Trắc nghiệm có hướng dẫn giải và đáp án phương trình lượng giác biến đổi về phương trình tích

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Chủ đề 7: Phương trình lượng giác biến đổi về
phương trình tích.
A. Phương pháp giải toán
Phương trình lượng giác biến đổi về phương trình tích là dạng toán dùng
các quy tắc, công thức để đưa phương trình về dạng tích của hai biểu
thức đối với hàm số lượng giác để giải. Dạng toán này thường kết hợp với
những dạng toán khác. Chẳng hạn: Phương trình bậc nhất đối với sinx và
cosx, phương trình cơ bản đổi với 1 hàm số lượng giác, phương trình bậc
hai đối với một hàm số lượng giác. Để giải tốt loại này, các em học sinh
cũng cần có được những kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
A  0
B  0

Công thức chung: A.B  0  

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập 1: Cho phương trình 1  sin 2 x  cos 2 x . Phương trình trên khi
phân tích được phương trình tích ta được phương trình nào sau đây?
a. sin x  cos x  sin x   0

b. sin x  cos x  sin x   0

c. cos x  cos 2 x  sin 2 x   0

d. sin x  cos 2 x  sin 2 x   0

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với:
2
1  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x  2sin x  0  2sin x  cos x  sin x   0

Chọn đáp án B.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 144


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 2: Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 .
Chọn mệnh đề đúng?
a. Phương trình trên được phân tích thành (1-sinx)(6cosx -2sinx + 7) = 0


x

 k 2

2
b. Phương trình có bộ nghiệm là: 
 x     k 2

4

k  

c. Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin x  1
d. Phương trình trên có ba bộ nghiệm.

Hướng dẫn giải
Pt đã cho tương đương với: 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

1  sin x  0

 
 x   k 2
2
6 cos x  2 sin x  7  0 (VN )

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: x 


2

 k 2

 k 

Chọn đáp án C.

Bài tập 3: Cho phương trình lượng giác 2 cos x sin 3 x  2 cos 2 x  1 .
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:


a. 6


b. 4


c. 3

3
d. 4

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 145


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:  sin 2 x  2 cos 2 x  1  2 cos 2 x  1


x   k

sin 2 x  1  0
4
  sin 2 x  1 2 cos 2 x  1  0  


k  
 2 cos 2 x  1  0
 x     k

3

Chọn đáp án B.

Bài tập 4: Cho phương trình: 2 3 sin x  cos x  sin 2x  3 .
Chọn phát biểu đúng.
 x   arccos 3  k2



a. Phương trình có nghiệm là  x  6  k2

5

x
 k2

6

k  





b. Phương trình trên được phân tích thành:   sin x  1 2 cos x  3  0

c. Phương trình đã cho vô nghiệm
d. Phương trình đã cho tương đương với phương trình 2 sin x  1  0
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với: 2 3 sin x  cos x  2sin x cos x  3  0





  2 sin x  1 cos x  3  0



 x  6  k2
* cos x  3  0 : Vô nghiệm.
* 2 sin x  1  0  
 x  5  k2

6
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)
Trang số 146


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Vậy nghiệm của phương trình là x 


6

 k2 ; , x 

2017

5
 k2
6

 k 

Chọn đáp án D.

Bài tập 5: Giải phương trình:

3 sin 2 x  cos 2 x  4sin x  1 . Chọn

phát biểu không đúng
a. x  0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho
b. Tồn tại điểm biểu diễn nghiệm của phương trình thuộc vào góc phần tư
thứ nhất.
c. Có ít nhất hai điểm biểu diễn nghiệm của phương trình nằm trên trục
hoành của đường tròn lượng giác .
d. Phương trình đã cho tương đương với phương trình

3 cos x  sin x  2

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:

 2 3 sin x cos x  2sin 2 x  4sin x  0  2sin x





3 cos x  sin x  2  0

sin x  0
 x  k
sin x  0




, k  .
sin  x     1  x    k 2 
3
cos
x

sin
x

2


 
3
6

 x  k
,k  
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
 x    k 2

6
Chọn đáp án D.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 147


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 6: Khi phân tích phương trình:
cos2x  2 sin x  1  2 sin x cos 2x  0 về da ̣ng phương trình tích, ta được phương

trình nào sau đây?
a.  cos2 x  11  2sin x   0

b.  cos2 x  11  2sin x   0

c.  cosx  11  2sin x   0

d.  cos2 x  11  sin x   0

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:

cos2 x 1  2 sin x   1  2 sin x   0   cos2 x  11  2sin x   0

Chọn đáp án A.
Bài tập 7: Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác:

cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x là:
a. 2

b. 4

c. 8

d. 10

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:  2 cos 4 x cos 2 x  cos 4 x





 cos 4x  0
x  8  k 4
 4 x  2  k
 cos 4x(2 cos 2x  1)  0  


 cos 2x  1



 x     k

2

 2x   3  k 2
6

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 148


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017




x  8  k 4
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
 x     k

6

 k 

Chọn đáp án D.

Bài tập 8: Cho phương trình: cos 2 x  (1  2 cos x)(sin x  cos x)  0 . Bộ ba

số nào sau đây cũng là nghiệm của phương trình đã cho
   
a.  ; ; 
6 4 2

  
b.  ; ;  
4 2 

  5 
c.   ; ;  
 4

4



 3  7 
d.  ; ; 
 4 8 8 

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
cos 2 x  (1  2 cos x)(sin x  cos x)  0  sin x  cos x (cos x  sin x  1)  0
sin x  cos x  0

cos x  sin x  1  0



sin x  cos x  0




2 sin  x    0  x   k 
4
4


k  

 x    k 2


cos x  sin x  1  0 v  2 sin  x    1  

 x   k 2
4


2

Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:
x


4

 k , x 


2

 k 2 , x    k 2  k   

Cho k=0 ta nhận được đáp án B.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 149


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 9: Nghiệm của phương trình: sin 3 x  sin 2 x  sin x  0 ( x  R)


 x  2  k 2


a.  x   k 2 (k  )

3

 x     k 2

3



x  k 2


b.  x   k 2 (k  )

3

 x  2  k 2
3




x

k

2


c.  x   k 2 (k  )

3

 x     k 2

3



x

k

2


d.  x   k 2 (k  )

6

 x     k 2

6

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với: sin 3 x  sin 2 x  sin x  0 (2)
 2sin2xcosx – sin2x = 0

+ sin2x = 0  x  k


2

( k  )

 sin2x(2cosx – 1) = 0



x   k 2

1
3
+ cos x   
(k  )
2
 x     k 2

3



x  k 2


Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là:  x   k 2 (k  )
3

 x     k 2

3

Chọn đáp án C.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 150

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 10 : Cho pt: sin2x – cos2x = 2 sinx – 1. Chọn mệnh đề đúng
a. Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin x  cos x  1
b. x 


4

là một nghiệm của phương trình

c. Nghiệm của phương trình giao với nghiệm của phương trình tan x  0 là tập Rỗng
d. Nghiệm của phương trình sin x  1 cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
2sin x cos x  (1- cos 2 x)  2sin x  2sin x(cos x  sin x -1)  0


 x  k
sin x  0
 x  k

 



 x    k 2  

 2 sin( x   )  1 
 x    k 2
4 4

4

2
  3
x  
 k 2

4
4

 k 

Chọn đáp án D.

Bài tập 11: Cho pt: sin 2x  1  4 cos x  cos 2x. Chọn phát biểu đúng.
a. Phương trình vô nghiệm
b. Điều kiện xác định của phương trình là x 


 k.
2

k  

c. Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin 2 x  1
d. x  0 cũng là một nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 151


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Phương trình đã cho tương đương với:  sin 2x  1  cos 2x  4 cos x  0
 2 sin x cos x  2 cos2 x  4 cos x  0  cos x(sin x  cos x  2)  0
 cos x  0


 x   k
2
2
2
2
sin x  cos x  2 (VN do 1  1  2 )

 k 

2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x   k.  k 
Chọn đáp án C.

Bài tập 12: Giải phương trình: 4sinx + cosx = 2 + sin2x. Nghiệm
của phương trình là


 x  6  k 2
a. 
 x  5  k 2

6

k  



x


 k 2

6
c. 
k  
 x  7  k 2

6



 x  3  k 2
b. 

 x  2  k 2

3


x

 k

6
d. 
 x  5  k

6

k  

k  

Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương: 2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = 0


 2  cosx  0 (VN )
 x  6  k 2
 (2 – cosx) ( 2sinx -1) = 0  

 sinx  1
 x  5  k 2
2


6


(k  z )

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 152


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11



 x  6  k 2
Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: 
 x  5  k 2

6

2017

(k  z )

.Chọn đáp án A

Bài tập 13: Giải phương trình : sin 2 x  cos x  sin x  1 . Bộ ba số nào sau
đây là nghiệm của phương trình
  3 

a. 0; ; 


4

   3 
b.  ; ; 

2 

   3 
c.  ; ; 

6 4 2 

  
d. 0; ; 

4 2 2 



6 4

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với: (sin x  cos x)(1  sin x  cos x)  0


x  4  k
sin x  cos x  0



(k  Z )
3

1  sin x  cos x  0
 x  2k   x 
 2k 

2


x  4  k
(k  Z )
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
 x  2k   x  3  2k 

2

Chọn đáp án A.
Bài tập 14: Giải phương trình sin 2 x  cos x  sin x  1 . Nghiệm dương
nhỏ nhất của phương trình là:
a. x 


6

b. x 



4

c. x 


2

d. x 

3
2

Hướng dẫn giải
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 153


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Phương trình đã cho tương đương với:

 cos x  sin x 

2017
2

 cos x  sin x  0

cos x  sin x  0

  cos x  sin x  cos x  sin x  1  0  
cos x  sin x  1



 

x   k

cos
x


0

4
 
4



  x    k 2
 

2


 cos  x    
x



 k 2

4
2



2

Vậy nghiệm của phương trình là x 

k  


4

 k , x    k 2 , x  


2

 k 2  k  

Chọn đáp án A.

Bài tập 15: Cho phương trình: sin 2 x  4  8cosx  s inx . Tìm mệnh đề đúng
a. Phương trình tích của phương trình trên là: (sin x  4)(2 cos x  1)  0

b. Nghiệm của phương trình là x   3  k 2

c. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng giác là 4
d. Phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
s inx  4 (vn)
1

(s inx-4)(2 cos x  1)  0  
cosx   x    k 2  k    .
1
cos x 
2
3
2


Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 154


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Vậy phương trình có nghiệm: x  


3

 k 2

2017

k  

Chọn đáp án B.

Bài tập 16: Giải phương trình 2sin 2 x  1  2  cos x  sin x 

. Phương trình

tích của phương trình trên là phương trình :
a.

 cos x  1 sin x  1  0

b.

 2 cos x  1 2sin x  1  0

c.

 cos x  2   2sin x  1  0

d.

 2 cos x  1 2sin x  1  0

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với :
 4 sin x cos x  2 cos x  2 sin x  1  0   2 cos x  1 2 sin x  1  0

Chọn đáp án D.
Bài tập 17: Cho phương trình: sin 5 x  2sin 2 x  sin x  1 . Số điểm biểu
diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng giác là
a. 4

b. 6

c. 16

d.20

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho  2 sin 3 x cos 2 x  cos 2 x  0

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 155


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017




x  4  k 2

cos 2 x  0


2

 cos 2 x  2sin 3x  1  0 
 x   k
1

sin 3x 
18
3


2
 x  5  k 2

18
3

Vậy pt có 3 họ nghiệm: x 


4

k


2

; x


18

k

2
5
2
k
; x
3
18
3

k  Z 

k  Z 

Chọn đáp án C .
Bài tập 18 : Giải phương trình
sin 2x.c osx  sin 2x  3c os x  3 cos 2 x  0.

Phương trình tích của phương trình

trên là phương trình nào sau đây





b.  cos x  1 cos x  1 2sin x  3  0







d. cos x cos x  3 2sin x  3  0

a. cos x  cos x  1 2sin x  3  0



c. cos x  cos x  1 2sin x  3  0







Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
sin 2 x  cosx  1  3cosx  cosx  1  0





  cos x  1 sin 2x  3cosx  0
 cos x  1

  cos x  1 cosx 2sin x  3  0   cosx=0
 2sin x= 3






Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 156


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 19: Cho phương trình: 2sin 2 x  sin 2 x  sin x  cos x . Chọn phát biểu sai.
a. Phương trình trên được phân tích thành  sin x  cos x  2sin x  1  0
b. Nghiệm của phương trình cosx=0 cũng là ngiệm của phương trình

c.

x

3
4 cũng là nghiệm của phương trình

d. Số điểm biểu diễn của phương trình là 4.
Hướng dẫn giải
2
Phương trình đã cho tương đương với: 2 sin x  2 sin x cos x  sin x  cos x

sin x  cos x  0
 (sin x  cos x )(2 sin x  1)  0  
1
sin x 

2
(1)  sin x  cos x  0  x  


4

(1)
( 2)

 l  l  



x

 k 2


6
( 2)  
 k  
5

x 
 k 2

6


x


 l

4


Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là:  x   k 2  l , k   

6

 x  5  k 2
6

Chọn đáp án B.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 157

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Bài tập 20 : Giải phương trình

2017

sin 3 x  (2 2  1) sin x  c os2 x 

2.

Phương trình nào sau đây là phương trình tích của phương trình đã cho.





b.  2sin x  1 2 cos 2 x  2  0







d.  2sin x  1 cos 2 x  1  0

a.  2 sin x  1 cos 2 x  2  0
c.  2 sin x  1 cos 2 x  2  0



Hướng dẫn giải

PT  sin 3x  sin x  cos 2 x  2 2sin x  1  0
 2cos 2 x sin x  cos 2 x  2 2sin x 1  0
cos 2 x  2  0
2sin x 1. cos 2 x  2  0  
2sin x 1  0






Chọn đáp án C.

Bài tập 21: Nghiệm của phương trình: (sinx  cosx)2  1  cosx là :



 x   k
2


a.  x=  k2
k  

6


5
x

 k2

6





x   k
2
3


b.  x=  k2
k  

6

5
x

 k2

6




x

 k

2


c.  x=-  k2  k   

6

7
 x  6  k2




x

 k

2


d.  x=  k
k  

6


5
 x  6  k

Hướng dẫn giải

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 158


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Phương trình đã cho tương đương với:

(s inx  cosx)2  1  cosx  1  2 sin xcosx  1  cosx



 x   k
2
cosx  0


 cosx(2 sin x-1)  0  
  x=  k2 (k  Z).
1
s inx=


6

2

5
 x  6  k2

Chọn đáp án A.

Bài tập 22 : Cho phương trình

sin 2 x  1  6 sin x  cos 2 x . Tìm mệnh

đề đúng
a. phương trình vô nghiệm
b. Phương trình tương đương với phương trình cot x  0
c. Phương trình tương đương với phương trình sin x  0
d. Phương trình có nghiệm x 


2

Hướng dẫn giải
(sin 2 x  6sin x)  (1  cos 2 x)  0  2 sin x  cos x  3  2sin 2 x  0
sin x  0
 x  k .
sin x  cos x  3(Vn)

 2 sin x  cos x  3  sin x   0  

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 159


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Vậy nghiệm của PT là x  k , k  Z .
Chọn đáp án C.

Bài tập 23 : Nghiệm phương trình sau: sin 3x  sinx  cos 2 x  1 là :


x  k 2

a.  x    k 2  k   

6
3

 x     k 2

2


 x  k


c.  x    k 2  k   

6


 x    k 2

2


 x  k

b.  x    k 2  k   

6
3


 x    k 2

2


 x  k

d.  x    k 2  k   

4
3



 x   k 2

2

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
sin x  0
sin 3x  sinx  cos 2 x  1  2cos 2 x sin x  2sin 2 x  0  
cos 2 x  sin x

+ sin x  0  x  k , k  ;

2

x  k


6
3
+ cos 2 x  sin x  cos 2 x  cos   x   
k  

2


 x    k 2

2

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 160


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Vậy pt đã cho có họ nghiệm là:


 x  k

 x    k 2

6
3


 x    k 2

2

2017

k   
.Chọn đáp án B.

Bạn vừa xem xong phần miễn phí trong bộ sách cùng tên của thầy giáo
Nguyễn Quốc Tuấn. Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ
sách của chúng tôi để lĩnh hội được tất cả những kiến thức và Phương

pháp mới nhất

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605
Đặt mua tại:
/>
Xem thêm nhiều sách tại:
/>Hổ trợ giải đáp:


Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 161