Hướng dẫn HS giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS đông lĩnh TP thanh hóa

MỤC LỤC
STT

NỘI DUNG

TRANG

A

PHẦN MỞ ĐẦU

1

1

Lí do chọn đề tài.

1

2

Mục đích nghiên cứu

2

3

Đối tượng nghiên cứu

2

4

Phương pháp nghiên cứu

2

B

PHẦN NỘI DUNG

3

I

Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu

3

II

Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

4

III

Giải pháp và tổ chức thực hiện

4

IV

Hiệu quả của sáng kiến

18

C

KẾT LUẬN

19

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1


1. Lí do chọn đề tài
Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn quan trọng nhất, nó
được vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi
trước hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa
học, logic và tư duy cao, do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCS
thì nó tạo tiền đề cho những năm học sau này và giúp các em học tập các môn
học khác được tốt hơn.
Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng
công nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay
ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của học
sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, nhằm nâng
cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng
vận dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình là

nội dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng
của dạng toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh
nắm được khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là
yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều
năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8
(các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫn
còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn
nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắc
các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán về
phương trình.
Trong quá trình dạy phương trình trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9
bản thân tôi thấy giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó đối với các em
học sinh. Việc giải phương trình bậc cao đối với học sinh THCS chỉ đòi hỏi ở
mức độ đơn giản chủ yếu là từ phương trình đặc biệt đưa về phương trình bậc
nhất và bậc hai, qua đó hướng cho các em tư duy khái quát hơn về phương trình.
2


Với suy nghĩ đó và kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán khối
8; 9 tôi xin được đưa ra một vài kinh nghiệm "Hướng dẫn học sinh lớp 8; 9
giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng ở THCS Đông LĩnhTP Thanh Hóa".
2. Mục đích nghiên cứu
Việc bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ trọng
tâm của nhà trường, trong đó môn toán giữ vai trò quan trọng. Do đó trang bị
cho học sinh những kiến thức toán không chỉ gồm có định nghĩa, khái niệm,
định lý, quy tắc... mà trang bị cho học sinh kỹ năng và phương pháp giải bài tập.
vì hệ thống tri thức toán không chỉ có bài giảng lý thuyết mà còn phải suy luận,
đúc kết từ hệ thống bài tập. Khi giải bài tập toán học không ngừng đòi hỏi học
sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng lý thuyết mà còn đào sâu khai thác, phát
triển bài toán...

Với học sinh phần lớn các em ước mơ học giỏi bộ môn toán nhưng điều
đó thật không dễ dàng cho nên có nhiều em thấy ngại và sợ học môn toán. Bản
thân tôi là giáo viên với mong muốn giúp các em hiểu bài một cách có hệ thống
và các em thấy yêu thích bộ môn toán. Vì vậy tôi cố gắng hệ thống kiến thức,
tìm những phương pháp, sắp hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học
sinh, kích thích lòng ham mê từ đó tìm những học sinh có năng khiếu và bồi
dưỡng các em trở thành những học sinh giỏi.
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối 8, khối 9 trường THCS Đông Lĩnh - TP Thanh Hóa
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận, thực tiễn.
- Phương pháp thống kê, so sánh.

3


B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có phương pháp riêng, phương pháp nghiên
cứu nó một cách hợp lý mới có thể học, đào sâu kiến thức cũng như việc hình
thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh. Khi giải bài tập toán học không những đòi
hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các công thức mà còn phải đào
sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức.
Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể là chương trình
Đại số, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng, phổ biến
trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường thấy trong
các kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh
giỏi môn Toán các cấp và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức
hết sức phong phú, đa dạng. Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống

nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến
mức khó thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng
vẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT.
Chương trình Đại số lớp 9 THCS đã giới thiệu, đi sâu khai thác các bài
toán về phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa chúng ta tiếp
cận tam thức bậc hai với các định lý về dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc
hai và ứng dụng. Trong phương trình và bất phương trình đại số nói chung,
chúng ta bắt gặp rất nhiều bài toán có dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, các
bài toán có mức độ khó dễ khác nhau, đòi hỏi tư duy linh hoạt và vẻ đẹp cũng
rất riêng! Từ rất lâu rồi, đây vẫn là vấn đề quan trọng, xuất hiện hầu khắp và là
công đoạn cuối quyết định trong nhiều bài toán phương trình, hệ phương trình
chứa căn, phương trình vi phân, dãy số... Vì thế về tinh thần, nó vẫn được đông
đảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Toán phổ thông quan
tâm sâu sắc. Sự đa dạng về hình thức của lớp bài toán căn bản này đặt ra yêu cầu
cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp giải, kỹ năng,
mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống. Về cơ bản để làm việc với lớp phương
trình, bất phương trình này chúng ta ưu tiên hạ hoặc giảm bậc của bài toán gốc,
4


cố gắng đưa về các dạng bậc hai, bậc nhất hoặc các dạng đặc thù (đã được khái
quát trước đó).
Trong số những bài tập được đề cập trong chương trình đại số nói chung
khối 8 và khối 9 nói riêng tôi nhận thấy bài tập về giải phương trình chiếm một
thời gian lớn nó xuyên suốt chương trình học. Điều đó khẳng định vai trò và vị
trí của phương trình, nó là đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn đại số.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS Đông Lĩnh một trường thuộc vùng ven thành phố Thanh Hóa, ở đây phần đa học sinh thuộc
con em lao động không có điều kiện học thêm nhiều để mở mang kiến thức và
tư duy có phần hạn chế. Khi gặp các bài toán về phương trình bậc cao các em

còn lúng túng nên buộc người dạy phải tìm ra những phương pháp, biện pháp để
mang lại hiệu quả nhất. Thực tế qua hai năm áp dụng những phương pháp này
tôi thấy chất lượng môn Toán của khối lớp tôi dạy được nâng lên. Từ những gì
mình đã thực hiện với đối tượng học sinh của mình, tôi mạnh dạn đưa ra một số
kinh nghiệm hương dẫn học sinh giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất
lượng bồi dưỡng học sinh khá giỏi khối 8 và khối 9.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1.NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

a. Định nghĩa phương trình bậc cao
Ta gọi phương trình đại số bậc n ( n ≥ 3 ) ẩn x trên trường số thực là các
phương trình được đưa về dạng anxn + an-1xn-1+ ... + a1 + ao = 0

( 1.1 )

Trong đó n ∈ Z; a1, a2,...,an ∈ R; an ≠ 0
b. Định lý: Trên trường số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích
được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai.
c. Phương trình bậc nhất một ẩn
Dạng tổng quát ax + b = 0; trong đó a,b là các hằng số; a ≠ 0
Nghiệm là x = -b/a

5


* Nhận xét: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình đã cho chưa
chắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường
hợp:
+ Nếu m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -n/m
+ Nếu m = 0 thì phương trình có dạng 0x = n

- Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm
- Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
d. Phương trình bậc hai một ẩn:
Dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c ∈ R, a ≠ 0
Cách giải:
* Dùng công thức nghiệm.
∆ = b2 - 4ab

+ ∆ < 0 thì PT vô nghiệm
+ ∆ = 0 thì PT có nghiệm kép: x1 = x2 = - b/ 2a
+ ∆ > 0 thì PT có hai nghiệm phân biệt: x=

−b± ∆
2a

*Công thức nghiệm thu gọn:
∆ ’ = b’2 - ac

+ ∆ ’ < 0 thì PT vô nghệm
+ ∆ ’ = 0 thì PT có nghiệm kép: x1 = x2 = -b’/ a
+ ∆ ’ > 0 thì PT có hai nghiệm phân biệt x =

− b' ± ∆ '
a

* Dùng định lý Vi- et:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
có hai nghiệm x1, x2 thì
S = x 1 + x2 = P = x1. x2 =

b
a

c
a

* Phân tích vế trái thành tích
6


a0

Nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là ước của a
n
P ( x) = 0 có nghiệm là a thì P ( x)  ( x- a )
đ. Tính đơn điệu của hàm số:
Đưa phương trình đã cho về dạng ƒ(x) = g(x) ( *)
+ Nếu ∀ x1 > x2 mà ƒ(x1) > ƒ( x2) thì ƒ(x) là hàm đồng biến
+ Nếu ∀ x1 > x2 mà ƒ(x1) < ƒ( x2) thì ƒ(x) là hàm nghịch biến.
+ ƒ(x) là hàm đồng biến trên [ a; b ]
g(x) là hàm nghịch biến trên [a; b] thì tồn tại duy nhất x0 là nghiệmcủa(*)
ƒ(x0) = g(x0)
+

ƒ(x) là hàm nghịch biến trên [ a; b ]
g (x) là hàm đồng biến trên [ a; b ] thì tồn tại duy nhất x0 là nghiệmcủa (*)
ƒ(x0) = g(x0)
6. Các bất đẳng thức:
(1) a + b ≥ a + b Dấu “ = ” xẩy ra khi ab ≥ 0
(2) | a − b |≤ a − b Dấu “ = ” xẩy ra khi ab ≥ 0

(3) A ≥ - A Dấu “ = ” xẩy ra khi A ≤ 0
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

BẬC CAO:

a. Đưa về phương trình tích
a.1. Cơ sở lí luận:
Phương trình tích là phương trình có dạng F( x). G(x).....H(x) = 0 (1)
F(x) = 0
⇔

G(x) = 0
.............
H(x) = 0

a.2. Nội dung phương pháp:

7


Để đưa phương trình (1) về dạng phương trình (2) ta có thể dùng các cách
sau:
* Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Thêm (bớt) các hạng tử.
- Phối hợp nhiều phương pháp.
* Cách 2: Nhẩm nghiệm: Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) (x-a)
từ đó hạ bậc của phương trình.

Chú ý:- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm của
phương trình.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là một nghiệm của phương trình.

* Các ví dụ
Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử.
Ví dụ Giải phương trình sau:
a ) 3x3 - 27x = 0
⇔ 3x(x2 -9) = 0
⇔ 3x(x-3)(x+3)=0

x = 0
⇔  x − 3 = 0
 x + 3 = 0
x = 0
⇔  x = 3
 x = −3
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x1=0; x2=3; x3=-3

Dùng phương pháp nhẩm nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình sau:
8


5x3 + 7x2 +3x -15 = 0
Nhận xét: Ta có 5 + 7 + 3 - 15 = 0
Nên x = 1 là một nghiệm của phương trình
Do đó 5x3 + 7x2 +3x -15 = 0
⇔ (x-1)(5x2+ 12x +15)=0

⇒

 x − 1 = 0 (*)
 2
5 x + 12 x + 15 = 0 (**)

giải ( *) và ( **) ta được nghiệm của phương trình đã cho
b. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
b.1.Cơ sở lí luận
Khi giải phương trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một
biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biết
cách giải
b.2. Nội dung phương pháp
Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trình sau:
2.1. Phương trình trùng phương:
a. Dạng tổng quát:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
ax4 +bx2 +c =0 (1) (a ≠ 0)
Trong đó:
x là ẩn số
a, b, c là các hệ số
b.Cách giải:
Khi giải phương trình loại này ta thường dùng phương pháp đổi biến số
Đặt y = x2 ( y ≥ 0) (2)
Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai
trung gian: ay2 + by + c = 0

9

Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào
(2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y≥ 0). Giải phương trình
này ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu.
c.Ví dụ 1:
Giải phương trình x4 -3x2 +2 =0

(1)

Giải: Đặt x2 = y (y≥ 0).
Phương trình (1) trở thành : y2 -3y +2 = 0
⇔ (y-1)(y-2) = 0
⇒

 y −1 = 0  y = 1
y − 2 = 0 ⇒ y = 2



Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y≥ 0
+ Với y = 1 ta có x2 =1 ⇒ x1=1 ; x2=-1
+ Với y = 2 ta có x2 =2 ⇒ x3 = 2 ; x4= − 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1=1; x2=-1; x3 = 2 ; x4= − 2
* Ví dụ 2: Xác định a để phương trình:
ax4 - (a - 3) x2 + 3a = 0 (a ≠ 0 )

(1)

Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn
hơn -1.
Giải: Đặt y = x2 ≥ 0

(1) ⇔ ay2 - (a - 3)y + 3a = 0

(2)

Giả sử (2) có nghiệm 0 < y1 < y2 thì (1) có 4 nghiệm phân biệt:
- y 2 < - y1 <

y1 <

y2

Muốn phương trình (1) có đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn
hơn -1 thì:
- y2 < - 2

y2 > 4

y1 > - 1

y1 < 1

Vậy phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y1, y2 thoả mãn:
10


0 < y1 < 1 < 4 < y2
a.f(0) < 0

a. 3a < 0

⇔ a. f(1) < 0

⇔

a. (a -a +3 +3a ) < 0

a. f(4) < 0

⇔

3a2 + 3a < 0

a. ( 16a - 4a + 12 + 3a ) < 0

a ≠ 0
⇔

3a2 < 0
15a2 -12a < 0

a ≠ 0

3a ( a + 1 ) < 0

⇔

-1< a<0

3a ( 5a + 4 ) < 0

Vậy với a ∈ ( -

-

⇔ -

4
< a< 0
5

4
< a < 0
5

4
, 0 ) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt, trong
5

đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1
Bài tập áp dụng:
Cho phương trình: x4-2(2m-1)x2 +4m2-3 = 0 (*)
Với giá trị nào của m thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn:
2a) Đặt y=x2 (y ≥ 0) phương trình (*) trở thành:
y2 -2(2m-1)y +4m2 -3 = 0 (1)
∆’=(2m-1)2 -4m2 +3 = -4(m-1)
Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt tức là
(1) thỏa mãn:



∆ ' > 0

af (0) > 0
S
 >0
2

m < 1

⇔ 4 m 2 − 3 > 0
2 m − 1 > 0



m < 1

3
3

⇔ m < −
;m >
2
2

1

m
>

2

⇒

3
< m <1
2

2.2. Phương trình bậc bốn đối xứng:
a. Dạng tổng quát:
Phương trình bậc bốn đối xứng là phương trình dạng:
ax4 +bx3 +cx2 +bx +a = 0 (a ≠ 0)
11


b. Cách giải:
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của
phương trình cho x2 rồi đặt: y = x +

1
x

( y ≥ 2)

c. Ví dụ:
Cho phương trình: x4- 3x3+ 4x2 - 3x + 1 =0 (*)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó ta chia cả hai vế của
phương trình cho x2 khác 0, ta có:
Phương trình đã cho ⇔ x2 - 3x + 4 ⇔ (x 2 +

Đặt x +

1
= y ; ( y ≥ 2)
x

⇒ x2 +

1
= y2 − 2
2
x

3 1
+
=0
4 x2

1
1
)
−
3
(
x
+
) +4 = 0
x
x2

Ta được phương trình: y2 - 3y + 2 = 0

Giải phương trình ta được y1 = 1; y2 = 2
Nếu y = 1 ⇒ x +

1
= 1 ⇒ x2 - x + 1 = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
x

Nếu y = 2 ⇒ x +

1
= 2 ⇒ x2 - 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1
x

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 1
*Ví dụ:
Giải phương trình: x4 +4x3 -10x2 +4x +1 = 0
Giải:
Phương trình trên là phương trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng )
Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x 2 khác 0
ta được:
4
x

x2 + 4x -10 + +

1
=0
x2

12

3( x 2 +

1
1
)
+
4
(
x
+
) − 10 = 0
x2
x

Đặt x +

1
1
= y ; ( y ≥ 2) thì x 2 + 2 = y 2 − 2, ta có:
x
x

y2 + 4y - 12 =0
⇔ (y - 2 ) ( y + 6 ) =0

⇔ y1 = 2; y 2 = −6
Với y1 = 2 thì x +

1
= 2 ⇔ x2 - 2x+1 = 0
x

⇒ x1 = 1
1
x

Với y = −6 thì x + = −6 ⇔ x2 + 6x +1 =0

⇔

x 2 = −3 + 2 2
x3 = −3 − 2 2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 1; x2= -3 + 2 2 ; x3= -3 - 2 2
d. Bài tập áp dụng:
d.1. Giải phương trình: 3x4 +2x3 -34x2 +2x +3=0
Giải: Phương trình trên là phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối
xứng)
Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2.
3x2 + 2x - 34 +

2
3
+ 2 = 0
x
x

3( x 2 +

1
1
) + 2( x + ) − 34 = 0
2
x
x

Đặt x +

1
1
= y thì x 2 + 2 = y 2 − 2, ta có:
x
x

3(y2 - 2) + 2y - 34 = 0
⇔ 3y2 + 2y - 40 = 0

⇔ y1 = −4; y 2 =
Với y = -4 thì x +
⇒ x1 = −2 +

10
3

1
= −4 ⇔ x2 + 4x + 1 = 0
x

3
13


x2 = −2 − 3

Với y =

10
1 10
1
⇔ 3x2 -10x + 3 = 0 ⇔ x 3 = ; x 4 = 3
thì x + =
3
x 3
3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1 = −2 + 3 ; x2 = −2 − 3 ;

1
x3 = ; x 4 = 3 .
3
d.2. Giải phương trình: 2x5 + 5x4 - 13x3- 13x2 + 5x + 2 = 0

(1)

Giải: Ta thấy x =-1 là nghiệm của phương trình (1)
Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
( x+1) ( 2x4 + 3x3 -16x2 + 3x +2 ) = 0

x + 1 = 0
⇒ 4
3
2
2 x + 3 x − 16 x + 3 x + 2 = 0

(2)
(3)

(2) ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = −1
(3) ⇔ 2x4 + 3x3 - 16 x2 + 3x + 2 = 0
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (3)
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho x2 ta có:
2 x 2 + 3 x − 16 +

⇔ 2( x 2 +

3 2
+
=0
x x2

1
1
)
+
3
(
x
+

) − 16 = 0
x2
x

Đặt y = x +

1
1
⇒ y2 − 2 = x2 + 2
x
x

( y ≥ 2)

Ta có: 2 (y2 - 2) + 3y - 16 = 0
⇔ 2y2 + 3y - 20 = 0

Ta có ∆ = 9 + 160 = 169
⇒ y1 =

5
2

y 2 = −4

14


+ Với y1 =
x+

5
ta có:
2

1 5
=
x 2

⇔ 2 x 2 − 5x + 2 = 0

∆ = 25-16 = 9

⇒ x1 =

1
; x2 = 2
2

+Với y = - 4 ta có:

x+

1
= −4 ⇔ x 2 + 4 x + 1 = 0
x

∆' = 4 − 1 = 3
⇒ x 3 = −2 + 3 ; x 4 = −2 − 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

⇒ x1 =

1
; x 2 = 2 ; x3 = −2 + 3; x4 = −2 − 3 ;x5=-1.
2

Chú ý:
a)Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm.
b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1
c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng
cách đặt ẩn phụ.
2.3. Phương trình phản thương
a. Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4 + bx3 +cx2 –bx +a =0 ( a ≠ 0) gọi là phương trình
phản thương
b. Cách giải:
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình
cho x2 rồi đặt y = x −

1
x

c.Ví dụ
*Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 + 3x3 + x2 – 3x +2 =0 (1)
15


Giải: Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả hai vế của (1) cho
x2 ta có:

2 x 2 + 3x + 1 −

3 2
+
=0
x x2

1  
1

⇔ 2 x 2 + 2  + 3 x −  + 1 = 0
x
x  

Đặt y = x −

1
1
⇒ y2 + 2 = x2 + 2
x
x

Thay vào ta có:
2y2 + 3y + 5 = 0

(2)

∆ = 9 - 40 = -31 < 0 ⇒ Phương trình (2) vô nghiệm
⇒ Phương trình (1) vô nghiệm

*Ví dụ 2:
Cho phương trình: x4 - ax3- (2a+1)x2 + ax + 1 = 0 (1)
Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ?
Giải:
Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0, ta có:

x 2 − ax − (2a + 1) +
⇔ (x2 +

a 1
+
=0
x x2

1
1
) − a ( x − ) − (2a + 1) = 0
2
x
x

Đặt y = x −

1
1
2
2
(*) ⇒ x + 2 = y + 2
x
x

Ta được phương trình:
y2 + 2 – ay –( 2a+1) = 0

⇒ y 2 − ay − 2a + 1 = 0 (2)
Ta thấy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm với ∀y
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép:
⇔ ∆=0
⇔ a2 + 8a - 4 = 0

16


∆' = 16 + 4 = 20 ⇒ ∆' = 2 5

⇒ a1 = −4 − 2 5
a 2 = −4 + 2 5

Vậy với a = − 4 − 2 5 hoặc a = − 4 + 2 5 thì phương trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt.
d) Bài tập áp dụng
Giải phương trình: x5-4x3+2x2+2x-1 = 0
Hướng dẫn:
x5-4x3+2x2+2x-1 = 0

(1)

Ta thấy x = 1 là nghiệm của (1)
(1) ⇔ (x-1)(x4 +x3 -3x2 –x +1) = 0
⇒ x-1 = 0

(2)

x4 + x3 - 3x2 – x + 1 = 0 (3)
(2) ⇔ x - 1 = 0 ⇒ x = 1
(3) ⇔ x 4 + x 3 − 3 x 2 − x + 1 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của (3)
Chia hai vế của (3) cho x2≠ 0 ta có:
x2 + x − 3 −

1
1
+ 2 =0
x x

1  
1

⇔  x2 + 2  +  x −  − 3 = 0
x
x  


Đặt y = x −

1
1
⇒ y2 + 2 = x2 + 2
x
x

Ta được phương trình: y2 + 2 + y - 3 = 0
⇔ y2 + y - 1 = 0

∆ = 4 +1 = 5
Từ đó tìm nghiệm của phương trình.
2.4. Phương trình hồi quy
a. Dạng tổng quát:
17


Là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ( a ≠ 0)
trong đó e/a = ( d/b )2 = t2

b. Cách giải:
Khi x = 0 không là nghiệm của phương trình, thì ta chia cả hai vế của
phương trình cho x2 phương trình đã cho tương đương
a x2 + bx + c ± dx-1 + e x-2 = 0
⇔ ( a x2 + e x-2) + ( bx ± dx-1) + c = 0
⇔ a( x2 + t2x-2 ) + d ( x ± tx ) + c = 0

Đặt x ± tx-1 = y lúc đó phương trình đã cho ⇔ ay2 + by + c ± 2at = 0 ( * )
Giải (*) được y0 giải x ± tx-1 = y0 ta được x0 là nghiệm của phương trình đã
cho.
c. Ví dụ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + 4 = 0
Giải:
4  6 
Nhận xét: =  

1  −3

2

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phưong trình
cho x2 khác 0 ta được:
x2- 3x - 2 +



⇔ x2 +

Đặt : x -

6 4
+
=0
x x2

4 
2

− 3  x −  − 2 = 0 (* )
2 
x
x 


2
4

= y ⇒ x2 + 2 = y2 + 4
x
x

Phương trình ( * ) trở thành: y2 - 3y + 2 = 0
⇒ y1 = 1 ; y2 =2

Nếu y1 = 1 ⇒ x -

2
= 1 ⇒ x2 - x - 2 = 0 ( 1 )
x

18


Nếu y2 =2 ⇒ x -

2
= 2 ⇒ x2 - 2x - 2 = 0 ( 2
x

Giải ( 1 ) và ( 2 ) ta được x0 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2:
Giải phương trình: x4 - x3 - 2x2 + 3x + 9 = 0
Giải:
Ta thấy x =0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương
trình cho x2 khác 0, ta được:
x2- 3x - 2 +




⇔  x2 +

Đặt : x -

6 4
+
=0
x x2

9  
3
−  x −  − 2 = 0 (* )
2 
x  
x

3
9
= y ⇒ x2 + 2 = y2 + 6
x
x

Phương trình ( * ) trở thành: y2 - y + 4 = 0
∆ = ( -1 )2 - 4 .4 = -15 < 0
⇒ phương trình y2 - y + 4 = 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN

Quá trình áp dụng giải pháp trên tôi thấy chất lượng học bộ môn Toán của
các em được nâng cao dần; Điều làm tôi đáng mừng hơn là tôi đã có những HS
đạt giải cấp Thành phố môn Toán năm học 2014-2015 và HS thi vào THPT năm
học 2015-2016 với điểm toán khá cao. Kết quả học tập của HS được đánh giá
qua các bài kiểm tra định kỳ, thường xuyên và các lần khảo sát của Sở GD&ĐT,
Phòng GD&ĐT được thể hiện ở bảng số liệu sau :
Năm học
2013-2014
2014- 2015
2015 - 2016

Áp dụng đề tài
Chưa áp dụng
Đã áp dụng 1 năm
Đã áp dụng 2 năm

Giỏi

Kết quả kiểm tra
Khá TB
Yếu

5%

10% 39% 35%

10%
15%

35% 35% 15%

35% 36% 12%

Kém
11
%
5%
3%
19


C. KẾT LUẬN
Dạy các phương pháp tìm lời giải cho bài toán là một vấn đề đòi hỏi
người giáo viên phải có sự say mê chuyên môn, phải có sự tích luỹ để khái quát,
tổng hợp thành những thuật toán để từ đó học sinh có thể làm toán.
Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên
cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng. Giáo viên xây dựng từ kiến
thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp,
phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh. Cần chú trọng phát huy tính
chủ động, tích cựu và sáng tạo của học sinh từ đó giúp các em có cái nhìn bao
quát, toàn diện và định hướng giải đứng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
Trên đây là một số cách giải phương trình bậc cao trong chương trình toán
lớp 8 và lớp 9 hiện nay mà tôi đã đúc rút được qua việc giải bài tập, qua nghiên
cứu tài liệu cũng như qua quá trình giảng dạy. Đề tài này nếu thực hiện trong
một tiết dạy cụ thể thì không thể truyền tải hết nội dung của nó, mà tôi phải làm
trong một chuyên đề.
Chuyên đề này nên áp dụng trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh nhận dạng một số phương
trình bậc cao và nắm được cách giải của nó và từ đó tạo điều kiện cho học sinh
hướng tư duy khái quát, tổng hợp đối với bài toán cụ thể, cũng như bài toán trừu

tượng.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ bản thân tôi tự rút ra trong quá trình
giảng dạy, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý
bổ sung của các đồng chí, đồng nghiệp giúp tôi hoàn thiện hơn trong quá trình
giảng dạy, để đáp ứng được với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục trong thời kì
hiện nay. Tôi xin chân thành cảm ơn./.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, Ngày 10 tháng 3 năm 2017

CAM KẾT KHÔNG COPPY
Người viết
20


Nguyễn Thị Hồng Lê
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIỄN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Hồng Lê
Cấp đánh giá
Kết quả đánh
TT
Tên đề tài SKKN
xếp loại (Phòng,
giá xếp loại
Sở, Tỉnh...)
(A, B hoặc C)

1 Giúp học sinh lớp 8 giải
Phòng GD&ĐT
A
phương trình chứa dấu
Đông Sơn
giá trị tuyệt đối
Thanh Hóa
2 Giúp học sinh lớp 8 giải
Sở GD&ĐT
B
phương trình chứa dấu
thành phố
giá trị tuyệt đối
Thanh Hóa
Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trường THCS Đông Lĩnh

Năm học
đánh giá
xếp loại
2011 - 2012

2011 - 2012

21