Đề và đáp án thi vào lớp 10 chọn Sầm Sơn năm 2017 2018

SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA

KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LƠP 10
NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 25 /07/2017
Đề thi có: 1 trang gồm 5 câu
3
4
12
+
−
Câu I: (2,0 điểm)Cho biểu thức P =
Với x ≥ 0 ; x ≠ 4
x −2
x +2 x−4

1) Rút gọn biểu thức
2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 11- 4. 7
Câu II: (2,0 điểm)
1
2

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - x2
1) Trên (P) lấy hai điểm M; N lần lượt có hoành độ là -2 và 1 .Viết phương trình
đường thẳng MN
2) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của hàm số đó là đường thẳng song
song với MN và chỉ có duy nhất một điểm chung với (P)
Câu III: (2,0điểm). Cho phương trình : x2 + ax + b + 1 = 0 với a ; b là tham số.

1) Khi a = - b-2 Tìm điều kiện của b để phương trình trên có hai nghiệm dương phân
biệt
2) Tìm giá của a ; b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn
 x1 − x 2 = 3

điều kiện  x 3 − x 3 = 9
2
 1
Câu IV: (3,0 điểm)Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O
cắt đường tròn tại hai điểm A ; B .Lấy một điểm M trên tia đối của BA kẻ hai tiếp
tuyến MC và MD của đường tròn tâm (O) ( trong đó C;D là các tiếp điểm ) .Gọi H là
trung điểm của AB và I là giao điểm của đoạn thẳng OM với đường tròn (O)
1) Chứng minh các điểm M ; D ; O ; H ;C cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh rằng a) MA.MB = MD2
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
3) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC và MD thứ tự tại P
và Q .Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích của tam giác MPQ bé nhất
Câu V: (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 2017
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2017.a + b.c + 2017.b + c.a + 2017.c + a.b.
------------------------------------Hết---------------------------------


Hướng dẫn Giaỉ :ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LƠP 10
NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: Toán
3
4
12
3( x + 2) + 4 x − 2

12
+
−
Câu I: 1) Rút gọn biểu thức P =
=
−
x
−
4
x −2
x +2
x−4
x−4
7
7 x − 14
7 x −2
3 x + 6 + 4 x − 8 − 12

(

P=

=

x−4

(

( 7)

x +2

)(

x −2

) (

(

)(
= ( 7 − 2)

=

x +2

)

x −2

)= (

x +2

(

)

)

)

2
2
⇒ x=
− 2. 7 .2 + 2 2
7 − 2 =| 7 − 2 | = 7 -2
7
7
7
Nên P =
=
=
= 7 vậy với x = 11- 4. 7 thì P = 7
x +2
7 −2+2
7
1
1
Câu II: a)Tọa độ của điểm M là với x = -2 thì y= - x2 hay y = - (-2)2 = -2;M(-2;-2)
2
2
1 2
1
1
Tọa độ của điểm N là với x = 1 thì y= - 1 hay y = - ; N(1;- ) Đường thẳng (d) đi
2
2
2

2) mà : x = 11- 4. 7 =

2

MN có dạng y = mx +n Vì M ;N thuộc (d) nên lần lượt thay x = -2 ; y = -2
1
và x = 1; y = - vào y = mx +n ta có hệ
2

− 2 = −2m + n
− 2 = −2m + n
⇔
 −1 = m + n ⇔ 
 − 1 = 2 m + 2n
 2

− 2 = −2m + n
− 2 = −2m − 1
2 m = 2 − 1 = 1
⇔
⇔

 − 3 = 3n
 n = −1
 n = −1
1

m=
Vậy Đường thẳng MN có dạng y = 1 x -1

⇔
2
2
n = −1

b)hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của hàm số đó là đường thẳng song song với MN
1
1
1
x -1 nên a = ; b khác -1 hay y = x + b
2
2
2
1
1
1
1
Phương trình hoành độ gi1o điểm của y= - x2 và y = x + b là x2 + x + b = 0
2
2
2
2
1
x2 + x + 2.b = 0 có điểm chung duy nhất của (P) và (d) khi ∆ = 1-8b= 0 ⇔ b =
8
1
1
đường thẳng cần tìm y = x +
2
8

có dạng y =

Câu III: phương trình : x2 + ax + b + 1 = 0
2
2
2
2
a) ∆ = a -4b-4 mà a = - b-2 ⇒ ∆ = (- b-2) -4b-4 = b + 4b + 4 -4b-4 = b
∆ > 0

để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khi  S > 0 ⇔
P > 0


 b2 > 0
b 2 ≠ 0


S = b + 2 > 0 ⇔ b > −2
P = b +1 > 0
 b > −1



⇔ b>-1 Thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
2) Với b ≠ 0 thì phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Ấp dụng hệ thức vi
( x1 − x 2 ) 2 + 4 x1 x 2 = ( x1 + x 2 ) 2
 x1 + x 2 = − a
 x1 − x 2 = 3

⇔
ét ta có 
Mặt khác  3 3

2
2
 x1 .x 2 = b + 1
 x1 − x 2 = 9
 x1 − x 2 x1 + x1 x 2 + x 2 = 9
 9 + 4b + 4 = a 2
 9 + 4b + 4 = a 2
9 + 4b + 4 = a 2
9 + 4b + 4 = b + 1 + 3
⇔ 2
⇔
⇔ 2
⇔
2
2
2
 a − b −1 = 3
 a − b −1 = 3
 x1 + x1 x 2 + x 2 = 3
( x1 + x 2 ) − x 1 x 2 = 3

(

(

)

)(

)


 3b = −9
⇔ 2
⇔
a − b − 1 = 3

 b = −3
⇔
 2
a − b − 1 = 3

 b = −3
⇔
 2
a + 3 − 1 = 3

b = −3
⇔
 2
a = 1

 b = −3
 a = 1

a = −1

Vậy giá trị cần tìm của (a;b) = { ( − 3;−1); ( − 3;1)}
Câu IV: 1) Chứng minh các điểm M ; D ; O ; H ;C cùng nằm trên một đường tròn
M
vì MC và MD là hai tiếp tuyến nên : MC ⊥ OC nên MCˆ O = 90 0
MD ⊥ OD nên MDˆ O = 90 0
Theo bài ra H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB ( đường kính đi
qua trung điểm của một dây ......) ⇒ OHˆ B = OHˆ M = 90 0
I
B
Vậy MCˆ O = MDˆ O = OHˆ M = 90 0 hay các điểm D ; H ;C cùng
nhìn MO dưới một góc vuông nên các điểm M ; D ; O ; H
C
D
Ccùng nằm trên một đường tròn đường kính MO
H
2) Chứng minh rằng a) MA.MB = MD2
P
xét ∆ MCB và ∆ MAC có Mˆ chung
Q
O
ˆ
ˆ
MCB = CAM ( góc giữa tia tiếp tuyến và một dây và góc nội
tiếp cùng chắn cung CB )
∆ MCB ∼ ∆ MAC ( g.g) ⇒

MC MB
⇒ MC2 = MA.MB (1)
=

MA MC

A

vì MC và MD là hai tiép tuyến của (O) nên MC = MD (2) Từ (1) và (2) ta có
MD2 = MA.MB
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
Xét ∆ MCD theo tính chất của tiếp tuyến thì MO là phân giác của CMˆ D và COˆ D
⇒ COˆ M = DOˆ M vì COˆ M và DOˆ M là hai góc ở tâm chắn cung CI và DI nên CI =DI
Ta có MCˆ I là góc giữa tia tiếp tuyến MC và dây CI chắn CI
ICˆ D là nội tiếp chắn cung DI . Nên MCˆ I = ICˆ D Vậy MI là đường phân giác MCˆ D
suy ra I là giao của hai đường phân giác của MCˆ D và CMˆ D Nên I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác MCD
3) S ∆ MPQ = S ∆ MPO + S ∆ MQO mà ∆ MPQ có MO vừa là đường cao (MO ⊥ PQ) vừa là
phân giác nên ∆ MPQ cân tại M ta có MP = MQ ; PMˆ O = QMˆ O ; MO là cạnh chung
⇒ ∆ MPO = ∆ MQO ( c.g.c) ⇒ S ∆ MPO = S ∆ MQO ⇒ S ∆ MPQ = 2.S ∆ MQO =2.

1
OD.QM
2

⇒ S ∆ MPQ = OD.QM vì OD = R không đổi nên S ∆ MPQ bé nhất khi QM bé nhất

hay QM= MD + QD bé nhất
ta lại có ∆ MOQ vuông tại O có OD là đường cao MD ⊥ OD (gt) nên theo hệ thức
trong tam giác vuông ta có MD.DQ = OD2 = R ( Không đổi ) nên MD.DQ bé nhất khi
MD = DQ ( theo hệ quả cos) ⇒ OD là trung tuyến thuộc cạnh huyền MQ
MQ
= R vậy Min S ∆ MPQ = R.2R = 2R2 khi đó MD = DQ= OD
2

= R ; ∆ MDO vuông cân tại D nên theo pi ta go ta có MO = R 2
ta thây M ∈ (d) hay M ∈ đường thẳng AB và MO = R 2 không đổi O cố đinh nên M
là giao của AB và ( O;OM=R 2 )

nên MD = DQ= OD =


Câu V: Vì a, b, c là các số dương nên (a + c) và (a+b ) là hai số dương nên áp dụng
cos si ta có (a + c) + (a+b ) ≥ 2. ( a + c )( a + b ) dấu = khi a + c = a + b hay c =b hay

( a + c )( a + b )

≤

a + c + a + b = a + (c + a + b) a + 2017 ( 1)
=
2
2
2

Xét 2017.a + b.c = (a + b + c)..a + b.c = a 2 + ab + ac + b.c = ( a 2 + ab ) + ( ac + b.c ) =

(

)

(a

a a + b + c( a + b.) =

)

+ b ( a + c.)
(2) từ 1) và (2) ta có
a + 2017
2017.a + b.c = a + b ( a + c.) ≤
dấu = khi c =b hoàn toàn tương tự ta có
2
b + 2017
2017.b + c.a = b + c ( b + a.) ≤
dấu = khi c =a
2
c + 2017
2017.c + a.b. = c + a ( c + b.) ≤
dấu = khi b =a
2

(

)

(

)

(

)

cộng vế với vế ta có

a + 2017 b + 2017 c + 2017
+
+
2
2
2
a + b + c + 2017 + 2017 + 2017 2017 + 2017 + 2017 + 2017
=
= 2.2017= 4034
P≤
2
2
2017
suy ra MaxP = 4034 Khi a = b = c mà a + b + c = 2017 ⇒ a = b = c =
3
2017
Vậy MaxP = 4034 Khi a = b = c =
3

P = 2017.a + b.c + 2017.b + c.a + 2017.c + a.b. ≤

Ngày 25 tháng 7 năm 2017
Nguyễn Văn Thủy