Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình học 7,8

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Ngày nay việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề được quan tâm
hàng đầu. Để chất lượng học của học sinh (HS) ngày càng được nâng lên, yêu
cầu người giáo viên(GV) phải có phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập
đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng HS .Toán học là một trong những bộ
môn khó ở chương trình phổ thông. Song nó sẽ không khó nếu như chúng ta
nắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được phương pháp giải bài tập.
Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình học
phương pháp giải cần vẽ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HS
THCS. Nhưng khi thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ
thêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn
về phương pháp giải loại toán này. Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trình
giải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn.
Trong khi tìm các phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc kẻ thêm
yếu tố phụ làm cho giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.Thậm chí, có những
bài toán cần phải vẽ thêm đường phụ thì mới tìm ra được lời giải.Tuy nhiên việc
kẻ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải hay và ngắn gọn mới
là vấn đề khiến cho người thầy cần phải đầu tư suy nghĩ.
Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đường
phụ khi giải các bài toán hình học.Vì thế khi giải bài toán đòi hỏi HS phải có
suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ và mới một cách có hệ
thống và tổng hợp, để từ đó có cách vẽ thêm những đường phụ hợp lý để có thể
đưa đến cách giải hay và độc đáo, và vì vậy khi giải một bài toán hình việc xác
định phương pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đó
đòi hỏi HS phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể là
tìm hướng giải và phương pháp giải, để làm được điều đó GV cần phải cung cấp
cho HS một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ.
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải
một số bài toán hình 7;8”, tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để học tốt loại toán
hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các loại toán hình học nói chung.

1.2 Mục đích nghiên cứu :
Mục đích của đề tài là: - Giúp trang bị cho HS một số kiến thức để học tập
môn Toán nói chung và việc đưa ra phương pháp dạy và học "giải các bài toán
hình có kẻ thêm đường phụ " nói riêng tốt hơn.
- Để HS ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh hoạt, tránh lúng
túng, mất hướng giải và mất nhiều thời gian, củng cố niềm tin cho HS khi học
môn Toán nói chung và "giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ " nói
riêng.
- Để các em có ý thức vươn lên học tốt hơn bộ môn Toán, cũng như các môn
học khác.Từ đó dần dần hình thành năng lực học tập, phát triển tư duy sáng tạo,
hình thành kỹ năng vẽ hình, tính cẩn thận, chính xác cho HS .

1


1.3 Đối tượng nghiên cứu :
Đề tài áp dụng đối với HS THCS chủ yếu là HS lớp 7; 8 trong giờ luyện tập,
các buổi học thêm ,bồi dưỡng HS mũi nhọn hoặc bồi dưỡng HS giỏi, ôn tập cuối
năm và ôn tập cho các kỳ thi ở trường, thi HS giỏi các cấp, thi vào cấp TPTH.
1.4 Các phương pháp nghiên cứu:
Trong khi nghiên cứu đề tài , tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
- Phương pháp quan sát, điều tra, theo dõi thực tế; Phương pháp nghiên cứu;
Phân tích, tổng hợp; Phương pháp tham khảo thu thập tài liệu; Phương pháp
thùc nghiÖm; Phân tích, tổng kết kinh nghiệm; Kiểm tra kết quả chất lượng
HS.
... Qua đó giúp các em có phương pháp giải đúng, tránh được tình trạng
định hướng sai khi giải bài toán hoặc còn lúng túng trong việc chưa tìm ra
hướng giải và trình bày lời giải, giúp các em làm việc tích cực hơn, say mê và
ham thích hơn , ®Ó tõ ®ã đạt ®îc kết quả cao trong các kỳ thi.

1.5 Nh÷ng ®iÓm míi cña SKKN:
- Thông qua SKKN, HS được nâng cao tư duy sáng tạo, độc lập, phát huy tính tự giác,
tích cực trong học tập, thúc đẩy cho các em sự say mê và hứng thú học tập tốt hơn.

2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là những bài
toán khó đối với HS THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu
cầu HS nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi HS cần có một kỹ năng giải toán và
có sự sáng tạo nhất định. Để chứng minh các định lý phải sử dụng việc kẻ thêm
đường phụ thì trong SGK đề cập đến không đáng kể. Việc làm các ví dụ về dạng
toán này ở trên lớp cũng không nhiều. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK lại đưa
ra khá nhiều dạng toán này và đặc biệt là ở một số bài tập nâng cao khi giải phải
kẻ thêm đường phụ, nếu không thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Trên thực tế,đối với HS khi giải các bài toán dạng này cần phải mất rất nhiều
thời gian nghiên cứu. Mà việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài
toán có kẻ thêm đường phụ đối với HS còn rất ít. Mặt khác, đối với đa số HS
việc nắm vững về mục đích,yêu cầu khi kẻ các đường phụ cũng như kiến thức
về một số loại đường phụ còn rất hạn chế. Các tài liệu viết rêng về loại toán này
cũng rất ít nên việc tham khảo đối với HS còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với nội dung trình bày của đề tài này bản thân tôi mong muốn đó sẽ là
một nội dung tham khảo cho GV để góp phần tạo nên cơ sở cho GV có thể dạy tốt
hơn, HS hiểu và làm tốt hơn các bài tập loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong quá trình dạy môn toán nói chung, đặc biệt là phân môn hình học nói
riêng, tôi nhận thấy hầu hết các em HS không thích và rất ngại khi làm các bài
toán hình. Bởi vì các em thấy nó rất khó, các em không biết phương pháp giải và
giải như thế nào. Chính vì thế đã làm tôi trăn trở rất nhiều, là một GV trực tiếp

2


dạy bộ môn toán tôi suy nghĩ là làm thế nào để giúp các em có được phương
pháp giải các bài toán hình. Từ đó giúp các em khi gặp các bài toán hình các em
không còn ngại nữa mà trở nên ham thích hơn, say mê và hứng thú hơn trong
việc tìm ra lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản nhất.
Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành
điều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình đối với HS khối 7, 8 tại trường
THCS nơi tôi đang trực tiếp giảng dạy trong các năm học 2014- 2015, 2015-2016.
Kết quả thu được như sau:
Khối Tổng số Số HS giải thành
Số HS giải chưa
Số HS không biết
lớp
HS
thạo
thành thạo
giải
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
7
81
2
2,7
9
11
70
86,3
8

70
3
4,3
11
15,7
56
80
Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng : Số HS không biết làm, còn lúng túng,
lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình học là rất lớn, trong khi đó chỉ một
số ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này.
Từ thực tế trên, bản thân tôi là một GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tại
trường THCS, tôi luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn học
này và làm thế nào để tạo cho các em có một tâm lý vững vàng, không còn sợ
sệt khi gặp các bài toán hình nữa.Và SKKN“Hướng dẫn học sinh phương
pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7; 8” là một phương
pháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng cao chất
lượng Dạy - Học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán nói
chung.

2.3 Các giải pháp thực hiện:
A, Giải pháp:
1. Các yêu cầu khi kẻ (dựng) các đường phụ.
1.1 Kẻ đường phụ phải có mục đích.
Đối với một số bài toán hình để giải được chúng ta cần phải kẻ thêm yếu tố
đường phụ.Vì thế kẻ đường phụ phải giúp được cho việc giải quyết bài toán.
Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, dự đoán
logic theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã
có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm.
Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho
hình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi

tiến hành kẻ đường phụ, phải luôn đặt ra câu hỏi:”Kẻ đường phụ này có đạt
được mục đích mình yêu cầu không ? ”
1.2 Các đường phụ phải là các đường có trong phép dựng hình cơ bản và phải
xác định được.
2. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải c¸c bµi toán
hình học ở THCS.
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.

3


- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường
thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
3. Các phương pháp sử dụng đường phụ và phân dạng các loại toán hình
mà lời giải có sử dụng đường phụ.
* Các phương pháp sử dụng đường phụ.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất
các hình để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để
giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
* Phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn
thẳng cho trước.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng xác định.

Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng.
Dạng 6: Tính số đo góc.
B, Các biện pháp đã tổ chức thực hiện.

B1. Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là ta có thể tạo
ra các hình rồi sử dụng định nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Bài 1: Cho ∆ ABC, có B = C. Chứng minh: AB =AC.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ như thế nào? Để chứng minh được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc
kẻ thêm đường phụ sao cho AB và AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồi
chứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh đó bằng nhau.
* Kẻ thêm đường phụ:
+ Cách1: - Qua A kẻ tia phân giác AI của BAC ( I ∈ BC).
+HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC
bằng cách chứng minh : ∆ ABI = ∆ ACI
- Để chứng minh ∆ ABI = ∆ ACI ta chỉ cần chứng minh :
AIB = AIC. Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
+ Cách2: - Qua A kẻ AH ⊥ BC( H ∈ BC).
+ HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC
A
bằng cách chứng minh : ∆ ABH = ∆ ACH .
- Để ∆ ABH = ∆ ACH ta chỉ cần chứng minh : BAH = CAH

4

- Để chứng minh : BAH = CAH ta chỉ cần dựa vào kiến thức
tổng 3 góc trong tam giác. Từ đó, ta giải quyết được bài toán.
B
H
C
Như vậy, cũng từ một đường phụ kẻ thêm nhưng do cách dựng khác nhau
nên dẫn ®Õn cách chứng minh cũng khác nhau. Tuy nhiên, ta nên lựa
chọn cách nào nhanh và đơn giản nhất để giải.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB // CD; AD // BC.
Chứng minh: AB = CD, AD = BC.
*Phân tích: -Để chứng minh cho AB= CD, AD = BC gợi cho ta nghĩ đến việc
cần t¹o ra cặp tam giác bằng nhau có 2 cạnh tương ứng là AB và CD hoặc AD
và BC .Từ suy nghĩ đó gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ như thế nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:- Nối A với C (hoặc B với D)
A
B
+ HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = CD, AD = BC
bằng cách chứng minh : ∆ ABC = ∆ CDA .
- Để chứng minh ∆ ABC = ∆ CDA ta chỉ cần chứng minh : D
C
BAC = ACD và CAD = ACB ( so le trong).
Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
Như vậy, ta có thÓ giải bài toán dễ dàng bằng cách vẽ thêm đường phụ AC.
Bài 3. Cho ∆ ABC, vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ
AH có chứa điểm B, dựng AD ⊥ AB sao cho
AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE ⊥ AC
sao cho AE = AC. Nối D với E, AH cắt DE ở M.
Chứng minh MD = ME.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, hình cần tạo ra
là hình nào để từ đó có thể giải được bài toán?.

+ Kẻ thêm đường phụ:-Từ D hạ DK ⊥ AH (K∈ AH).
-Từ E hạ EN ⊥ AH (N∈ AH).
+ HD Chứng minh:
- Để chứng minh DM = ME ta chứng minh ∆ KDM = ∆ NEM.
- Để ∆ KDM = ∆ NEM. Ta cần chứng minh DK = EN, KDM =NEM (so le trong).
- Để DK = EN ta chứng minh ∆ HAB = ∆ KDA (cạnh huyền - góc nhọn).
Và ∆ HAC = ∆ NEA (cạnh huyền - góc nhọn).
Vậy, bằng cách kẻ thêm đường phụ DK và EN ta có thể giải bài toán dễ dàng.
Kết luận: Bằng cách kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tam giác bằng nhau,
tõ ®ã suy ra các cạnh tương ứng (các đoạn thẳng cần chứng minh) bằng
nhau
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC, có A = 60o. Các tia phân giác của B và C cắt
nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E. Chứng minh: ID= IE
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: Kẻ tia phân giác của BIC cắt BC tại K (K ∈ BC).
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần)
đoạn thẳng cho trước.
* Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khác
hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta có thể:

5


Cách1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong mét hai đoạn thẳng này
bằng đoạn thẳng ngắn.
Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn
thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có A = 120o. Tia phân giác của góc D đi qua
trung điểm I của cạnh AB. Kẻ AH ⊥ CD. Chứng minh AH =

1

DI.
2

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán để chứng minh
1
2

AH = DI gợi cho ta nghĩ đến việc tạo ra đoạn thẳng
1
DI.
2

nào đó trên DI sao cho đoạn thẳng đó bằng

Từ sự phân tích trên ta đi đến kẻ thêm đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua A dựng AM ⊥ DI (M∈ DI).
+ HD Chứng minh: Để chứng minh AH =

1
DI. Ta cần: chứng minh AH = DM.
2

Vì ∆ ADI cân tại A ( hai góc đáy bằng nhau).Mà AM là đường cao, suy ra AM
là trung tuyến ⇒ DM =

1
DI. Để AH = DM ta chỉ cần chứng minh :
2

∆ ADM = ∆ ADH (cạnh huyền-góc nhọn). Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài

toán.
Bài 2: Cho ∆ ABC vuông tại A, có B = 60o. Chứng minh AB =
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán AB =

1
BC.
2

1
BC hay 2AB = BC
2

gợi cho ta phải nghĩ đến việc tìm cách tạo ra đoạn thẳng nào đó bằng 2AB, rồi
chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC và lại có B = 60 o nên gợi cho ta nghĩ đến
việc tìm tạo ra tam giác đều.
C
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB
+ HD Chứng minh: Để chứng minh AB =

1
BC ta chỉ cần
2

chứng minh : BC = BD. Để chứng minh BC= BD ta chỉ cần D
chứng minh : ∆ ABC = ∆ ADC (c-g-c) và ∆ BCD là ∆ đều.
Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
Bài 3: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

*Phân tích:

60o

A

B

1
2

Để chứng minh được AM = BC ta cần phải

chứng minh điều gì? Điều này gợi cho ta cần phải chứng
minh: AM = BM hoặc AM = CM.
Vậy để chứng minh AM = BM( hoặc AM = CM).Ta phải chứng minh : ∆ AMB
(hoặc ∆ AMC) là tam giác cân tại M.Từ sự phân tích đó, để chứng minh

6


1
2

AM = BC hay AM =MC ta cần kẻ thêm đường phụ nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Dựng điểm E là trung điểm của AC .
- Dựng đoạn thẳng ME .
1
2

1
2

+ HD Chứng minh:- Để c/m AM = BC ta chứng minh AM = MC = BC.
- Để AM = MC ta chứng minh ∆ AMC cân tại M (hoặc ME là đường trung trực
của AC).
Như vậy với việc kẻ thêm đường phụ ME. ta có thể chứng minh bài toán
một cách dễ dàng.
* Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng Mx // AB cắt AC tại E.
+ Kẻ đường phụ: Dựng đường trung trực ME của AC.
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng ME ⊥ AC (E ∈ AC).
+ Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
GV lưu ý : §ối với một bài toán ta cũng có thể có nhiều cách kẻ đường phụ
khác nhau. Mỗi cách kẻ đường phụ, cho ta một cách chứng minh. vì thế ta
nên lựa chọn phương pháp kẻ đường phụ nào mà dẫn đến cách chứng minh
dễ hiểu, đơn giản và hay nhất.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC,M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng
không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax ⊥ AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD =
AB .Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay ⊥ AC,trên tia đó lấy
1
2

điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh : AM = DE
Gợi ý kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai đoạn
thẳng xác định.
Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song với hai
đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”.

*Phân tích: Để hướng cho HS biết cách kẻ thêm
đường phụ thì GV cần phải phân tích cho HS:
Từ khái niệm“ đường trung bình” của hình thang
gợi cho ta liên tưởng đến định lí tương tự nào
trong tam giác? Liệu định lí đường trung bình
trong tam giác có thể sử dụng cho lời giải bài toán này không?
Từ đó GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa về tam giác để vận dụng kiến thức
đã có để chứng minh bài toán. Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể là gì?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Dựng đoạn thẳng BN
- Kéo dài BN về phía N cắt CD tại E.
+ HD Chứng minh:

7


- Như vậy, ta đã có được MN là đường trung bình của ∆ BEC
1
1
EC. Mà EC = ED + CD. Nên MN = (ED + CD).
2
2
1
- Như vậy để chứng minh MN = ( AB +CD) ta chỉ cần chứng minh AB = ED.
2
- Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ∆ ABN = ∆ DEN (g.c.g)

Do đó MN =

Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC tại E là do suy nghĩ quy về việc

sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải bài
toán. Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp với
mục đích tính chất). Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương
pháp kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Bài 2: Cho ∆ ABC vuông cân tại A. Lấy một điểm M tuỳ ý trên
cạnh BC (M khác B và C).Chứng minh : MB2 + MC2 = 2 MA2
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên tưởng đến
định lý Py-ta-go. Và Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ sao cho MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó.
Từ phân tích, ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Từ M, dựng MN ⊥ AB ( N ∈ AB).
- Từ M, dựng MP ⊥ AC ( P ∈ AC).
+ HD Chứng minh: Từ việc kẻ thêm đường phụ ta có:
- Để chứng minh MB 2 + MC 2 = 2 MA2 ta cần chứng minh
MB 2 + MC 2 =2(MN 2 +NA 2 ).
Hay ta cần phải chứng minh: MB 2 = 2 MN 2 và MC 2 = 2 NA 2
Đến đây ta chỉ cần áp dụng định lý Pitago đối với ∆ NMB vuông cân tại N.
MB 2 = NB 2 +MN 2 = 2 MN 2
áp dụng định lý Py-ta-go đối với ∆ PMC vuông cân tại P.
MC 2 = PM 2 + PC 2 = 2 MP 2
Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật).
Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
Kết luận: §ể có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến phương pháp
kẻ thêm đường phụ. V× vËy đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi
giải một bài toán hình.
* Bài tập tự luyện: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB .Trên cùng
nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax, By ⊥ AB. Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax,
đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh : CD = AC + BD
Gợi ý kẻ đường phụ: Kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau tại K

Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC có AB < AC. AD là tia phân giác
của BAC (D ∈ BC).Chứng minh rằng: CD > BD.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta suy
nghĩ cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài

8


bằng BD;CD.Từ đó có thể so sánh các góc đối diện với hai cạnh ấy. Đến đây ta
có thể kẻ thêm đường phụ nào
* Kẻ thêm đường phụ:
- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Ta được ∆ DEC đạt được theo yêu cầu trên. Vậy điểm E là yếu tố phụ cần vẽ
thêm để giúp ta giải được bài toán này.
 BD = DE
CD > DE

* HD Chứng minh: - Để chứng minh CD > BD ta cần chứng minh 

(CD và DE∈ ∆ DEC).
Do vậy để chứng minh CD > DE ta chứng minh DEC > ECD. Đến đây có thể
dễ dàng chứng minh DEC > ECD dựa vào mối quan hệ góc ngoài của tam giác.
Bài 2: Cho ∆ ABC ( AB = AC) , D là điểm bất kỳ trong
tam giác sao cho ADB > ADC.
Chứng minh rằng : DC > DB .
*Phân tích: Tương tự như bài toán trên, ta tìm cách tạo
ra tam giác có hai cạnh có độ dài bằng DC; DB.
Như vậy ta cần kẻ thêm đường phụ nào ?
* Kẻ thêm đường phụ:

-Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho CAx = BAD
- Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD
* HD Chứng minh :
- Để chứng minh DC > DB ta cần chứng minh
DC > EC ( EC = BD vì ∆ DAB = ∆ EAC ( c.g.c))
- Để DC > EC ta chứng minh DEC > EDC.
- Để chứng minh DEC > EDC ta chỉ cần chứng
minh AEC - AED > ADC - ADE.
Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì AEC > ADC và ADE = AED.
Bài 3. Cho ∆ ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C.
Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC.
*Phân tích: Từ kết luận,ta suy nghĩ là tạo ra các đoạn
thẳng bằng nhau, và dựa vào quan hệ các cạnh trong
tam giác. Vậy đường phụ cần vẽ là đường nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Qua A, dựng đường thẳng ⊥ MC cắt BC tại D.
* HD Chứng minh :- Từ cách dựng ta chứng
minh được AC = CD; MA = MD.
Xét ∆ MBD có MD + MB > BD (Bất đẳng thức
tam giác). Mà BD = CD + BC nên từ đó ta chứng
minh được MA + MB > AC + BC.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC có AC > AB. Tia phân giác của A cắt BC ở D.
Điểm E∈ AD, Chứng minh rằng: AC - AB > EC - EB.
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Trên cạnh AC lấy điểm P sao cho AP = AB
Dạng 5 : Tính số đo đoạn thẳng.

9


Bài 1: Cho ∆ ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của A (D ∈ BC). Biết AB

=3cm; AD =

12 2
cm.
7

Tính độ dài đoạn thẳng BD.
*Phân tích: Từ giả thiết ∆ ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của A cho ta
BAD = DAC = 45o Từ đó gợi cho ta nghĩ đến kiến thức định lý
Pytago, để tạo ra một tam giác vuông sao cho có một cạnh là BD
và hai cạnh kia dã tìm được độ dài.
Từ phân tích trên ta có thể đường phụ nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ: -Từ D dựng DE ⊥ AB (E ∈ AB).
+ HD Chứng minh:
- Để tìm được độ dài BD ta cần tính được ED và BE.
- Tính ED dựa vào tam giác vuông cân AED tại E vì có EAD = 45o
- Tính BE = AB - EA.
Đến đây HS có dễ dàng tìm ra kết quả.
Bài 2: Cho ∆ ABC có A = 120o; AB = 4 cm;
AC = 6 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, ta nghĩ đến
định lý Pytago. Do vậy phải tạo ra tam giác vuông
sao cho có quan hệ với AM.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Từ B hạ BH ⊥ AC (H∈ AC).
- Từ M hạ MK ⊥ AC (K∈ AC).
+ HD Chứng minh:
- Để tính AM ta cần phải tính được AK và MK.
- Để tính được MK ta cần tính BH. - Để tính được AK ta cần tính HA và HK.
Từ cách dựng ∆ ABH vuông tại H có BAH = 60o

Suy ra: AH = AB/2 = 4/2 = 2 (cm). ⇒ BH = 2 3 (cm) (áp dụng định lý Pytago),
⇒ KM =

1
BH =
2

3 (cm). Từ cách dựng ta có CH = HA + AC = 8 (cm).
⇒ HK =

1
HC= 4 (cm).
2

Kết luận: Đến đây ta tính được AK = 2cm. Từ đó ®Ó tính được AM một
cách dễ dàng dựa vào định lý Pytago trong tam giác vuông AKM.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC cân tại A, có A = 30 o , BC =2cm .Trên AC lấy
điểm D sao cho CBD = 60o. Tính độ dài AD
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Trên nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm E cùng phía
với A sao cho ∆ BEC vuông cân tại E.
Dạng 6: Tính số đo góc.
Nhận thấy dễ dàng tính được số đo các góc của tam giác đều, tam giác
vuông cân, tính được các góc của tam giác cân khi biết được một góc của nó,
tính được các góc của tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền. Song chúng ta vẫn cũng gặp không ít các bài toán tính số đo góc phức

10


tạp hơn nhiều. Chính điều này đòi hỏi sự tư duy sáng tạo, tìm tòi phát hiện, ... đi

đến việc kẻ thêm đường phụ một cách hợp lý như thế nào ?
Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A, có A = 20 o. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD
= BC.Tính ACD.
*Phân tích: Từ kết luận và giả thiết của bài toán.
Ta có: BCA - A= 80o -20o = 60o là góc của tam giác đều.
Từ đó gợi cho ta nghĩ đến dựng tam giác đều.
+ Kẻ thêm dường phụ:- Trên nửa mặt phẳng bờ BC cùng phía
với A dựng tam giác đều BEC. - Dựng đoạn thẳng AE.
+HD Chứng minh:Bằng cách dựng tam giác đều BEC làm
xuất hiện ECA = DAC = 20o.Suy ra ∆ ECA = ∆ DAC (c.g.c )
⇒ CAE =ACD.Ta dễ tính được:CAE =10o.Do đó :ACD = 10o.
* Đối với bài toán này ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng
cách khác:- Vẽ tam giác đều ADE nằm ngoài ∆ ABC (H.1).
- Vẽ tam giác đều ACK nằm ngoài ∆ ABC (H.2).
- Vẽ tam giác đều AFB (F và C cùng phía đối với AB ) (H.3)

Bài 2: Cho ∆ ABC, M là trung điểm của cạnh BC và AB = 6cm; AC = 10 cm
AM = 4cm. Tính MAB.
*Phân tích: Từ các chỉ số 6; 10; 4 gợi cho ta
nghĩ đến định lý Pytago. Vậy ta có thể nghĩ đến
việc tạo ra một tam giác có các chỉ số các cạnh
sao cho bình phương một cạnh bằng tổng bình
phương hai cạnh kia. Suy ra tam giác đó là tam
giác vuông (định lý đảo của định lý Pytago). Từ kết luận của bài toán ta có thể
kẻ thêm đường phụ nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
AM = MD (M là trung điểm của AD).
+ HD Chứng minh:
- Để tính MAB ta có thể chứng minh ∆ ADB

là tam giác vuông tại A.
Ta có: AB = 6cm; AD = 2AM = 8cm.
BD = AC ( ∆ AMC = ∆ DMB (c.g.c)) ⇒ BD = 10cm ⇒ BD2 = 100.
Mà AB 2 + AD2 = 100 ⇒ AB 2 + AD2 = BD2.
Đến đây HS có thể chứng minh được ∆ ADB vuông tại A dựa vào định lý đảo
của định lý Pytago. Và từ đó có thể suy ra được số đo MAB một cách dễ dàng.

11


* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC đều, một đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC ë D và E. Gọi G là trọng tâm ∆ ADE, I là trung điểm của CD. Tính các
góc của ∆ GIB.
Gợi ý kẻ đường phụ: - Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại K

B2. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các
mối liên hệ để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là tạo ra
đoạn thẳng thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng đó.
Bài 1: Cho ∆ ABC ( AB < AC), từ trung điểm M của
BC kẻ đường vuông với tia phân giác của A cắt tia
này tại H, cắt AB tại D và AC tai E.
Chứng minh: BD = CE.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán muốn chứng
minh BD = CE ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba
rồi chứng minh BD và CE bằng đoạn thẳng thứ ba
đó. Vậy ta cần nghĩ đến vẽ đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua B kẻ đường
thẳng song song với AC cắt DE tại F.

Như vậy BF là đoạn thẳng thứ ba đó.
+ HD Chứng minh:
- Để chứng minh BD = CE ta chỉ cần chứng
minh BD = BF, CE = BF.
-Để CE = BF ta chứng minh ∆ MBF= ∆ MCE
(g.c.g). - Để BD = BF ta chứng minh ∆ BDF cân tại B (vì có BDF = BFD.)
* Có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác :
- Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại F.
Bài 2 : Cho ∆ ABC có B = 60o .Hai tia phân giác AD và CE
của các góc BAC và ACB (D ∈ BC; E∈ AB ) cắt nhau ở I .
Chứng minh IE = ID.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán. Đoạn thẳng thứ ba cần
kẻ sao cho bằng ID; IE là đoạn thẳng nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AC dựng điểm F sao cho AF = AE .
- Nối F với I. Ta được IF là đoạn thứ ba cần vẽ.
+ HD Chứng minh:- Để chứng minh ID = IE ta cần chứng
minh IF = IE; ID = IF.
- Để chứng minh IF = IE ta chứng minh ∆ IAE = ∆ IAF
(c.g.c).
- Để chứng minh IF = ID ta chứng minh ∆ DIC = ∆ FIC (g.c.g).
Kết luận: Bằng cách vẽ thêm đường phụ IF, HS có thể chứng minh bài toán
một cách dễ dàng.

12


* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC cân tại A, có A = 140o. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A, kẻ tia Cx sao cho ACx = 110o. Gọi D là giao điểm của các tia
Cx và BA. Chứng minh: AD = BC

Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Kẻ tia CE ⊥ CD. Trên BC lấy điểm M,N sao
choBAN = 40o ; CAM = 40o
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai lần
đoạn thẳng cho trước.
Bài 1: Cho ∆ ABC có BC = 2AB, M là trung điểm của cạnh BC. D là trung diểm
của BM. Chứng minh rằng AC = 2AD.
*Phân tích: Từ kết kuận của bài toán để chứng minh AC = 2AD, ta tìm cách
tạo ra đoạn thẳng bằng 2AD.Từ đó tìm cách chứng
minh đoạn thẳng đó bằng đoạn thẳng AC. Từ việc
phân tích trên, việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DA
dựng điểm E sao cho AD = DE.
+ HD Chứng minh:- Để AC = 2AD ta cần chứng
minh AC = AE (AE = 2AD).
- Vậy để AC =AE ta chứng minh ∆ AME = ∆ AMC
- HS dễ dàng chứng minh: ∆ AME = ∆ AMC (c.g.c).
Bài 2: Cho xAy = 60o. Az là tia phân giác của xAy. Từ điểm B trên Ax vẽ đường
thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông
góc với Ay (D∈ Ay). Chứng minh: BD =

1
AC.
2

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, để chứng minh
2BD =AC ta cần phải tạo ra một đoạn thẳng bằng hai
lần đoạn BD sao cho đoạn thẳng đó bằng AC.
Từ sự phân tích đó,ta có thể kẻ đường phụ nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DB lấy
điểm F sao cho DF = DB.

+ HD Chứng minh:- Để chứng minh cho 2BD =AC
ta cần chứng minh BF = AC.
- Để BF =AC ta chứng minh ∆ ABF = ∆ BAC(g.c.g).
Đến đây HS chứng minh khá dễ dàng.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC. Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh : BC = 2 MN
Gợi ý kẻ đường phụ: - Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng
xác định.
Bài 1. Trên cạnh BC của ∆ ABC lấy các điểm D, E sao cho BD = CE. Qua D và
E vẽ các đường thẳng song song AB cắt cạnh
AC ở F và G. Chứng minh: DF + EG = AB.

13


*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, ta có suy nghĩ cần vẽ thêm một đường
thẳng nào đó bằng tổng hai đoạn thẳng đã cho, rồi
chứng minh đoạn thẳng này bằng doạn thẳng thứ ba.
Từ việc phân tích trên, ta có thể kẻ thêm
đường phụ như thế nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DF lấy
điểm M sao cho DM = EG.
+ HD Chứng minh:
- Để chứng minh FD + EG = AB ta cần chứng minh: FD + MD = AB.
- Để chứng minh FD + MD = AB ta cần chứng minh:AB = FM.
- Để AB = FM ta chỉ cần chứng minh BM //AF(hai góc có vị trí sole trong bằng
nhau). Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
+ Hoàn toàn tương tự có thể vẽ thêm điểm N trên tia đối EG sao cho EN = DF.
*Ta cũng có thể giải bài toán theo cách kẻ thêm đường phụ theo cách khác:

1)Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn thẳng thứ ba và một trong hai đoạn
thẳng kia rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng
đoạn thẳng còn lại.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho BI =EG.
+ HD Chứng minh:- Để DF + EG = AB ta chỉ cần
chứng minh AI+BI = AB
Đến đây ta chỉ cần chứng minh AI = DF là được .
Và tương tự ta cũng có thể vẽ thêm điểm K trên cạnh AB sao cho BK = DF.
2)Vẽ thêm một đoạn thẳng ‘bù thêm’ một trong hai đoạn thẳng một cách thích
hợp rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng thứ ba và đoạn thẳng
bù thêm bằng đoạn thẳng kia.
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua A kẻ Ax // BC cắt DE tại P.
+ HD Chứng minh : Để DF + EG = AB ta chứng
minh AB =DP. Mà DP = DF + FP. Nên ta chỉ cần
chứng minh FP = EG.
Đến đây ta chỉ cần chứng minh ∆ APF = ∆ CEG (g.c.g)
- Tương tự ta có thể vẽ thêm AQ // BC(Q ∈ EG) và cũng
chứng minh được : AB = DF + EG.
Bài 2 : Cho xOy = 90o ; Oz là tia phân giác. Trên tia Oz lấy
điểm A, từ A kẻ AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy (B ∈ Ox ; C ∈ Oy). D là
điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối A với D. Tia phân giác
của CAD cắt Oy tại E.
Chứng minh: AD = CE + BD.
*Phân tích: Ta có thể chọn cách giải là tạo ra đoạn thẳng
có độ dài bằng CE + BD và cần chứng minh đoạn thẳng đó
bằng AD là xong. Xuất phát từ suy nghĩ này, yếu tố
phụ cần kẻ ở đây là gì ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:

14


- Trên tia đối của tia BO lấy điểm F sao cho BF = CE.
+ HD Chứng minh:
- Để AD = CE+BD ta cần chứng minh AD = BF + BD
Mà BF+BD=DF.Do đó chỉ cần chứng minh AD = DF.
- Để AD = DF ta cần chứng minh ∆ ADF cân tại D.
- Để ∆ ADF cân tại D ta chứng minh DAF = DFA.
Đến đây HS có thể dễ dàng chứng minh DAF = DFA.
(Vì có ∆ CAE = ∆ BAF (c.g.c) suy ra CAE = BAF.
Lại có BFA + BAF = 90o. Có CAE + EAD +DAB = 90o.
Hay EAD + BAF + DAB = 90o suy ra DFA = DAF).
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC cân tại A, có A = 100o. Tia phân giác của B cắt
AC tại D. Chứng minh : BC = BD + AD
Gợi ý kẻ đường phụ:-Trên BC lấy điểm K,E sao cho BDK= 60o; BDE = 60o.
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC và AB 〈 BC. Đường phân giác của B cắt AC tại D.
Chứng minh rằng: DA 〈 CD.
*Phân tích: Ta thấy CD và DA là hai cạnh của hai ∆
BCD và ∆ BAD. Vậy ta có thể liên tưởng đến định lý về
quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác được không và
áp dụng vào tam giác nào ? Từ đó ta cần phải làm gì?
Để làm được điều đó ta cần phải kẻ thêm đường phụ nào
sao cho yếu tố CD và DA có trong một tam giác. Từ sự
phân tích theo mục đích đề ra, ta đi đến việc kẻ thêm
đường phụ dựa trên cơ sở ∆ ABC và AB 〈 BC và có thể dựng tam giác mới bằng
∆ BCD như thế nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Kéo dài BA về phía A, lấy một điểm E sao cho BE = BC

- Dựng đoạn thẳng DE; EC.
+ HD Chứng minh:
- Từ cách dựng ta có ∆ BCD = ∆ BED (c.g.c) ⇒ CD = ED
- Từ việc chứng minh AD 〈 CD ta đi đến chứng minh
AD 〈 ED. Và vì ED và DA là các cạnh của ∆ ADE do đó
điều cần chứng minh đến đây đã rõ ràng và đơn giản hơn.
Từ việc chứng minh AD 〈 DE. Ta suy ra chứng minh DEA 〈 DAE.
Điều này khá dễ dàng vì DAE là góc ngoài của ∆ ABC .
Bài 2: Cho ∆ ABC có AB > AC ; AD là tia phân giác của BAC ( D ∈ BC). M là
điểm nằm trên đoạn thẳng AD .
Chứng minh rằng MB - MC < AB - AC.
*Phân tích: Từ điều cần chứng minh : MB - MC <
AB -AC và giả thiết AD là tia phân giác của BAC gợi
cho ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ nào?
*Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.

15


+ HD Chứng minh: Khi đó ta có: AB - AC = EB.
ME = MC ( ∆ AME = ∆ AMC ( c.g.c ))
∆ MEB cho ta MB - ME < EB.
Từ đó suy ra MB - MC < AB - AC
Như vậy cũng có thể có lời giải đơn giản bằng cách vẽ thêm đường phụ.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC cân tại A, Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh
AC lấy điểm F sao cho AE = AF . Chứng minh: BC + EF < 2BF
Gợi ý kẻ đường phụ: -Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = EF.
Dạng 5 : Tính số đo đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ∆ ABC ( AB = AC); A = 30 0 ; BC = 2cm .Trên cạnh

AC lấy điểm D sao cho CBD = 60 0 .Tính độ dài AD.
*Phân tích: Để tính được độ dài AD, ta có thể nghĩ tạo ra như
thế nào để có được một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng AD mà có
thể tính được độ dài của nó dựa vào các yếu tố của bài toán đã
cho. Chẳng hạn: Từ ∆ ABC cân tại A; CBD = 60 0 .
Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:- Dựng đường phân giác của góc A.
- Dựng điểm I thuộc tia phân giác của góc A sao cho BIC =1v.
+ HD Chứng minh: Đến đây từ việc tìm độ dài AD ta đi chứng
minh độ dài AD = BI.( độ dài BI là tính được).
-Để được AD =BI ta chứng minh ∆ ADM = ∆ BIM (g.c.g)
(M là giao điểm của BD và AI). Từ đây có thể tính BI một cách
dễ dàng BI =

BC 2
=
2

2 (cm). ⇒ AD =

2 cm

Kết luận:Như vậy việc kẻ thêm đường phụ để tạo ra tam giác
vuông cân BIC là do suy nghĩ đến định lý Pitago để tính.Vì thế để kẻ được
đường phụ dẫn đến việc giải bài toán dễ dàng và đơn giản là rất quan trọng
và cần thiết
Bài 2:Cho tam giác vuông cân ABC tại A, M là một điểm
nằm trong tam giác ABC sao cho MA = 2cm; MB = 3cm,
Góc AMC = 135o. Tính độ dài đoạn thẳng MC.
* Phân tích: Từ giả thiết bài toán: ∆ ABC có BAC = 90o.

ABC = ACB = 45o. Ta có 135o = 90o + 45o.
Từ phân tích trên giúp ta nghĩ việc vân dụng kiến thức về
định lý Pytago và tam giác vuông cân để tạo ra một tam
giác vuông sao cho có một cạnh là MC và hai cạnh kia đã tìm được độ dài.
Từ phân tích trên ta có thể kẻ đường phụ như thế nào ?
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B.
Dựng ∆ ADM vuông cân tại A.
+ HD Chứng minh : Trong ∆ MCD vuông tại M để
tính được độ dài MC ta chỉ cần tính được MD và DC.

16


- Tính MD dựa vào tam giác vuông cân AMD tại A có các cạnh góc vuông AD =
AM = 2cm
- Tính DC ta chứng minh DC = MB dựa vào ∆ ADC = ∆ AMB (c.g.c).
Dạng 6: Tính số đo góc.
Bài 1. Cho tam giác cân ABC(AB = AC) có A= 80o. Gọi D là điểm nằm trong
tam giác sao cho DBC =10o ; DCB = 30o. Tính số đo BAD.
*Phân tích: Tam giác ABC (AB = AC), A= 80o
suy ra ABC =ACB =50o.
Mà DBC=10o; DCB =30o cần tìm số đo BAD.
Từ phân tích để tính được số đo BAC ta cần phải
nghĩ đến việc vẽ tam giác đều.
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên nửa mặt phẳng bờ BC
có chứa điểm A vẽ tam giác đều BEC.
+ HD Chứng minh:- Để tính được số đo BAD ta
cần tính đượcABD và ADB.
-Ta đượcABD = ADB nếu có ∆ ABD cân tại B (BA=

BD).
- Đến đây ta chỉ cần chứng minh BA = BD và HS có
thể chứng minh BA = BD một cách dễ dàng bằng cách chứng minh ∆ EBA = ∆
CBD (ABE = CBD = 10o; BE = BC ( ∆ BEC đều) , BEA = BCD = 30o).
Kết luận: Nhờ việc kẻ thêm yếu tố phụ mà HS đã đưa bài toán từ tưởng
chừng rất khó về bài toán đơn giản.
Bài 2:Cho ∆ ABC cân tại A có A =20o. các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh
bên AB, AC sao cho BCM = 50o, CBN = 60o. Tính MNA.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, để tính được MNA ta
cần phải tạo ra các góc sao cho có quan hệ với MAN và giả
thiết cho.Từ đó ta có thể kẻ thêm đường phụ nào?.
+Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AN.
-Dựng cácđoạn thẳng ND,CD,MI (I là giao điểm của CD và
BN).
+ HD Chứng minh:
Bằng cách dựng trên ta có DN//BC. AND = ACB = 80o
Như vậy để tính MNA ta cần tính được DNM.
- Ta có các ∆ BIC và ∆ DIN là các tam giác đều.
Để tính được DNM ta cần chứng minh NM là tia phân giác DNI
Bằng cách chứng minh ∆ MDN = ∆ MIN.
Vì ta đã có:
MDI= MDN- NDI =100o- 60o = 40o. (1)
Ta cần tính MID.Ta có ∆ BCM cân tại B (BMC =BCM = 50o)
⇒ BC = BM ⇒ BI = BM
⇒ ∆ BIM cân tại B có MBI = 20o ⇒ BIM = 80o ⇒ MID = 40o (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∆ MDI cân tại M, ⇒ MD = MI. ⇒ ∆ MDN = ∆ MIN (c.c.c).
Đến đây ta dễ dàng tính được MNA = 30o + 80o = 110o.

17

* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC có B = 75 0 ; C = 60 0 . Kéo dài BC một đoạn
thẳng CD sao cho CD =

1
BC. Tính ADB
2

Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Từ B hạ BH ⊥ AC (H∈ AC).
B3. Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh

phản chứng.
* Phương pháp phản chứng là phương pháp chứng minh gián tiếp, trong
đó để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng, ta chứng tỏ phủ định của kết
luận là sai.
Bài 1. Chứng minh : “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì
hai góc đồng vị bằng nhau ”.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương pháp chứng minh phản
chứng ta giả sử hai góc đồng vị đó không bằng nhau. Giả sử A 1 và B1 là hai góc
đồng vị và A1 không bằng B1. Vậy ta cần vẽ thêm đường phụ như thế nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua B kẻ đường thẳng xy tạo
với đường thẳng c góc ABy =A1.
+ HD Chứng minh:
- Theo cách dựng ta có xy // a vì xy và a tạo thành hai
góc đồng vị bằng nhau.
Nhưng qua B, theo tiên đề Ơclít chỉ có một đường thẳng song song với a.
Vậy đường thẳng xy ≡ b ⇒ ABy = B1 ⇒ A1 = B1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có một góc bằng
300 và cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa một cạnh khác thì

tam giác đó là tam giác vuông.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương pháp
chứng minh phản chứng ta chứng minh tam giác đó không
vuông.
- Xét ∆ ABC có B = 30o, AC=

1
BC. Chứng minh BAC = 90o
2

Ta giả sử BAC ≠ 90o. Điều này gợi cho ta kẻ đường phụ như thế nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Từ C dựng CH ⊥ AB. ( H ≠ A)
+ HD Chứng minh:
Cách 1: - Từ cách dựng ta có: HC 〈 AC. Ta cần chỉ ra được
điều này mâu thuẫn với giả thiết.
-Tam giác vuông HBC có B = 30o nên CH =

1
BC.
2

1
2

Mà AC = BC (gt) ⇒ CH = CA. Điều này mâu thuẫn với
HC 〈 AC (cách dựng). Điều giả sử trên là sai. Vậy BAC phải bằng 90o
⇒ ∆ ABC vuông tại A.
Cách 2: - Theo cách dựng ta có: Tam giác vuông HBC có B = 30o
suy ra CH =

1
1
BC. Mà AC = BC (gt) ⇒ CH = CA. ⇒ ∆ AHC cân tai C
2
2

18


⇒ H = A. Vậy trong một tam giác không thể có hai góc cùng bằng 90o

điều giả sử trên là sai. Vậy A phải bằng 90o.
Bài 3. Tam giác ABC có B = 60o ; BC =

1
AB.
2

Chứng minh: C = 90o.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương
pháp chứng minh phản chứng ta giả sử ACB ≠ 90o.
Vậy kẻ đường phụ như thế nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ: - Từ A dựng AH ⊥ BC (H ≠ C).
+ HD Chứng minh:
Từ cách dựng ta có ∆ AHB vuông tại H có B = 60o (gt).
Suy ra BAH = 30o,suy ra BH =
Mà BC =

1
AB ( từ kết quả bài1)

2

1
AB (gt) nên C ≡ H (mâu thuẫn). Vậy ACB = 90o.
2

Bài 4. ∆ ABC có ba góc nhọn, các đường phân giác
AD, đường trung tuyến BM và đường cao CH đồng
qui. Chứng minh rằng: A > 45o
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán. Bằng phương
pháp chứng minh phản chứng :Giả sử A ≤ 45o
Để chứng minh điều này ta cần kẻ thêm đường phụ
nào?
+Kẻ thêm đường phụ:
- Kẻ Hx là tia đối của tia HA.
- Trên tia Hx lấy điểm E sao cho HE = HA
- Qua O dựng đoạn thẳng EF (O là giao điểm của AD,
BM, CH.) ( F ∈ AC).
- Dựng đoạn EC
+HDChứng minh: Từ HE = HA ⇒ ∆ CEA cân tại C
⇒ CEA = CAE ≤ 45o .
Do đó ACE ≥ 90o
Ta sẽ chứng minh rằng khi đó ACB > ACE
Và đó là điều vô lí ( trái với giả thiết cho ACB < 90o)
Chứng minh điều này bằng cách chứng tỏ B ∈ tia Ex
Thật vậy: ∆ EAC có EA > EC (vì EA đối diện với góc lớn hơn). Mà EF là phân
giác của AEC (ba đường phân giác đồng qui). Suy ra : AF > FC ⇒ AF >

AC
.

2

Vì M là trung điểm của AC (gt) nên M nằm giữa A và F vì vậy B ∈ Ex.
Do đó ACB >ACE. Mà ACE ≥ 90o ⇒ ACB > 90o( trái với giả thiết).Vậy A > 450
Kết luận: Như vậy việc kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng
minh phản chứng giúp ta giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

2.4: Hiệu quả của SKKN:

19


a, Kết quả: Qua việc thực nghiệm dạy các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ
đối với các khối lớp ở trường THCS bản thân tôi đã nhận thấy: Hầu hết các em
HS đã không còn quan niệm việc kẻ đường phụ là một công việc mà GV mới
làm được, các em đã có thể tự làm, đặc biệt các em không phải mò mẫm để tìm
ra đường phụ mà bằng sự phân tích đề bài và tổng hợp kiến thức đã có của các
em, các em đã tự tìm ra cho mình cách kẻ thêm đường phụ hợp lý để dẫn đến
việc tìm ra lời giải bài toán dễ dàng và đơn giản. Thậm chí có những bài toán
bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ mà cho các em lời giải hay hơn, ngắn
gọn hơn. Và có thể nhờ việc kẻ thêm đường phụ mà bài toán cho các em nhiều
cách giải khác nhau ứng với mỗi cách kẻ thêm đường phụ khác nhau. Để từ đó
các em có thể lựa chọn một cách dễ hiểu nhất, ngắn gọn nhất và hay nhất để
trình bày. Đặc biệt, đối với các em HS khá giỏi đã sử dụng linh hoạt phương
pháp kẻ thêm đường phụ vào việc giải các bài toán hình khó, phức tạp, các em
đã vận dụng và đã sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập. Điều này đã giúp
các em trở nên say mê hơn và hứng thú học tập hơn. Chính vì vậy, Kết quả thu
được sau khi áp dụng sáng kiến, đã thay đổi rõ rệt so với trước như sau:
Số HS giải thành
Số HS giải chưa

Số HS biết giải
Khối Tổng
thạo
thành thạo
lớp
số HS
Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
7
81
23
28,4
49
60,6
9
11
8
70
19
27,1
45
64,2
6
8,7
b,Bài học kinh nghiệm:
Kinh nghiệm qua việc giảng dạy các bài toán hình cho thấy để các em HS có
được những kỹ năng giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ, GV phải hướng
dẫn HS tự mình phân tích đề bài toán để tìm ra cách vẽ đường phụ phù hợp nhất.
Đây là phần rât quan trọng quyết định đến lời giải của bài toán. Bởi lẽ: nếu
quá trình phân tích rõ ràng, cụ thể, chính xác sẽ giúp HS dễ dàng nhận ra đường
phụ cần vẽ. Từ đó giúp các em HS giải các bài toán hình không còn khó khăn.

Nhưng để nắm vững được các bước phân tích đòi hỏi HS phải có đầy đủ kiến
thức cơ bản, biết liên hệ các kiến thức tương tự. Và cũng từ đó giúp các em có
kỹ năng độc lập, sáng tạo, phát huy tính tự giác, tích cực trong học tập....và cũng
từ đó hình thành cho các em một số phương pháp kỹ năng làm toán.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
a. KÕt luËn:
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi thúc đẩy cho các em sự say mê và
hứng thú học tập, củng cố niềm tin cho các em khi học môn Toán nói chung và
"giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ" nói riêng. Để từ đó các em có ý
thức vươn lên và học tập tốt hơn.
b. KiÕn nghÞ: Mặc dù bản thân đã rất cố gắng khi xây dựng đề tài này,
với mức độ kinh nghiệm còn ít, năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế. Vì vậy
không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự quan tâm của các đồng chí,
mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp và

20


từ sự chỉ đạo của nhà trường và Phòng GD để bản thân và đề tài có kết quả tốt
hơn, chất lượng giáo dục hiÖn nay ngày càng cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

21

Môc lôc
Trang
1. Mở đầu
…………………………………………...............…….. 1
1.1 Lý do chọn đề tài: ............................................................................. 1
1.2 Mục đích nghiên cứu : ..................................................................... 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu : ……………………………................……. 2
1.4 Các phương pháp nghiên cứu: ……………………................…… 2
1.5 Nh÷ng ®iÓm míi cña SKKN: ……………………................
……
2
2. Nội dung ……………………………………………...................…… 2
2.1 Cơ sở lý luận:……………………………….....................………… 2
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: ………….................………… 2
2.3 Các giải pháp thực hiện: …………………….................………… 3
A, Giải pháp:
……………………………….....………………… 3
B, Các biện pháp đã tổ chức thực hiện……………...............………… 4
B1. Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán…….......….. 4
Dạng 1:Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. ………………...……
4
Dạng 2:Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần)
đoạn thẳng cho trước. …………………………………………………. 5
Dạng 3:Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng(hiệu) hai đoạn thẳng
xác định. ………………………………………………………………… 7
Dạng 4:So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng……… 8
Dạng 5:Tính độ dài đoạn thẳng.................................................................. 9
Dạng 6:Tính số đo góc............................................................................... 10
B2.Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối

liên hệ để giải quyết bài toán
……………………………………..... 11
Dạng 1:Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau………………………….. 12
Dạng 2:Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần)
đoạn thẳng cho trước. .................................................................................. 12
Dạng 3:Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng
xác định.…………………………………………………………………… 13
Dạng 4:So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng…………. 15
Dạng 5:Tính ®é dµi đoạn thẳng.....................................................................
16
Dạng 6:Tính số đo góc..................................................................................16
B3. Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản
chứng …………………………………………………………………… 18

22


2.4:
Hiệu
quả
của
SKKN:
........................................................................
19
3. Kết luận, kiến nghị...............

20

Tài liệu tham khảo
1.

2.
3.
4.

Sách giáo khoa Toán 7; 8
Sách bài tập Toán 7; 8
Vẽ thêm yéu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7
Vẽ thêm yéu tố phụ để giải một số bài toán hình học 8

23


Kt qu đạt c trong các năm học:
Đ ti SKKN : Hng dn hc sinh phng phỏp k thờm ng ph
gii mt s bi toỏn hỡnh 7; 8 của cá nhân tôi gần đây nhất
đã đợc Hội đồng Phòng GD và ĐT kiểm tra đánh giá đạt giải B
cấp Huyện
Năm học : 2013 - 2014

24