Một số thuật toán phân tích số nguyên hiện đại và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ BÌNH

MỘT SỐ THUẬT TOÁN
PHÂN TÍCH SỐ NGUYÊN HIỆN ĐẠI
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ BÌNH

MỘT SỐ THUẬT TOÁN
PHÂN TÍCH SỐ NGUYÊN HIỆN ĐẠI
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2017


3

Mục lục

Danh sách kí hiệu

5

MỞ ĐẦU

6

Chương 1. Thám mã và một số thuật toán phân tích số nguyên cổ điển

8

1.1

Thám mã và phân tích số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Phân tích Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Phân tích Pollard p − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Một số thuật toán hiện đại phân tích số nguyên

20

2.1

Sự kiểm tra ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Thuật toán phân tích ρ của Pollard . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Phương pháp phân tích Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4

Phương pháp phân tích dùng đường cong elliptic . . . . . . . . . .

26

2.5

Phương pháp phân tích bằng sàng trường số . . . . . . . . . . . .

28

2.6

Khả năng phân tích số bằng các “chip” chuyên dụng . . . . . . . .

30

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

33


4

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Hà Huy Khoái
(Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội). Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình đã dành nhiều
công sức hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên
đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và
nghiên cứu.
Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể Lớp B, cao
học Toán khóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong
suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào
tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THPT Nguyễn
Đức Cảnh, Huyện Kiến Thụy, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác
giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình.
Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố mẹ
và đại gia đình đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn
thành tốt luận văn này.


5

Danh sách kí hiệu

Z

vành các số nguyên

Q

trường các số hữu tỷ

Fp

trường có p phần tử

K[X]

vành đa thức với hệ số trên trường K

x

trần của số x

deg P(X)

bậc của đa thức P(X)

mod p

modulo p

gcd(P(X), Q(X))

ước chung lớn nhất của P(X) và Q(X)

exp(·)

hàm số mũ

gcd(a, b)

ước chung lớn nhất của a và b

a|b

a là ước của b

N

sàn của số N

F[α]

trường mở rộng của trường F


6

Mở đầu
Trước những năm 70 của thế kỷ XX, Số học thường được xem là một
trong những ngành toán học thuần tuý, chỉ có ý nghĩa lý thuyết. Đối tượng
nghiên cứu của Số học là các quy luật trong tập hợp số nguyên; các giả
thuyết lớn tồn tại trong Số học thường là các giả thuyết về số nguyên tố.
Thậm chí, có những nhà toán học cho rằng, vẻ đẹp của số học có được nhờ
sự xa rời thực tiễn của nó.
Ngày nay, những ứng dụng lớn lao và bất ngờ của Số học vào mật mã
cho ta thấy rằng quan niệm trên đã hoàn toàn thay đổi. Vẻ đẹp của Số học
không chỉ thể hiện trong ý nghĩa “thuần tuý” của nó, mà cả trong những

ứng dụng bất ngờ vào thực tiễn. Cách đây khoảng 30 năm, khó có thể hình
dung được rằng, một số kết quả lý thuyết trong Số học lại làm nên một
cuộc cách mạng trong bảo mật thông tin trong Lý thuyết mật mã. Cơ sở
của những ứng dụng đó chính là Số học thuật toán, lĩnh vực nghiên cứu các
thuật toán trong Số học. Trong lĩnh vực Lý thuyết mật mã, mật mã khóa
công khai là một dạng mật mã cho phép người sử dụng trao đổi các thông
tin mật mà không cần phải trao đổi các khóa chung bí mật trước đó. Điều
này được thực hiện bằng cách sử dụng một cặp khóa có quan hệ toán học
với nhau là khóa công khai và khóa cá nhân (hay khóa bí mật). Cơ sở toán
học của vấn đề này là việc phân tích các số tự nhiên và một số vấn đề liên


7
quan đến chúng.
Luận văn này có mục đích tìm hiểu sơ lược về cơ sở toán học của Lý
thuyết mật mã, đồng thời phân tích sâu hơn các thuật toán phân tích số tự
nhiên để làm cơ sở toán học cho ứng dụng. Ngoài các phần Mở đầu, Kết
luận, Tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong hai
chương:

• Chương 1. Thám mã và một số thuật toán cổ điển phân tích số nguyên.
Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về thám mã
và sau đó là một số thuật toán cổ điển phân tích số nguyên, làm cơ sở
so sánh và phát triển cho chương tiếp theo.
• Chương 2. Một số thuật toán hiện đại phân tích số nguyên. Đây là nội
dung chính của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày một số thuật toán hiện
đại phân tích số nguyên như thuật toán phân tích Pollard, phân tích
dùng đường cong elliptic hoặc sàng trường số.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 7 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Bình


8

Chương 1

Thám mã và một số thuật toán cổ điển
phân tích số nguyên

1.1

Thám mã và phân tích số nguyên

Phần này em sẽ trình bày về thám mã. Thám mã là một vấn đề phức tạp
nên trong luận văn này em xin phép chỉ đề cập những vấn đề đơn giản nhất.
Phần đầu trong trình bày chúng tôi dựa vào [2].
Thám mã (hay phân tích mã - cryptanalysis) là việc nghiên cứu các
phương pháp “phá vỡ” bức màn ngụy trang văn bản (do việc mã hóa tạo
nên) để có thể hiểu được nội dung văn bản.
Hiện nay, trên quan điểm thám mã, người ta phân các hệ mã thành ba
loại:

• Loại đã bị phá;
• Loại chưa được nghiên cứu phân tích (vì còn mới, hoặc vì chưa được
dùng rộng rãi);

9
• Loại đã được nghiên cứu nhưng chưa bị phá (RSA, IDEA, các hệ mã
sử dụng logarit rời rạc, đường cong elliptic, . . . ).
Có ba cách thông dụng trong việc chuyển hóa văn bản mã thành văn
bản gốc:
• Ăn trộm, hối lộ, hoặc mua (với giá rất cao) để có được chìa khóa;
• Khai thác tính cẩu thả hoặc lỏng lẻo của người dùng khóa (ví dụ : có
người hay dùng tên người thân để làm mật khẩu hoặc chìa khóa);
• Phân tích mã (tức là thám mã).
Bây giờ, ta sẽ thảo luận về một số phương pháp thám mã. Thực tế, thám
mã sẽ phức tạp hơn nếu người ta không biết hệ mật mã đã được sử dụng.
chúng ta giả sử người thám mã đã biết rõ hệ mật mã được sử dụng khi tiến
hành phân tích mã. Mục đích là thiết kế được một hệ mật mã an toàn bảo
mật.
Dưới đây ta sẽ liệt kê các loại tấn công vào hệ mật mã. Mức độ tấn công
sẽ phụ thuộc vào hiểu biết của người thám mã đối với hệ mật mã được sử
dụng :
• Tấn công chỉ biết bản mã (ciphertext-only): người thám mã chỉ có
bản tin mã hóa.
• Tấn công biết bản tin rõ (known plaintext): người thám mã có bản
tin rõ và bản mã.


10
• Tấn công chọn bản tin rõ (chosen plaintext): người thám mã tạm
thời có quyền truy xuất tới bộ mã hóa, do đó người thám mã có khả
năng chọn bản tin rõ và xây dựng bản mã tương ứng.
• Tấn công chọn bản mã (chosen ciphertext): người thám mã tạm thời
có quyền truy xuất tới bộ giải mã, do đó anh ta có khả năng chọn bản
mã và xây dựng lại bản tin rõ tương ứng.

Bây giờ ta sẽ liệt kê các phương pháp thám mã

1. Thám mã tích cực là việc thám mã sau đó tìm cách làm sai lạc các dữ
liệu truyền, nhận hoặc các dữ liệu lưu trữ phục vụ mục đích của người
thám mã.
2. Thám mã thụ động là việc thám mã để có được thông tin về bản tin rõ
phục vụ mục đích của người thám mã.
3. Thám mã affine. Trong mật mã affine, đầu tiên bảng chữ cái của thông
điệp cần mã hóa có kích thước m sẽ được chuyển thành các con số
tự nhiên từ 0, . . . , m − 1. Sau đó dùng một hàm modulo để mã hóa và
chuyển thành bản mã. Hàm mã hóa cho một ký tự như sau:
e(x) = (ax + b) (mod m)
với m là kích thước của bảng chữ cái, a và b là khóa mã. Giá trị a được
chọn sao cho a và m là nguyên tố cùng nhau.
Giả sử Trudy đã lấy được bản mã sau đây:


11
FMXVEDKAPHFERBNDKRXRSREFMORUD
SDKDVSHVUFEDKAPRKDLYEVLRHHRH
Trudy thống kê tần suất xuất hiện của 26 chữ cái như trong bảng sau:
A 2 N 1
B 1 O 1
C 0

P

3

D 6 Q 0
E 5 R 8
F

4

S

3

G 0

T

0

H 5 U 2
I

0 V 4

J

0 W 0

K 5 X 2
L 2 Y 1
M 2

Z

0

Các chữ cái trong bản mã xuất hiện tổng là 57 lần, nhưng phương pháp
này tỏ ra hiệu quả để thám mã affine. Ta thấy tần suất xuất hiện các
chữ cái theo thứ tự là: R là 8, D là 6, E, H, K là 5 và F, S, V là 4. Vì
vậy dự đoán đầu tiên của ta có thể là R là mã của e, D là mã của t.
Theo đó, eK (4) = 17 và eK (19) = 3. Mà ta có eK (x) = ax + b. Để tìm


12
K = (a, b) ta giải hệ phương trình:



4a + b ≡ 17 (mod 26)


19a + b ≡ 3 (mod 26) .
Giải hệ phương trình này ta được a = 6, b = 19. Đây không phải là
khóa vì gcd(a, 26) = 2 > 1. Ta lại tiếp tục phỏng đoán rằng R là mã
của e, E là mã của t. Ta nhận được a = 13, chưa thỏa mãn. Tiếp tục với
H, ta có a = 8. Cuối cùng, với K ta tìm được K = (3, 5). Sử dụng khóa
mã này ta có được bản tin rõ là
algorithmsrequiregeneraldefinitionsofarithmeticprocesses
(algorithms require general definitions of arithmetic processes)

1.2

Phân tích Fermat

Trước khi thảo luận về các thuật toán phân tích số nguyên, ta sẽ giới thiệu
một số quy ước về thuật ngữ và khái niệm cơ sở.
Ta sẽ bắt đầu với các thuật ngữ của sẽ được dùng trong trình bày:

• Kí hiệu O lớn (big O notation). Hàm f (x) là O(g(x)) khi x → ∞ nếu
và chỉ nếu có các số dương c và k sao cho với mọi x > k, ta có
0 < f (n) ≤ cg(n).
Ta xét ví dụ f (x) = 2x2 + x + 1 là O(x2 ) khi x → ∞ với c = 2, k = 0.


13
Kí hiệu O lớn được áp dụng trong thời gian chạy (running time) hoặc
trong yêu cầu lưu trữ (storage requirements) của một thuật toán. Trong
trình bày, để ngắn gọn ta cũng có thể chỉ cần viết O(g(x)), và được giả
thiết là ta xét với x → ∞. Khi ta xét hàm nhiều biến, thì biến mà dần tới
vô hạn sẽ được chỉ ra. Như một phần trong định nghĩa của O(g(x)), tất
cả các sự kiện xảy ra sẽ được xét với x → ∞.
• Phân tích tầm thường (trivial factor). Phân tích tầm thường là phân
tích mà nhân tử là s = 1 hoặc s = N.
• Phân tích không tầm thường (nontrivial factor). Phân tích không tầm
thường là phân tích một số nguyên mà trong phép phân tích có nhân tử
s thỏa mãn 1 < s < N.
• Số nguyên tố (prime number). Một số nguyên dương lớn hơn 1 được
gọi là nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Với các khái niệm trên, ta có Định lý cơ bản của số học đó là : Mọi số tự
nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ
tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố.
Luận văn này có mục đích trình bày về thuật toán phân tích số nguyên.

Ta hãy xem xét một lý do dẫn đến việc làm này.
Định lý cơ bản của số học kéo theo nhận xét rằng mọi số nguyên đều
có thể được phân tích thành tích .


14
Xét số
N = 25195908475657893494027183240048398571429282126204
03202777713783604366202070759555626401852588078440
69182906412495150821892985591491761845028084891200
72844992687392807287776735971418347270261896375014
97182469116507761337985909570009733045974880842840
17974291006424586918171951187461215151726546322822
16869987549182422433637259085141865462043576798423
38718477444792073993423658482382428119816381501067
48104516603773060562016196762561338441436038339044
14952634432190114657544454178424020924616515723350
77870774981712577246796292638635637328991215483143
81678998850404453640235273819513786365643912120103
97122822120720357.
Số nguyên này được biết như là RSA-2048. Vào tháng 3/1991, Phòng thí
nghiệm RSA (RSA Laboratories) đã thông báo giải thưởng USD 200.000
cho sự phân tích thành công số nguyên này. Tính đến tháng 11/2004, số
này vẫn chưa được phân tích.
Nếu biết trước hai số nguyên tố lớn thì ta sẽ có một thuật toán nhanh
để nhân chúng với nhau. Tuy nhiên, trong tình huống ngược lại, nếu cho
tích của hai số nguyên tố, rất khó phân tích ngược lại để tìm ra hai số như
vậy. Thuật toán nhanh nhất được biết đến hiện nay có tên gọi Sàng trường

15
số tổng quát (General Number Field Sieve (GNFS)), mà nếu lấy trung bình
thì sẽ cần
S = O exp

64
n
9

1/3

(log n)2/3

bước để phân tích một số nguyên với n chữ số thập phân.
Thời gian chạy thuật toán bị chặn dưới bởi hàm đa thức, và bị chặn trên
bởi hàm mũ theo n. Chính sự khó khăn của việc phân tích các số nguyên
lớn sẽ là cơ sở cho một số thuật toán mật mã hiện đại.
Bây giờ ta sẽ trình bày về phân tích Fermat. Thuật toán này được phát
minh bởi nhà toán học Pierre de Fermat trong những năm 1600 (xem Weisstein E.W. [5]). Để làm phân tích Fermat, ta viết một hợp số N thành hiệu
của hai bình phương,
N = x2 − y2 .
Hiệu này của các bình phương dẫn đến sự phân tích của N
N = (x + y)(x − y).
Giả sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường lẻ của N thỏa mãn
st = N và s ≤ t. Ta tìm x và y sao cho s = (x − y) và t = (x + y). Giải
phương trình này, ta tìm x = (s + t)/2 và y = (t − s)/2. Ở đây, x và y là các
số tự nhiên, do hiệu số giữa hai số lẻ là chẵn, và một số chẵn là bội của 2.
Do s > 1 và t ≥ s, ta tìm x ≥ 1 và y ≥ 0. Trong trường hợp riêng, các số x, y
√
thỏa mãn s = (x − y) và t = (x + y), vì vậy x = N + y2 , và do đó x ≥ N.

Cũng vậy, x = (s + t)/2 ≤ 2t/2 ≤ N.
Đối với thuật toán này, ta chọn x1 =

√
N, và xi+1 = xi + 1. Với mỗi i, ta


16
kiểm tra khi nào thì yi =

xi2 − N là một số nguyên và khi nào thì (xi + yi ),

(xi − yi ) là các nhân tử không tầm thường N. Nếu cả hai điều kiện đó xảy
ra, ta có được một phân tích không tầm thường. Nếu không, ta tiếp tục với
i tiếp theo.
Dưới đây là thuật toán.

function fermatFactor(N)
for x from ceil(sqrt(N)) to N
ySquared := x * x - N
if isSquare(ySquared) then
y := sqrt(ySquared)
s := (x - y)
t := (x + y)
if s <> 1 and s <> N then
return s, t
end if
end if
end for
end function

trong đó hàm isSquare(z) đúng nếu z là một số chính phương và sai nếu
ngược lại.


17

1.3

Phân tích Pollard p − 1

Phương pháp phân tích Pollard p − 1 được giới thiệu bởi Pollard J.M. năm
1974 (xem Weisstein E.W. [8]). Nó dựa trên Định lí Fermat nhỏ được phát
biểu như sau:
Định lí 1.3.1 (Định lí Fermat nhỏ). Nếu p là một số nguyên tố, a là một số
tự nhiên và p | a thì a p−1 ≡ 1 (mod p).
Giả sử chúng ta có một số nguyên dương k ≥ 1 và một số nguyên tố
p > 2 sao cho (p − 1) | k!. Bây giờ ta áp dụng Định lí Fermat nhỏ với a = 2,
2 p−1 ≡ 1 (mod p).
Nhưng do (p − 1) | k! nên ta có thể viết k! = (p − 1)q với một số nguyên
dương q nào đó. Ta có
2k! ≡ (2 p−1 )q ≡ 1q ≡ 1 (mod p).
Do vậy p | 2k! − 1. Nếu N là một số nguyên có nhân tử nguyên tố không
tầm thường p, thì p là ước của 2k! − 1 + Nt với mọi số nguyên t. Ta có thể
tính xk ≡ 2k! − 1 (mod N) với k = 1, 2, 3, . . . , và với mỗi xk kiểm tra xem
có tồn tại một số nguyên rk = gcd(xk , N) mà là ước của cả xk và N. Nếu
(p − 1) | k! thì p | xk và do đó rk là một nhân tử không tầm thường của N.
Nếu rk không phải là một nhân tử không tầm thường của N, thì nó là một
nhân tử tầm thường của N, tức là rk = 1 hoặc rk = N. Thuật toán như sau:
• Tính rk = gcd(2k! − 1, N) với k = 1, 2, 3 . . .. Nếu rk ∈

/ {1, N} thì rk là
một nhân tử không tầm thường và ta hoàn thành công việc cần làm.


18
• Ta có thể viết 2k! ≡ (2(k−1)! )k (mod n), sao cho nếu 2(k−1)! là đã biết
theo (mod n), thì 2k! có thể tính được chỉ với một phép toán lũy thừa
modulo một số.

Ta trình bày thuật toán.

function pollard_p1(N)
# Initial value 2^(k!) for k = 0.
two_k_fact := 1
for k from 1 to infinity
# Calculate 2^(k!) (mod N) from 2^((k-1)!).
two_k_fact := modPow(two_k_fact, k, N)
rk := gcd(two_k_fact - 1, N)
if rk <> 1 and rk <> N then
return rk, N/rk
end if
end for
end function

Trong đó modPow(a, b, m) lại là số nguyên nhỏ nhất không âm sao cho
ab ≡ y (mod m). Hàm này được gọi là “số mũ modular”.
Ta trình bày thuật toán hiệu quả đối với số mũ modular. Ta viết b trong
hệ nhị phân dưới dạng
b = b0 20 + b1 21 + . . . + bn−1 2n−1

19
và thấy rằng ab có thể viết lại dưới dạng
0

1

ab = ab0 2 ab1 2 . . . 2bn−1 2
Chú ý với mỗi k, a2

k

bk

n−1

0

= a2

b0

1

a2

b1

. . . a2

n−1

bn−1

.

k

là 1 nếu bk = 0 và a2 nếu ngược lại. Do đó ta có
n−1

b

a =

∏

k

a2 .

k=0, bk =0

Chú ý rằng a2

k+1

k

= a2·2 = a2

k

2

. Bằng phương pháp bình phương liên

tiếp, ta có thể thiết kế một thuật toán tìm kiếm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho
ab ≡ y (mod m).

function modPow(a, b, m):
ans := 1
a := a % m
for k from 0 to infinity
if 2^k>b then
return ans
end if
if (bit k of b is nonzero) then
ans := (ans * a) % m
a := (a * a) % m
end for
end function


20

Chương 2

Một số thuật toán hiện đại
phân tích số nguyên

Trong Chương 2 này, chúng tôi sẽ thảo luận về một số thuật toán hiện
đại phân tích số nguyên.

2.1

Sự kiểm tra ước

Sự kiểm tra ước là thuật toán đơn giản nhất để phân tích số nguyên. Giả
sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường của N sao cho st = N và
s ≤ t. Để thực hiện thuật toán kiểm tra ước, một cách đơn giản là kiểm tra
√
xem s | N với s = 2, . . . , N . Khi một nhân tử như vậy s được tìm thấy
thì t = N/s cũng là một nhân tử, và một phép phân tích đã được tìm thấy
cho N. Ràng buộc trên s ≤ N được cung cấp bởi định lí sau đây:
Định lí 2.1.1. Nếu N có nhân tử không tầm thường s, t với st = N và s ≤ t,
√
thì s ≤ N.
Chứng minh. Do s là nhân tử của N nên ta có s > N. Khi đó t ≥ s >

√
N,


21
và st > N, mà điều này lại mâu thuẫn với giả thiết rằng st = N. Do đó
s ≤ N.
Thuật toán như sau
function trialDivision(N)
for s from 2 to floor(sqrt(N))
if s divides N then

return s, N/s
end if
end for
end function
Nếu thuật toán này cho hợp số N, thì nó đưa ra một cặp nhân tử không tầm
thường s, t với s ≤ t. Phát biểu s | N tương đương với s ≡ 0 (mod N).

2.2

Thuật toán phân tích ρ của Pollard

Phương pháp phân tích ρ của Pollard là một phương pháp xác suất để phân
tích một hợp số N bởi phép lặp một modulo đa thức N. Phương pháp này
được công bố bởi J.M. Pollard năm 1975. Giả sử chúng ta xây dựng dãy
x0 ≡ 2 (mod n),
xn+1 ≡ xn2 + 1 (mod n).
Dãy này là dãy tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó. Có thể chứng minh rằng
độ dài của chu trình nhỏ hơn hoặc bằng N bằng phương pháp phản chứng:


22
Giả sử rằng độ dài của chu trình là L lớn hơn N, tuy nhiên ta chỉ có N giá
trị phân biệt xn trong chu trình có độ dài L > N, vì vậy phải tồn tại hai giá
trị xn là đồng dư nhau, và chúng có thể được xác định là “các điểm xuất
phát” của một chu trình có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng N. Các lập luận xác
suất chứng tỏ rằng thời gian dự kiến để dãy này theo mod n rơi vào một
√
chu trình và độ dài dự kiến của chu trình là tỷ lệ với N, với hầu hết N
(xem Weisstein E.W. [6]). Các giá trị ban đầu và các hàm lặp thường dùng
khác nhau, nhưng hàm f (n) = xn2 + 1 cho thấy là làm việc tốt trong thực tế

bài toán phân tích số nguyên.
Giả sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường của N thỏa mãn
st = N và s ≤ t. Bây giờ giả sử rằng ta đã tìm được các số nguyên không
âm i và j với i < j sao cho xi ≡ x j (mod s) nhưng xi ≡ x j (mod n). Do
s | (xi − x j ) và s | N, ta có s | gcd(xi − x j , N). Bởi giả thiết s ≥ 2, ta có
gcd(xi −x j, N) ≥ 2. Bởi định nghĩa, ta có gcd(xi −x j , N) | N. Ngoài ra, ta có
N | (xi − x j ) và do đó N | gcd(xi − x j , N). Chúng ta cũng có N | gcd(xi −
x j , N), gcd(xi − x j , N) > 1 và gcd(xi − x j , N) | N. Như vậy, gcd(xi − x j , N)
là một nhân tử không tầm thường của N.
Bây giờ ta phải tìm i, j sao cho xi ≡ x j (mod s) và xi ≡ x j (mod n).
Nhận thấy rằng các dãy xn (mod s) là tuần hoàn với độ dài của chu trình
tỷ lệ với s. Pollard đã đề xuất là xn được so sánh với x2n , với n = 1, 2, 3, . . ..
Với mỗi n, ta kiểm tra xem d(xn − x2n , N) có là một nhân tử không tầm
thường của N hay không, ta lặp lại quá trình cho đến khi một nhân tử được
tìm thấy. Nếu không có nhân tử được tìm thấy, thuật toán sẽ không chấm


23
dứt.
Thuật toán là

function pollardRho(N)
# Initial values x(i) and x(2*i) for i = 0.
xi := 2
x2i := 2
do
# Find x(i+1) and x(2*(i+1))
xiPrime := xi ^ 2 + 1
x2iPrime := (x2i ^ 2 + 1) ^ 2 + 1
# Increment i: change our running values

for x(i), x(2*i).
xi := xiPrime % N
x2i := x2iPrime % N
s := gcd(xi - x2i, N)
if s <> 1 and s <> N then
return s, N/s
end if
end do
end function

trong đó a % m là toán tử modulo, nó cho ta số nguyên không âm nhỏ nhất
sao cho ab ≡ y (mod m).


24

2.3

Phương pháp phân tích Brent

Phương pháp phân tích Brent là một sự cải thiện thuật toán ρ Pollard, được
công bố bởi R. Brent năm 1980 (xem Weisstein E.W. [7]). Trong thuật toán
ρ của Pollard, cố gắng để tìm thấy một nhân tử không tầm thường s của N
bằng cách tìm các chỉ số i, j với i < j sao cho xi ≡ x j (mod s) và xi ≡ x j
(mod n). Dãy xn được định nghĩa bởi quan hệ truy hồi
x0 ≡ 2 (mod N)
xn+1 ≡ xn2 + 2 (mod N).
Pollard đã gợi ý rằng xn được so sánh với x2n trong đó n = 1, 2, 3, . . .. Brent
đã cải thiện phương pháp của Pollard bằng cách so sánh xn với xm , trong
đó m là lũy thừa nguyên của 2 nhỏ hơn n.

Thuật toán là

function brentFactor(N)
# Initial values x(i) and x(m) for i = 0.
xi := 2
xm := 2
for i from 1 to infinity
# Find x(i) from x(i-1).
xi := (xi ^ 2 + 1) % N
s := gcd(xi - xm, N)
if s <> 1 and s <> N then


25
return s, N/s
end if
if integralPowerOf2(i) then
xm := xi
end if
end do
end function

trong đó hàm integralPowerOf2(z) đúng nếu z là một lũy thừa nguyên
của 2 và sai nếu ngược lại. Việc triển khai hiệu quả cho hàm này có thể
được thực hiện bằng cách kiểm tra các lũy thừa kế tiếp của 2 cho đến khi
lũy thừa của 2 bằng hoặc vượt quá z

function integralPowerOf2(z)
pow2 := 1
while pow2 <= z do

if pow2 = z then
return true
end if
pow2 := pow2 * 2
end while
return false
end function