Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG THẾ ANH

VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN,
TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG THẾ ANH

VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN,
TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN XUÂN QUÝ

THÁI NGUYÊN - 2017


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian định chuẩn và sự hội tụ . . . . . . . . .
1.2 Không gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy . .
1.3 Hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả . . . . .

3
3
5
7

Chương 2. Phương trình hàm Jensen và tính ổn định 10
2.1 Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Một số phương trình hàm liên quan . . . . 15
2.1.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tính ổn định của phương trình hàm Jensen . . . . 19

2.2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias . . . . . . 20
2.2.2 Sự ổn định trên miền giới hạn . . . . . . . . 25
2.2.3 Phương pháp điểm bất động . . . . . . . . . 32
Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


ii

Bảng ký hiệu
N
Q
R
R+
C
R2
K
KN
X
N
RN
(−c, c)N
|u|
u
E1

E, E2
(JE)
J
J-lõm
J-lồi

tập hợp các số tự nhiên
tập hợp các số hữu tỉ
tập hợp các số thực
tập hợp các số thực dương
tập hợp các số phức
tập hợp các cặp (x, y) số thực
tập R hoặc tập C
tập RN hoặc tập CN
không gian định chuẩn hoặc không gian Banach
số nguyên dương N
tập hợp các bộ số thực (x1 , ..., xN )
tập hợp các bộ số (x1 , ..., xN ) trong khoảng (−c, c)
giá trị tuyệt đối của số thực u hoặc module của số phức u
chuẩn của u
không gian định chuẩn thực
không gian Bannach thực
phương trình hàm Jensen
hàm Jensen
hàm Jensen lõm
hàm Jensen lồi


1

Mở đầu
Phương trình hàm là một nhánh của Toán học hiện đại, từ năm
1747 đến 1750 nhà toán học J. D’Alembert đã công bố 3 bài báo
liên quan về phương trình hàm, đây được xem là các kết quả đầu
tiên về phương trình hàm. Nhiều nhà toán học (tiêu biểu: N.H.
Abel, J. Bolyai, A.L. Cauchy, J. D’Alembert, L. Euler, M. Fréchet,
C.F. Gauss, J.L.W.V. Jensen, A.N. Kolmogorov, N.I. Lobacevskii,
J.V. Pexider, và S.D. Poisson) đã tiếp cận phương trình hàm theo
các mục tiêu nghiên cứu khác nhau, như nghiên cứu định tính (xác
định một số đặc trưng cơ bản của hàm số) hoặc nghiên cứu định
lượng (ước lượng nghiệm, số nghiệm hay dạng cụ thể của nghiệm),
nghiên cứu nghiệm địa phương hoặc nghiệm toàn cục, nghiên cứu
nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn,...
Dựa vào các phương pháp tiếp cận đó, luận văn đã được hoàn
thành với tên đề tài là: Về phương trình hàm Jensen, tính
ổn định và ứng dụng.
Nội dung luận văn sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về
phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng. Các kết quả
này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] và một số tài liệu liên
quan.
Ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội
dung chính của luận văn được trình bày trong 2 chương.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức về không
gian định chuẩn và sự hội tụ, không gian Banach và tiêu chuẩn hội


2

tụ Cauchy, về hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả.

Chương 2. Phương trình hàm Jensen và tính ổn
định
Ở chương này luận văn trình bày về phương trình hàm Jensen,
cách tìm nghiệm của phương trình hàm Jensen xác định trên trường
số thực và chỉ ra nghiệm liên tục của nó là affine. Sau đó, nghiên
cứu nghiệm liên tục của phương trình hàm Jensen trên khoảng
đóng và bị chặn. Tiếp theo, nghiên cứu nghiệm của phương trình
hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu và một số bài
tập áp dụng. Và cuối cùng, luận văn trình bày tính ổn định của
phương trình hàm Jensen trong đó có tính ổn định Hyers-UlamRassias, sự ổn định trên miền giới hạn và phương pháp điểm bất
động.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Tôi xin gửi cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán
Tin và Phòng Đào tạo của trường. Trân trọng cảm ơn các Thầy,
Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo
mọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập. Đặc biệt, tôi
xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS. Trần Xuân Quý, người Thầy
đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này. Mặc dù rất bận
rộn trong công việc nhưng Thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâm
huyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt
thời gian tôi thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, những người không ngừng
động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn
Học viên. Hoàng Thế Anh


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn
bị
Với mục tiêu tìm hiểu về phương trình hàm Jensen, tính ổn
định và ứng dụng, trong chương này luận văn trình bày một số
kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn và sự hội tụ, không
gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, về hàm lồi, hàm cộng
tính và một số kết quả.
1.1

Không gian định chuẩn và sự hội tụ

Đặt K := R hoặc K := C.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian véc tơ trên trường
K. Khi đó, X được gọi là một không gian định chuẩn trên K nếu
và chỉ nếu tồn tại một chuẩn · trên X, nghĩa là với mọi u, v ∈ X
và α ∈ K, ta có các khẳng định sau:
(i) u ≥ 0 (tức là u là một số thực không âm);
(ii) u = 0 nếu u = 0;
(iii) αu = |α| u ;
(iv) u + v = u + v .


4

Không gian định chuẩn tương ứng trên K = R hoặc K = C
được gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phức. Số u − v
được gọi là khoảng cách giữa 2 điểm u và v. Đặc biệt, u là

khoảng cách giữa điểm u và điểm gốc v = 0. Vì −u = (−1)u, nên
từ (iii) của định nghĩa trên ta có −u = u với mọi u ∈ X.
Từ (iv) ta có (u + v) − w ≤ u + v + w ≤ u + v + w .
N

N

Tổng quát, bằng quy nạp ta có

uj
j=1

≤

uj

với mọi

j=1

u1 , ..., uN ∈ X, N = 1, 2, ...
Ví dụ 1.1.2. Cho X := R. Ta đặt
u := |u|
với mọi u ∈ R, với |u| là một giá trị tuyệt đối của u. Khi đó,
X = R được gọi là một không gian định chuẩn thực.
Ví dụ 1.1.3. Cho X := C. Ta đặt
u := |u|
với mọi u ∈ C, với |u| là một module của số phức u. Khi đó, X
được gọi là một không gian định chuẩn phức.
Mệnh đề 1.1.4. Cho X là một không gian định chuẩn. Khi

đó, với mọi u, v ∈ X, ta có bất đẳng thức sau
| u − v |≤ u±v ≤ u + v .
Định nghĩa 1.1.5. Cho (un ) là một dãy trong không gian định
chuẩn X, tức là, un ∈ X với mọi n. Ký hiệu
lim un = u

n→∞

nếu lim un − u = 0.
n→∞

Ta nói rằng giới hạn của dãy (un ) hội tụ về u. Ta cũng có thể
ký hiệu un → u khi n → ∞.


5

Mệnh đề 1.1.6. Cho X là một không gian định chuẩn trên K.
Cho un , vn , u, v ∈ X và αn , α ∈ K với mọi n = 1, 2, ... Khi đó
ta có các khẳng định sau
(i) Nếu tồn tại giới hạn lim un , thì giới hạn đó là duy nhất.
n→∞

(ii) Nếu un → u khi n → ∞, thì (un ) là bị chặn, nghĩa là tồn
tại một số r ≥ 0 thỏa mãn un ≤ r với mọi n.
(iii) Nếu un → u khi n → ∞, thì un → u khi n → ∞.
(iv) Nếu un → u và vn → v khi n → ∞ thì un + vn → u + v khi
n → ∞.
(v) Nếu un → u và αn → α khi n → ∞ thì αn un → αu khi
n → ∞.

Định nghĩa 1.1.7. Dãy (un ) trên không gian định chuẩn X gọi
là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số n0 (ε) thỏa mãn
un − um < ε
với mọi n, m ≥ n0 (ε).
Mệnh đề 1.1.8. Trong không gian định chuẩn, mọi dãy hội tụ
đều là dãy Cauchy.
1.2

Không gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Định nghĩa 1.2.1. Không gian định chuẩn X gọi là không gian
Banach nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ.
Ví dụ 1.2.2. Không gian X := K là không gian Banach trên K
với chuẩn
u := |u|
với mọi u ∈ K.


6

Ví dụ 1.2.3. Với N = 1, 2, .... Không gian X := KN là không
gian Banach trên K với chuẩn x := |x|∞ , trong đó
|x|∞ := max |ξj | ,
1≤j≤N

với x = (ξ1,..., ξN ) .
Xét xn = (ξ1n,..., ξN n ) . Khi đó
lim |xn − x|∞ = 0 nếu lim ξkn = ξk với mọi k = 1, ..., N .
n→∞

n→∞

Ví dụ 1.2.4. Với N = 1, 2, .... Không gian X := KN là không
gian Banach với chuẩn Euclide · , với


N

 21
ξj2  ,

x := 
j=1

trong đó x = (ξ1,..., ξN ) . Ngoài ra
lim |xn − x| = 0 nếu lim ξkn = ξk với mọi k = 1, ..., N.

n→∞

n→∞

Ví dụ 1.2.5. Với −∞ < a < b < +∞. Khi đó, X := C[a, b] là
không gian Banach với chuẩn
u := max |u(x)| .
a≤x≤b

Sự hội tụ un → x khi n → ∞ trong X, hay được hiểu là
un − u = max |un (x) − u(x)| → 0
a≤x≤b

khi n → ∞.
Mệnh đề 1.2.6. Cho (un ) là dãy Cauchy trong không gian định
chuẩn X. Dãy (un ) chứa một dãy con (unk ) hội tụ tới u. Khi
đó dãy (un ) cũng hội tụ tới u.


7

1.3

Hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả

Hàm f : R → R được gọi là một hàm lồi nếu và chỉ nếu thỏa
mãn
x+y
f (x) + f (y)
f
(1.1)
2
2
với mọi x, y ∈ R.(xem hình vẽ dưới đây).

Hàm lồi lần đầu tiên được giới thiệu bởi J.L.W.V.Jensen năm 1905,
mặc dù hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) đã được nghiên cứu bởi
Hadamard (1893) và Holder (1889).
Ví dụ. Một số ví dụ về hàm lồi
(a) f (x) = ax + b trên R với mọi a, b ∈ R.
(b) f (x) = x2 trên R.
(c) f (x) = eαx trên R với mọi α ≥ 1 hoặc α ≤ 0.
(d) f (x) = |x| trên R với mọi α ≥ 1.

(e) f (x) = x log x trên R+ .
(f) f (x) = tan x trên 0, π2 .


8

Tổng hữu hạn các hàm lồi là một hàm lồi. Tuy nhiên, tích các
hàm lồi chưa chắc lồi. Ví dụ,
f (x) = x2 và g(x) = ex
là một hàm lồi trên R nhưng tích của chúng
h(x) = x2 ex
không phải là hàm lồi trên R. Một hàm A : X → Y được gọi là
hàm cộng tính nếu
A(x + y) = A(x) + A(y) với mọi x, y ∈ X.
Nếu A : R → R là một hàm cộng tính, thì A là một hàm lồi.
Nếu A : R → R là một hàm cộng tính và f : R → R là một
hàm lồi thì hàm hợp f (A(x)) cũng là hàm lồi.
Định lý 1.3.1. Cho X, Y là các không gian Banach. Hàm
f : X → Y thỏa mãn
f (x + y) − f (x) − f (y)

σ

với σ > 0 và với mọi x, y ∈ X. Khi đó giới hạn
Ax = lim 2−n f (2n x)
n→∞

tồn tại với mỗi x ∈ X và A : X → Y là hàm cộng tính duy
nhất thỏa mãn
f (x) − A(x)

σ
với mọi x ∈ X. Ngoài ra, nếu f (tx) liên tục theo t với mỗi
x ∈ X cố định, thì A tuyến tính.
Định lý 1.3.2. Cho X, Y là các không gian Banach. Hàm
f : X → Y thỏa mãn
f (x + y) − f (x) − f (y)

σ( x

p

+ y p)


9

với σ > 0, p ∈ [0, 1) và với mọi x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy
nhất hàm cộng tính A : X → Y thỏa mãn
f (x) − A(x)

2σ
x
2 − 2p

p

với mọi x ∈ X. Ngoài ra, nếu f (tx) liên tục theo t với mỗi
x ∈ X cố định, thì A tuyến tính.
Bổ đề 1.3.3. Cho X là không gian Banach và N là số nguyên
dương. Cho trước c > 0, xét hàm f : (−c, c)N → X thỏa mãn

bất đẳng thức
f (x + y) − f (x) − f (y)

σ

với mỗi σ 0 và với mọi x, y ∈ (−c, c)N với x + y ∈ (−c, c)N .
Khi đó tồn tại hàm cộng tính A : RN → X thỏa mãn
f (x) − A(x)

(5N − 1)σ

với mọi x ∈ (−c, c)N .
Định lý 1.3.4. Cho X là không gian Banach. Giả sử A : X →
X là toán tử co chặt với hằng số Lipschitz L < 1. Nếu tồn tại
số nguyên không âm n sao cho An0 +1 x − An0 x < ∞ với mỗi
x ∈ X thì có các khẳng định sau:
(i) Dãy (An x) hội tụ tới điểm bất động x∗ của A;
(ii) x∗ là điểm bất động duy nhất của A trong X ∗ = {y ∈ X :
An0 x − y < ∞};
(iii) Nếu y ∈ X ∗ thì y − x∗

1
Ay − y .
1−L

Nhận xét, kết quả Định lý 1.3.4 đúng cho không gian metric
đầy đủ.


10

Chương 2

Phương trình hàm
Jensen và tính ổn định
Trong chương này, đầu tiên ta tìm hiểu về phương trình hàm
Jensen, nghiệm tổng quát của phương trình hàm Jensen trên tập
số thực. Chúng ta cũng tìm nghiệm liên tục của phương trình hàm
Jensen trên khoảng đóng và bị chặn [a,b]. Đồng thời, chúng ta đi
nghiên cứu nghiệm của một phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ
từ bất đẳng thức Popoviciu và một số bài tập áp dụng. Các kết
quả và bài tập áp dụng được trích dẫn từ tài liệu [6]. Cuối cùng là
nghiên cứu về tính ổn định của phương trình hàm Jensen cụ thể
là tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, sự ổn định trên miền giới hạn
và phương pháp điểm bất động. Các kết quả được trích dẫn từ các
tài liệu [7, 10, 11].
2.1
2.1.1

Phương trình hàm Jensen
Định nghĩa và ví dụ

Phương trình hàm có dạng
x+y
f (x) + f (y)
=
2
2
với mọi x, y ∈ R được gọi là phương trình hàm Jensen.
f

11

Định nghĩa 2.1.1. Một hàm f : R → R được gọi là hàm Jensen
nếu nó thỏa mãn
f

x+y
f (x) + f (y)
=
, với mọi x, y ∈ R.
2
2

Định nghĩa 2.1.2. Một hàm f : R → R được gọi là affine nếu
nó có dạng
f (x) = ax + b
với a, b là các hằng số tùy ý.
Định lý 2.1.3. Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương
trình hàm Jensen
f

x+y
f (x) + f (y)
=
2
2

(JE)

với mọi x, y ∈ R nếu và chỉ nếu
f (x) = A(x) + a

(2.1)

với A : R → R là một hàm cộng tính và a là một hằng số bất
kì.
Chứng minh. Dễ dàng thấy (2.1) thỏa mãn phương trình hàm
Jensen(JE).
Thay y = 0 và phương trình (JE), ta được
x
f (x) a
+ , với a = f (0).
=
2
2
2

f

(2.2)

Dễ dàng nhận thấy
f (x + y) + a f (x) + f (y)
=
2
2
suy ra
f (x + y) + a = f (x) + f (y).

(2.3)

Cho A : R → R là một hàm số xác định bởi
A(x) = f (x) − a

(2.4)


12

Từ phương trình (2.3), ta suy ra
A(x + y) = A(x) + A(y) hay A là hàm cộng tính.
Do đó ta suy ra
f (x) = A(x) + a
với A : R → R là một hàm cộng tính.
Định lý 2.1.4. Mọi phương trình hàm Jensen liên tục đều
affine.
Định nghĩa 2.1.5. Với m và n là hai số nguyên dương. Số hữu
m
tỉ có dạng n được gọi là một số hữu tỉ nhị nguyên (dyadic).
2
Định lý 2.1.6. Nghiệm liên tục của
f

x+y
f (x) + f (y)
=
2
2

(JE)

với mọi x, y ∈ [a, b] được cho bởi
f (x) = α + βx

(2.5)

với α, β là các hằng số tùy ý.
Chứng minh. Xét hàm số F : [0, 1] −→ R xác định như sau
F (y) = f ((b − a)y + a), y ∈ [0, 1].
Ta chứng minh F thỏa mãn (JE). Thật vậy, từ
F

y+x
x+y
= f (b − a)
+a
2
2
[(b − a)x + a)] + [(b − a)y + a)]
=f
2
f ((b − a)x + a) + ((b − a)y + a)
=
2
F (x) + F (y)
=
, ∀x, y ∈ [0, 1].
2

(2.6)


13

suy ra F thỏa mãn phương trình hàm Jensen trên [0,1]. Thay x = 0
và y = 1 vào (JE), ta được
F

1
2

=

F (0) + F (1) c + d
1
=
= c + (d − c),
2
2
2

1
với c = F (0) và d = F (1). Tương tự, thay x = 0 và y = vào
2
(JE), ta được
F

1

4

Thay x =

F (0) + F
=
2

1
2

c + c + 21 (d − c)
1
=
= c + (d − c).
2
4

1
và y = 1 vào (JE), ta được
2
F

3
4

=

F

1
2

+ F (1)
3
= c + (d − c).
2
4

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng nếu x là số thực bất kỳ có dạng
m
với m, k là các số nguyên dương thỏa mãn 0 ≤ m ≤ 2k , thì
k
2
F (x) = c + x(d − c).

(2.7)

Chúng ta tiếp tục sử dụng quy nạp với k. Ta đã chỉ ra khẳng định
đúng với k = 1, 2. Giả sử (2.7) đúng với k = n. Ta xét hai trường
hợp sau:
2m
.
2n+1
2m + 1
Trường hợp b) x = n+1 .
2
Trường hợp a) x =

a) Ta có

F

2m
2n+1

=F

m
m
2m
=
c
+
(d
−
c)
=
c
+
(d − c),
2n
2n
2n+1


14

b) Ta có
F

2m + 1
2n+1

1 m m+1
+
2 2n
2n
m
m+1
F n +F
2
2n
=
2
1
m
m+1
=
c + n (d − c) + c +
(d − c)
2
2
2n
m+1
= c + n+1 (d − c).
2
=F

Vậy (2.7) thỏa mãn tất cả các giá trị của x trong khoảng [0,1]. Do
đó F liên tục và tập tất cả các số hữu tỉ dyadic trong [0, 1] là trù

mật trên [0, 1], ta có
F (x) = c + x(d − c)
với mọi x ∈ [0, 1]. Hay
f (x) = α + βx,
với α, β là các hằng số tùy ý.
Chú ý 2.1.7. Ta thấy rằng trong chứng minh định lý trên, hàm
F xác định bởi F (x) = f ((b − a)x + a) thỏa mãn phương trình
hàm Jensen trên đoạn [0, 1]. Theo chứng minh của Định lí (JE),
thì hàm số F (x) = A(x) + α, với A : [0, 1] → R là hàm cộng tính
và α là hằng số tùy ý. Như vậy, theo kết quả về phương trình hàm
Cauchy, F có thể mở rộng từ [0, 1] tới R. Vì vậy, nghiệm tổng quát
f : [a, b] → R của phương trình hàm Jensen có thể cho bởi
f (x) = A

(x − a)
+ α,
(b − a)

với A : R → R là hàm cộng tính.
Vì vậy, ta có định lí sau.


15

Định lý 2.1.8. Nghiệm tổng quát của phương trình
f

x+y
f (x) + f (y)
=

2
2

với mọi x, y ∈ [a, b] cho bởi hàm số
f (x) = A

x−a
b−a

+ α,

(2.8)

với α là một hằng số bất kì và A : R → R là một hàm cộng
tính.
2.1.2

Một số phương trình hàm liên quan

Popoviciu (1965) chứng minh rằng nếu I là một khoảng khác
rỗng và f : I → R là một hàm lồi, thì f thỏa mãn bất đẳng thức
x+y+z
3f
+ f (x) + f (y) + f (z)
3
x+y
y+z
z+x
≥2 f
+f

+f
2
2
2
với mọi x, y, z ∈ I. Nếu ta thay bất đẳng thức trên bằng đẳng
thức, ta được một phương trình hàm kiểu Jensen. Trong phần này,
mục tiêu là xác định nghiệm tổng quát của phương trình hàm kiểu
Jensen, tức là tìm nghiệm tổng quát của phương trình,
x+y+z
3f
+ f (x) + f (y) + f (z)
3
x+y
y+z
z+x
=2 f
+f
+f
(2.9)
2
2
2
với mọi x, y, z ∈ R.
Trong Định lý 2.1.9 nghiệm tổng quát của phương trình hàm (2.9)
được xây dựng bởi Trif (2000).
Định lý 2.1.9. Hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình
hàm (2.9) với mọi x, y, z ∈ R nếu và chỉ nếu
f (x) = A(x) + b

(2.10)

16

với mọi x ∈ R, với A : R → R là một hàm cộng tính và b là
một số thực tùy ý.
Chứng minh. Dễ dàng ta thấy được nếu f có dạng (2.10), thì f là
nghiệm của phương trình hàm (2.9).
Ta sẽ chứng minh điều ngược lại. Nghĩa là, mọi nghiệm của (2.9)
đều có dạng (2.10). Trước tiên, ta xác định một hàm số A : R → R
xác định bởi
A(x) = f (x) − b
(2.11)
với mọi x ∈ R, tại b = f (0). Khi đó A(0) = 0 và hàm số A thỏa
x+y+z
mãn 3A
+ A (x) + A (y) + A (z)
3
=2 A

x+y
y+z
z+x
+A
+A
2
2
2

(2.12)

với mọi x, y, z ∈ R. Thay y = x và z = −2x vào (2.9) ta được
A(−2x) = 4A −

x
2

với mọi x ∈ R.

(2.13)

Thay x bằng −x vào (2.13), ta được
A(2x) = 4A

x
2

(2.14)

với mọi x ∈ R. Lại thay x bằng 2x vào (2.14), ta được
A(4x) = 4A(x)

(2.15)

với mọi x ∈ R. Đặt y = z = 0 thay vào (2.12) và kết hợp với
(2.14), ta được
x
= A (2x) − A (x)
(2.16)
3A

3
với mọi x ∈ R. Thay y = x và z = 0 vào (2.12) và kết hợp với
(2.16), ta được
x
A(4x) = A(2x) − 4A
(2.17)
2


17

với mọi x ∈ R. Từ (2.14), (2.15) và (2.17) ta được
A(2x) = 2A(x)

(2.18)

với mọi x ∈ R. Đặt y = x và z = −x vào (2.12) kết hợp với (2.16)
và (2.17), ta được
A(−x) = −A(x)
(2.19)
với mọi x ∈ R. Cuối cùng, thay z = −x − y vào (2.12) kết hợp
(2.17) và (2.18), ta được
A(x + y) = A(x) + A(y)
với mọi x, y ∈ R. Như vậy A : R → R là một hàm cộng tính và từ
(2.11) ta thu được (2.10).
2.1.3

Một số bài toán áp dụng

Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn phương

trình hàm
x+y+z
f (x) + f (y) + f (z)
f
=
3
3
với mọi x, y, z ∈ R.
Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm f : [0, 1] → R thỏa mãn phương
trình hàm
x+y+z
f (x) + f (y) + f (z)
f
=
3
3
với mọi x, y, z ∈ [0, 1].
Bài toán 3. Tìm tất cả các hàm f : C → C thỏa mãn phương
trình hàm
x+y
|f (x)| + |f (y)|
f
=
2
2
với mọi x, y ∈ C.


18

Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm f : C → C thỏa mãn phương
trình hàm
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)
với mọi x, y ∈ C.
Bài toán 5. Với p, q, r là ba số nguyên dương cho trước. Tìm tất
cả các hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm
f

px + qy
pf (x) + qf (y)
=
r
r

với mọi x, y ∈ C.
Bài toán 6. Tìm tất cả các hàm f : R2 → R thỏa mãn phương
trình hàm
3f

x1 + x2 y1 + y2
f (x1 , x2 ) + f (y1 , y2 )
,
=
2
2
2

với mọi x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R.
Bài toán 7. Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn phương
trình hàm

x+y+z
x+y
y+z
3f
+ f (x) + f (y) + f (z) = 2 f
+f
3
2
2
z+x
+f
.
2
với mọi x, y, z ∈ R.
Bài toán 8. Chứng minh rằng 1 hàm số f : R → R thỏa mãn
phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) với mọi x, y ∈ R
thì nó cũng thỏa mãn phương trình hàm
f (x + y + z) + f (x) + f (y) + f (z) = f (x + y) + f (y + z) + f (z + x)


19

Bài toán 9. Cho n > 3 và n nguyên dương. Tìm tất cả các hàm
số thỏa mãn phương trình hàm
f

x1 + x2 + ... + xn
f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn )
=
n

n

với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ R.
Bài toán 10. Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn phương
trình hàm
f (x + 2y) + f (x − 2y) = 2f (x)
với mọi x, y ∈ R.
Bài toán 11. Nếu A : R → R là một hàm cộng tính và f : R → R
là một hàm lồi thì khi đó hàm hợp f (A(x)) cũng là một hàm lồi.
2.2

Tính ổn định của phương trình hàm Jensen

Có nhiều biến thể của phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví
dụ phương trình Cauchy cộng tính dạng tổng quát, phương trình
Hosszú, phương trình thuần nhất, phương trình hàm tuyến tính,
vv. . . Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen là phương trình đơn
giản nhất và quan trọng nhất trong số đó. Những vấn đề về tính
ổn định Hyers-Ulam-Rassias của phương trình Jensen được chứng
minh trong mục 2.2.1 dưới đây, và những vấn đề về tính ổn định
Hyers-Ulam của phương trình này trên miền giới hạn sẽ được thảo
luận trong mục 2.2.2. Hơn nữa, kết quả tính ổn định trên miền giới
hạn sẽ được áp dụng để nghiên cứu về tính tiệm cận của hàm cộng
tính. Trong mục cuối của phần này 2.2.3, chúng tôi sẽ trình bày
một cách tiếp cận khác để chứng minh tính ổn định, đó là phương
pháp điểm bất động.


20
2.2.1

Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias

Có thể nói, biến thể đơn giản nhất của phương trình hàm
Cauchy cộng tính là phương trình hàm Jensen, tức là dạng
2f

x+y
= f (x) + f (y)
2

Nghiệm của phương trình hàm Jensen được gọi là hàm Jensen. Nó
được biết đến như một hàm f từ không gian vectơ thực vào chính
nó, với f (0) = 0, là một hàm Jensen khi và chỉ khi nó là hàm
cộng tính. Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về tính ổn định
Hyers-Ulam-Rassias của phương trình hàm Jensen. Các kết quả
được trích dẫn từ các tài liệu [7, 11].
Định lý 2.2.1 (Jung). Cho E1 và E2 lần lượt là không gian định
chuẩn thực và không gian Banach thực. Giả sử rằng δ, θ ≥ 0 và
cho p > 0 với p = 1. Giả sử một hàm số f : E1 → E2 thỏa mãn
bất phương trình hàm
2f

x+y
− f (x) − f (y) ≤ δ + θ ( x
2

p

+ y p)

(2.20)

với mọi x, y ∈ E1 . Hơn nữa, giả sử f (0) = 0 và δ = 0 trong
(2.20) cho trường hợp p > 1. Khi đó, tồn tại duy nhất hàm
cộng tính A : E1 → E2 thỏa mãn
f (x) − A(x) ≤

δ + f (0) + (21−p − 1)θ x p ), với p < 1
−1
2p−1 (2p−1 − 1) θ x p , với p > 1
(2.21)

với mọi x ∈ E1 .
Chứng minh. Nếu ta thay y = 0 vào (2.20) thì ta có:
2f (x/2) − f (x) ≤ δ + f (0) + θ x
với mọi x thuộc E1 .

p

(a)


21

Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh
n
−n

n

2 f (2 x) − f (x) ≤ (δ + f (0) )

n

2

−k

+θ x

k=1

p

2−(1−p)k
k=1

(b)
trong trường hợp 0 < p < 1. Bằng phép thế 2x cho x vào (a), ta
thấy (b) đúng với n = 1. Bây giờ giả sử rằng bất phương trình (b)
đúng với n ∈ N. Nếu chúng ta thế x trong (a) bằng 2n+1 x thì từ
(b) suy ra
2−(n+1) f (2n+1 x) − f (x)
≤ 2−n 2−1 f (2n+1 x) − f (2n x) + 2−n f (2n x) − f (x)
n+1

≤ (δ + f (0) )

−k

2

p

+θ x

k=1

n+1

2−(1−p)k

k=1

Bất phương trình (b) được chứng minh.
Ta đặt
A(x) = lim 2−n f (2n x)
n→∞

(c)

với mọi x ∈ E1 . Hàm số A hoàn toàn xác định bởi vì E2 là không
gian Banach và dãy {2−n f (2n x)} là dãy Cauchy với mọi x thuộc
E1 . Cho n > m, từ (b) ta có
2−n f (2n x) − 2−m f (2m x)
= 2−m 2−(n−m) f (2n−m .2m x) − f (2m x)
2mp
θ x p
≤ 2−m δ + f (0) + 1−p

2
−1
→ 0 khi m → ∞
Xét x, y ∈ E1 tùy ý. Khi đó, từ (c) và (2.20), suy ra
||A(x + y) − A(x) − A(y)|| =
2n+1 (x + y)
−(n+1)
= lim 2
2f
n→∞
2
≤ lim 2−(n+1) δ + θ2(n+1)p ( x
n→∞

p

− f (2n+1 x) − f (2n+1 y)
+ y p)

Vì vậy, A là một hàm cộng tính, và bất đẳng thức (b), định nghĩa