Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8;
9 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ở
TRƯỜNG THCS TÂN PHÚC HUYỆN LANG CHÁNH

Người thực hiện: Phạm Thị Thảo
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Tân Phúc
SKKN Môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

3. CÁC GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
3.1. Các quy tắc chung :
3.2. Nội dung:
3.2.1. Các kiến thức cơ bản cần chuẩn bị để “ Giải bài toán bằng
cách lập phương trình”
3.2.2. Các yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình
3.2.3. Quy trình giải một bài toán bằng cách lập phương trình
3.3. Phân dạng loại toán giải toán bằng cách lập phương trình
3.3.1. Các toán dạng thường hay gặp
3.3.2. Hướng dẫn giải các dạng toán
4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
2. KIẾN NGHỊ

1
1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
6
9

9
10
16
17
17
17

2


I. MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là một môn khoa học vô cùng trừu tượng, đòi hỏi người học phải
có khả năng tư duy logic, có khả năng phân tích, tổng hợp, khả năng khái quát
hóa, trừu tượng hóa. Học sinh học tốt môn toán sẽ là tiền đề để học tốt các môn
học khác, đặc biệt là các môn Khoa học tự nhiên. Chính vì thế để giảng dạy môn
Toán, ngoài việc trang bị cho mình một kiến thức chuyên môn vững chắc, các
thầy cô giáo còn phải biết cách dẫn dắt học sinh để các em có niềm đam mê đối
với Toán học. Phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng những phương pháp
dạy học sao cho phù hợp với từng vùng miền, từng đối tượng học sinh, từng
kiểu bài làm cho hiệu quả giờ học đạt kết quả cao nhất.
Đại số là một phân môn quan trọng của toán học, đặc biệt trong chương
trình đại số lớp 8, lớp 9 dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” là
một trong những dạng toán cơ bản, quan trọng và xuyên suốt trong chương trình
toán THCS. Đây là dạng toán khó và có liên quan nhiều tới kiến thức thực tế và
kiến thức của nhiều môn học khác như Hóa học, Vật lí, Địa lí, .... Khi dạy nội
dung này một số giáo viên chưa chú ý hướng dẫn kỹ năng giải bài toán bằng
cách lập phương trình cho học sinh mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được
nhiều bài, đôi lúc trở thánh áp lực với học sinh. Còn học sinh đại đa số chưa có
kỹ năng và thường lúng túng khi giải dạng toán này, cũng có những học sinh biết

cách làm nhưng chưa đạt được kết quả cao vì: Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện
không chính xác; không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập
phương trình; lời giải thiếu chặt chẽ; giải phương trình chưa đúng; quên đối chiếu
điều kiện; thiếu đơn vị ... Chính vì vậy khi gặp dạng toán này, các em rất “ngại”
và “sợ” dẫn đến tâm lý chán học.
Trước tình hình trên, qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy toán 8, 9 tại trường
THCS Tân Phúc, tôi đã rút ra “ một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8,
lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình”. Với đề tài này, tôi hy vọng sẽ
giúp học sinh định hướng được cách giải, để từ đó khi gặp bài toán dạng này các
em không còn ngại, còn sợ nữa. Qua đó nó sẽ giúp các em học tốt hơn và có
niềm đam mê với phân môn Đại số nói riêng cũng như toán học nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu:
Đánh giá thực trạng kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình của
học sinh lớp 8, lớp 9 trường THCS Tân Phúc
Từ đó đề xuất một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách
lập phương trình nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh lớp 8, lớp 9 trường
THCS Tân Phúc
3. Đối tượng nghiên cứu:
Kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình của học sinh khối 8; khối
9 ở trường THCS Tân Phúc.
4. Phương pháp nghiên cứu:

3


- Phương pháp ngiên cứu tài liệu: Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài
liệu tham khảo Tham khảo, tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số
vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp
thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ học hỏi..

- Phương pháp điều tra khảo sát, phân tích kết quả học tập của học sinh.
- Phương pháp thực nghiệm dạy ở lớp 8, lớp 9 trường THCS Tân Phúc.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với
khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học
sinh. Đặc biệt là môn toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi
học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để
giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức
vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng
các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức
cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
Chương trình toán rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội nhiều kiến
thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình học
tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã
được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền
số thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng
thức và cao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp 8 các
đề toán trong chương trình đại số về phương trình là bài toán có lời. Các em căn
cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập phương trình và giải phương
trình. Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình mà
còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương trình. Đó là dạng toán giải
bài toán bằng cách lập phương trình. Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ,
nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số
học, đại số, hình học, vật lí và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài
toán đã cho với thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh
không đáp ứng được những khả năng trên nên không giải được các dạng của bài
toán lập phương trình. Chính vì thế, việc giúp cho học sinh giải được dạng toán
này là một nhiệm vụ rất khó khăn đối với giáo viên.

Là giáo viên dạy toán học, ngoài việc trang bị cho mình một kiến thức
chuyên môn vững chắc, chúng ta còn phải tìm ra giải pháp giúp học sinh tháo gỡ
khó khăn. Đặc biệt với học sinh đại trà như học sinh trương THCS Tân Phúc,
khi gặp loại toán: "Giải bài toán bằng cách lập phương trình" học sinh
thường rất lúng túng và không có hướng giải quyết đúng đắn. Bản thân tôi phải
lựa chọn phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh,
từng kiểu bài làm cho hiệu quả giờ học đạt cao nhất.
4


2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
a). Giáo viên:
Nhìn chung đội ngũ giáo viên nhà trường có nhiều thầy cô giáo đã công tác
lâu năm trong trường nên giàu nhiệt huyết và kinh nghiệm dạy học song cũng có
một bộ phân thầy cô giáo còn non trẻ, nên chưa có nhiều kinh nghiệm dạy học,
đổi phương pháp dạy học còn hạn chế, hiệu quả đạt được chưa cao.
b). Học sinh:
Qua công tác giảng dạy môn toán nói chung và đại số lớp 8; 9 nói riêng
trong những năm qua tôi thấy đa số học sinh:
- Không nắm được phần lí thuyết cơ bản của bài học hoặc nắm nội dung bài
học một cách thụ động, nên trong quá trình làm bài tập còn gặp nhiều khó khăn,
lúng túng.
- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sử dụng
hết các dữ kiện của bài toán....
- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp
suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc áp dụng
phương pháp giải một cách thụ động.
- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay
mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn
luyện năng lực giải toán.

Qua quá trình giảng dạy, tôi thấy đây là một phần kiến thức rất khó đối với
học sinh khối 8, khối 9 bởi lẽ từ trước tới nay các em chỉ quen giải những dạng
toán về tìm x hoặc giải những phương trình có sẵn. Mặt khác dạng toán “ Giải
bài toán bằng cách lập phương trình” là dạng toán bằng ngôn ngữ, nội dung của
nó hầu hết gắn liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã
hội đòi hỏi học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa của nó, phải có hiểu biết về
nhiều lĩnh vực.
Khó khăn của học sinh khi giải dạng toán này là:
+ Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác.
+ Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết
để thiết lập phương trình.
+ Lời giải thiếu lí luận,
+ Sau khi giải song quên đối chiếu điều kiện chọn ẩn ban đầu.
Thực tế bài kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến đối với khối 8 và
9 có kêt quả như sau :
Khá
Trung bình Yếu
Kém
Sĩ Giỏi
Khối
số SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
8
75 2
2,7% 8
10,7 % 33 44 % 22 29,3% 10 13,3%
9

72 1
1,4% 7
9,8%
33 45,8% 20 27,8% 11 15,2%
Vì vậy, từ thực trạng đó, bằng những kinh nghiệm rút ra sau các năm giảng
dạy trường THCS Tân Phúc tôi mạnh dạn viết đề tài “Một số kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh lớp 8, lớp9 giải bài toán bằng cách lập phương trình”.
5


3. CÁC GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
3.1. Các quy tắc chung :
- Cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về các lĩnh vực toán học,
vật lí, hóa học.
- Yêu cầu về giải một bài toán.
- Các bước giải một bài toán.
- Phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng.
3.2. Nội dung:
3.2.1. Các kiến thức cơ bản cần chuẩn bị để “ Giải bài toán bằng cách
lập phương trình”
Trước khi dạy loại toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cần
cho học sinh tự ôn trước ở nhà những kiến thức cơ bản liên quan cụ thể các kiến
thức như:
1.a. Viết công thức thể hiện mối quan hệ giữa số bị chia a, số chia b, thương
q và số dư r:
a = q.b + r
1.b. Số a gấp k lần số b: a = kb.
1.c. Số a lớn hơn số b là k đơn vị: a = b + k
1.d. Tỉ số của a và b là k:

a
=k
b

1.e. Biểu thị một số trong hệ thập phân. Số gồm a trăm, b chục, c đơn vị:
abc = a.100 + b.10 + c

1.g. Công thức tính vận tốc v qua quãng đường s và thời gian t: v =

s
t

1.h. Năng suất lao động là m, thời gian lao động là t, khối lượng công việc
được hoàn thành là A. Biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc bằng công thức:
A= m.t
1.i. Vận tốc riêng của canô là vc
Vận tốc dòng nước là vd
Vận tốc xuôi dòng là vx
Vận tốc ngược dòng là vn
Hãy lập công thức thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng trên;
vx = vc + vd
vn = vc - vd
vx - vd = vn + vd
1.k. Công thức tính khối lượng riêng của một chất: D =

m
v

(m là khối lượng,v là thể tích của chất đó).
1.l. Có m (gam) chất trong n (gam) dung dịch. Tính nồng độ N% của dung

dịch đó:

N% =

m
.100%
n

1.m. Công thức tính diện tích các hình: tam giác, hình chữ nhật,hình thoi,
hình vuông, hình tròn.
6


1.n. Tìm một số biết giá trị phân số của nó;Tìm giá trị phân số của một số
cho trước;Tính %
Ngoài các loại toán cơ bản trên thì trước khi dạy dạng toán nào trong loại
toán này cần nhắc nhở học sinh soạn và ôn lại kiến thức liên quan đến vấn đề
nêu trong dạng toán đó.
3.2.2. Các yêu cầu về giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học
sinh hiểu đề bài toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức,
phương pháp suy luận, kĩ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn, phải rèn cho
học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả tìm được
với điều kiện của ẩn ban đầu xem nó có hợp lý không?
- Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác, khoa học
Đó là trong quá trình thực hiện từng bước có logic chặt chẽ với nhau, có cơ
sở lí luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong
giả thiết xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làm
nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán

thiết lập được phương trình từ đó tìm được giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên
cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện? Có
thể thỏa mãn được điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định được ẩn
không? Từ đó mà xác định được hướng đi, xây dựng được cách giải.
- Lời giải của bài toán phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào,
không được thừa cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lời giải
của bài toán xem đã đầy đủ chưa, kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp
chưa? Nếu thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả
tìm được phải luôn luôn đúng.
- Lời giải của bài toán phải đơn giản.
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang
tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của số đông học sinh.
- Lời giải của bài toán phải trình bày khoa học, rõ ràng.
Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước, nó đã được kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều kiện đã biết trước.
- Lời giải của bài toán phải rõ ràng, đầy đủ.
Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,
phủ định lẫn nhau. Kết quả phải chính xác, phù hợp. Muốn vậy giáo viên cần
rèn cho học sinh thói quen thử lại kết quả sau khi giải và tìm hết các nghiệm của
bài toán, tránh bỏ sót một chi tiết nào.
3.2.3. Quy trình giải một bài toán bằng cách lập phương trình
* Phân tích đề bài toán:
Trước hết cần đọc kĩ đề bài, hình dung ra vấn đề thực tế nêu ra trong đề
bài sau đó ghi tóm tắt các số liệu liên quan đến các đối tượng, các quá trình, các
7


đại lượng dưới dạng kí hiệu hoặc vẽ hình, vẽ sơ đồ minh họa. Xác định cho

được bài toán thuộc dạng nào? Các đối tượng, quá trình, đại lượng có trong bài
liên hệ với nhau theo công thức nào đã biết? Viết các công thức dẫn xuất từ một
công thức cơ bản, thống nhất đơn vị đo, sau đó tiến hành ghi các số liệu đã biết
của các đại lượng vào bảng số liệu gồm các dòng và cột.
* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình (đây là bước quan trọng, quyết định cho việc
giải bài toán):
a. Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
a.1. Sau khi đã phân tích hiểu rõ vấn đề nêu ra trong bài ta bắt đầu đi chọn ẩn.
Việc chọn ẩn rất quan trọng, nó quyết định đến việc lập phương trình và
phương trình lập ra đơn giản hay phức tạp. Chọn ẩn là chọn một trong những đại
lượng chưa biết làm ẩn và kí hiệu nó bằng một chữ cái. Thông thường ta chọn
chính đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm làm ẩn (còn gọi là chọn trực tiếp). Tuy
nhiên trong một số trường hợp việc chọn ẩn lại dẫn đến phương trình rất phức
tạp vì vậy ta có thể chọn một đại lượng trung gian làm ẩn (còn gọi là chọn ẩn
gián tiếp) sẽ giúp cho việc lập phương trình dễ hơn và đôi khi sẽ có được những
phương trình gọn hơn, dễ giải hơn.
Ví dụ: Xét bài toán sau :
Một cái sân tập thể dục hình chữ nhật chiều dài hơn chiều rộng là 12m.
Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1120m2.
Nhận xét: Nếu gọi trực tiếp chu vi khu đất hình chữ nhật là x thì bài toán
sẽ đi vào bế tắc. Vì vậy, giáo viên cần định hướng cho các em tư duy rộng hơn.
Muốn tính chu vi hình chữ nhật cần biết những yếu tố nào? Từ đó học sinh phát
hiện ra gọi ẩn là chiều dài của hình chữ nhật thì mới giải quyết được bài toán.
a.2. Sau khi chọn ẩn công việc tiếp theo đó là tìm điều kiện cho ẩn. Đây
là phần học sinh rất hay quên và lúng túng khi làm bài vì vậy giáo viên cần nêu
cho học sinh những điều kiện chung nhất. Ví dụ như:
- Ẩn số biểu thị một chữ số thì điều kiện là nguyên và nhỏ hơn 10, lớn hơn
hoặc bằng 0, Nếu là chữ số đứng đầu thì lớn hơn 0.
- Ẩn số biểu thị cho số tuổi, số con, số người, số sản phẩm thì điều kiện là

nguyên dương.
- Ẩn số biểu thị cho vận tốc, quãng đường, thời gian, khối lượng công việc,
năng suất,... thì điều kiện là số dương.
Ngoài ra trong một bài toán cụ thể ẩn có thể ràng buộc bởi điều kiện hẹp hơn.
b. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Trước hết, cần xác định mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài (thường
là 3 đại lượng khác nhau liên hệ với nhau bởi một công thức toán học, vật lí, hóa
học...) hay mối quan hệ của cùng một đại lượng cho các đối tượng khác nhau
(thường là bằng nhau, lớn hơn bao nhiêu, lớn hơn gấp mấy lần, tỉ số là bao
nhiêu, bằng mấy phần trăm. Từ đó ta đi viết các đại lượng chưa biết dưới dạng
một bài toán đại số.

8


c. Lập phương trình
Trong một bài toán bao giờ giả thiết cũng cho ta nhiều mối liên hệ giữa các
đại lượng. Ta sẽ chọn ra một mối liên hệ để lập phương trình còn những mối liên
hệ khác là dùng làm cho mục b. Vì vậy khi chọn đại lượng để biểu diễn qua ẩn
và những đại lượng đã biết ta phải chú ý đến mối quan hệ giữa các đại lượng mà
ta chọn để lập phương trình.
Chú ý đơn vị của cùng một đại lượng phải cùng một đơn vị đo.
Bước 2: Giải phương trình
Để giải phương trình đã lập ở bước 1 ta cần chú ý quan sát phương trình ở
dạng nào ta đã học để tìm hướng giải phù hợp.
Bước 3: Kết luận
Cần đối chiếu kết quả tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điều
kiện của ẩn đã đặt ra ở bước 1. Chọn giá trị phù hợp cần thử lại bằng cách thay
các giá trị bằng số của ẩn vào đề toán xem có hợp lí không. Sau đó mới trả lời
chung yêu cầu đặt ở đề của bài toán.

Khi đã giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức đã cho thành
bài toán khác bằng cách:
Phân tích biện luận cách giải :
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác trong bài.
- Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác.
- Thay kết luận thành giả thiết và lấy một đại lượng khác trong bài làm ẩn.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
Lưu ý : Phần này thường để mở rộng cho học sinh khá giỏi.
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng
toán tương tự và cách giải tương tự đến khi gặp học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra
cách giải.
Ví dụ minh họa (Bài 40 trang 31 SGK toán 8 tập 2): Năm nay tuổi mẹ gấp
3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm sau nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2
lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?
Giai đoạn 1: Phân tích đề
Học sinh đọc đề hiểu được vấn đề thực tế ở đây là nói về mối tương quan số
tuổi của mẹ và con.
* Tóm tắt:
Cho biết:
- Năm nay: Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương
- 13 năm sau: Tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương
Hỏi: Năm nay Phương bao nhiêu tuổi
* Tiếp theo học sinh phải trả lời các câu hỏi:
- Bài toán có mấy đối tượng tham gia?
Trả lời: Hai đối tượng là mẹ và con
- Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng đó?
Trả lời: Đại lượng tuổi

9

- Các đại lượng của 2 đối tượng có mấy mối quan hệ và quan hệ với nhau
như thế nào?
Trả lời: Có 2 mối quan hệ là năm nay và 13 năm sau
Năm nay: Tuổi mẹ = 3 tuổi Phương
13 năm sau: Tuổi mẹ = 2 tuổi Phương
- Những số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết
Giáo viên chú ý cho học sinh công thức:
Tuổi 13 năm sau = tuổi năm nay + 13
Giai đoạn 2: Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình
a. Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
a.1. Ở bài này có đại lượng chưa biết. Ta gọi ẩn trực tiếp đó là tuổi của
Phương năm nay là x (tuổi)
a.2. Điều kiện của ẩn x nguyên dương
b. Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Cần định hướng được ta sẽ sử dụng mối quan hệ : 13 năm sau tuổi mẹ = 2
lần tuổi Phương để lập phương trình. Vậy cần viết biểu thức biểu diễn tuổi mẹ
và tuổi phương 13năm sau.
- Tuổi Phương 13 năm sau là: x + 13 (tuổi)
Để biểu diễn được tuổi mẹ 13 năm sau cần phải biết tuổi mẹ năm nay. Ta sử
dụng mối quan hệ thứ nhất
- Tuổi mẹ năm nay là : 3x (tuổi)
- Tuổi mẹ 13 năm sau là : 3x + 13 (tuổi)
c. Lập phương trình
Vì 13 năm sau tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình:
3x+13 = 2(x+13)
Bước 2: Giải phương trình
Học sinh nhận xét đây là dạng phương trình bậc nhất một ẩn có thể đưa về
dạng ax + b = 0. Dạng này đã được học từ các bài trước.

Giải phương trình được kết quả x = 13.
Bước 3: x =13 thỏa mãn điều kiện x nguyên, x >0.
Học sinh tự thử lại ra nháp với tuổi Phương năm nay là 13 có phù hợp với
đề bài toán không sau đó trả lời:
Vậy năm nay Phương 13 tuổi
Giai đoạn 3:
- Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ còn cách giải nào khác
nữa không?
Cách khác: Chọn tuổi của mẹ năm nay là x (tuổi), x nguyên dương.
Bằng cách lập luận tương tự như trên ta có phương trình:
x + 13= 2 (1/3x+13)
Việc giải phương trình này phức tạp hơn nên ta chọn cách 1.
- Ngoài ra học sinh có thể tự thay đổi con số để tìm ra một đề bài mới
tương tự.
10


3.3. Phân dạng loại toán giải toán bằng cách lập phương trình
3.3.1. Các toán dạng thường hay gặp
- Dạng toán chuyển động
- Dạng toán về cấu tạo số
- Dạng toán về năng suất lao động
- Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
- Dạng toán về tỉ lệ chia phần
3.3.2. Hướng dẫn giải các dạng toán
a. Dạng toán chuyển động
- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối
quan hệ giữa các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian (s = v.t)
- Cần lưu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra thành nhiều
dạng:

+ Nếu chuyển động trên cùng 1 quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ
nghịch với nhau.
+ Nếu chuyển động ngược chiều, sau một thời gian hai chuyển động gặp
nhau thì: s1 + s2 = s
+ Nếu chuyển động cùng chiều, tại cùng 1 địa điểm, sau 1 thời gian hai
chuyển động gặp nhau thì:
s1 =s2
+ Nếu chuyển động trên sông thì cần chú ý đến mối quan hệ của các loại
vận tốc.
Ví dụ (SGK toán 9 tập 2): Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108
km. Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh
hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc của mỗi
xe.
* Hướng dẫn phân tích đề :
- Học sinh cần xác định được vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian
đi hết quãng đường cuả mỗi xe.
- Căn cứ vào mối quan hệ vận tốc của mỗi xe để biểu diễn các đại lượng.
- Căn cứ vào mối quan hệ thời gian của mỗi xe để lập phương trình.
- Lời giải: Đổi: 12 phút =

1
(h)
5

Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x(km/h) (điều kiện x> 0) thì vận tốc của
Ô tô thứ nhất là: x+6 (km/h).
Thời gian ô tô thứ nhất đi là

108
108

(giờ); Thời gian ô tô thứ hai đi là
x+6
x

(giờ)
Theo bài ra ô tô thứ nhất đến sớm hơn ô tô thứ hai 12 phút nên ta có
phương trình:
1
108
108
=
x
x+6
5

⇔ 108.5. ( x + 6 ) − 108.5.x = x. ( x + 6 )
⇔ 540 x + 3240 − 540 x = x 2 + 6 x
11


⇔ x 2 + 6 x − 3240 = 0
2
Ta có: ∆ ' = 3 − 1. ( −3240 ) = 9 + 3240 = 3249 > 0 ⇒ ∆ ' = 3249 = 57
−3 + 57
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 =
= 54;
1
−3 − 57
x2 =
= −60 ;

1
Nhận thấy x1 = 54 > 0 (Thoả mãn điều kiện), x2 = −60 < 0 (loại)

Trả lời: Vận tốc của Ô tô thứ hai là 54 (km/h)
Vận tốc của Ô tô thứ nhất là: 54 + 6 = 60 (km/h)
b. Dạng toán về cấu tạo số:
- Với dạng toán này cần lưu ý cho học sinh cách chọn ẩn. Có bài gọi trực
tiếp nhưng có bài phải gọi gián tiếp.
+ Nếu bài liên quan đến chữ số trong các số thì cần cho học sinh hiểu được
mối quan hệ giữa các số hàng nghìn, hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng
đơn vị.
ab = 10a + b
abc = 100a + 10b + c
abcd = 1000a + 100b + 10c + d

+ Nếu bài toán không có mối quan hệ giữa các chữ số mà là mối quan hệ
giữa các số với nhau thì ta chọn số cần tìm là ẩn.
Ví dụ (Bài 41 trang 31 SGK toán 8 tập 2): Tìm số tự nhiên có hai chữ
số, biêt chữ số đơn vị gấp hai chữ số hàng hàng chục. Nếu xen chữ số 1vào giữa
chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được số mới lơn hơn chữ số ban đâù
là 370. Tìm số ban đâù.
- Hướng dẫn phân tích đề:
Học sinh phải trả lời được các câu hỏi sau:
+ Số cần tìm có mấy chữ số?
+ Quan hệ giữa các chữ số như thế nào?
+ Nêu cách viết một số có hai chữ số, ba chữ số dưới hệ thập phân?
+ Thêm chữ số 0 vào giữa thì được một số có mấy chữ số?
+ Số mới và số ban đầu có quan hệ như thế nào?
+ Muốn biết số đã cho ta cần biết điều gì?
Lời giải: Gọi chữ số hàng hàng chục là x (đk x ∈ N, 0

=> Chữ số đơn vị bằng 2x.
Số đã cho bằng 10.x+2x=12x
Nếu viết xen chữ số 1 vào giữa hai chữ số x và 2x thì ta được một số mới
có ba chữ số, chữ số hàng trăm bằng x, chữ số đơn vị là 2x và chữ số mới là:
100x+10.1+2x=102x+10
Số mới lớn hơn số đã cho là 370 nên ta có phương trình:
102x+10 – 12x =370
⇔ 90x = 360
⇔ x = 4 ( Thoả mãn).
12


Vậy chữ số hàng đơn vị là 4, chữ số hàng chục là 8, số đã cho là 48.
c. Dạng toán về năng suất lao động
- Loại toán này tương đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh
hiểu rõ bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng
phương trình và giải phương trình như các loại toán khác.
Ví dụ: (Bài 45 trang 31 SGK toán 8 tập 2) Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt
một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất dệt của xí
nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn
thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len
mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.
Hướng dẫn: Ở bài này, ta đã biết thời gian theo hợp đồng và thời gian
thực tế đã thực hiện là 20 ngày và 18 ngày. Đồng thời cũng biết số thảm thực tế
dệt nhiều hơn so với hợp đồng.
Ta có thể chọn ẩn trực tiếp: Gọi x là số tấm thảm len mà xí nghiệp dệt theo
hợp đồng. Theo mối quan hệ giữa các đại lượng trong đề bài ta có
bảng sau :
Số thảm len Số ngày làm Năng suất
Theo hợp đồng

x

20 – x

Đã thực hiện

x + 24

18

x
20
x + 24
18

Dữ kiện để lập phương trình là năng suất của xí nghiệp tăng 20%
Giải :
Gọi x là số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng, điều kiện x
nguyên dương.
Vì thời gian dệt x tấm thảm len là 20 ngày nên năng xuất của xí nghiệp là
x/20
Thực tế xí nghiệp dệt được x + 24 tấm thảm trong 18 ngày do đó năng suất
của xí nghiệp là (x+24)/18
Năng xuất của xí nghiệp tăng 20% so với kế hoạch nên ta có phương trình:
x + 24 120 x
=
.
18
100 20

⇔ 18.6 x = 100( x + 24)
⇔ 108 x − 100 x = 2400
⇔ x = 300(TM )

Vậy số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là 300 tấm.
Như vậy, khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, thông thường bài
toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì nên chọn đại lượng đó làm ẩn (chọn ẩn trực
tiếp) nhưng cũng có khi chọn một đại lượng khác làm ẩn (chọn ẩn gián tiếp) nếu
cách chọn ẩn này giúp ta giải bài toán một cách thuận lợi hơn.
d. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
13


- Để làm dạng toán này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và
biểu thị bằng số 1
- Chú ý cách biểu diễn số phần công việc làm trong một ngày của mỗi đối
tượng tham gia. Từ đó tìm mối quan hệ để lập phương trình
Ví dụ (Bài 49 trang 59 SGK toán 9 tập 2): Hai đội xây một ngôi nhà. Nếu
họ cùng làm thì trong 8 ngày xong công việc. Nếu họ làm riêng thì đội một
hoàn thành công việc nhanh hơn đội hai là 12 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi
đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc
+ Hướng dẫn tìm lời giải
- Phải xác định được một ngày hai đội làm chung được

1
công việc và đây
8

cũng là cơ sở để lập phương trình
+Lời giải :

Gọi số ngày đội một làm một mình hoàn thành công việc là x(ngày)
điều kiện: x nguyên dương
Số ngày đội hai làm một mình hoàn thành công việc là x +12 (ngày)
1
(công việc)
x
1
Một ngày đội hai làm được số phần công việc là
(công việc)
x + 12
1
Mà một ngày cả hai đội làm được công việc nên ta có phương trình:
8
1
1
1
+
=
x x + 12 8

Một ngày đội một làm được số phần công việc là

Giải phương trình: x1 = 12 (thỏa mãn điều kiện của ẩn số)
x2 = -8 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn số)
Vậy đội một làm một mình hoàn thành công việc là 12 ngày
đội hai làm một mình hoàn thành công việc là 12+12=24 ngày
e. Dạng toán về tỉ lệ, chia phần
- Học sinh cần nhớ lại cách tìm một số biết giá trị phân số của nó, tìm giá trị
phân số của một số cho trước, tỉ số của hai số.
Ví dụ: (Bài 35 trang 25 SGK toán 8, tập 2) Học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A

bằng

1
số học sinh cả lớp. Sang học kì 2, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học
8

sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A
có bao nhiêu học sinh ?
Hướng dẫn:
Ta căn cứ vào giả thiết bài toán :
Học kì 2: Số học sinh giỏi bằng

20
số học sinh cả lớp để lập phương trình
100

- Lời giải
Gọi số học sinh cả lớp 8A là x ( học sinh)
điều kiện: x nguyên dương
14


1
x (học sinh)
8
1
Số học sinh giỏi học kì II là : x + 3 (học sinh)
8

Số học sinh giỏi học kì I là:

Số học sinh giỏi học kì 2 bằng 20% số học sinh cả lớp nên ta có phương
trình:
1
20
x + 3=
x
8
100

⇔ x = 40 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)

Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh
4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Qua thời gian nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng
dạy trên lớp tôi nhận thấy:
+ Khi mới bắt đầu học đến dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình” này, học sinh rất sợ khi gặp, thậm chí có em còn không cần đọc
đề bài cứ nhìn thấy loại toán này là bỏ qua.
+ Sau khi tôi vận dụng phương pháp đã nêu trên thì hầu hết các em đã cảm
thấy không còn sợ loại toán này nữa và có học sinh còn cảm thấy thích thú với
loại toán này.
Sau khi kết thúc chuyên đề, tôi đã ra đề khảo sát cho các em trong thời gian
30 phút.
Đối với học sinh lớp 9:
Bài 1: Cho một số có 2 chữ số. Tổng 2 chữ số của chúng bằng 10, tích hai
chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 2: Quãng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150km. Một ô tô từ Hà Nội
vào Thanh Hóa, nghỉ lại Thanh hóa 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà Nội, hết tất cả
10 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc

về là 10km.
Đối với học sinh lớp 8:
Bài 1: Tổng của hai số bằng 90, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó
Bài 2: Một ô tô từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ
nghỉ lại ở Thanh Hóa, ô tô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30km/h.
Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng
đường Hà Nội – Thanh Hóa.
Kết quả khảo sát như sau :
Khối Sĩ Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
số SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
SL TL
8
75 7
9,3% 14 18,7% 45 60%
9
12%
0
0%
9
72 5
7%
12 16,7% 45 62,5% 10 13,8% 0
0%

15


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã đưa ra 5 dạng toán thường gặp ở trường THCS. Mỗi dạng
toán có những đặc điểm khác nhau và trong mỗi dạng ta còn chia nhỏ ra hơn
nữa. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại nhưng đều
chung nhau ở các bước giải cơ bản của loại toán “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình”.
Ở mỗi dạng toán tôi chọn một bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về
việc thiết lập phương trình. Tuy nhiên các ví dụ đó chỉ mang tính chất tương đối.
Sau nghiên cứu và triển khai vấn đề này bản thân tôi nhận thấy: ngoài việc
triển khai sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
lớp 8, lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình” thì giáo viên phải tạo
hứng thú cho học sinh thông qua tìm hiểu kiến thức mới, thông qua các ví dụ
thực tế, thông qua việc phân loại các dạng bài tập, hướng dẫn học sinh giải bài
tập,… Đồng thời phải luôn gần gũi, tìm hiểu những khó khăn, sở thích của học
sinh để từ đó có những biện pháp phù hợp hơn. Bên cạnh đó cần có những thời
lượng phù hợp áp dụng kiến thức vào thực tiễn đời sống và để học sinh thấy
được tính khoa học và giá trị thực tiễn của bộ môn.
Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham
khảo chưa thật đầy đủ nên chắc chắn khi thực hiện đề sáng kiến còn những điều
chưa hoàn thiện. Nhưng tôi mong rằng đề tài này ít nhiều cũng giúp học sinh có
thêm động lực ,sự say mê và nhất là thay đổi được thói quen ngại học giải bài
toán bằng cách lập phương trình.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS,
nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng nghiệp
cùng trường cũng như đi thao giảng giáo viên giỏi cấp huyện trường bạn. Cùng
với sự giúp đỡ của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường THCS

Tân Phúc. Tôi đã hoàn thành sáng kiến " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh lớp 8, lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình” ” ở trường THCS
Tân Phúc – huyện Lang Chánh.
2. KIẾN NGHỊ
- Đề nghị hội phụ huynh học sinh trường THCS Tân Phúc cần quan tâm
hơn nữa đến việc học tập cuả con em mình.
- Đề nghị phòng giáo dục và đào tạo huyện Lang Chánh mở các chuyên đề
triển khai các sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để chúng tôi có điều kiện trao
đổi và học hỏi thêm các đồng nghiệp.
- Với thời gian nghiên cứu, tìm tòi còn ít, kinh nghiệm còn hạn chế. Rất
mong được sự góp ý xây dựng chân tình của đồng nghiệp của các cấp lãnh đạo
để đề tài này được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

16


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

Tân Phúc, ngày 15 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Hà Thị Thanh
Phạm Thị Thảo

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO:

TS Lê Văn Hồng
Nguyễn Văn Nho

2004
2004

ThS. Đào Duy Thụ ThS. Phạm Vĩnh 2007
Phúc
Phan Đức Chính
- Tôn Thân

Một số vấn đề đổi
mới phương pháp
dạy học môn toán
Phương pháp giải
các dạng toán 8
(tập 2)
Tài liệu tập huấn
Đổi mới phương
pháp dạy học môn
toán
SGK toán 8, toán 9
(tập 2)

NXB Giáo dục

Hà Nội

TP. Hồ
Nhà xuất bản
Chí
Giáo dục
Minh
NXB Giáo dục

Hà Nội

NXB Giáo dục

18