HƯỚNG dẫn học SINH KHÁ, GIỎI lớp 6 CÁCH học một số DẠNG bài tập về số NGUYÊN

PHÒNG
PHÒNGGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠOYÊN
YÊNĐỊNH
ĐỊNH

TRƯỜNG
TRƯỜNGTHCS
THCSLÊ
LÊĐÌNH
ĐÌNHKIÊN
KIÊN

SÁNG
SÁNGKIẾN
KIẾNKINH
KINHNGHIỆM
NGHIỆM

HƯỚNG
HƯỚNGDẪN
DẪNHỌC
HỌCSINH
SINHKHÁ,
KHÁ,GIỎI
GIỎILỚP
LỚP66

CÁCH
CÁCHHỌC
HỌCMỘT
MỘTSỐ
SỐDẠNG
DẠNGBÀI
BÀITẬP
TẬPVỀ
VỀSỐ
SỐNGUYÊN
NGUYÊN

tỉnh
Thanh Hóa
Hóa
tỉnh Thanh

Người
Người thực
thực hiện:
hiện: Trịnh
Trịnh Văn
Văn Kiện
Kiện
Chức
vụ:
Giáo
viên
Chức vụ: Giáo viên
Đơn

Đơn vị
vị công
công tác:
tác: Trường
Trường THCS
THCS Lê
Lê Đình
Đình Kiên,
Kiên,
huyện
Yên
Định,
huyện Yên Định,
SKKN
SKKN thuộc
thuộc môn:
môn: Toán
Toán

YÊN ĐỊNH, NĂM 2017
YÊN ĐỊNH, NĂM 2017

1


MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. MỞ ĐẦU

1

2
3

1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu

TRANG
1
1
1-2

4

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2

5

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2

TT

6

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

7

2.1 Cở sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

3-4

8
9
10
11

nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO

4-17
17-18
19
20

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
2


Trong việc nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông, việc

đổi mới phương pháp dạy học là vô cùng quan trọng. Sự phát triển của xã hội đòi hỏi
ở người thầy ngày càng cao hơn, chất lượng của dạy và học phải có nhiều tiến bộ
hơn. Đặc biệt đối với môn toán là môn học cơ bản, rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi
học sinh phải rất chủ động và tích cực trong việc tìm tòi các phần kiến thức mới dưới
sự định hướng và tổ chức dạy học của các thầy cô. Chính vì vậy trong quá trình dạy
học mà đặc biệt là cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã cố gắng dạy cho học sinh
cách định hướng phương pháp giải cho các dạng bài, đồng thới khai thác mở rộng bài
tập trên nhiều hướng khác nhau giúp các em phát triển tư duy sáng tạo, có cách nhìn
đa chiều về một bài toán, về vận dụng các nội dung lí thuyết. Các em có thể tìm thấy
được mối liên hệ giữa những kiến thức mà mình có với những bài tập có vẻ xa lạ mà
các em sẽ gặp. Đối với học sinh lớp 6 các bài tập trong chương II số nguyên là mới
hoàn toàn so với kiến thức tiểu học nên rất khó, trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6
cũng như làm nền tảng cho các chuyên đề nâng cao ở lớp trên thì đây lại là phần kiến
thức cực kì quan trọng, bắt đầu phần mở rộng tập hợp số nhằm phát triển tư duy, hình
thành phương pháp học cho học sinh giúp các em có cách nhìn phát triển mở rộng đối
với tập hợp số. Cũng đã có một số tài liệu đề cập đến một số dạng này nhưng chưa
sâu, chưa có tính hệ thống, logic và toàn diện, chưa khai thác được nhiều điểm khó
mà học sinh hay nhầm lẫn và rất khó tư duy. Vì thế tôi đã nghiên cứu chọn lọc và đưa
ra một số dạng bài tập, ví dụ có tính tiêu biểu, giúp học sinh có định hướng và dễ tiếp
cận với dạng toán này.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn toán
nói chung và toán lớp 6 nói riêng. Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học
sinh, khơi dậy tính sáng tạo và đam mê giải toán của học sinh. Phát triển năng lực tự
học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp
giải. Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi.

3

1.3 Đối tượng nghiên cứu
Một số dạng bài tập sử dụng kiến thức lí thuyết chương II số nguyên lớp 6.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 6, tài liệu có liên quan. Nghiên
cứu qua việc làm bài tập của học sinh trong các tiết giảng dạy trên lớp, các bài kiểm tra
của học sinh.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

4


2.1.Cở sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong
quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham
gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một
cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ
động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá trình lâu dài, kiên
nhẩn và phải có phương pháp. Tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của
học sinh được thể hiện một số mặt như:
Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khuôn, máy móc. Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau,
nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh. Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở
chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề, có khả năng khai thác một vấn đề mới
từ những vấn đề đã biết.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và tham khảo học hỏi các
đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường tôi nhận ra rằng:
*) Về phía học sinh:
Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười tư duy làm mất đi

tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến
thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân
không được phát huy hết. Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương
pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học
tập chưa cao. Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải
khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
*) Về phía giáo viên:

5


Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển,
sáng tạo bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn. Chưa cụ thể hóa một cách sâu
sắc các nội dung lí thuyết, khai thác các khía cạnh của lí thuyết vào trong bài tập. Việc
chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài
toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được tư
duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán.
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài trong nhiều năm
tại trường THCS Lê Đình Kiên và một số trường trong huyện đều cho thấy điều đó, cụ
thể trong năm học 2016-2017 với 43 học sinh khá, giỏi lớp 6 trường THCS Lê Đình
Kiên tôi thấy kết quả như sau:
Điểm dưới 5

Điểm từ 5 đến

Điểm từ 7 đến

Điểm từ 9 đến

dưới 7
dưới 9
SL(bài)
%
SL(bài)
%
SL(bài)
%
2
4,65
38
88,37
3
6,98
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

dưới 10
SL(bài)
%
0
0

Trước tình hình thực tế như trên, tôi đã nghiên cứu tài liệu cùng với kinh
nghiệm giảng dạy của mình hệ thống lại một số bài tập ví dụ nhằm giúp học sinh có
định hướng tốt đồng thời tiếp cận dễ dàng với loại bài tập này. Do thời gian chính khóa
có hạn nên tôi đã hướng dẫn học sinh học chuyên đề này vào các buổi học phụ đạo, bồi
dưỡng với cách thức nêu ra các ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh thảo luận tìm lời giải,
gợi ý sau đó nêu lời giải và rút ra các bài toán tổng quát, nhận xét cho từng ví dụ.
2.3.1 Dạng toán thực hiện phép tính.
Nhận xét: Dạng toán này học sinh thường hay nhầm lẫn về giá trị các lũy thừa của số

nguyên, cần hiểu rõ:
n
+) ( −a ) = ( − a ) ( −a ) ... ( −a ) ( có n thừa số − a)
+) − a n = − ( a.a...a ) (có n thừa số a).
+ ) ( −a )

2n

= a 2n ;

( −a )

2n+1

= −a 2n+1

Cần nhận xét kĩ về giá trị các lũy thừa, về giá trị tuyệt đối của một số cũng như sử
6


dụng quy tắc dấu ngoặc và thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a)

2
−52 + ( −4 ) − (−3)3

b) 710 : ( −7 ) 7 + ( −6 ) 7 : ( −6 ) 3

c) ( − 25).2017. ( − 2)2.( − −2 ).( − 1)2n+1 ( với n ∈ N*)

2

3
5 


12
d) 2017 − 60.  −117 − ( −3) . ( −5 ) − −2 : ( −2 )  

 



(

)

Hướng dẫn
a)

2
−72 + ( −5 ) − (−3)3 = −49 + 25 − (−27) = 3

( )

7
3
7−4
3
7

= −710−7 + ( −6 )
b) 710 : ( −7 ) + ( −6 ) : ( −6 ) = 710 : −77 + ( −6 )
3
= −73 + ( −6 ) = −343 + ( −216 ) = −559
c)

( − 25).2017. ( − 2)2.( − −2 ).( − 1)2n+1 ( với n ∈ N*)
= ( − 25).2017. 4.( − 2).( − 1) = ( − 25.4).  2017.( −2 ) . ( −1) 
= ( − 100).4034 = − 403400

d)

2

3
5

2017 − 60.  −117 − ( −3) . ( −5 ) − −212 : ( −2 )  




(

)

 




3

= 2017 − 60.  −117 − ( −3) . ( −5) − −212 : −25



(

)( )

2
 
 
 


2

3


= 2017 − 60.  −117 − ( −3) . ( −5) − 27  


( )





2

= 2017 − 60.  −117 − 135 −128  = 2017 − 60.{ 117 − 49} = 2017 − 60.68 = −2063




Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
A = −1 − 2 + 3 + 4 − 5 − 6 + 7 + 8 − ... − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 − 2017
Nhận xét: trong bài tập này học sinh phải phát hiện được quy luật của tổng, xác định
7


được số các số hạng nằm trong quy luật đó để chia nhóm và thực hiện. trong ví dụ này
học sinh cần tách riêng số -2017 với phần còn lại.
Hướng dẫn
Xét tổng

B = −1 − 2 + 3 + 4 − 5 − 6 + 7 + 8 − ... − 2013 − 2014 + 2015 + 2016

B = ( −1 − 2 + 3 + 4 ) + ( −5 − 6 + 7 + 8) + ... + ( −2013 − 2014 + 2015 + 2016 )
Tổng B có tất cả 2016 số hạng chia làm 2016:4 = 504 (nhóm). Mỗi nhóm đều có tổng
bằng 4. Suy ra:

B = 4.504 = 2016

Do đó A = −1 − 2 + 3 + 4 − 5 − 6 + 7 + 8 − ... − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 − 2017
= B − 2017 = 2016 − 2017 = −1
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lí:
a) 79.99 + ( −47 ) .129 −12.99 − 47.( −30 )

b) 2017.( 1234 − 3017 ) − 3017 ( 1234 − 2017 )
Hướng dẫn
a) 79.99 + ( −47 ) .129 −12.99 − 47. ( −30 ) = ( 79.99 −12.99 ) + ( −47 ) .129 − 47. ( −30 ) 
= 99.( 79 −12 ) + 47  −129 − ( −30 )  = 99.67 + 47. ( −99 ) = 99 ( 67 − 47 )
= 99.20 = 1980 .
b) 2017.( 1234 − 3017 ) − 3017 ( 1234 − 2017 )
= 2017.1234 − 2017.3017 − 3017.1234 + 3017.2017
= ( 2017.1234 − 3017.1234 ) + ( 3017.2017 − 2017.3017 )
= ( 2017.1234 − 3017.1234 ) = 1234. ( 2017 − 3017 ) = −1234000
Bài tập tương tự:
1. Thực hiện phép tính:

( )

8
4
b) 1310 : ( −13) + −77 : ( −7 )

2

a)

−122 + ( −11)

c)

3
( −6 ) − −53  −12 − 13 − 33

( )

(

) 

3
d) ( − 5)3. 2018. (− − 2 ) .( − 1)2n ( với n ∈ N*)

8


2

2
10  


12
e) 112 −111. 530 − ( −12 ) + −11 : ( −11)  

 



(

)

2. Tính giá trị biểu thức:
a) M = 1 − 3 + 5 − 7 + ... + 2013 − 2015 + 2017

b) N = ( 2 − 6 + 10 −14 + 18 − 22 + ... + 3994 − 3998 ) . ( −9 ) 2 −104
3. Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lí:
a) 47.89 − 48.169 + 89. ( −99 ) + 48.80
b) 456.( 135 − 756 ) − 756. ( 135 − 456 )
2.3.2 Dạng toán tìm số nguyên chưa biết.
Nhận xét: Bài toán này học sinh cần nắm rõ: hai số bằng nhau hoặc đối nhau có
giá trị tuyệt đối bằng nhau, có bình phương bằng nhau. Hai số có giá trị tuyệt đối
bằng nhau khi chúng bằng nhau hoặc đối nhau, hai lũy thừa bằng nhau và có cùng
số mũ thì cơ số bằng nhau. Giá trị tuyệt đối của số nguyên luôn không âm và dấu
của tích các số nguyên, cần nắm rõ về “quy tắc dấu ngoặc” và “quy tắc chuyển
vế” cũng như các tính chất của phép cộng và phép nhân số nguyên.
Ví dụ 1: Tìm số nguyên x biết:
a) | 2x + 14| - 19 = -7

b) | 18 – 2 | -x + 5|| = 12

c) 12 – 2.(-x + 3)2 = - 38

d) -20 + 3.(2x + 1)3 = -101

e) 3x + 2 = 2 x - 17

f) | 5x – 2| ≤ 0

g) (x- 7) (x + 3) < 0

h) x +1 + x - 2 + x + 7 = 5 x - 10

Hướng dẫn
 2 x + 14 = 12

a) 2 x + 14 −19 = −7 ⇒ 2 x + 14 = 12 ⇒ 

 2 x + 14 = −12

 x = −1

⇒

 x = −13

.

Vậy x∈{ −1; − 13}
18 − 2 − x + 5 = 12
 −x + 5 = 3
b) 18 − 2 − x + 5 = 12 ⇒ 
⇒
18 − 2 − x + 5 = −12
 − x + 5 = 15

9


− x + 5 = 3
x = 2


− x + 5 = −3
x =8


⇒
⇒
 − x + 5 = 15
 x = −10


 − x + 5 = −15
 x = 20

.

Vậy x∈{ 2;8; −10;20}

2
2
2
2
2
c) 12 − 2 ( − x + 3) = −38 ⇒ 2 ( − x + 3) = 50 ⇒ ( − x + 3) = 25 ⇒ ( − x + 3 ) = 52 = ( −5 )
− x + 3 = 5

⇒

 − x + 3 = −5

 x = −2

⇒

x = 8

Vậy x∈{ −2;8}

.

3
3
3
3
3
d) − 20 + 3 ( 2 x + 1) = −101 ⇒ 3 ( 2 x + 1) = −81 ⇒ ( 2 x + 1) = −27 ⇒ ( 2 x + 1) = ( −3 )
⇒ 2 x + 1 = −3 ⇒ x = − 2 .

Vậy x∈{ −2} .

é3x + 2 = 2 x - 17
e) 3x + 2 = 2 x - 17 Þ ê
ê3x + 2 =- ( 2 x - 17) Þ
ê
ë

éx =- 19
ê
. Vậy x∈{ −19;3} .
êx = 3
ë

f) | 5x – 2| ≤ 0.
Ta luôn có 5 x − 2 ≥ 0, ∀x . Theo đề ra | 5x – 2| ≤ 0 suy ra

5 x − 2 = 0 ⇒ x = 2:5 (loại vì x ∉ Z ).

Vậy x∈∅ .

g) Vì (x- 7) (x + 3) < 0 nên x-7 và x+3 trái dấu nhau. Mặt khác với x là số
nguyên ta luôn có x + 3 > x – 7. Suy ra x+3>0 và x-7<0 hay x>-3 và x<7.
Kết hợp với điều kiện x là số nguyên ta được x∈{ ±2; ± 1;0;3;4;5;6} .
Vậy x∈{ ±2; ± 1;0;3;4;5;6}
h) Ta có x +1 + x - 2 + x + 7 > 0 Þ 5 x - 10 > 0 Þ x > 2 .
Do đó

x +1 + x - 2 + x + 7 = 5 x - 10
Þ x +1+ x - 2 + x + 7 = 5 x - 10
.
Þ 1- 2 + 7 +10 = 5 x - x - x - x
Þ 16 = 2 x Þ x = 8 .

Vậy x = 8

Ví dụ 2: Tìm số nguyên x biết:
a) − 5 ( − x + 7 ) − 3 ( − x − 5 ) = −4 ( 12 − x ) + 48 b) − 2 ( 15 − 3x ) + 4 ( 7 x − 8 ) = −5 − 9 ( 1 − 2 x )
Hướng dẫn

10


a) − 5 ( − x + 7 ) − 3 ( − x − 5 ) = −4 ( 12 − x ) + 48

⇒ − ( −5 x + 35) − ( −3x − 15) = − ( 48 − 4 x ) + 48
⇒ 5 x − 35 + 3x + 15 = −48 + 4 x + 48

⇒ 5 x + 3x − 4 x = −48 + 48 + 35 − 15
⇒ 4 x = 20 ⇒ x = 5 .

Vậy x = 5

b) − 2 ( 15 − 3x ) + 4 ( 7 x − 8) = −5 − 9 ( 1 − 2 x )

⇒ − ( 30 − 6 x ) + ( 28 x − 32 ) = −5 − ( 9 −18 x )
⇒ −30 + 6 x + 28 x − 32 = −5 − 9 + 18 x
⇒ 6 x + 28 x −18 x = −5 − 9 + 30 + 32
⇒ 16 x = 48 ⇒ x = 3 .

Vậy x = 3

Ví dụ 3: Tìm x, y ∈ Z biết:
a) ( x − 3) ( 2 y + 1) = 10

b) xy − 5 y − 2 x = −41

Nhận xét: Để làm được bài tập này học sinh cần nắm rõ về quan hệ ước số và bội
số của số nguyên, cũng như quan hệ chia hết trong tập số nguyên: A.B = m thì m
chia hết cho A và B hay A và B là ước của m.
Hướng dẫn
a) Vì x, y là số nguyên, ( x − 3) ( 2 y + 1) = 10 nên x-3 và 2y+1 ∈ Ư(10)=

{ ±1; ± 2; ± 5; ± 10} Mặt khác 2y+1 không chia hết cho 2 nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 2y+1=1 và x-3=10 suy ra y=0 và x=13
Trường hợp 2: 2y+1=-1 và x-3=-10 suy ra y=-1 và x=-7
Trường hợp 3: 2y+1=5 và x-3=2 suy ra y=2 và x=5
Trường hợp 4: 2y+1=-5 và x-3=-2 suy ra y=-3 và x=1

Vậy y=0 và x=13; y=-1 và x=-7; y=2 và x=5; y=-3 và x=1.
b) Ta có xy − 5 y − 2 x = −41 ⇒ ( x − 5 ) y = 2 x − 41

( 1)

Với x, y là số nguyên, ( x − 5) y = 2 x − 41
Suy ra 2 x − 41Mx − 5 ⇒ ( 2 x −10 ) − 31Mx − 5 ⇒ 31Mx − 5
⇒ x-5∈ Ư(31) = { ±1; ± 31} .
11


-Với x-5=1 ⇒ x=6 thay vào (1) ta được y=-29.
-Với x-5=-1 ⇒ x=4 thay vào (1) ta được y=33.
-Với x-5=31 ⇒ x=36 thay vào (1) ta được y=1.
-Với x-5=-31 ⇒ x=-26 thay vào (1) ta được y=3.
Vậy x=6 và y=-29; x=4 và y=33; x=36 và y=1; x=-26 và y=3.
Bài tập tương tự
1. Tìm số nguyên x biết:
a) | 2x + 10| – 17 = –9

b) | 20 – 2 | –x + 3|| = 10

c) 11 – 2.( –2x + 13)2 = – 7

d) – 23 + 3.(2x + 12)3 = –22 + 5

e) 3x + 22 = 2 x - 7

f) | 2x – 12| ≤ 0

g) (x – 1) (x + 4) < 0

2
2
h) x +3 2 x + 2017 = x + 2019

i) 7.(-x - 7) - 5.(-x - 3) = 12.(3 - x)
k) 5.(-3x - 7) - 4.(-2x - 11) = 7.(4x + 10) + 9
2. Tìm x, y ∈ Z biết:
a) (2x + 1) (3y – 2) = - 55.
c) (x + 1). (xy – 2) = 11

b) (x - 3). (y + 5) = -17
d) xy - 7x + y = -22

2.3.3 Dạng toán về quan hệ chia hết
Nhận xét: Để làm tốt loại bài tập này học sinh cần nắm rõ về tính chất chia hết:
- Nếu A + BMm và BMm thì AMm . Ngược lại AMm và BMm thì A + BMm
- Nếu AMB ⇒ mAMB . Điều ngược lại chưa chắc đã đúng nên khi sử dụng tính chất
này cần lưu ý thử lại các giá trị tìm được xem có thỏa mãn hay không rồi mới kết luận.
- Học sinh cần chú ý cách tách các số hạng cũng như nhân thêm với một số khác 0,
dùng các tính chất đưa bài toán về điều kiện một biểu thức có giá trị nguyên là ước
của một hằng số.
Ví dụ 1: Tìm số nguyên n sao cho:
a) 9 − 2nM2n − 3

b) 2n2 + 11M
3n + 1

Hướng dẫn

12


a) Ta có 9 − 2nM2n − 3 ⇒ ( 9 − 3) − ( 2n − 3) M2n − 3 ⇒ 6M2n − 3 (vì 2n − 3M2n − 3 )
Suy ra 2n-3 ∈ Ư(6) = { ±1; ± 2; ± 3; ± 6} . Mặt khác 2n-3 không chia hết cho 2 nên ta có
các trường hợp sau:
+) 2n − 3 = 1 ⇒ n = 2

+) 2n − 3 = −1 ⇒ n = 1

+) 2n − 3 = 3 ⇒ n = 3

+) 2n − 3 = −3 ⇒ n = 0

Vậy n∈{ 0;1;2;3}

(

)

b) 2n2 + 11M
3n + 1 ⇒ 6n2 + 33M
3n + 1 ⇒ 6n2 + 2n + ( 33 − 2n ) M
3n + 1 ⇒ 33 − 2nM
3n + 1
(vì 6n2 + 2nM
3n + 1 )
33 − 2nM
3n + 1 ⇒ 99 − 6nM
3n + 1 ⇒ ( 99 + 2 ) − ( 6n + 2 ) M

3n + 1 ⇒ 101M
3n + 1
(vì 6n + 2M
3n + 1 ). Suy ra 3n+1 ∈ Ư(101) = { ±1; ± 101}
+) 3n + 1 = 1 ⇒ n = 0

+) 3n + 1 = −1 ⇒ n = −2:3 (loại vì n ∉ Z )

+) 3n + 1 = −101 ⇒ n = −34

+) 3n + 1 = 101 ⇒ n = 100:3 (loại vì n ∉ Z )

Thử lại với n = 0, n = −34 đều thỏa mãn 2n2 + 11M
3n + 1 . Vậy n∈{ 0; −34} .
Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n – 2 là bội của 11
Vì n+2 là ước của 111 suy ra n + 2 ∈{ ±1; ±3; ±37; ±111} .
Mà n là số nguyên dương nên n + 2 ∈{ 3;37;111} .
/ 11 (loại)
- Nếu n + 2 = 3 ⇒ n = 1 suy ra n − 2 = 1 − 2 = −1 M
- Nếu n + 2 = 37 ⇒ n = 35 suy ra n − 2 = 35 − 2 = 33 M11 (chọn)
/ 11 (loại)
- Nếu n + 2 = 111 ⇒ n = 99 suy ra n − 2 = 99 − 2 = 97 M
Vậy n = 35
Ví dụ 3: Tìm số nguyên n biết:
a)

−40M2n + 3 và 24M2n + 3

( −11) ; 3 − nM7 và
b) n − 3M

−100 < n < 100
Nhận xét: Trong tập số nguyên không đề cập đến ƯCLN và BCNN nên các em thấy rất
khó khăn, cần xét quan hệ ƯCLN và BCNN trong tập số tự nhiên sau đó dùng quan hệ
13


ước số - bội số trong tập số nguyên đó là nếu a là ước của b thì –a cũng là ước của b,
a là bội của b thì –a cũng là bội của b.
Hướng dẫn
a) Ta có −40M2n + 3 và 24M2n + 3 suy ra 2n + 3 ∈ ƯC ( 24; −40 )
Trong tập N, ƯCLN ( 24;40 ) = 8 ⇒ 2n + 3 ∈ { ±1; ±2; ±4; ±8} .
/ 2 nên 2n + 3 ∈ { ±1} ⇒ n ∈{ −1; −2} . Vậy n∈{ −1; −2}
Nhưng 2n + 3 M

( −11) và 3 − nM7 suy ra n − 3 ∈ BC(-11 ;7)
b) Ta có n − 3M
Trong tập N, BCNN ( 11;7 ) = 77 ⇒ n − 3 ∈{ 0; ±77; ±154;...} .
Nhưng −100 < n < 100 nên n − 3 ∈{ 0; ±77} ⇒ n ∈{ 3; −74;80}
Vậy n∈{ 3; −74;80} .
Bài tập tương tự
1. Tìm số nguyên n sao cho
a) n + 7  n + 2
c) 3n2 + 5  n – 1
1 − 2n và 20M2n −1
e) 30M

b) n2 + n + 17  n + 1
d) 3n + 7  2n + 1
13 ; 2n − 3M

5 và −50 < n < 50
f) 3 − 2nM

2. Tìm n ∈ Z sao cho n – 1 là bội của n – 5 và n + 5 là bội của n + 1
3.Tìm tất cả các số nguyên a, b sao cho tổng 2 số bằng tích 2 số đó.
2.3.4 Dạng toán chứng minh
Ví dụ 1: Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399.
a) Chứng minh rằng S là bội của – 20
b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1
Nhận xét: Đối với dạng bài tập này ta phải hướng dẫn cho học sinh kiểm tra số số
hạng của tổng đó, sau đó chia đều các số hạng vào vừa đủ các nhóm sao cho trong
mỗi nhóm đều chia hết cho số đã cho từ đó tổng sẽ chia hết cho số đó. Còn với cách
tính tổng dạng này cần nhân thêm 2 vế với cùng 1 lũy thừa có cùng cơ số với cơ số các
lũy thừa trong tổng, số mũ bằng với khoảng cách giữu các số mũ trong tổng rồi cộng

14


hoặc trừ tổng mới với tổng ban đầu để làm triệt tiêu các lũy thừa bằng nhau từ đó tính
ra tổng.
Hướng dẫn
a)

(

(

+ 396 − 397 + 398 − 399

)

⇒ S = ( −20 ) + 34. ( −20 ) + ... + 396. ( −20 ) M
( −20 ) .

b)

) (

)

S = 1 − 3 + 32 − 33 + ... + 398 − 399 = 1 − 3 + 32 − 33 + 34 − 35 + 36 − 37 + ...

Vậy

SM
( −20)

S = 1 − 3 + 32 − 33 + ... + 398 − 399 ⇒ 3S = 3 − 32 + 33 − 34 + ... + 399 − 3100
1 − 3100
⇒ 4S = 1 − 3100 ⇒ S =
4

Vì tổng S là số nguyên nên 1 − 3100 M4 ⇒ 3100 : 4 dư 1. Vậy 3100 : 4 dư 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên a, b khác 0 và a là bội của b; b là bội của a
thì a = b hoặc a = -b
Nhận xét: Học sinh cần biết biểu diễn về quan hệ ước số và bội số của số nguyên: Nếu
a là bội của b thì a = m.b với m là số nguyên.
Hướng dẫn
Vì a là bội của b suy ra a = m.b ( 1) với m là số nguyên khác 0.
Vì b là bội của a suy ra b = n.a ( 2 ) với n là số nguyên khác 0.

Từ (1) và (2) suy ra a.b = m.n.a.b ⇒ m.n = 1 ⇒ m = n = 1 hoặc m = n = −1
Với m = n = 1 ta được a = b
Với m = n = −1 ta được a = - b
Vậy với 2 số nguyên a, b khác 0 và a là bội của b; b là bội của a thì a = b hoặc a = -b
Bài tập tương tự
1. Cho S = 1 – 7 + 72 – 73 + ... + 798 – 799.
a) Chứng minh rằng S là bội của 300
b) Tính S, từ đó suy ra 7100 chia cho 8 dư 1
15


2. Cho B = – 4 – 52 – ... – 52016 – 52017
a) Chứng minh rằng B chia hết cho 4
b) Chứng minh rằng nếu 9 – 5n+1 = 4B thì n = 2017.
2.3.5 Dạng toán về GTLN-GTNN
Ví dụ : Tìm GTLN hoặc GTNN của:
2
g) B = − ( x − 3) − x 2 − 9 + 25

a) A = − x + 8 − 21

Nhận xét: Học sinh cần nắm rõ về tính chất của giá trị tuyệt đối, bình phương của một
số nguyên: A ≥ 0; − A ≤ 0; A2 ≥ 0; − A2 ≤ 0 với mọi giá trị của A, tổng các số không
âm là một số không âm.
Hướng dẫn
a) Ta có − x + 8 ≥ 0, ∀x ⇒ − x + 8 − 21 ≥ −21, ∀x ⇒ A ≥ −21 .
A = −21khi − x + 8 = 0 ⇒ x = 8 .
Vậy GTNN của A = −21 khi x = 8
2
b) B = − ( x − 3) − x 2 − 9 + 25

2
Ta có − ( x − 3) ≤ 0; − x2 − 9 ≤ 0, ∀x
2
Suy ra B = − ( x − 3) − x 2 − 9 + 25 ≤ 25, ∀x
B = 25 khi ( x − 3) 2 = 0 và x2 − 9 = 0 ⇒ x = 3 .
Vậy GTLN của B = 25 khi x = 3
Bài tập tương tự
Tìm GTLN hoặc GTNN của:
a) B = − x − 17 + y − 36 + 12

b) C = − 2 x − 8 − 35

16


c)

(

d) D = -21 – 3. 2 x + 10 − x2 − 25

D = 3(3x – 12)2 – 37

)

2

2.3.6 Dạng toán xét dấu của tích các số nguyên:
2
2

2
3
3
Ví dụ 1: Cho A = ( 5m − 8m − 9m ) ( −n + 4n ) . Với giá trị nào của m và n thì A ≥ 0

Nhận xét:

Để làm được bài tập này học sinh cần nắm rõ về dấu của các lũy thừa

cũng như tích các số nguyên: x2n ≥ 0, x2n+1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 0, ∀x ∈ Z .
Học sinh cần nắm rõ khi có số chẵn các thừa số cùng dấu trong tích thì tích của chúng
là một số dương.
Hướng dẫn

(

)(

)

2
2
2
3
3
2
3
2 3
Ta có: A = 5m − 8m − 9m −n + 4n = m ( 5 − 8 − 9 ) n ( −1 + 4 ) = −36m n
Để A ≥ 0 ⇒ −36m2n3 ≥ 0 , mà −36 < 0 và m2 ≥ 0, ∀m suy ra n3 ≤ 0 ⇒ n ≤ 0

Vậy để A ≥ 0 thì m, n ∈ Z và n ≤ 0
Ví dụ 2: Cho a và b trái dấu, 3a2b1980 và -19a5b1890 cùng dấu. Xác định dấu của a và b?
Hướng dẫn

(

)(

)

(

)(

)

2 1980 . −19a5b1890 = ( −19.3) a 2.a5 b1980.b1890 = −57a7b3870
Xét tích 3a b
Vì 3a2b1980 và -19a5b1890 cùng dấu, suy ra −57a7b3870 > 0 mà −57 < 0 và
b3870 ≥ 0, ∀b
suy ra a7 < 0 ⇒ a < 0 hay a là số âm. Do a và b trái dấu mà a là số âm nên b là số
dương.
Vậy a là số âm, b là số dương.
Ví dụ 3: Trong 3 số nguyên x, y, z có một số dương, một số âm và một số bằng 0. Em
hãy chỉ ra mỗi số đó biết: x = y 2.( y − z )
Nhận xét: Để làm được bài tâp này học sinh cần nắm rõ về tính chất của giá trị tuyệt
đối cũng như bình phương của một số nguyên:

x ≥ 0, ∀x ∈ Z .

x 2n ≥ 0, ∀x ∈ Z
17


Hướng dẫn
Từ đề ra cho thấy ta có thể giải bằng phương án loại trừ. Ta có x = y 2.( y − z ) ( 1)
- Nếu x = 0 từ (1) suy ra y = 0 hoặc y = z trái giả thiết.
- Nếu y = 0 từ (1) suy ra x = 0 trái giả thiết.
Suy ra z = 0 thay vào (1) ta được x = y3
Vì y3 = x ≥ 0, ∀x ⇒ y là số nguyên dương, suy ra x là số nguyên âm.
Vậy x là số nguyên âm, y là số nguyên dương, z = 0
Ví dụ 4: Cho 2017 số nguyên trong đó 7 số bất kì luôn có tích âm. Hỏi tích của 2017
số đó là âm hay dương? Mỗi số nguyên đó là âm hay dương?
Nhận xét:

Để làm được bài tập này học sinh cần nắm rõ về dấu của tích các số

nguyên đó là tích các số nguyên là một số nguyên âm thì trong tích phải có số lẻ các
số nguyên âm.
Hướng dẫn
Ta thấy 2017 chia 7 thương là 288 dư 1. Vì 7 sè bất kì luôn có tích âm nên ta
chọn ra 1 số âm trong 2017 số đã cho gọi là x0, còn lại 2016 số chia thành 288 nhóm,
mỗi nhóm có 7 số.
Do mỗi nhóm có tích 7 số là 1 số âm nên 288 nhóm cho ta tích là 1 số dương
nhân với x0 là số âm ta được kết quả là số âm. Suy ra tích của 2017 số đã cho là số âm.
Ta chứng minh 2017 số đã cho đều là số âm:
Thật vậy, xét 1 nhóm 7 số bất kì có tích là số âm nên ta có các trường hợp sau:
- Nhóm có 1 số âm và 6 số dương, ta chọn 1 số âm và 5 số dương trong nhóm
này cùng với số âm x0 ta được nhóm mới gồm 7 số có tích lại là số dương(trái giả
thiết).

- Nhóm có 3 số âm và 4 số dương, ta chọn 3 số âm và 3 số dương trong nhóm
này cùng với số âm x0 ta được nhóm mới gồm 7 số có tích lại là số dương(trái giả
thiết).

18


- Nhóm có 5 số âm và 2 số dương, ta chọn 5 số âm và 1 số dương trong nhóm
này cùng với số âm x0 ta được nhóm mới gồm 7 số có tích lại là số dương(trái giả
thiết).
Từ đó ta thấy chỉ còn khả năng cả 7 số trong nhóm bất kì đều là số âm là phù
hợp.
Vậy 2017 số nguyên đó đều là số nguyên âm.
Bài tập tương tự
1. Cho 2017 số nguyên trong đó 7 số bất kì luôn có tổng âm. Hỏi tổng của 2017 số
đó là âm hay dương?
2. Biết rằng a, b, c ∈ Z . Hỏi 3 số 3a2.b.c3; -2a3b5c; -3a5b2c2 có thể cùng âm không?
3. Cho hai tích -2a5b2 và 3a2b6 cùng dấu. Tìm dấu của a?
4. Trong 3 số nguyên x, y, z có một số dương, một số âm và một số bằng 0. Em hãy
chỉ ra mỗi số đó biết:
a) y2 = |x|. (z – x)

b) x8 + y6z = y7

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đối với 43 học
sinh lần trước đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh đạt điểm khá
giỏi đã tăng lên khá nhiều.
Điểm dưới 5

Điểm từ 5 đến

Điểm từ 7 đến

Điểm từ 9 đến

dưới 7
dưới 9
dưới 10
SL(bài)
%
SL(bài)
%
SL(bài)
%
SL(bài)
%
0
0
5
11,63
18
41,86
20
46,51
Tôi đã trao đổi với đồng nghiệp cùng bộ môn ở trường THCS Lê Đình Kiên
để đưa sáng kiến này vào dạy cho học sinh qua các năm thì thấy các em đều nắm rất
tốt các nội dung , phát triển tốt tư duy và hình thành được phương pháp giáp giải giúp
học sinh có nền tảng vững chắc cho những năm tiếp theo. Trong thời gian giảng dạy
đã qua, với cách làm như vậy tôi đã gặt hái được rất nhiều thành công trong công tác

bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, từ cấp cụm đến cấp huyện và cấp tỉnh.
19


Kết quả bồi dưỡng học sinh giỏi hàng năm luôn đạt kết quả xuất sắc, đều
được cấp trên, nhà trường và phụ huynh ghi nhận và khen thưởng. Trong số các học
sinh giỏi do tôi dạy có nhiều em đang theo học tại các trường THPT chuyên, đặc biệt
có em Trịnh Hoàng Đức học chuyên Lam Sơn đạt giải 3 quốc gia năm học 2013-2014,
đạt giải nhì quốc gia năm học 2014-2015, em Trịnh Hữu Gia Phúc năm nay mới học
lớp 10 chuyên Lam Sơn nhưng em đã đạt được giải 3 trong kì thi học sinh giỏi quốc
gia năm học 2016-2017.
Trong khóa học này, học sinh của tôi giảng dạy đã đạt 1 giải nhất môn toán
cấp huyện năm học 2016-2017, 1 giải nhì casio toán cấp tỉnh và 1 giải nhất môn toán
cấp tỉnh năm học 2016-2017, và rất nhiều các giải cao trong kì thi học sinh giỏi cấp
cụm môn toán khối 6-khối 7, điều đó càng làm cho tôi vững tin vào những gì mà mình
đang hướng dẫn cho các lứa học trò tiếp theo.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trên đây là một số dạng bài tập tiêu biểu mà tôi đã giảng dạy cho học sinh
khá, giỏi lớp 6 nơi mình đang công tác trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh
20


giỏi ở nhiều khóa học sinh khác nhau cũng như khi trao đổi với các đồng môn đã áp
dụng thử nghiệm sáng kiến này, tôi nhận thấy khả năng nhận dạng cũng như giải quyết
các bài tập có sự tiến bộ rõ rệt, các em đã hoàn thành tốt các bài tập mà tôi đã đưa ra
để vận dụng cho từng bài cụ thể. Để đạt được kết quả đó giáo viên cần phải hệ thống
lại và hướng dẫn gợi ý để học sinh dễ tiếp cận, đồng thời dễ nhớ cách làm với từng
dạng bài tập khác nhau. Người thầy cần khơi dậy sự chủ động tìm tòi, tính tích cực và

sáng tạo của học sinh thông qua các bài giảng của mình góp phần nâng cao hiệu quả
chất lượng giáo dục trong nhà trường.
Việc giảng dạy các loại bài tập này cần bố trí vào các buổi học bồi dưỡng
học sinh giỏi với thời gian thích hợp để học sinh có thể nắm bắt tốt. Tôi mong muốn
nhận được sự hưởng ứng tích cực từ phía các thầy cô và các em học sinh về trao đổi,
nghiên cứu tìm hiểu chuyên sâu các chuyên đề về các dạng toán nói chung và các dạng
bài tập này nói riêng nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, đặc biệt là trong
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở các nhà trường hiện nay.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
TÊN TÀI LIỆU
1 Sách giáo khoa toán 6

TÁC GIẢ
Phạm Đức Chính-Tôn Thân
21


2
3
4
5

Vũ Hữu Bình-Phạm Gia Đức-Trần Luận
Tôn Thân-Vũ Hữu Bình

Sách bài tập toán 6
Sách “Nâng cao và phát triển toán 6”

Sách “Toán số học nâng cao lớp 6”
Một số chuyên đề ôn thi học sinh

Phạm Gia Đức-Trần Luận
Vũ Hữu Bình
Nguyễn Vĩnh Cận
Tham khảo qua mạng internet

giỏi, đề thi học sinh giỏi toán lớp 6…

XÁC NHẬN

Thanh hóa, ngày 15 tháng 4 năm 2017

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

22


Trịnh Văn Kiện

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH GD&ĐT YÊN ĐỊNH

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ
XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN

XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

23


Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Kiện
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Lê Đình Kiên

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Hướng dẫn học sinh khá giỏi
lớp 9 một số phương pháp

2.

chứng minh bất đẳng thức
Hướng dẫn học sinh giỏi lớp
7 cách học một bài tập tổng

3.

quát.
Hướng dẫn học sinh giỏi lớp
7 cách học một bài tập tổng

4.

quát.
Hướng dẫn học sinh khá giỏi
lớp 9 cách phát triển một bài

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Phòng
B
GD&ĐT
Yên Định

Năm học
đánh giá xếp
loại
2011-2012

Phòng
GD&ĐT
Yên Định

A

2013-2014

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

2013-2014

Phòng
GD&ĐT
Yên Định

A

2015-2016

tập hình học từ bài tập cơ
bản.

24