Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❇Ò■ ❚❍➚ ❍➀◆●

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ ❈❆❯❈❍❨
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇■➌◆ ❚❍➎ ❈Õ❆ ◆➶

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✷✵✶✼


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

❇Ò■ ❚❍➚ ❍➀◆●

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ ❈❆❯❈❍❨
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇■➌◆ ❚❍➎ ❈Õ❆ ◆➶
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚♦→♥ sì ❝➜♣
▼➣ sè✿ ✻✵ ✹✻ ✵✶ ✶✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈✿

❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ✣➐◆❍ ❇➐◆❍

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✷✵✶✼





ữủ t t trữớ ồ ồ ồ
ữợ sỹ ữợ ừ
tr trồ tọ ỏ trồ t ỡ s s tợ
t t t ữợ ở
t t ủ t tr sốt q tr ồ t
ự
t ỷ ớ ỡ tợ t ổ tr
trữớ ồ ồ ồ õ t
ổ tr ồ õ r t t
tr sốt tớ q
ụ ỡ ỗ tt ồ
ữớ q t ở ú ù t õ t t
ừ
t ỡ
t
ồ

ũ


✐✐

▼ö❝ ❧ö❝

▼Ð ✣❺❯✳
✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳

✶
✺

✶✳✶

❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✹

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✷ ▼ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ✈➔ ù♥❣
❞ö♥❣✳
✷✺
✷✳✶

❚✐➳♣ ❝➟♥ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✶✳✶

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤✐ eif ❧➔ ✤ë ✤♦ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ Rn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✷✳✶✳✷

P❤➨♣ t➼♥❤ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✷✳✶✳✸

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ eif ❧➔ ✤♦ ✤÷ñ❝✱ ❤➻♥❤ ①✉②➳♥ ❚♦♣♦ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

✷✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② tr➯♥ ♠✐➲♥ ❤↕♥ ❝❤➳✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✷

✷✳✸

▼ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✷✳✸✳✶

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❏❡♥s❡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✷✳✸✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ♥❤➙♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✷✳✸✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❧✉➙♥ ♣❤✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✼

✷✳✸✳✹

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P❡①✐❞❡r✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✽

✷✳✸✳✺

❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✾

▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✸

✷✳✹

❑➌❚ ▲❯❾◆✳
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳

✺✺
✺✼




é
ỵ ồ t
ởt ữỡ tr ữủ ữớ t ữỡ tr ỡ
tr ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr Pữỡ
tr ởt tr ỳ ỹ õ ừ t ồ sỡ
õ õ ự ử tr ỵ tt ữỡ tr tr

ỹ t ồ ồ ỗ ồ t
ự t t ự t tố t ở ỹ
ồ ữỡ tr ỡ ồ ờ ỡ ồ tố t
ồ
Pữỡ tr ữủ ợ t tr s ừ ổ tứ
t t ữỡ tr õ tứ
tt r số f t ởt số tử tứ R R
x, y õ t số tỹ t ss ụ ự ữỡ
tr tr ố s ừ ổ tứ ữ sỹ
ự ổ t ụ ổ ró r r ỳ trữợ
ỳ t õ t t t tr s ừ r
sỹ ự t số t ừ ỳ t ự ử
t ừ ữỡ tr t ú ữ t
ổ ró r õ õ t út sỹ ú ỵ ừ t tr
tớ t ự
ỳ ữỡ tr Pữỡ tr tữỡ
ữỡ sỹ tữ s t tử t q tú
ỡ
ữợ ừ ự ữỡ tr sỷ
ử tổ tữớ tr số t õ r




r tr trữớ ủ t f : R R ộ s
r sỹ tỗ t ừ c R s f (x) = cx ợ ồ x R tỹ t
ữủ ự ử sỷ f
tử r ự r f õ t ữủ tt ỡ
tr ởt rt r rs
r tt r f ữủ s

rs tt r f tr t ữủ ữỡ strs
st tt r f tứ ởt tr t ữủ
ữỡ tt r f tr tr t õ r
t ự ữỡ tr ổ õ
t ừ f sỷ ử ỡ s ổ t s
r r õ ổ t t tứ ữỡ tr
ổ t r tt ú
Pữỡ tr ữủ qt õ ờ s t
ữợ ởt ữợ tr
ừ f t õ ừ õ ử t ữỡ õ
Ps ự r f tọ ởt t ừ
tt ữủ r r rsts õ t
tt ở t t õ tử ú ỵ t õ ữỡ tr
t õ t t ở t ởt ữợ
ủ ử tt tứ t ữủ ữ ữợ tờ qt
t ờ ừ f s ổ õ ởt
trú số ỳ s ỡ t t õ ừ
tự ử ởt t ỗ ũ ừ t ữủ
ỹ ờ t ờ tr ừ ữỡ tr ử
sỷ r f tọ ữỡ tr ợ (x, y) tở
t ừ R2n ử t f õ t ữủ tr t
ổ tr t ừ õ r tt trữớ ủ
t õ t t sỹ tỗ t ổ t t ừ ữỡ tr
ũ tr trữớ ủ
f ữủ tr t ở ổ f tọ
õ ợ tt (x, y) õ t
t ữỡ tr ởt số t ừ õ ổ

ử qt rt t ữỡ tr õ õ t
tr t ồ s ọ tr ữợ qố t tữớ
ởt t tự ố ợ ồ s t t ữỡ
tr ữủ s tỹ ộ t
tr ởt số ự ử ữ qt ữủ ừ
ữỡ tr ỏ rt ú

ử
ử ừ ự q ữỡ
tr ữỡ tr ởt số t ừ õ t
ữủ sỹ ờ tữỡ ố ừ õ ố ợ t
ừ ổ ởt số ợ ữủ tr
ữ ởt ữỡ tr tr õ ởt số ụ ự t
ữ t t ữủ rở ởt số t ừ
ữỡ tr t ự ử ỵ tt tr
ỗ ữù tự t ồ ồ s P
t t s ồ

ố tữủ ự
ố tữủ ự ừ ữỡ tr
ởt số t ừ õ ởt ử t s tr t
q tr t t

Pữỡ ự
t ồ t ừ t ự
q ữỡ tr ự ử
r ờ q ợ t ữợ ự ử ừ ữỡ
tr ởt số t ừ õ

✺✳ ❇è ❝ö❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✹

❚→❝ ❣✐↔ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❤❛✐
❝❤÷ì♥❣✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳
✶✳✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳
✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳
✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② tê♥❣ q✉→t✳
✶✳✹✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ✈➔
ù♥❣ ❞ö♥❣✳
✷✳✶✳ ❚✐➳♣ ❝➟♥ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉✳
✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② tr➯♥ ♠✐➲♥ ❤↕♥ ❝❤➳✳
✷✳✸✳ ▼ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤②✳
✷✳✹✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳


✺

❈❤÷ì♥❣ ✶

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❤➔♠✳ ❚r♦♥❣ ✤â✱ t→❝ ❣✐↔ ✤✐ s➙✉ ✈➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
❈❛✉❝❤② ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ t↕✐ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✸❪✳

✶✳✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠➔ ➞♥ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠
sè✳ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ tù❝ ❧➔ t➻♠ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❝❤÷❛ ❜✐➳t ✤â✳

❚✐➳♣ ❝➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✱ ♠é✐ ♥❣÷í✐ ❝â ♥❤ú♥❣ ❝ì sð ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞ü❛ ✈➔♦ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ t❛ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣
✤÷ñ❝ ♠ët sè ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
✶✳ ❚❤➳ ❝→❝ ❣✐→ trà ❜✐➳♥ ♣❤ò ❤ñ♣✿ ❍➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ❝â t❤➸ t❤➳
✈➔♦ ❧➔✿ x = 0, x = 1, ...❀ tø ✤â t➻♠ r❛ ♠ët t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ♥➔♦
✤â ❤♦➦❝ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❤➔♠ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➔♠
sè ❤➡♥❣✳
✷✳ ◗✉② ♥↕♣ t♦→♥ ❤å❝✿ ✣➙② ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ö♥❣ ❣✐→ trà f (x) ✈➔ ❜➡♥❣
❝→❝❤ q✉② ♥↕♣ ✈î✐ n ∈ N ✤➸ t➻♠ f (n)✳ ❙❛✉ ✤â t➻♠ f ( n1 ) ✈➔ f (e)✳ P❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ♥➔② t❤÷í♥❣ →♣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠➔ ð ✤â ❤➔♠ f ✤➣ ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ tr➯♥ Q❀ tø ✤â ♠ð rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ sè rë♥❣ ❤ì♥✳
✸✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ✈➔ ❦✐➸✉ ❈❛✉❝❤②✳




ự t ỡ t tử ừ t t
ử tr ữỡ tr
ữỡ tr õ ổ õ t ỡ tử t t tr
ự t ỡ
ố tr ừ
ự t ỡ t ừ ụ tứ tr
ữỡ tr
ỹ ũ ữỡ ự ự
ỹ ú

tự tr ỗ
t t t ừ số
ứ ởt số ữợ tr t t ữỡ tr
s ự õ

Pữỡ tr
Pữỡ tr ữỡ tr õ
f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R,
tr õ

f (x)

tr



R

tọ ữỡ tr

f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R,
ữủ ồ ở t

ỵ số tử f (x) ừ ữỡ tr


f (x) = ax, x R,
tr õ

a

số tũ ỵ


✼
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

❈❤♦ x = y ✱ t❛ ❝â✿ f (2x) = 2f (x)✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ n✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿

f (nx) = nf (x), ∀n ∈ N, x ∈ R.
❚❤➟t ✈➟②✱
❱î✐ n = 1 ✈➔ n = 2 ❤➺ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ✤ó♥❣✳
●✐↔ sû✿ f (kx) = kf (x), k ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â✿

f ((k + 1)x) = f (x + kx) = f (x) + f (kx) = f (x) + kf (x) = (k + 1)f (x).
❈❤♦ x = y = 0✱ s✉② r❛✿ f (0) = 0✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❤❛② x = −y ✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

0 = f (x − x) = f (x) + f (−x),
❤❛②

f (−x) = −f (x).
◆➳✉ n < 0✱ t❤➻✿ f (nx) = f ((−n).(−x)) = −nf (−x) = nf (x)✳
❱➟② f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z✳
◆➳✉ n ∈ Z, n = 0 t❤➻✿

f (x) = f n.
❤❛②

f

x
x
= n.f
,
n
n

x
f (x)
=
.
n
n

m
∈ Q✱ tr♦♥❣ ✤â m, n ∈ Z✳ ❚❛ ❝â✿
n
x
x
m
m
.x = f m
=mf
=
f (x) = p f (x).
f (p x) = f
n
n

n
n
[n α]
❱î✐ ♠å✐ α ∈ R, n ∈ N✱ ✤➦t rn =
∈ Q✱
n
1
❚❛ ❝â rn ≤ α < rn + ✳
n
❉♦ ✤â t❛ ❝â ✿
❳➨t p =

lim rn = α

n→∞

✈➔

α x = lim (rn x).
n→∞




f tử

f (x) = lim f (rn x) = lim rn f (x) = f (x).
n

n

t a = f (1) t f (x) = f (x.1) = xf (1) = ax
f (x) = ax, x R, a R trữợ
ữủ f (x) = ax, x R, a R t t r f ởt
ừ ữỡ tr

tử ừ f tữỡ ữỡ ợ ởt tr
s

ờ f : R R ởt ừ ữỡ tr
ổ ỗ t õ s tữỡ ữỡ
tử tr

R

tử t

x0 R

tử t
ỡ tỹ sỹ tr ởt tr

R

tr ởt ởt tr

R

ự

ứ ự ừ ỵ t õ

f (rx) = rf (x), x R, r Q.
ứ (1) s r (2) tứ (2) s r (3)
ự (3) s r (1)
t x0 R

f (x) = f (x x0 + x0 ) = f (x x0 ) + f (x0 ).
limn (xn ) = x0 t

lim f (xn ) = lim [f (xn x0 ) + f (x0 )] = f (0) + f (x0 ) = f (x0 ).

n

n

f tử t x0




õ f số tử
ự tứ s r
sỷ f tử
ỵ f (x) = ax, x R, a số
f ổ ỗ t a = 0
õ f ỡ tr R
ữủ sỷ f ỡ tr ởt I R tt f

ỡ t
x0 I > 0 s (x0 , x0 + ) I


x0 < x0 < x0 +
n
n


f ()
f ()
= f x0
< f (x0 ) < f x0 +
= f (x0 ) +
f (x0 )
n
n
n
n
õ

lim f x0

n



= lim f x0 +
= f (x0 )
n

n
n



sỷ limn xn = x0
ợ ồ > 0 ồ n0 N s


< xn < x0 + , n > n0
x0
n0
n0


f x0 +
f x0
< .
n
n


< f (xn ) < f x0 +

õ f x0
n0
n0
r |f (xn ) f (x0 )| < , n > n0
f tử t x0 f tử
ự (1) (5) ự (5) s r (1)

sỷ f tr I R
x0 I, > 0 s (x0 , x0 + ) I
ợ ồ x (, ) : f (x) = f (x + x0 ) f (x0 ) ợ x + x0 I
õ f tr (, ) tỗ t M > 0 s |f (x)| M
ợ |x| <
sỷ

lim xn = 0.

n

t kn =

1
|xn |

N õ |kn xn |

1
|xn |

|xn | =

|xn |




ợ ồ > 0 ồ n0 N s

M
< |kn xn | <
kn
õ

|f (xn )| = |f (

|xn | < , n > n0

kn xn
f (kn xn )
M
)| =

< .
kn
kn
kn

limn f (xn ) = 0 = f (0) f tử t
õ f tử

ứ ỵ ờ s r f tọ ởt tr
ừ ờ ừ ữỡ tr


f (x) = ax, x R,
ợ a số
õ ởt số q s

q số tử tr R ừ ữỡ tr
f (x + y) = f (x).f (y), x, y R,


f (x) = bx , x R, b > 0



số

ự

õ x0 R s f (x0 ) = 0 t

f (x) = f (x x0 + x0 ) = f (x x0 )f (x0 ) = 0, x R.
ự f 0
tt f (x) = 0, x R f (x) ổ ỗ t
õ

x
x x
+
=f
2 2
2
tự tữỡ ữỡ ợ

2

f (x) = f

> 0.

ln[f (x + y)] = ln[f (x)f (y)] = lnf (x) + lnf (y),


g(x + y) = g(x) + g(y),


✶✶

tr♦♥❣ ✤â✿ g(x) = ln[f (x)]✳
❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✱ t❛ ❝â✿ g(x) = ax, a ∈ R✳ ❱➟②

f (x) = eax = bx , b = ea > 0.

❍➺ q✉↔ ✶✳✷ ❍➔♠ sè ❢ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R

{0}

❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

❤➔♠

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐✿

f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R

{0} ,

{0}✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

+) ❱î✐ x, y ∈ R+ ✱ ✤➦t x = eu ✈➔ y = ev ✳
❚❛ ❝â✿

f (eu+v ) = f (eu ) + f (ev )
⇔ g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R.
tr♦♥❣ ✤â✱ g(u) = f (eu ) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✱ t❛ ❝â✿ g(u) = a u✳
❙✉② r❛✿ f (x) = g(lnx) = a lnx, ∀x ∈ R+ ✳

+) ❱î✐ x < 0✱ t❛ ❝â✿
f x2 = f (x) + f (x),
❤❛②

1
1
f x2 =
a lnx2 = a ln(−x).
2
2
❱➟② f (x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}✱ ✈î✐ a ∈ R tò② þ✳
f (x) =

❍➺ q✉↔ ✶✳✸ ❍➔♠ sè ❢ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠
f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R
❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

f (x) = |x|α , ∀x ∈ R

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❛② y = 1✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

{0} , α

{0} ,

❧➔ ❤➡♥❣ sè✳


✶✷

f (x) = f (x).f (1)
⇔ f (x).(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R.
◆➳✉ f (1) = 1 t❤➻ f (x) = 0, ∀x ∈ R

{0}✳

❉♦ ✈➟②✱ f ≡ 0✳
❳➨t f (1) = 1✳

1
1
= f (x).f
, ∀x ∈ R
x

x
❙✉② r❛ f (x) = 0, ∀x ∈ R {0}✳ ❉♦ ✤â✿

❑❤✐ ✤â✱ f (1) = f

x.

{0}✳

f x2 = f (x).f (x) = f 2 (x) > 0, ∀x ∈ R

{0} .

❙✉② r❛✱ f (x) > 0, ∀x ∈ R+ ✳
✣➦t g(t) = f (et ), t ∈ R✳ ❑❤✐ ✤â✱

g(t + u) = f (et+u ) = f (et .eu ) = f (et )f (eu ) = g(t).g(u).
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❧➔✿ g(t) = at , ∀t ∈ R✳
❱➻ x = et ✱ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ t = ln x✱ ♥➯♥✿

f (x) = g(ln x) = aln

x

= eln

a ln x

= eln

x ln a

= xln

a

= xα , α ∈ R.

❳➨t x, y ∈ R− ✱ ❦❤✐ ✤â −x, −y ∈ R+ .
◆➳✉ x = y ✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✿ f x2 = f 2 (x) > 0✳
❱➻ x2 > 0✱ t❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥ f x2 = x2
❉♦ ✤â✿

f 2 (x) = x2α .
❙✉② r❛ f (x) = ±|x|α ✳
❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔✿
✭✶✮ f (x) = 0, ∀x ∈ R

{0}✳

✭✷✮ f (x) = |x|α , ∀x ∈ R
✭✸✮ f (x) =

{0}✳

|x|α , x > 0,
−|x|α , x < 0.

α

, α ∈ R✳


✶✸

✶✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② tê♥❣ q✉→t
❈❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❞↕♥❣✿

f (x) + f (y) − f (x + y) = g(H(x, y))

✭✶✳✺✮

tr♦♥❣ ✤â✱ f ✈➔ g ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤↔✐ t➻♠✱ H ❧➔ ❤➔♠ ✤➣ ❝❤♦✳ ❑❤✐ g ≡ 0 t❤➻
✭✶✳✺✮ trð t❤➔♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✳ ❈→❝ ❤➔♠ sè ð ✤➙② ✤÷ñ❝ ①➨t ❧➔
❤➔♠ sè t❤ü❝✱ tù❝ ❧➔ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ t➟♣ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♥â ❧➔ R ❤♦➦❝ t➟♣ ❝♦♥
❝õ❛ R✳
❙❛✉ ✤➙② t❛ ①➨t ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ✭✶✳✺✮✳
✰ H(x, y) = xy ✱ ❦❤✐ ✤â ✭✶✳✺✮ trð t❤➔♥❤✿

f (x) + f (y) − f (x + y) = g(xy)
✰ H(x, y) =

1 1
+ ✈➔ g = −f ✱ ❦❤✐ ✤â ✭✶✳✺✮ trð t❤➔♥❤✿
x y
f (x) + f (y) − f (x + y) = −f (x−1 + y −1 )

✰ H(x, y) =

✭✶✳✻✮

✭✶✳✼✮

xy(x + y)
✈➔ g = f ✿ ✭✶✳✺✮ trð t❤➔♥❤✿
x2 y 2 + xy
f (x) + f (y) − f (x + y) = f

xy(x + y)
+ y 2 + xy

x2

✭✶✳✽✮

❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✻✮✲✭✶✳✽✮ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥
q✉❡♥ t❤✉ë❝ tr♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✳

◆❤➟♥ ①➨t✿
✰ ◆➳✉ g(x) = c ✭g ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✮ t❤➻ ✈î✐ ❜➜t ❝ù ❤➔♠ H ✤➣ ❝❤♦ ♥➔♦✱ ✭✶✳✺✮
✤➲✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿

f (x) + f (y) − f (x + y) = c.
❘ã r➔♥❣ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➔✿

f (x) = A(x) + c,


✶✹

tr♦♥❣ ✤â✱ A(x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤ ❜➜t ❦ý✱ ❤❛② A(x) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ✭✶✳✶✮✳
❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✺✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② ❧➔✿

f (x) = A(x) + c,
✈➔

g(x) = c.
✰ ❚÷ì♥❣ tü tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ H(x, y) = c✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✺✮
❧➔✿

f (x) = A(x) + g(c) ✈➔ g ❧➔ ❤➔♠ ❜➜t ❦ý✳
tr♦♥❣ ✤â✱ A(x) ❧➔ ❤➔♠ ❝ë♥❣ t➼♥❤ tò② þ✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❣å✐ ♥❣❤✐➺♠ (f, g) ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮ ❧➔ t➛♠ t❤÷í♥❣ ♥➳✉

f ❧➔ ❛❢✐♥✱ tù❝ ❧➔ f (x) = A(x) + c✱ tr♦♥❣ ✤â A(x) ❧➔ ❝ë♥❣ t➼♥❤ ✈➔ c ❧➔
❤➡♥❣ sè✳
✰ ✣➸ þ r➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✻✮✲✭✶✳✽✮ ❧➔ ❞↕♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮ ✈î✐

H(x, y) ❝â ❞↕♥❣ s❛✉✿
H(x, y) = ψ(φ(x) + φ(y) − φ(x + y))

✭✶✳✾✮

❱➻ ❞➵ t❤➜② ✭✶✳✻✮✲✭✶✳✽✮ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✈✐➺❝ ❝❤å♥✿ φ(x) = x2 , ln x, x−1
−u −u −1
, e , u ✳
✈➔ ψ(u) =
2
❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ✭✶✳✺✮ ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉

f (x) + f (y) − f (x + y) = g(φ(x) + φ(y) − φ(x + y))

✭✶✳✶✵✮

❘ã r➔♥❣✱ ♥➳✉ φ ❧➔ ❛❢✐♥ t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ g ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✵✮ ✤➲✉ ❝â ♥❣❤✐➺♠

f ❧➔ ❛❢✐♥✱ tù❝ ❧➔ ✭✶✳✶✵✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
❱➻ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t φ ❦❤æ♥❣ ❛❢✐♥ ✈➔ ❦þ ❤✐➺✉ I ❧➔ (α, +∞)✱ ✭❤♦➦❝

[α, +∞)✱ (−∞, +∞)✱ (−∞, −α]✱ (−∞, −α)✮✱ tr♦♥❣ ✤â α ≥ 0✳

✶✳✹ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
❚ø ❝ì sð ❧þ t❤✉②➳t ✤➣ ♥➯✉ ð ♣❤➛♥ tr➯♥✱ s❛✉ ✤➙② t→❝ ❣✐↔ s➩ tr➻♥❤ ❜➔②
ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✳




t số f (x) ỡ tr R tọ
ớ

f (x) tọ f (x) = a x, x R ợ a = f (1) R tũ
ỵ r f ỡ t f (x) = a x, x R
ự trữớ ủ f ổ ỏ trữớ ủ f ổ t
t ự tữỡ tỹ
sỷ f ổ tr R õ a = f (1) f (0) = 0 ợ ộ

x R t t t số ỳ t sn qn t ũ õ ợ
x

õ n N t õ

f (sn ) = a sn ,
f (qn ) = a qn .
t f ổ tr R

a sn f (sn ) f (x) f (qn ) = a qn , n N.
ợ n + t õ

limn+ asn f (x) limn+ aqn ,
ax f (x) ax.
f (x) = ax ữ x R t f (x) = ax, x R

t

ứ tt f ỡ tr R tọ t õ t s r f
tử t x = 0 r f (x) = x f (1), x R tr s
ồ ró r ở ỡ t q t tử ừ f
t q t ừ t ợ ữỡ tr ứ
ở t ứ ỡ
t tt f ỡ f (x) > 0, x R f tọ
t s r f ổ tr R õ f (x) = ax, x R
a 0
f (x2n ) = [f (x)]2n , n N s r f (x) 0 f (x) = x, x

R


✶✻

❈á♥ ♥➳✉✱ f (x) ≤ 0, ∀x ≥ 0 s✉② r❛✿ ❤➔♠ f ❦❤æ♥❣ t➠♥❣ tr➯♥ R✱ ❤❛②

f (x) = ax, ∀x ∈ R✱ ✈î✐ a ≤ 0✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷ ❚➻♠ ❝→❝ ❤➔♠ sè f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ R ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✮

✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ✤♦↕♥ [c, d] ✈î✐ c < d ❜➜t ❦➻✳
▲í✐ ❣✐↔✐✿

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➔✐ t♦→♥✳

❉♦ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✮ ♥➯♥✿ f (x) = ax, ∀x ∈ Q✱ tr♦♥❣ ✤â✿ a = f (1)✳
❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ f (x) = ax, ∀x ∈ R✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② x ∈ R ❜➜t ❦ý✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ n ∈ N tç♥ t↕✐ rn ∈ Q ✭♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ n ✈➔ x✮✱ s❛♦ ❝❤♦✿

nx − d ≤ rn ≤ nx − c.
❙✉② r❛✱ f (nx − rn ) ❜à ❝❤➦♥✱ ❞♦ c ≤ nx − rn ≤ d✳
❚❛ ❝â✿

|f (nx − rn )| = |f (nx) + f (−rn )| = |nf (x) − arn |
= |n(f (x) − ax) + a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax| − |a(nx − rn )|.
❙✉② r❛✱ |f (nx − rn )| + |a(nx − rn )| ≥ n|f (x) − ax|✳
▼➦t ❦❤→❝✱ |a(nx − rn )| ≥ max{|ac|, |ad|}✱ ✈➔ f (nx − rn ) ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐
♠å✐ n ∈ N✳
❉♦ ✤â✱ n|f (x) − ax| ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐ ♠å✐ n ∈ N✳
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ ①↔② r❛ ❦❤✐✿ f (x) − ax = 0✳
❱➟② f (x) = ax, ∀x ∈ R✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✸ ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ sè f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R t❤ä❛ ♠➣♥

f

x+y+z
3

=

f (x) + f (y) + f (z)
, ∀x, y, z ∈ R.
3

▲í✐ ❣✐↔✐✿

✣➦t g(x) = f (x) − f (0) t❤➻ g(0) = 0✳
❉♦ ✈➟②✱ ∀x, y, z ∈ R.


✶✼

g

x+y+z
3

=f

x+y+z
3

− f (0)

f (x) + f (y) + f (z)
− f (0)
3
(f (x) − f (0)) + (f (y)f (0)) + (f (z) − f (0))
=
3
=

=

g(x) + g(y) + g(z)
3

g(x)
x
=
✳
3
3
g(y)
y
❈❤♦ x = z = 0✱ s✉② r❛ g
=
✳
3
3
❉♦ ✈➟②✱ ✈î✐ x, y ∈ R t❛ ❝â
❈❤♦ y = z = 0✱ s✉② r❛ g

g(x + y) = g

3x + 3y
3

=

g(3x) + g(3y)
= g(x) + g(y).
3

❱➻ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ g(x) ❧✐➯♥ tö❝✳
❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝â✿

g(x) = ax,
❤❛②

f (x) = ax + b, b = f (0)✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✹ ❈❤♦ ❤➔♠ sè f ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ R ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥
f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ R

✭✶✳✶✶✮

▲í✐ ❣✐↔✐✿

✣➦t g(x) = f (x) − x2 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✭✶✳✶✶✮ trð t❤➔♥❤

g(x + y) + (x + y)2 = g(x) + g(y) + x2 + y 2 + 2xy.
❙✉② r❛✿ g(x + y) = g(x) + g(y)✳

❚❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❈❛✉❝❤② ❝â✿ g(x) = ax ✈➔ f (x) = x2 + ax✳ ❚❤û ❧↕✐✱
t❛ t❤➜② f (x) t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮✳


✶✽

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✺ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ sè f : R+ → R
f
▲í✐ ❣✐↔✐✿

1
f (xy)

{0} t❤ä❛ ♠➣♥

= f (x)f (y), ∀x, y > 0

✭✶✳✶✷✮

❚❤❛② y = 1✱ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✷✮ t❛ ✤÷ñ❝✿

f

1
f (x)

✣➦t a = f (1) = 0✱ s✉② r❛✿ f
❉♦ ✤â t❛ ❝â✿

f

1
f (xy)

= f (x)f (1).

1
f (x)

= af (x)✳

= af (xy), ∀x, y > 0

✭✶✳✶✸✮

❚ø ✭✶✳✶✷✮ ✈➔ ✭✶✳✶✸✮✱ t❛ ✤÷ñ❝✿

af (xy) = f (x)f (y).
❙✉② r❛

f (xy) f (x) f (y)
=
.
.
a
a
a
❱➟② g(xy) = g(x)g(y), ∀x, y > 0,
f (x)
tr♦♥❣ ✤â g(x) =

✳
a
❱➻ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R+ ♥➯♥ g ❝ô♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R+ ✳
❚ø ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝â✿
g(x) = xα , ∀x ∈ R+ , 0 = α ∈ R.
❱➟② f (x) = axα , ∀x ∈ R+ ✳
❚❤û ❧↕✐ t❛ t❤➜② f (x) = axα , ∀x ∈ R+ ✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✷✮✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✻ ❚➻♠ ❝➦♣ f, g ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ (1, +∞) s❛♦ ❝❤♦
f (xy) = xg(y) + yg(x), ∀x, y > 1.
▲í✐ ❣✐↔✐✿

❈❤♦ x = y ✱ t❤❛② ✈➔♦ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â✿

f (x2 ) = 2xg(x).

✭✶✳✶✹✮


✶✾

f (x2 )
✳
2x
❚❤❛② ✈➔♦ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

❙✉② r❛✿ g(x) =

xf (y 2 ) yf (x2 )
f (xy) =

+
.
2y
2x
f (xy) 1
=
⇒
xy
2

f (x2 ) f (y 2 )
+ 2
✳
x2
y

❱➟② t❛ ❝â✿

1
√
g ( xy) = (g(x) + g(y)) , ∀x, y > 1
2
u
v
✣➦t x = e , y = e ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✭✶✳✶✺✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿


u+v
1
g e e  = (g(eu ) + g(ev )) , ∀u, v > 0.

2

✭✶✳✶✺✮

✣➦t h(x) = g(ex )✱ t❛ ❝â✿

h

x+y
2

=

1
(h(x) + h(y)) , ∀x, y > 0.
2

❱➻ g ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ h ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❏❡♥s❡♥ t❛
✤÷ñ❝✿

h(x) = ax + b
⇒ g(x) = alnx + b
tr♦♥❣ ✤â a, b ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè✳
❱➟②

√
a
ax
.lnx + bx, ∀x > 1.
f (x) = xg( x) = x .lnx + b =

2
2
❚❤û ❧↕✐✱ t❛ t❤➜② f (x), g(x) t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✹✮✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✼ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥
f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y)

✭✶✳✶✻✮


✷✵
▲í✐ ❣✐↔✐✿

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✻✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿

f (x + y) + 1 = (f (x) + 1).(f (y) + 1).
✣➦t g(x) = f (x) + 1✳ ❚❛ ❝â

g(x + y) = g(x)g(y).
⑩♣ ❞ö♥❣ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ✤÷ñ❝ g(x) = ax ✳
❱➟②✿ f (x) = ax − 1✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✽ ❈❤♦ a ∈ R✱ t➻♠ t➜t ❝↔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ f : R → R t❤ä❛ ♠➣♥
f (x − y) = f (x) − f (y) + axy, ∀x, y ∈ R

✭✶✳✶✼✮

▲í✐ ❣✐↔✐✿

❚❤❛② x = 1, y = 0 ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✼✮✱ t❛ ❝â✿

f (1) = f (1) − f (0).
❙✉② r❛ f (0) = 0✳
❚❤❛② x = 1, y = 1 ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✼✮ t❛ ✤÷ñ❝✿ a = 0✳
❱➟② ✈î✐ a = 0 t❤➻ ❤➔♠ sè f ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐✳
❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ q✉❛♥ ❤➺ ❤➔♠

f (x − y) = f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R.
❚❛ ❝â✿ f (x) = f (x + y − y) = f (x + y) − f (y), ∀x, y ∈ R✳
❙✉② r❛ f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝â✿ f (x) = cx, ∀x ∈ R, c ❧➔
❤➡♥❣ sè✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✾ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❤➔♠ sè f : R → R ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥
f (x + y) + f (z) = f (x) + f (y + z), ∀x, y, z ∈ R

✭✶✳✶✽✮


✷✶
▲í✐ ❣✐↔✐✿

❚❛ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✽✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿

f (x + y) − f (x) = f (y + z) − f (z), ∀x, y, z ∈ R

✭✶✳✶✾✮

❉♦ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✶✳✶✾✮ ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ x ♥➯♥ ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ✭✶✳✶✾✮ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö
t❤✉ë❝ ✈➔♦ x✳

✣➦t g(y) = f (x + y) − f (x)✱ t❛ ❝â✿

f (x + y) − f (x) = g(y), ∀x, y ∈ R.
❱î✐ x = 0✱ t❛ ❝â✿

f (y) = g(y) + f (0) = g(y) + a, a = f (0).
❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✽✮ trð t❤➔♥❤✿

g(x + y) + a + g(z) + a
= g(x) + a + g(y + z) + a.
⇔ g(x + y) = g(x) + (g(z + y) − g(z)).

✭✶✳✷✵✮

❚❛ ❝â✿

g(z + y) − g(z) = f (x + y) − a − (f (z) − a)
= f (z + y) − f (z)
= g(y), ∀y, z ∈ R
❉♦ ✤â ❤➺ t❤ù❝ ✭✶✳✷✵✮ trð t❤➔♥❤✿

g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R

✭✶✳✷✶✮

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✶✮ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♥➯♥ t❛
❝â✿

g(x) = cx, ∀x ∈ R,
c ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳

❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔✿ f (x) = cx + a.