có ba chữ số khác nhau?
e, Số có bốn chữ số?
f, Số có bốn chữ số khác nhau?
g, Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số? h, Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số
khác nhau?
i, Có bao nhiêu số lẻ có ba chữ số?
j, Có bao nhiêu số lẻ có ba chữ số khác
nhau?
k) Có bao nhiêu số có ba chữ số chia hết cho 5
l) Có bao nhiêu số có ba
chữ số khác nhau chia hết cho 5
Bài 17: Hỏi từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong chữ số đó có mặt chữ số 1 ở hàng đơn vị.
Bài 18: Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên bàn dài.
Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh
nhau.
Bài 19: Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên bàn dài.
Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn.
Bài 20: Trong một tổ có 10 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ba bạn trực nhật
( mỗi bạn chỉ làm một nhiệm vụ ) được chọn từ các bạn đó?
Bài 21: Trong hộp đựng 7 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu xanh ( hoàn toàn giống
nhau về hình thức ), lấy ngẫu nhiên 3 quả. Hỏi
a, Có bao nhiêu cách như vậy?
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

15

Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
b, Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có hai quả màu đỏ?
c, Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất hai quả màu đỏ?
d, Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có ít nhất một quả màu đỏ?
Bài 22: Giải phương trình : Px . Ax2  72  6  Ax2  2 Px  trong đó Px là số hoán vị của x
phần tử và Ax2 là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử
Bài 23: Giải phương trình : Cx21  2Cx2 2  2Cx23  Cx2 4  149 (x là số nguyên dương , Cnk là
số tổ hợp chập k của n phần tử)
Bài 24: Giải phương trình
a) C x3  C x2 

x3  6 x 2
5
6

2

b) C23xx14  C2xx 42 x 3

Bài 25: Giải bất phương trình : 2Cx21  3 Ax2  30
§3. Nhị thức Niu – Tơn:
Dạng khai triển:

( a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnn b n

(1)

Với a=b=1, 2n = Cn0  Cn1  ...  Cnn . Với a= 1, b = -1 ta có 0 = Cn0  Cn1  ...  (1)k Cnk  ...  (1)n Cnn

Chú ý: a) Số các hạng tử trong (1) là n+1
b) Số mũ của a giảm dần , số mũ của b tăng dan dần từ trái sang phải. nhung tong
các số mũ bắng n
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều 2 hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
d) Số hạng tổng quát Tk 1  Cnk a n  k .b k
Bài 26
1) Khai triển các biểu thức sau:
7
13
9
10
a)  x  y 
b)  x  y 
c)  x  2 
d)  y  3
e) (2x – 3y)4
f) (y + 2x)5
12

g) 1  3x 




x

20




12

1

i)  x 2  
x

h)  2  
2







15

1




j)  x  
x

12

1

k)  x  
2





l)

8

2

x 
x


2) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển:
Bài 27: Cho biểu thức  x  a 

a) (2x +

2 6
)
x2

b) (2x +

1 8

)
x3

5

a, Khai triển biểu thức trên thành tổng các đơn thức?
b, Tìm hệ số của x 2 trong khai triển biểu thức trên?
x

12

3

Bài 28: Cho biểu thức   
3 x
a, Tìm hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức trên?
b, Tìm số hạng không chức x trong khai triển biểu thức trên?
n

1

Bài 29: Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển  x   bằng 5. Tìm số
3


hạng ở giữa trong khai triển?.
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

16

Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11



1 


n

Bài 30: Cho biểu thức  x3  2 
x
a, Tìm các số hạng thứ 1, 2, 3 trong khai triển biểu thức trên?
b, Biết tổng của ba hệ số của ba số hạng trên bằng 11. Tìm hệ số của số hạng
chứa x 2 ?
Tam giác Pascan (xem lại sgk)
§4. Phép thử và biến cố
* Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử ta không đoán trước được kết quả, mặc dù đã biết
tập hợp các kết quả có thể xảy ra.
* Không gian mẫu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không
gian mẫu. K/h: 
* Biến cố: biến cố là tập con của không gian mẫu (KGM).
Tập  được gọi là biến cố không, Tập  được gọi là biến cố chắc chắn
Phép toán trên các biến cố:  \A được gọi là biến cố đối của biến cố A. K/h : A
a) A  B được gọi là hợp của 2 biến cố.
b) A  B được gọi là giao của 2 biến cố.
a) A  B =  , A và B được gọi là là 2 biến cố xung khắc
Bài tập áp dụng:
Bài 31: Gieo đồng tiền liên tiếp 3 lần.
a) Hãy mô tả không gian mẫu?

b)Xác định các biến cố sau.
1) Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần
2) Lần đầu xuất hiện mặt ngửa
3) Mặt sấp không xuất hiện lần
nào
4) Mặt sấp xuất hiện đúng hai lần
Bài 32 : Gieo con súc sắc 2 lần.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố
1) Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 8
2) Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm
3) Cả 2 lần gieo là như nhau
4) Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ
hơn 5
5) Tích số chấm trong hai lần gieo là số
chẵn

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

17


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Bài 33: Một hộp chứa 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra hai bi
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố
1) Lấy được hai bi đỏ
2) Lấy được hai bi xanh
3) Lấy được hai bi cùng màu
Bài 34: Một hộp chứa 5 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba bi

a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố
1) Lấy được ba bi đỏ
2) Lấy được ba bi xanh
3) Lấy được một đỏ và hai xanh
4) Lấy được ít nhất hai bi màu xanh
5) Lấy được ít nhất một bi đỏ
6) Lấy được đúng hai bi đỏ
7) Lấy được hai bi cùng màu

§5. Xác suất của biến cố
P(A) =
P(A): xác suất của biến cố A.
A.
Tính chất của xác suất:

n( A)
n( )

n() : là số phần tử của kgm.n(A): số phần tử của biến cố

P()  0, P()  1 .

0  P(A)  1, với biến cố A.
Nếu A và B xung khắc thì
P(A  B) = P(A) + P(B)
Hệ quả:
P ( A ) = 1 - P(A)
Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:
b) Nếu sự xảy ra của 1 biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của 1 biến cố

khác thì ta nói 2 biến cố đó độc lập.
c) A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi:
P(A.B) = P(A).P(B)
Một vài ví dụ minh họa về xác suất của biến cố
1
2

VD1 : Gieo một đồng xu thì không gian mẫu là Ω = {N, S} . Xác suất để mặt N là
VD2 : Gieo mộtt con súc sắc thì không gian mẫu là Ω = {1, 2,3, 4,5,6}. Biến cố A
= {2, 4, 6} (số chấm trên mặt xuất hiện là số chẵn).
Xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn bằng : P(A) =

3 1

6 2

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

18


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
VD3 : Chọn ngẫu nhiên 2 lá bài trong cỗ bài 52 lá thì số phần tử của không gian
mẫu Ω là C522  1326 ( số tổ hợp 52 chập 2). Biến cố  A đượcc đúng một là xì (ách) (cơ,
rô, chuần, bích) là 2.51
Vậy xác suất của biến cố A là P(A) =

4.51
 0,15
1326

VD4: Gieo hai đồng xu cùng một lúc. Tính xác suất để được nhiều nhất một mặt
sấp (S).
Giải
Không gian mẫu Ω = {SS, SN, NN, NS} gồm có 4 phần tử
Biến cố được nhiều nhất một mặt S là A = {SN, NN, NS}
Vậy xác suất P(A ) =

3
 0, 75
4

Bài tập áp dụng
Bài 34: Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần. Mô tả không gian mẫu. tính xác suất:
a) Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần.
b) Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là 7
c) Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.
Bài 35: Từ một hộp chứa 8 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 4 quả.
Tính xác suất sao cho
a) Bốn quả lấy ra cùng màu.
b) Có ít nhất một quả màu trắng.
c) Có 2 quả màu trắng và 2 quả màu đen.
Bài tập tổng hợp
Bài 36: Từ TP.Hồ Chí Minh đi đến TP.Nha Trang có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, hay
tàu thủy. Mỗi ngày có 6 chuyến ô tô, có 4 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến tàu thủy. Hỏi
có bao nhiêu số lựa chọn để đi từ TP.Hồ Chí Minh đến Nha Trang?
Bài 37: Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ.
a) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh nam hay nữ dự trại hè của
trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh nam và một học sinh nữ dự lễ hội

của trường bạn. Có bao nhiêu cách chọn?
Bài 38: Cho tập hợp E = {2, 4, 6}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác
nhau nhau chọn từ các phần tử của E.
Bài 39: Trong cuộc thi vấn đáp về môn sử. Giám khảo soạn 10 câu hỏi về sử Việt
Nam, 6 câu hỏi về sử thế giới. Mỗi thí sinh rút thăm một câu hỏi. Hỏi mỗi thí sinh
có bao nhiêu khả năng chọn một câu hỏi?
Bài 40: Có tất cả bao nhiêu số lẻ nhỏ hơn 80?

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

19


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Bài 41: Giả sử có 2 đường nối từ tỉnh A đến tỉnh B và có 3 đường nối từ tỉnh B đến
tỉnh C. Chúng ta muốn đi từ tỉnh A sang tỉnh C qua ngã tỉnh B và trở về theo ngã
đó. Có tất cả mấy hành trình đi và nếu :
a) Phải dùng cùng một đường để đi và về
b) Dùng đường nào cũng được để đi và về
c) Phải dùng những đường khác nhau làm đường đi và đường về trên cả hai
chặng A – B và B – C ?
Bài 42: Có tất cả mấy số có thể thành lập được với các chữ số : 2.4.6.8 nếu :
a) Số đó lớn hơn 200 và nhỏ hơn 600
b) Số đó có 3 chữ số khác nhau
Bài 43: Biến số xe máy, nếu không kể mã số vùng, gồm có 6 kí tự. Trong đó kí tự ở
vị trí thứ nhất là một chữ cái (trong bảng 24 chữ cái), ở vị trí thứ hai là một chữ số
thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, ở bốn vị trí kế tiếp là bốn chữ số chọn trong
tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Hỏi nếu không kể mã số vùng thì có thể làm
được bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
Bài 44: Có bao nhiêu số tự nhiên :

a) Có 4 chữ số mà cả 4 chữ số là số lẻ ?
b) Có 5 chữ số mà các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
Bài 45: Người ta ghi nhãn các chiếc ghế ngồi trong một rạp hát bằng hai kí tự: kí tự
ở vị trí đầu tiên là một chữ cái ( trong bảng 24 chữ cái) và kí tự ở vị trí thứ hai là một
số nguyên dương 1; 2; . . . ; 30. Hỏi có tất cả bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn
khác nhau trong rạp hát?
Bài 46: Cho tập hợp số E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 3
chữ số khác nhau và không chia hết cho 3?
Bài 47: Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 10 học sinh thành 3 nhóm, một nhóm
gồm 5 học sinh làm công tác xã hội, một nhóm gồm 3 học sinh làm vệ sinh và một
nhóm gồm 2 học sinh giữ trật tự. Hỏi có mấy cách chia?
Bài 48: Trong một buổi tiệc mỗi ông bắt tay với các người khác trừ vợ mình, các bà
không người nào bắt tay nhau. Biết có tất cả 15 cặp vợ chồng tham dự tiệc, hỏi có
tất cả bao nhiêu cái bắt tay của 30 người này?
Bài 49: một hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh hoàn toàn giống nhau về hình
thức. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Lấy được 1 viên bi đỏ”
b) B: “Lấy được ít nhất 1 viên bi đỏ”
c) C: “Lấy được ít nhất mỗi màu một viên bi”
d) D: “Lấy được các viên bi cùng màu”
Bài 50: Trong một nhóm gồm 20 hs, trong đó 10 hs thích môn toán, 12 hs thích
môn lí và 7 hs thích cả hai môn toán và lí. Chọn ngẫu nhiên một hs làm bài tập trên
bảng. Tính xác suất các biến cố sau:
a) A: “Học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn toán hoặc lí”
b) B: “Học sinh đó không thích môn nào trong hai môn đó”
Bài 51: Chứng minh rằng: Ank11  Ank22  k 2 Ann k
Bài 52: Chứng minh rằng: C22n  2Cn2  n 2

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

20


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Bài 53: Gieo 3 đồng tiền cân đối. Gọi A là biến cố có ít nhất một đồng tiền xuất
hiện mặt ngửa và B là biến cố có đúng 2 đồng tiền xuất hiện mặt ngửa.
a) Tính xác suất để có ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt ngửa
b) Tính P( A∩B ) và P(B/A).
Bài 54: Một hộp đựng 3 bi đỏ, 4 bi trắng và 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính
xác
suất của các biến cố sau :
A: “Lấy được ít nhất 1 bi đỏ”
B : “Lấy được 2 bi trắng”
C : “Lấy được đúng 1 bi xanh”
Bài 55: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có: 15 học sinh giỏi toán, 10 học
sinh giỏi Lí và 5 học sinh giỏi cả Toán và Lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy
tính xác suất để học sinh đó giỏi toán hay giỏi lí.

CHƯƠNG III :

DÃY SỐ - CẤP SỐ

§1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I: Phương pháp chứng minh qui nạp gồm có 3 bước :
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n= 1
Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với n=k
Bước 3 : Ta c/m mệnh đề đúng với n = k+1
Vd1 : Cmr  nN* ,ta có :
1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2
Vd2: Chứng minh  nN* thì :

1  2  3  ...  n 

n(n  1)
2

Vd3: : Cmr  nN* thì n3 – n chia hết cho 3
Vd4 : Cmr  nN* ,ta có : 3n > 3n+1
II: Bài tập áp dụng
1. Chứng minh rằng: Với mọi n  N*:
a) n5 – n  5
b) 62n + 3n+2 + 3n  11
c) 13n – 1  6
d) n3 + 2n  3
n
e) 3 + 2n – 1  4
f) 32n – 1  8
g) 32n-1 + 2n+1  7
h) 4.32n+2 + 32n – 36  64
n
i) 4 + 15n – 1  9
j) n3 + 11n  6
k) 16n – 15n – 1  225
l) n3 – n  3
m) n3 + 3n2 + 5n  3
n) 3n3 + 15  9
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

21

Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
o) n7 – n  7

p) 2n3 – 3n2 + n  6

2. Chứng minh rằng, Với mọi n  N*:
n(n  1)
2
c) 2  4  6    2n  n(n  1)
1
1
1
n
e)



1.2 2.3
n(n  1) n  1

a) 1 + 2 + 3 + … + n =

b) 13  2 3  33    n 3 

n 2 (n  1)2
4

d) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
1 1 1
1 3 2n  3

 2  3   n  
3 3 3
4 4.3n
3
1
h) 3 + 9 + 27 + … + 3n = (3n 1  3)
2
n(3n  1)
j) 2 + 5 + 8 + … + 3n– 1 =
2

f)

1 1 1
1 2n  1
    n  n
2 4 8
2
2
n(3n  1)
i) 1  4  7    (3n  2) 
2
n
(
n

1)(2n  1)
k) 12  2 2  3 2    n 2 
l) 1 – 2 + 3 – 4 +  – 2n + (2n + 1) = n + 1
6

1
1
1
n(n  3)
m)

 

1.2.3 2.3.4
n(n  1)(n  2) 4(n  1)(n  2)

g)

n) 1.4  2.7    n(3n  1)  n(n  1) 2
n(n  1)(n  2)
3
2
n
(
n

1
)(
2
n  1)
p) 2 2  4 2  6 2    (2n) 2 
3

o) 1.2  2.3  3.4    n(n  1) 

với n  1

q) 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n(3n – 1) = n2(n + 1)
n(4n 2  1)
3
n(n  1)
n(n  1)(n  2)
s) 1 + 3 + 6 + 10 + … +
=
2
6

r) 12  32  52    (2n  1)2 

3. Chứng minh rằng: Với mọi
a) 2n  2n + 1 với n  3
c) nn  (n + 1)n–1
e, 2n + 2 > 2n + 5
g) 2n – 3 > 3n – 1 với n  8

n  N*:
b) 2n > n2 với n  5
d) 3n > n2 + 4n + 5 với n  3
f) 3n – 1 > n(n + 2) với n  4
h) 3n > 3n + 1 với n  2.

f)

§2 DÃY SỐ
I. Phương pháp giải

1) Dãy số un gọi là dãy số tăng nếu un Dãy số un gọi là dãy số giảm nếu un >un+1
2) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số :
Phương pháp 1 : xét hiệu un+1 – un nếu un+1 –un >0  un+1 > un thì dãy số tăng
nếu un+1 –un < 0  un+1 < un thì dãy số giảm
Phương pháp 2 : Nếu un > 0 với mọi n N* thì lập tỉ số
Nếu

un 1
un

u n 1
un

>0 với mọi n N* thì dãy số tăng

Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

22


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Nếu

u n 1
<0 0 với mọi n N* thì dãy số giảm
un

Vd :
a) Chứng minh dãy số sau là dãy số tăng : un = 2n-3

b) Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm : u n 

1
n

II. Bài tập áp dụng:
1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
a) un 
3n  1
e) un 
2n  3

j) un 

 n  1!
2

n

1
2n

n

b) un   1 2n

n
f) cos
2

n   1
g) un 
2n  1

k) u1  2, un 

1
 un 1 
3

m) u1  2; u2  3; un  2un 1  un  2 ; n  3

c) un 
n

h) un 

2n  3
n 1

n 1
2

n 1

(1) n n
2n  1

d) un 

i) un  n  cos 2 n

l) u1  15, u2  9, un 2  un  un 1
n) u1  0, un 1 

2
u 1
2
n

o)

u1  1, u2  2, un  2  un1  2un

2. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số  un  , dự đoán công thức số hạng tổng
quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:
a) u1  1, un 1  2un  3
b) u1  3, un1  2un
c) u1  1, un 1  2un  1
3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau
n3
n
1
un 
n  n  1

a) un 

b) un 

n 2  2n
n2  n  1

f) un 

j) un  3.2

2 n 1

3n
n 1

g) un 

 1
k) un    
 3

c) un  (1) n sin 2n

n
n 2  2n  n

h) un  2n  1

d) un 

2n  3
n2

i) un 

e)

1
n  n  1

n

3. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) un 

n 1
2n

b) un 

3n  2
n3

c) un  (1)n

n
2n  1
d) un 
3
3n  2

e) un 

4n  1
4n  5

§3 CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
a) ĐN :
un+1 = un + d
( hoặc u n  u n1  d )
u n  u1  ( n  1) d
b) Số hạng tổng quát :
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

23


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
u
 u k 1
u k  k 1
2
n
S n  u1  u n
2

c) Tính chất :



d) Tổng :
Sn 

n
2

( k  2)



Hay

2u1  (n  1)d 

B . BÀI TẬP
Dạng 1 : Tìm số hạng của cấp số cộng :
Vd1 : 1) Tìm 5 số hạng đầu của csc biết u1 = 2 , d = 3 .
2) Cho cấp số cộng biết u1 = 3 , u6 = 23
a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
b) Tính số hạng thứ 50 .
c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .
3) Tìm 6 số hạng đầu liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu là
12, tổng của ba số hạng kế là 30 .
3) Xen vào giữa số 3 và số 24 để được một csc có tám số hạng .
Dạng 2 : Tính tổng của cấp số cộng
1) Tính tổng S = 1+4+7+…+ 997+1000
tìm n )
3
2

5
2

2) Tính tổng S  1   2   ... 

( HD : un = u1 + (n-1)d =1000 ,

101
2

3) Tính tổng S= 400 + 396 + 392 + …+ 4
4) Tính tổng S= 12-22+32 - 42 +52-62 + …+ (-1)n-1.n2
-7 , 52-62 = -11 )
Dạng 3 : Tìm số hạng đầu và công sai của csc ,biết :
 u2  4
u 5  13

1) 

2u5  u3  14
 u 4  u6  20

2) 

u5  u 2  9
 u 6 .u7  54

3) 

(HD: 12-22 = -3 , 32-42 =

u3  u 4  2u5  6

S 5  30


4) 

11

u 2  u 7  3
u  u  u  10
 u  u  u  27
6) 
7)  1 5 3
8)  2 1 22 32
14
 u1  u6  7
u1  u 2  u3  275
 S4 
3

Dạng 4 : Chứng minh dãy số  un  là cấp số cộng, tìm n .

u  2u 5  0
5)  1
 S 4  14

1) Cho dãy số (un) biết un= 2n-3 .
a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng .Tìm u1 và d .
b) Số 1999 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 9800 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
2) Tìm x trong cấp số cộng biết :

a) 1+ 6 +11+ 16 +…+ x = 970
b) 2 + 7 + 12 +…+ x = 24
Giải : a) Tổng trên là tổng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1,un = x ,công
sai d = 5 ,và có
Sn = 970. Để tìm được x ta cần tìm n .Ta có :
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

24


Nguyễn Quốc Tuấn – Bài tập tổng hợp học kì 1-toán đại số 11
Sn 

n
2

2u1  (n  1)d   970  n2.1  (n  1).5  1940
 2n  5n 2  5n  1940

n  20
 5n 2  3n  1940  0  
 n  194

(loai )

Do đó x chính là số hạng thứ 20 hay x = u20 = u1 + 19d =1+19.5 = 96
Dạng 5 : Dùng tính chất của cấp số cộng để giải một số bài toán :
1) Tìm m để 3 số : 3m2 + 1 ; 7m – m2 ; m2 + 3 lập thành một cấp số cộng
2) Tìm x trong cấp số cộng có 3 số hạng liên tiếp là C 1x , C x2 , C x3
3) Tìm x để 1+ sinx , sin2x , 1+ sin3x lập thành một cấp số cộng .

4) Cho cấp số cộng có 4 số hạng liên tiếp là 1 , x+1 , y - 2 , 19 lập thành một
cấp số cộng .
Dạng 6 : Xác định các góc,cạnh trong một tam giác ,tứ giác .
1) Tìm 3 góc trong 1 tam giác lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30 .
2) Tìm 3 góc trong 1 tam giác vuông lập thành một cấp số cộng .
3) Tìm 3 góc trong một tam giác lập thành một cấp số cộng biết góc nhỏ nhất
là 200 .
4) Ba góc của 1 tam giác có số đo lập thành 1 cấp số cộng.Góc nhỏ nhất bằng
1/7 góc lớn nhất.Tính
số đo 3 góc tam giác ấy.
5) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số cộng có góc nhỏ nhất bằng 150
6) Tìm các cạnh trong một đa giác lập thành một cấp số công, có chu vi là 158
cm , biết góc lớn nhất là
44 ,công sai d = 3 cm
7) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
8) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
9) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và
tổng các
bình phương của chúng là 293.
10) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22
và tổng các
bình phương của chúng bằng 66.
11) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các
góc đó.
12) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có
công sai d = 30
. Tìm số đo của các góc đó.
13) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất
gấp 5 lần góc
nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó.

14) Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:
a) a = 10 - 3x; b = 2 x 2  3 ; c  7 x  4
b) a = x +1; b = 3x - 2; c  x 2  1
§4 . CẤP SỐ NHÂN
Bạn đã tải tài liệu trên Xuctu.com. Vui lòng ủng hộ các sản phẩm của chúng tôi tại: Xuctu.com/sach/

25