Tài liệu chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ppt

CHƯƠNG I:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
-------
BÀI 1:CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I.Định Nghĩa: Là hàm số có dạng
sin ; cos ; tan ; coty x y x y x y x= = = =
II.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lượng giác
1. Tập xác định
2. Tập giá trị
3. Tính chẵn lẻ.
4. Tính chất tuần hoàn và chu kỳ
5. Sự biến thiên của hàm số
6. Đồ thị
BÀI 2:PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I.Định nghĩa: Là phương trình có dạng: sinx=m;cosx=m;tanx=m;cotx=m
II.Phương pháp giải :
1.Phương trình sinx=m: (1)
a)Phương pháp:
+Nếu
1m >
thì phương trình (1) vô nghiệm.
+Nếu
1m ≤
thì phương trình (1) có nghiệm.Khi đó ta giải như sau:
*Khi
1 2 3
; ;
2 2 2
m
 
 

∈ ± ± ±
 
 
 
thì ta lần lượt thế m=sina ,với
; ;
6 4 3
a
π π π
 
∈ ± ± ±
 
 
,sau đó giải
phương trình:
2
sin sin
2
x a k
x a
x a k
π
π π
= +

= ⇔

= − +

.

*Đặc biệt :
sin 0 ;sin 1 2 ;sin 1 2
2 2
x x k x x k x x k
π π
π π π
= ⇔ = = ⇔ = + = − ⇔ = − +
.
*Nếu m không là các giá trị đăc biệt trên thì:
arcsin 2
sin
arcsin 2
x m k
x m
x m k
π
π π
= +

= ⇔

= − +

b)Cho các ví dụ cụ thể.
2.Phương trình cosx=m: (2)
a)Phương pháp:
+Nếu
1m >
thì phương trình (2) vô nghiệm.
+Nếu

1m ≤
thì phương trình (1) có nghiệm.Khi đó ta giải như sau:
*Khi
1 2 3
; ;
2 2 2
m
 
 
∈
 
 
 
thì ta lần lượt thế m=cosa ,với
; ;
3 4 6
a
π π π
 
∈
 
 
,sau đó giải phương
trình:
2
cos cos
2
x a k
x a
x a k

π
π
= +

= ⇔

= − +

.
*Đặc biệt :
cos 0 ;cos 1 2 ;cos 1 2
2
x x k x x k x x k
π
π π π π
= ⇔ = + = ⇔ = = − ⇔ = +
.
*Nếu m không là các giá trị đăc biệt trên thì:
arccos 2
cos
arccos 2
x m k
x m
x m k
π
π
= +

= ⇔


= − +

*Chú ý: -cosa= cos(
)a
π
−
b)Cho các ví dụ cụ thể.
3.Phương trình tanx =m
a)Phương pháp:
+
tan tanx a x a k
π
= ⇔ = +
(có a đăc biệt sao cho tan a=m)
+
tan arctanx m x m k
π
= ⇔ = +
(không có a đặc biệt sao cho tan a=m)
b)Cho các ví dụ cụ thể.
4.Phương trình cotx =m
a)Phương pháp:
+
cot cotx a x a k
π
= ⇔ = +
(có a đăc biệt sao cho cot a=m)
+
cot arccotx m x m k
π

= ⇔ = +
(không có a đặc biệt sao cho tan a=m)
b)Cho các ví dụ cụ thể.
Chú ý: +Nghiệm cần tìm cần dùng một đơn vị đo là độ hoặc radian
---------------------------------
BÀI 3: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
****
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC.PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG-PHẢN XỨNG ĐỐI VỚI
sinx và cosx
I.Định nghĩa:
Cho phương trình at+b=0 (1);at
2
+bt+c=0 (2) với
0a ≠
.Nếu thế t= sinx;cosx;tanx;cotx vào pt
(1),(2) thì ta được các phương trình bậc nhất,bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
II.Phương pháp giải
1)Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Biến đổi đưa về phương trình cơ bản.
2)Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác::
+Đặt t= sinx;cosx;tanx;cotx
+Chú ý:
1 sin ;cos 1x x− ≤ ≤
*Đặc biệt: +
2 2
1 cos 2 1 cos 2
sin ;cos
2 2
x x
x c c x c c

− +
= ⇔ = = ⇔ =
+
2
0 ( ) 0at bt t at b+ = ⇔ + =
III.Các ví dụ:
IV Định Nghĩa:
*Nếu đặt
sin cos 2 cos ; 2
4
t x x x t
π
 
= + = − ≤
 ÷
 
thì phương trình (2) trở thành pt đối xứng
dạng a(sinx+cosx)+bsinx.cosx+c=0.
* Nếu đặt
sin cos 2 sin ; 2
4
t x x x t
π
 
= − = − ≤
 ÷
 
thì phương trình (2) trở thành pt phản
xứng dạng a(sinx-cosx)+bsinx.cosx+c=0.
------------------------

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
I.Các ví dụ:
Nhắc lại :
sin cos 2 cos ;sin cos 2 sin
4 4
x x x x x x
π π
   
+ = − − = −
 ÷  ÷
   
(*)
Bài 1:Giải phương trình :
sin cos 1 ;sin cos 1x x x x+ = − = −
Giải: Nhờ (*)
Bài 2: :Giải phương trình :
3
3 sin cos 1 ;sin cos 1
3
x x x x+ = − = −
.
Giải: Thay
3
3 tan ; tan
3 3 6
π π
= =
,sau đó dùng công thức cộng thu gọn.
Bài 3: :Giải phương trình :
2 sin cos 1x x+ =

Giải: Chia hai vế của phương trình cho
( )
( )
2
2
3 2 1= +
.
Tổng quát bài 3: Gpt asinx+bcosx=0
II.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1)Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sinx ,cosx là phương trình có dạng:
asinx+bcosx=0 (*) ,trong đó
, , ; . 0a b c R a b∈ ≠
2)Phương pháp giải:
+Chia 2 vế của phương trình (*) cho
2 2
a b+
+Đặt
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
α α
= =
+ +
,dùng công thức cộng đưa về phương trình lgcb.
+Phương trình (*) có nghiệm khi
2 2 2
a b c+ ≥
3)Ví dụ: Cho phương trình
2sin 2 5 cos2x x m+ =

.
a)Tìm m để phương trình có nghiệm.
b)Giải phương trình khi m=1
------------------------
PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
I.Kiểm tra bài cũ: Giải phương trình
2sin 2 5 cos2 1x x+ =
+Suy luận:Nếu dùng công thức nhân đôi ta đưa phương trình
2sin 2 5 cos2 1x x+ =
về dạng:
2 2
sin sin .cos cos 0a x b x x c x+ + =
.
II.Định nghĩa:Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:
2 2
sin sin .cos cos 0a x b x x c x+ + =
,trong đó
0a
≠
hoặc
0b
≠
hoặc
0c
≠
.
III.Phương pháp giải:
Cách 1:Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về pt bậc nhất đối với sinx,cosx.
Cách 2: Nếu
cos 0x

≠
thì chia hai vế của pt cho
2
cos x
hoặc Nếu
sin 0x
≠
thì chia hai vế của
pt cho
2
sin x
IV Ví dụ: Giải phương trình
2 2
4sin 5sin cos 6cos 0x x x x− − =
.
V.Chú ý:
+Nếu a=0 hoặc b=0 thì đưa về phương trình tích.
+Nếu pt có dạng
2 2
sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + =
thì thế
2 2
(sin cos )d d x x= +
Gpt :
2 2
2sin 5sin .cos cos 2x x x x− − = −
---------------------------------------
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
I.Phương pháp: Thực hiện các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về phương trình
dạng quen thộc.

II.Ví dụ: Giải các phương trình
2 2 2
)sin 2 .sin 5 sin 3 .sin 4
)sin sin 3 2sin 2
) tan 3 tan
)cot 2 cot
2
a x x x x
b x x x
c x x
d x x
π
=
+ =
=
 
= +
 ÷
 

HD:
+câu a) Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
+câu b) Dùng công thức hạ bậc
+phương trình c) và d) trước khi giải phải có điều kiện
------------------------
ÔN TẬP CHƯƠNG I
CÁC DẠNG TOÁN
1. Tập xác định của hàm số lượng giác
2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
3. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác

4. Tìm giá trị lớn nhật ,giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
5. Phương trình lượng giác
BÀI TẬP
Câu 1:Tìm Tập các định của hàm số
1)
1 sin 3
cos
x
y
x
−
=
2)
1-sin5x
y =
1+ cos2x
.
3)y =
1 sinx
cosx
+
.
4)
cos 1
2sin 1
x
y
x
+
=

−

Câu 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số
1)y = sin
2
x + 2cosx + 2
2) y=
2
2 3sin
4
x+
3)
3sin(3 ) 4cos(3 )
6 6
y x x
π π
= + + +
Câu 3: Giải các phương trình sau:
1)
π
 
− =
 ÷
 
1
sin
3 2
x
2)
+ − =tan 1 2 cot 0x x

3) 2sinx + 1 = 0
4) 4sin
2
x +2sin2x +2cos
2
x = 1
5) sin
3
x + cos
3
x = cosx
2sin
2
x + cosx – 1 = 0
6) sin
3
x = sinx + cosx
7)
0
2sin(2x 30 ) 3 0+ − =

8)
2
cos x 2sinx 2 0− + =

9)
3 cos x sinx 3− =
10)
2
2sin 3sinx-5=0x +

2 2 2 2
sin sin 3 os 2 os 4x x c x c x
+ = +
11)2sin2x -
3
= 0
12)sin
2
x + sin2x +cos
2
x = 2
13)
sin(2 1) os 0
4
x c
π
− + =
.
14)
sin3 3 os3 2x c x+ =
.
15)
2
3sin2x 2cos x 2
+ =
.
16) 6sin
2
x – 5cosx – 2 = 0.
3 3 2 2

sin 3 os sinx. os 3sin .cosx c x c x x x− = −
18)
2
3
3cot 3
sin
x
x
= +
19)cos2x – 5cosx + 3 = 0
20)
cos2 cos 2 0x x
+ − =
21)
3 cos2 sin 2 3x x− =

22)
2
2sin 3cos 3 0x x+ − =
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x
+ = +
2 2
sin 5sin 2 3 os 3x x c x
+ + = −
sinx -
3
cosx = 2
sin
3

x - cos
3
x = sinx - cosx
2sin( 2x + 15
0
).cos( 2x + 15
0
) = 1
cos2x – 3cosx + 2 = 0
2 2
sin 2sin 2 5cos
0
2sin 2
x x x
x
− −
=
+