Tài liệu ôn tập Toán lớp 9

CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI
LÝ THUYẾT
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI
a 2 ≥ 0, ∀a ∈ R
a2 > 0 ⇔ a ≠ 0
1)
*
*
a2 < 0 ⇔ a = φ
a2 ≤ 0 ⇔ a = 0
*
*
a = b
a 2 = b2 ⇔ 
a 2 = b2 ⇔ a = b
a = − b
2)
hoặc
2
4x = 25
Ví dụ 1. Tìm x, biết:
5

2
2
x
=

25
5  5

2
⇔ x2 =
⇔ x2 =   = −  ⇔ 
5
4
2  2
x = −

2

3)

a = 0
a 2 + b2 = 0 ⇔ 
b = 0

x 2 − 2xy + 2y 2 − 2y + 1 = 0
Ví dụ 2. Tìm x, y biết:

x = y
x = 1
x − y = 0
2
2
⇔ ( x − y ) + ( y − 1) = 0 ⇔ 
⇔
⇔

y = 1
 y =1

 y −1 = 0
a 2 > b 2 ⇔ a > b ; ∀a, b ∈ R

4)
Đặc biệt:
a 2 > b2 ⇔ a > b

5)

* Nếu a, b cùng dương thì:
a 2 > b2 ⇔ a < b
* Nếu a, b cùng âm thì:
7 2 > 52 ⇔ 7 > 5
Ví dụ 3.
(do 7; 5 > 0)
2
2
( − 7 ) > ( − 5) ⇔ −7 < −5
− 7; − 5 < 0
(do
)
∀a, b, c ∈ R
; ta có:
2

( abc) 2 = a 2 b 2 c 2

;

a2

a
  = 2 ( b ≠ 0)
b
b

II. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
Ở lớp 7 ta đã biết:
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho

x2 = a

a
* Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là
1

và số âm ký hiệu là

− a


0 =0
* Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
1) Định nghĩa
a
Với số dương a (a > 0), số
được gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
16 = 4
4≥0
4 2 = 16

Ví dụ 4. CBHSH của 16 là
(vì
và
)
1,44 = 1,2
1,2 2 = 1,44
1,2 ≥ 0
CBHSH của 1,44 là
(vì
và
)

CBHSH của

9
25

9 3
=
25 5

là

(vì

2

3
≥0
5

và

9
3
  =
 5  25

)

2) Chú ý

a≥0
a) Với
, ta có:
x= a
x≥0
x2 = a
Nếu
thì
và
x= a
x≥0
x2 = a
Nếu
và
thì
x ≥ 0
x= a ⇔ 2
2

x = a = a

( )

a
Khi viết

ta phải có đồng thời

(− a ) = ( a )
2

b) Ta có

Với

a >0

thì

2

a≥0

và

a ≥0

=a

x = a
x2 = a ⇔ 
x = − a

(− 5 ) = ( 5 )
2

2

x = 5
= 5; x 2 = 5 ⇔ 
x = − 5

Ví dụ 5.
c) Số âm không có căn bậc hai số học

d) Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số
III. SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
* Với các số a, b không âm
3>2⇔ 3 > 2
Ví dụ 6.
BÀI TẬP

( a ≥ 0, b ≥ 0)

16;

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của các số:

ta có:

a≥0

gọi là phép khai phương

a 2 > b2 ⇔ a > b ⇔ a > b

9
36
; 0; 25; ;19; − 2
64
49

2


49; 0,01;

( )

2
4
9
; 1 ; 3 ;
25
16

( − 9)( − 36)

Bài 2. Tính:

(− 7 ) ;
2

0,81 +

9
; 412 − 402 ; 582 − 422
16

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

d)

x 2 − 10 = 0

b)

5x 2 + 125 = 0

e)

x + 2 2x + 2 = 1

c)

13
x 2 − 4x + 4 = 1
36

f)

x2 − 5 = 0
x 2 − 6x = 6

x − 2 3x + 2 = 0
2

2

g)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
( x − 3) 2 = 11 + 6 2
a)
4x 2 + 4x = 27 − 10 3
c)
x 2 + 4 3x = 1 − 4 3
e)

2x 2 − 6 = 0

h)

b)
d)
f)

x 2 − 10x + 25 = 27 − 10 2
x 2 + 2 5x = 16 − 4 5

4x 2 − 12 2 x − 33 + 10 2 = 0
3x2 − 30x + 26 + 8 3 = 0

2x − 12x + 9 + 4 2 = 0
2

g)
h)
Bài 5. Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

6 5
a)

2 3

5 6
và

b)

2 5 −5

5 −3

3 2
và

2 −2

c)

d)

và

80 − 59

e)

13 − 12

và

và 6

5 +1
2

3+ 5

3 −3

d)
và
e)
và
Bài 6. Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:
17 + 26
48

13 − 35
a)
và 9
b)
và

9 − 58

8 +3

f)

và

31− 19
c)

12 − 11

và

6 − 17

7 − 21 + 4 5
f)

và

5 −1

4 + 4 + 4 + ... + 4
        

15 − 2 10
3

5 + 10 + 1
35
15
g)
và
h)
và
i)
Bài 7. Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học? (giải thích)
2− 3
4 − 15
a)
b)
3 2 − 2 5 +1
11 − 26 − 37
d)
e)

100

và 3

c)
f)

2 3 − 6 −1
26 + 17 + 1 − 99
A2 = A

BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA
3


Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và hằng; ta gọi
dưới dấu căn

A

là căn thức bậc hai; A là biểu thức

3x + 2 ; 4x 2 + y ; 9 − 2 3
Ví dụ 1.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ

A

CÓ NGHĨA
A
⇔A≥0
xác định (hay có nghĩa)
(A không âm)
Ví dụ 2. Tìm điều kiện có nghĩa của:

C = − 3( 4 − 3x)
B = − 2x − 8
a)
b)

Giải
a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ:

d)

− 2x − 8 ≥ 0 ⇔ −2x ≥ 8 ⇔ x ≤ −4

− 3( 4 − 3x) ≥ 0 ⇔ 4 − 3x ≤ 0 ⇔ −3x ≤ −4 ⇔ x ≥

1)

2)

D = x 2 + 2x + 2

3
4

b) ĐKXĐ:
2
x 2 + 2x + 2 = ( x 2 + 2x + 1) + 1 = ( x + 1) + 1 ≥ 1 > 0, ∀x
∀x ∈ R
c) Vì
nên ĐKXĐ:
* Chú ý

Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A( x )
⇒ A( x )
a)
là biểu thức nguyên
luôn có nghĩa
A( x )
⇔ B( x ) ≠ 0
B( x )
b)
có nghĩa
A( x )
⇔ A( x ) ≥ 0
c)
có nghĩa
1
A( x )
⇔ A( x ) > 0
d)
có nghĩa
A>0
Với
; ta có:
X = A
X2 = A2 ⇔ X = A ⇔ 
X = −A
X 2 ≤ A 2 ⇔ X ≤ A ⇔ −A ≤ X ≤ A

X ≥ A
X2 ≥ A2 ⇔ X ≥ A ⇔ 

X ≤ − A
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của:
1
E=
x2 − 3
a)

F=

b)

Giải

4

1
5 − x2


x2 − 3 > 0 ⇔ x2 > 3 ⇔ x2 >

( 3)

2

a) ĐKXĐ:

b) ĐKXĐ:

x > 3

⇔
x < − 3

1
> 0 ⇔ 5 − x2 > 0 ⇔ x2 < 5 ⇔ x2 <
2
5− x

( 5)

2

⇔− 5
A2 = A
III. HẰNG ĐẲNG THỨC
 A khi A ≥ 0
A2 = A = 
− A khi A < 0
Ví dụ 4. Tính:
a)

x6

b)

(

5−2

)

2

4+2 3
c)

Giải

a)

x6 =

(x )

(

)

 x 3 khi x ≥ 0
= x3 =  3
− x khi x < 0

3 2

2

5 −2 = 5 −2 = 5 −2

b)

4+2 3 =

( 3)

(vì
2

+ 2 3 + 12 =

5−2= 5− 4 >0

(

)

2

3 +1 = 3 +1

c)
BÀI TẬP
Bài 8. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
− 5x + 2
1
4
3x + 1
a)
b)
1

d)

− 5x

3

e)

1
x−2 +
x −3

)

−x

(vì

3 +1 > 0

c)

f)

3x + 2 + − 2x + 3

g)
h)
Bài 9. Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:
3x + 4

( 2x − 3)( 3x − 2)
x−2
a)
b)

)

−3
− 2x + 15
8− x
x

7x 2 + 4
12
i)
1

c)

x 2 − 8x + 15

1

d)

35 − x 2 + 2x
x − 8x + 18

e)

2

g)

9x 2 − 6x + 1

− x 2 + 4x − 4

f)

− x − 2x − 1
2

h)

i)

− 2x
3x + 2

5x 2 − 4x − 8

2

j)

2 − x −1

k)

l)
5

3x − 2 + 3 − 2x


x−2 −4

2− x −3

m)
Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(3 − 5 )

(3

n)

2

)

b)
2

d)
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

e)

7−4 3 + 4−2 3
a)

b)

32 − 10 7 − 43 − 12 7

5 25x 6

với

5 ( x − 3)

(3 − 7 )

với

với

9 ( x + 1) + 3( x + 1)

2

(2

c)

6

x<0

( x + 5) 2

x < −5

với

với

5 4( x − 4) − 3( x − 4)

2

6

b)

với
− 4x 2 + 4x − 1

( x − 2) 2 +
d)

9x − 12x + 4
3x − 2

x 2 − 4x + 4
x−2

2

x 4 ( x − 1)
f)

với

a= 2

x = 1 − 3; y = 1 − 5

với

x − 2y − x − 4xy + 4y2
2

2

(với

x −1
y −1

4a 4 − 4a 2 + 1 − a 4 − 6a 2 + 9

x≥2

3

h)

x + y + x 2 − 2xy + y 2

d)

2

x = 5 − 1; y = 2 − 1

với
6

3 −3 2

9 − 4 5 − 14 − 6 5

với

g)
h)
Bài 14. Thu gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
1
x=
2
9x − 12x + 4 − 6x − 1
2
a)
với

c)

f)

)

)

2− 3 −

f)

x 2 − 2x + 1
x + 2 x +1

b)

(

2

2

x − 10x + 25
x −5

e)

)

2− 5

25( x − 2 ) + 3x − 6

x <1

3x − 9x 2 − 6x + 1

( 3x − 2) 2 +

7 −6

d)

2

c)

(2

−2

g)
Bài 13. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

−

c)

b)

2

(

−

− 5 ( − 4x)

2 ( x − 1) − 5x + 5
4

2

2

e)

x ≥3

e)

)

3− 2 2 + 6− 4 2

x≥0

2

c)

(

13 − 4 3 − 16 − 8 3

d)
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

o)

− 1− 5

3−2 7

− x +1 − 3

(y − 2

x<0

)

y +1

( x − 1)

4

2

)

x<4

)

2


x 2 − 8x + 16 − x 2 − 4x + 4

e)

x + 2 x −1 + x − 2 x −1

f)

x = 2 7 +9

tại
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT
A ≥ 0; B ≥ 0
1)
Nếu
thì

Nếu
Ví dụ 1. Tính:

A.B = A . B
A
A
=
B
B

A ≥ 0; B > 0

2)

x = 3 2 −1

tại

thì
9
1
16

121.16.0,25

a)

b)

Giải
121.16.0,25 = 121. 16 . 0,25 = 11 .4.0,5 = 22

a)

9
25
25 5
1 =
=
=
16
16
16 4
b)
Ví dụ 2. Phân tích thành tích:

21 + 14

a)

b)

Giải

(

( a − b )( a + b) =

a + b − a 2 − b2 = a + b −

(ĐK:

a≥b≥0

)

)

21 + 14 = 7 . 3 + 7 . 2 = 7 . 3 + 2

a)

a + b − a 2 − b2

(

a + b − a − b. a + b = a + b 1 − a − b

b)

)

A = 38 − 12 10 − 22 − 4 10
Ví dụ 3. Tính:
Giải

A = 38 − 12 10 − 22 − 4 10

(2 5 ) − 2.2

(2 5 − 3 2 )
2

=
=

(

(

)
2)

5.3 2 + 3 2
2

−

(2

) (

5−

= 2 5 −3 2 − 2 5 − 2

)

2

(do

2

−

(2 5 )

2

− 2.2 5. 2 +

( 2)

2

= 2 5 −3 2 − 2 5 − 2

2 5 − 3 2 > 0 ⇔ 2 5 > 3 2 ⇔ 20 > 18

= −3 2 + 2 = −2 2
BÀI TẬP
Bài 15. Phân tích thành nhân tử:
7

và

2 5− 2 >0

)

a)
c)

11 − 33

b)

4x 2 − 7

( a, b, x, y ≥ 0)

ax − by + bx − ay

e)
g)

a b − b a + a − b ( a, b ≥ 0)

( )

d)
f)

2 15 − 3 5

2 + x 2 − 2x 2
7 ab + 7b − a − b ( a, b ≥ 0)

x 2 − 25y2 − x − 5y ( x ≥ 5y ≥ 0)

h)

a − 3a + 3 a − 1 ( a > 0 )
i)
Bài 16. Tính (rút gọn):
3

(

)

3 7 2 7 −3
a)
c)
e)

(

3− 2

(1 −

)(

2

6 +2

b)

)

 2
3


 3 − 2



2

3 2 + 2 3. 3 2 − 2 3
d)

)(

2 + 3 1+ 2 − 3

)

f)

1 + 2  3 − 2 1 + 2 



47 + 5 . 7 − 2 + 5 . 7 + 2 + 5

4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2

g)

(5 + 4 2 ). 3 + 2

h)

2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3
i)

31+ 2 . 6 + 5 + 2 . 3 + 3 + 5 + 2 . 3 − 3 + 5 + 2
j)
Bài 17. Rút gọn các biểu thức sau:
3 7 +7 3

2 5 − 4 10
3 10

21
a)

c)

b)

3− 7 3+ 7
−
3+ 7 3− 7

(

2 2− 7
e)

)

d)

2

)(

2 + 2 5 3 −3 2
30

(

3 3 − 11

(

)

6 3 − 11

56 − 4

(5

 2 +5
2 −5 2

:
−
 2 −5
 23
2
+
5



)

g)

f)

2

)

5 7 − 4 35 + 7 5
35
h)

6 6 − 2 12 + 3 − 2
2 6 +1

i)
Bài 18. Rút gọn các biểu thức sau:

10 18 + 5 3 − 15 27
3 6 −4

(

j)

8

)


13 + 6 4 + 9 − 4 2
a)

b)

(

5 + 2 6 + 14 − 4 6

5 − 2 6 + 11 − 4 6

c)

d)

23 + 6 10 + 47 + 6 10

21 − 6 10 + 21 + 6 10

e)

f)

49 − 20 6 + 106 + 20 6

83 − 20 6 + 62 − 20 6

g)

h)

302 − 20 6 + 203 − 20 6

601 − 20 6 − 154 − 20 6

i)
Bài 19. Rút gọn các biểu thức sau:

j)

6−3 3 + 2− 3

15 + 5 5 − 3 − 5

a)

b)

24 − 3 15 − 36 − 9 15

2− 3 − 2+ 3

c)

d)

3− 5 − 3+ 5

9 − 17 + 9 + 17

e)

f)

7 + 13 − 7 − 13

12 − 3 7 − 12 + 3 7

g)
Bài 20. Tính (rút gọn):
 3 + 5 . 10 + 2 3 − 5


a)

(

c)

)

3 − 1 . 2 19 + 8 3 − 4

(

6+ 2

)(

)(

3−2

)

h)

)
b)

3+2
d)

3− 5

2− 3

f)

g)

(4 +

15

)(

)

10 − 6 4 − 15

(



 2 4 + 6 − 2 5 . 10 − 2



2+ 3
3+ 3

)

4 − 15 + 4 + 15 − 2 3 − 5

h)

Bài 21.

A = 8 + 2 10 + 2 5 + 8 − 2 10 + 2 5
a) Thu gọn biểu thức

M = 4+ 7 − 4− 7
b) So sánh

N = 2+ 3 − 2− 3
và

C = 45 + 2009
c) Cho

E = 45 − 2009
và

D=
d) Thu gọn biểu thức
E=

. Chứng minh rằng:

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11
2 +2−2

− 3− 2 2

2 +1 +1

e) Thu gọn biểu thức
F = 3+ 2 − 8 2 +8 −

2 +1

f) Thu gọn biểu thức
9

C+E =7 2


G=

1 + 2 27 2 − 38 − 5 − 3 2

3 2 −4
g) Thu gọn biểu thức
Bài 22. Rút gọn các biểu thức sau (với những giá trị của biến làm cho biểu thức có nghĩa):
ab + 2 b
3 b
:
2
2
4
2
2
a + b − 2ab a + b − 2a b

3 b
ab − 2 b
a)
b)

(

)(

)

x 2 + y 4 − 2xy 2
x x +x−y

2

x −y

c)
Bài 23. Rút gọn các biểu thức sau:

d)

A = x −2+2 x −3 − x −3
a)
c)
e)

b)
C = 4x 2 − 12x + 9 + 2x − 1

4 + xy − 4 xy
9x 2 y 2

3y.

2

với

x< 2

E = x − 2 x −1 + x + 3 − 4 x −1

với

d)

B = 2x − 2 x 2 − 4 + x − 2

D = x−4 x−4

2
F = 2x − 1 − x ( 3x − 2) + 6x − 1 + 3 x ( 3x − 2 )

f)

với

A=

với

2
< x <1
3

x −1 − 2 x − 2
x − 2 −1

)

Bài 24. Cho
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Tính A2 và rút gọn A
1+ 5
1− 5
a=
b=
a 5 + b5
2
2
Bài 25. Cho
và
. Tính
B=

x+4 x−4 + x−4 x−4
8 16

1− + 2
x x

Bài 26. Cho
a) Tìm x để B có nghĩa
b) Rút gọn B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

10

4≤x≤5