Một số phương pháp giải bài toán về khoảng cách trong không gian lớp 11 dành cho HS trung bình, khá 2

PhÇn mét

PhÇn më ®Çu
1.Lí do chọn đề tài:
Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình
học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học.Đặc biệt
là phần hình học không gian.Có thể nói đây là phần tổng hợp rất nhiều kiến thức về
định lượng cũng như định tính của tất cả các kiến thức về hình mà các em đã được
học ở các lớp dưới,nếu không nói là những kiến thức từ khi bắt đầu đi học( về hình
học),ngoài những yêu cầu về học tập như những môn học khác, bộ môn này còn
yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng cao- đây là một yêu cầu mà không phải đa số
học sinh đáp ứng được,nhất là những học sinh lớp đại trà.Trong thực tế 13 năm
giảng dạy-chủ yếu đối tượng của tôi là học sinh những lớp đại trà, bản thân nhận
thấy kết quả học tập của học sinh ở phần này không cao,với những trăn trở trên con
đường giúp học sinh nâng cao chất lượng học phần này và với khả năng cho phép
của bản thân tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống bài tập cũng như phương pháp giải
của phần Bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Đây chính là lí do chọn
đề tài này.
2.Mục đích nghiên cứu:
Víi hệ thống bài tập và câu hỏi gợi ý,hướng dẫn trong tài liệu này, giúp cho
học sinh hiểu được và nắm bài nhanh nhất, có như vậy sẽ góp phần tạo hứng thú
cho học sinh trong học tập bộ môn Hình học nói riêng và môn toán nói chung .
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh rất khó hình các mối quan hệ
hình học,do đó việc giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian là tương đối
khó khăn,nhất là đối với những lớp đại trà vì nó rất trừu tượng.
Với mong muốn giúp các em phần nào đó tháo gỡ được những khó khăn của
bản thân để các em có cơ hội học tốt những phần hình học ở lớp 12- một nội dung
kiến thức được cho là quan trọng trong các kỳ thi.
3.Đối tượng nghiên cứu:
1

Trong phạm vi của bài viết này tôi đề cập đến 3 dạng bài tập:
Dạng 1:Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song,giữa hai mặt phẳng song song.
Dạng 3:Bài toán xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp điều tra khảo sát thực tế,thu thậ thông
tin kết hợp với Phương pháp thống kê, xử lý số liệu .

PhÇn hai
néi dung cña ®Ò tµi
1.Cơ sở lí luận:
A.Hình học phẳng:
1)Tỉ số góc nhọn trong tam giác vuông:
2)Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
AB
Ac
AB
AC
sin α =
; cosα =
; tan α =
; cot α =
BC
BC
AC
AB
2
2

2
2.1. BC = AB + AC (Định lí Pitago)
2.2. AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .BC
2.3. AH 2 = BH .CH , AB. AC = AH .BC
2.4.

A

α
H

B

C

1
1
1
=
+
.[1]
2
2
AH
AB
AC 2

3)Định lí cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ; c 2 = b 2 + a 2 − 2ba cos C [2]
a

b
c
=
=
= 2 R [2]
4)Định lí sin:
sin A sin B sin C
A
5)Định lí Talet:
MN // BC
AM AN MN AM AN
=
=
;
=
AB
AC BC MB NC

M

N

C
B
6)Các đường trong tam giác:
6.1.Đường trung tuyến:
a)Là đường thẳng nối đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.
b)Giao cuả 3 đường trung tuyến là trọng tâm G của tam giác
BG =

2
1
BN ; BG = 2GN ; GN = BN
3
3

A
N
G

B

C

6.2.Đường cao: Là đường xuất phát từ một đỉnh và vuông
góc với cạnh đối diện.Giao của 3 đường cao là trực tâm của tam giác.
2


6.3.Đường trung trực: Là đường vuông góc với mỗi cạnh tại trung điểm của
nó.Giao của 3 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
6.4.Đường phân giác: Là đường chia góc của tam giác thành hai góc bằng
nhau.Giao của 3 đương phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
7)Diện tích Trong hình phẳng:
7.1.Tam giác thường:
1
a) S = ah ; b) S = p( p − a)( p − b)( p − c) (Công thức Hê-rông)
2
c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
abc

d )S =
(R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)[2]
4R
7.2.Tam giác đều cạnh a:
2
a 3
a)Đường cao: h =
; b) S = a 3
2
4
c)Đường cao cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung trực.
7.3.Tam giác vuông:
1
a) S = ab (a,b là hai cạnh góc vuông).
2
b)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
7.4.Tam giác vuông cân(nửa hình vuông):
1
a) S = a 2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b)Cạnh huyền bằng a 2
2
7.5.Tam giác cân:
1
a) S = ah (h:đường cao;a:cạnh đáy)
2
b)Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến,đường phân giác,đường trung
trực.
7.6.Hình chữ nhật: S = ab (với a,b là các kích thước)
7.7.Hình vuông: a)S = a2 ;b)Đường chéo a 2
1
7.8.Hình thoi: S = d1.d 2 ( d1.d 2 là các đường chéo của hình thoi )

2
B. Hình học không gian:
B1:Quan hệ song song:
1)Hai đường thẳng song song:
a, b,c đồng quy
( P ) ∩( R ) =a 
1.1
[3]
⇒

( Q ) ∩( R ) =b 

( P ) ∩( Q ) =c 
a , b, c , p / b

[

a, b, c đôi một song song




3


1.2. ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ 

a ⊂ ( P) ,b ⊂ ( Q) 

a // b



⇒

[3]

∆ // a, ∆ // b

[ ∆ ≡ a(∆ ≡ b)

2)Đường thẳng song song với mặt phẳng:
2.1. a ⊄ ( P); a // b; b ⊂ ( P) ⇒ a //( P)
2.2. Nếu a // (P) thì ∀(Q) ⊃ a; (Q) ∩ ( P) = b ⇒ b // a
2.3. Nếu (P) ∩ (Q) = b ; a//(P); a//(Q) thì b//a [3]
3)Hai mặt phẳng song song:
a ⊂ ( P), b ⊂ ( P ) 

 ⇒ ( P ) / /(Q) [3]
3.1. a ∩ b ≠ ∅
a / /(Q ); b / /(Q ) 

(P)//(Q)
⇒

(R)
∩
(P)=a

3.2.
(R)∩(Q)=b,a//b[3]

B2:Quan hệ vuông góc:
1)Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1.1. a ⊥ ( P) ⇔ a ⊥ d ; ∀d ⊂ ( P) .
a // b
1.3.
⇒ ( P) ⊥ b;
(
P
)
⊥
a

( P) //(Q)
1.5.
⇒ a ⊥ (Q)
a ⊥ (Q)
a //( P)
1.7.
⇒ a ⊥ b;
b
⊥
(
P
)


a ⊥ b

⇒ a ⊥ ( P)

1.2. a ⊥ c
b; c ⊂ ( P )

a ⊥ ( P )

1.4.b ⊥ ( P) ⇒ a // b
a ≠ b

( P) ⊥ a

1.6.(Q) ⊥ a ⇒ ( P) //(Q)
( P) ≠ (Q)

a ⊄ ( P )

1.8.a ⊥ b ⇒ a //( P) [3]
( P) ⊥ b


1.9. Định lí ba đường vuông góc:
Cho a không vuông góc với (P) b ⊂ ( P); b ⊥ a ⇔ b ⊥ a' với a’ là hình chiếu của a
trên (P)[3]
2)Hai mặt phẳng vuông góc: (P) ⊃ a ; a ⊥ (Q) ⇒ (P) ⊥ (Q).[3]
3)Góc:
3.1.Góc giữa hai đường thẳng:
(a;b) = (a’;b’), với a’//a;b’//b[3]
3.2. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) :
+d ∩ ( α ) = O và A∈ d
 AH ⊥ ( α )
∧

(α ) là AOH
thì
góc
giữa
d
và
[3]
H ∈ (α )

+Nếu 

4


3.3.Gúc gia hai mt phng ( ) v ( )
( ) ( ) = AB.

Nu FM AB, EM AB
EM ( ); FM ( )


thỡ gúc gia ( ) v ( ) l EMF [3]
2.Thc trng vn :
1/- Chơng trình tài liệu:


Đối với phân phối chơng trình của Bài 5 :Khong cỏch theo
phơng án sách giáo khoa mới chơng trình nõng cao là phù hợp giữa
thời lợng phân phối và yêu cầu kiến thức cần đạt đợc.Xong ch vi
thi lng 2 tit hc thỡ rt khú khn cho vic hc sinh nm vng kin thc.Trong

khi cỏc ti liu trờn th trng ch cung cp li gii hoc vi gi ý m khụng cú h
thng cõu hi dn dt.Vic s dng nhng ti liu ny hiu qu s khụng cao i
vi nhng hc sinh mc i tr.
2/- i tng hc sinh:
i vi nhng lp i tr thỡ vi thi gian ch 2 tit hc chc chn s rt khú
hc sinh thc hin thnh tho c cỏc bi toỏn v khong cỏch, nờn vi ti liu
ny hy vng sau thi gian hc trờn lp cỏc em s cú thi gian s dng ti liu ny
nh giỳp tỡm hng d dng hn cho vic gii bi tp ca mỡnh.
3.Cỏc gii phỏp c th ca ni dung ti:
Lu ý: vic c ti liu c hiu qu hc sinh nờn thc hin theo cỏc bc
sau:
Bc1:c tht k hiu ,vit ra nhng gi thit m bi ó cho,v
vn cn gii quyt ca bi.
Bc 2:Hóy t mỡnh suy ngh tỡm ra hng gii quyt,c gng xoay
quanh gi thit v tỡm mi liờn h vi kt lun.Nu khụng c thỡ n bc 3.
Bc 3:Hóy xem nhng gi ý bờn ct hng dn tỡm ra li gii.
Bc 4:Xem li gii chi tit tham kho cỏch trỡnh by v i chiu
chnh sa lp lun ca mỡnh.
Bc 5:Thụng qua bi ny,hóy rỳt ra cho bn thõn cỏc kt lun v hai khớa
cnh:
-Kin thc:Bn thõn cú thờm hoc ụn li c nhng kin thc no.
-K nng:Bn thõn cú thờm c k nng trỡnh by 1 bi toỏn,cng c k
nng lp lun i vi loi bi va gii quyt.
Dng 1:Bi toỏn tớnh khong cỏch t mt im n mt mt phng.
A.Phng phỏp: Tớnh khong cỏch t im M n mt mt phng (P)
Bc 1:(Xỏc nh khong cỏch)Ch ra on MH vuụng gúc vi mp(P) bng cỏch.
5


- Dựng mp(Q) chứa M và ( Q ) ⊥ ( P ) theo giao tuyến ∆ .

- Hạ MH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) ⇒ MH = d [ M ; ( P ) ] .
Bước 2:(Tính khoảng cách) d [ M ; ( P ) ] = MH được tính
bằng các định lí hình học sơ cấp.
Bước 3:Kết luận.[5]

M
Q

H

B.Một số ví dụ:
P
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = a 3 .Tính khoảng cách :
a)Từ A đến mp(SBC).
b)Từ I đến mp(ABCD),với I là trung điểm của SC.
c) Từ O đến mp(SBC),với O là tâm của hình vuông ABCD.[6]
Hướng dẫn
H1:Hãy chỉ ra 1 mp
chứa A và vuông
góc với mp(SBC).
- Để chỉ ra 2 mp
vuông góc với nhau
cần làm gì?
-Chứng minh
BC ⊥ ( SAB )

H2:Những đường
nào nằm trong
(SAB) mà vuông

góc với (SBC).
Nhắc lại nội dung
của 1 định lí liên
quan.

Lời giải chi tiết
a)+ Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
-Ta có: BC ⊥ BA (gt hình vuông) (1)
BC ⊥ SA (vì SA ⊥ ( ABCD) )(2)
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ ( SAB ) mà
BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SBC )
- ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB

S

-Trong mp(SAB): Từ A kẻ

AK ⊥ SB ( K ∈ SB ) ⇒ AK ⊥ ( SBC )

Hay AK = d [ A; ( SBC ) ] .
+Tính khoảng cách từ A
đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông SAB:

1
1
1
1
1
=

+
= 2+
2
2
2
AK
AS
AB
a
a 3

(

⇒ AK =

I
K
H

A

)

B

2

C

J

a 3
2

KL: Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là AK =
Cách 1:
H1: Hãy chỉ ra 1 mp
chứa I và vuông góc
với mp(ABCD).
H2:Từ I kẻ IM ⊥ AC
điểm M nằm ở đâu?

D

j

O

a 3
2

b)Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
-Vì SA ⊥ ( ABCD) và SA ⊂ ( SAC ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD)
- mà ( SAC ) ∩ ( ABCD) = AC
-Trong mp(SAC): Từ I kẻ IO ⊥ AC ( với O là tâm của
ABCD)
⇒ IO ⊥ ( ABCD )
Hay IO = d [ I ; ( ABCD ) ] .

6


Cách 2:
-So sánh

d [ S ; ( ABCD ) ] và
d [ I ; ( ABCD ) ] ?

+Tính khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
Xét ∆SAC có IO là đường trung bình của ∆SAC nên
IO =

1
a 3
SA =
2
2

Cách 2:Vì I là trung điểm của SC nên
d [ I ; ( ABCD ) ] =

Cách 1:
-Dựng 1 mp chứa O
và song song với
(SAB)
Cách 2:
-Chứng minh

( AKC ) ⊥ (SBC )

-Kẻ HO ⊥ KC
- HO = d [ O; ( SBC ) ]

1
1
a 3
d [ S ; ( ABCD ) ] = SA =
2
2
2

c) Cách 1:
+Xác định khoảng cách từ O đến mp(SBC):
-Từ O kẻ OJ //AB, khi đó (OIJ) // (ASB) ⇒ ( OIJ ) ⊥ (SBC )
- ( OIJ ) ∩ ( SBC ) = IJ
-Trong mp(OIJ): Từ O kẻ HO ⊥ IJ ⇒ HO ⊥ ( SBC )
Hay HO = d [ O; ( SBC ) ] .
+Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC):
Xét tam giác vuông OIJ:
1
1
1
1
1
a 3
=
+
=
+

⇒ OH =
2
2
2
2
2
4
OH
OI
OJ
a 3
a


 
 2 
2



Cách 3:Vì O là trung điểm của AC nên
d [ O; ( SBC ) ] =

1
1
a 3
d [ A; ( SBC ) ] = AK =
2
2
4

Lưu ý:Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách thì có thể bỏ qua bước 1,tức là
không cần chỉ ra cách xác định đoạn khoảng cách.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a,
AC = a 3 . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy.Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
*Xác định khoảng cách từ A đến mp(SBC):
-So sánh d [ A; ( SBC ) ] +Gọi H là trung điểm của AB.
S
+ d [ A; ( SBC ) ] = 2 d [ H ; ( SBC ) ]
và d [ H ; ( SBC ) ] ?
+Vì tam giác SAB là tam giác đều
- Xác định khoảng
cách từ H đến(SBC) nên SH ⊥ AB .Mặt khác
+ Chỉ ra 1 mp chứa ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC )
K
A và vuông góc với SH ⊥ BC (1)
A
mp(SBC).
+Kẻ HI ⊥ BC tại I (2)
C
BC
⊥
(SHI
)
+Chứng minh
Từ (1) và (2) suy ra
H

I
( SHI ) ⊥ ( SBC )
⇒ ( SHI ) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SI
B
+Trong ∆SHI kẻ HK ⊥ SI tại K
a 3

2a

7


⇒ HK ⊥ (SBC ) ⇒ d [ H ; ( SBC ) ] = HK

* Tính khoảng cách từ H đến mp(SBC):
1
1
1
=
+
2
2
HK
HI
HS 2
AC.BH
a 3
+Tính HI: ∆ABC ˜ ∆IBH ⇒ IH =
=
BC

4

Xét tam giác vuông SHI:
-Chứng minh
∆ABC ˜ ∆IBH

+Tính HS:
-Ta có AB = BC 2 − AC 2 = a
- ∆ SAB đều cạnh a nên SH =
Do đó: HK =

a 3
2

a 15
10

a 15
Vậy d [ A; ( SBC ) ] = 2 d [ H ; ( SBC ) ] =
.
5

C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABCD có SA = x ,tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
a)Chứng ming tam giác SAC vuông
b)Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD). [6]

ĐS: d [ S ; ( ABCD ) ] =

ax

a2 + x2
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, ABˆ C = 60 0 .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy
(ABC) và SA tạo với đáy một góc 600 .Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).[6]
ĐS: d [ B; ( SAC ) ] =

8a 5
9

Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
A.Phương pháp:
1) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
a // (P): d[a;(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc a
Bước 1:Tìm điểm M thuộc đường thẳng a( dựa vào giả
thiết từng bài nên chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,
trọng tâm tam giác,…để dễ tính).
Bước 2:Tính d[M;(P)] theo dạng 1.[3]
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:(Q) // (P):
d[(Q);(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc (Q)
= d[N;(Q)] , với N là 1 điểm bất kỳ thuộc (P)
Bước 1:Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) hoặc N là 1

M

a

H

P

8


M

điểm bất kỳ thuộc (P) ( dựa vào giả thiết từng bài nên
chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,trọng tâm tam
giác,…để dễ tính).
Bước 2:Tính d[M;(P)] hoặc d[N;(Q)] theo dạng 1.[3]

Q

H
B.Một số ví dụ:
P
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,có đáy là hình thang
vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a, SA ⊥ ( ABCD), SA = a 2 .Tính:
a)Khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
b)Khoảng cách giữa DE và mp(SBC),với E là trung điểm của AB.

Hướng dẫn
H1:Nhận xét về mối
quan hệ giữa đường
thẳng AB và
mp(SCD)?Vì sao?

Lời giải chi tiết
a)+Vì AB // CD,mà

CD ⊂ (SCD) nên AB //(SCD)
+d[AB;(SCD)] = d[A;(SCD)]
+Lập luận tương tự Ví
dụ 1-Dạng 1 ta được
d[A;(SCD)] = AK.
1
1
1
1
1
+ AH 2 = AS 2 + AD 2 = a 2 +
a 2

(

⇒ AH =

K

J

H

)

E

A

B

2
D

I

C

a 6
3

Vậy d[AB;(SCD)] =
H1:Nhận xét về mối
quan hệ giữa đường
thẳng DE và (SCB)?
Gợi ý:
-Chứng minh
DE // (SCB).
-Chỉ ra trong
mp(SBE) có một
đường thẳng song
song với DE.
H2: Chứng minh
(SAC) ⊥ (SCB).
Gợi ý:
- Chứng minh BC ⊥
(SAC).
-Chứng minh BC ⊥

S

a 6
.
3

b) *Xác định khoảng cách từ DE đến mp(SBC):
 DC // EB
⇒ BCDE là hình bình
 DC = EB

+Xét tứ giác BCDE có: 

hành
⇒ DE // BC mà BC ⊂ (SBC) nên DE //(SBC)
+d[DE;(SBC)] = d[I;(SBC)],với I = AC ∩ DE.
*Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC):
+Trong ∆ SAC: kẻ AK ⊥ SC tại K, kẻ IJ ⊥ SC tại J.
+Ta có BC ⊥ AS (do AS ⊥ (ABCD)) (1)
+ Tứ giác ADCE là hình vuông ⇒ ACˆ E = 45 0 (2)
Mặt khác: ∆ BCE vuông cân tại E nên BCˆ E = 45 0 (3)
Từ (2) và (3),suy ra BCˆ A = 90 0 hay BC ⊥ AC (4)
Từ (1) và (4),suy ra BC ⊥ (SAC) mà BC ⊂ (SBC) nên
(SBC) ⊥ (SAC) theo giao tuyến SC.
+Vì AK ⊥ SC nên AK ⊥ (SBC),do đó IJ ⊥ (SBC).
+Vì I là trung điểm của AC nên
9


AC.

d[I;(SBC)] =

1
d[A;(SBC)],
2

+ d[A;(SBC)] = AK ,với
1
1
1
1
1
=
+
=
+
2
2
2
AK
AS
AC
(a 2 ) 2 a 2

Vậy d[DE;(SBC)] = a.

(

)

2

⇒ AK = a

Ví dụ 2:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông canh
a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A’C’,B’C’.Tính khoảng cách giữa:
a)Mp(AA’B’B) và mp(DEF).
b)B’C’ và (A’BC).[6]
Hướng dẫn
H1:Nhận xét về mối
quan hệ
giữa(AA’B’B) và
(DEF)?
Gợi ý:
-Chứng minh
(AA’B’B) //(DEF).
-Để chứng minh hai
mặt phẳng song song
cần làm gì?(Chỉ ra
trong mp(DEF) có hai
đường thẳng cắt nhau
và cùng song song với
(AA’B’B)).

Lời giải chi tiết
a) *Xác định khoảng cách giữa
B
A
(AA’B’B) và (DEF):
D

C
⊂
+EF// A’B’ (AA’B’B)
⇒ EF // (AA’B’B)(1)
K
+ DF// BB’ ⊂ (AA’B’B)
⇒ DF // (AA’B’B)(2)
Từ (1) và (2),suy ra
B'
J
A'
AA’B’B) // (DEF).
E
I
F
+Gọi I là trung điểm của A’B’,
C'
khi đó C’I ⊥ A’B’, C’I ∩ EF = I.
+Gọi d là khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF) ⇒ d = IJ.
*Tính khoảng cách giữa(AA’B’B) và (DEF):
1
a 3
C’J =
(vì ∆ A’B’C’ là tam giác đều cạnh a) .
2
4
a 3
Vậy khoảng cách giữa (AA’B’B) và (DEF) bằng
4

IJ =

b) *Xác định khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Vì B’C’ // BC ⊂ (A’BC) nên B’C’ // (A’BC).
H1:Hãy dựng một mặt + d[B’C’; (A’BC)] = d[F; (A’BC)]
phẳng chứa F và
+Ta có BC ⊥ DF(3)
vuông góc với
BC ⊥ A’D(4) (vì A’D là đường trung tuyến xuất
(A’BC)]?
phát từ đỉnh tam giác cân A’BC).
Gợi ý:
Từ (3) và (4),suy ra BC ⊥ (A’DF) ⇒ (A’BC) ⊥ (A’DF)
-Nhận xét về quan hệ
theo giao tuyến A’D.
của FD và BC;A’D và +Kẻ FK ⊥ A’D tại K ⇒ FK ⊥ (A’BC)
BC?
hay d[F; (A’BC)] = FK
*Tính khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Xét ∆ DFA’ vuông tại F có:
10


1
FK 2

=

1
FD 2

+

1
FA '2

=

Vậy d[B’C’; (A’BC)] =

1
+
a2

1
a 3


 2 



2

⇒ FK =

a 21
7

a 21

.
7

C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABC,có đáy là tam giác vuông tại C, với CA = a, CB = b,
SA = h và SA ⊥ (ABC).Gọi D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC .Tính khoảng
cách giữa BC và mp(SMD).[6] ĐS: d[BC; (SMD)] =

ab
4h 2 + a 2

.

2) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và có diện tích
a2 5
S=
. Tính khoảng cách giữa hai mp(AA’B’B) và mp(CC’D’D).[5] ĐS:
4
a 5
d=
4

3) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A và
2a = 2AC = AB. Tính khoảng cách giữa:
a)BB’ và (ACC’A’).
ĐS: d[BB’;(ACC’A’)] = 2a.
b)AA’ và (BCC’B’). [6]

ĐS: d[AA’;(BCC’B’)] =

2a 5
5

Dạng 3:Bài toán xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
A.Kiến thức cơ bản: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
1)Đường vuông góc chung:
∆ ⊥ a, ∆ ⊥ b.
∆ ∩ a = I , ∆ ∩ b = J

+ ∆ là đường vuông góc chung của a và b ⇔ 

+Đoạn thẳng IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.[3]
2)Phương pháp xác định đoạn vuông góc chung:
* Phương pháp 1:Nếu chỉ ra ngay được I ∈ a, J ∈ b và chứng
minh được II ⊥ a, IJ ⊥ b thì d(a;b) = IJ.[3]
* Phương pháp 2:
Trường hợp 1(đặc biệt a ⊥ b ):
Bước 1:Dựng mp(P) chứa b và vuông góc với a tại I.
Bước 2:Trong mp(P) kẻ IJ vuông góc với b (J ∈ b).
Bước 3:Lập luận để chỉ ra IJ là đoạn vuông góc
chung của a và b.
P

a
I

J

b

a

j

I

kb

J

11


Trường hợp 2(Tổng quát):
b
Bước 1: Dựng mp(P) vuông góc với a tại I’,tìm hình
a
chiếu vuông góc của b trên (P) là b’.
J
I
Bước 2: Trong mp(P) kẻ I’J’vuông góc với b’ (J’ ∈ b’).
Bước 3:Dựng J’I // a (J ∈ b).
Bước 4: Dựng IJ // I’J’ (I ∈ a) và lập luận để chỉ ra IJ
k
b'
là đoạn vuông góc chung của a và b.[5]
I'
Chú ý:
J'

P
i)Do IJ = I’J’ nên trong thực hành ta hãy tính độ dài I’J’
cho đơn giản phép tính.
ii)Khi thực hiện nên ưu tiên trường hợp 1 trước.
3)Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
*Phương pháp 1: d(a;b) = d[a;(P)] với (P) là mặt phẳng chứa b và (P) // a.
hoặc d(a;b) = d[b;(Q)] với (Q) là mặt phẳng chứa a và (Q) // b.[3]
*Phương pháp 2: d(a;b) = d[(P);(Q)] với (P) là mặt phẳng chứa b , (Q) là mặt
phẳng chứa a và (P) // (Q) [3]
*Phương pháp 3: d(a;b) = IJ,với IJ là đoạn vuông góc chung.[3]
B.Một số ví dụ:
1)(Đề khối A- 2006)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD.Tìm khoảng cách giữa hai đường
thẳng A’C và MN.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
H1:Hãy chỉ ra một
*Xác định khoảng cách giữa A’C và MN
mặt phẳng chứa A’C +Ta có BC // MN ,mà
M
B
⊂
và mặt phẳng đó
BC (A’BC) nên MN //(A’BC).
C
D
N
song song với MN? +Do đó d(MN;A’C) = d[MN;(A’BC)]
H
Gợi ý:

= d[M;(A’BC)](1)
O
- Mặt phẳng song
+(ABB’A’) ⊥ (A’BC) (vì BC ⊥ (ABB’A’))
song với MN cần
+ Từ M kẻ MH ⊥ BA’ tại H
⇒ MH ⊥ (BCA’) hay d[M;(A’BC)] = MH.
thỏa mãn những
B'
điều kiện gì?
*Tính khoảng cách giữa A’C và MN:
D'
C'
-Hãy chỉ ra một số
+Gọi O = AB’ ∩ A’B.
1
1
đường song song
2
+Xét ∆ ABO: MH = AO = AB’ =
với MN,lưu ý đến
2
4
4
những đường chứa
2
Vậy d(MN;AB’) =
điểm A’ hoặc C.
4

A

A'

2) (Đề khối D- 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông có
BA = BC = a,cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC,tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM và B’C.[6]
12


Hướng dẫn
H1:Hãy tạo ra một mặt
phẳng chứa AM và song
song với B’C.
Gợi ý:Khai thác giả thiết
trung điểm và sử dụng
tính chất của trung điểm.

H2:Hãy chứng minh lại
công thức:
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2

BH
BA
BM
BN 2

Lời giải chi tiết
*Xác định khoảng cách giữa AM
A
C
và B’C:
M
+Gọi N là trung điểm của BB’,khi
B
Đó MN // B’C(vì MN là đường
a 2
trung bình của ∆ BCB’).Do đó,
B’C // (AMN)
N
C'
+Do đó d(AM;B’C) = d[B’C;(AMN)] A'
= d[C;(AMN)]
= d[B;(AMN)]
B'
(vì M là trung điểm của BC)
+Gọi H là hình chiếu của B trên (AMN).
⇒ d[B;(AMN)] =BH.
*Tính khoảng cách giữa AM và B’C:
Vì ABMN là tứ diện vuông tại B nên ta có:
1
1

1
1
1
1
1
=
+
+
=
+
+
BH 2 BA2 BM 2 BN 2 a 2  a  2  a 2  2
 


 2 
2
a



⇒ BH =



a 27
7

Vậy d(AM;B’C) =

2
4

3) (Đề khối B - 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,cạnh đáy bằng a.Gọi E
là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA.Gọi M,N tương ứng là trung điểm
của AE và BC.
a)Chứng minh (MNF) // (SAC),với F là trung điểm của AB.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
S
H1: Để chứng minh a)Chứng minh
E
hai mặt phẳng song
(MNF) // (SAC):
song cần làm gì?
+FN // AC (FN là đường
Gợi ý:
trung bình trong ∆ ABC).
I
-Chỉ ra trong
mà AC ⊂ (SAC) nên
M
mp(MNF) có hai
FN // (SAC)(1).
đường thẳng cắt
+Mặt khác: FM // EB,mà
C
N
B

nhau và cùng song
EB // SC(do tứ giác BCSE là
F
J
O
A
D
song với (SAC).
hình bình hành)
-Chứng minh FN và ⇒ FM // SC ⊂ (SAC)
j

13


FM
cùng song song với
(SAC).
H1:Nêu hướng giải
quyết câu b)
Gợi ý:
-Kết quả câu a) có
giúp ích được gì
không?
H2: Chứng minh
JO ⊥ (SAC)?
Gợi ý:Cần chỉ ra JO
vuông góc với hai
đường thẳng cắt
nhau và cùng nằm

trong (SAC).

⇒ FM // (SAC) (2).
Từ (1) và (2) ⇒ (MNF) // (SAC)

b) *Xác định khoảng cách giữa MN và AC:
+Vì (MNF) // (SAC)
nên d(MN;AC) = d[(MNF);(SAC)]
= d[J; (SAC)] (với J = BD ∩ FN)
+Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có JO ⊥ AC (tính chất của hai đường chéo hình vuông)
JO ⊥ SO (tính chất đường cao của hình chóp đều)
+Do đó JO ⊥ (SAC) ,hay d[J; (SAC)] =JO.
*Tính khoảng cách giữa MN và AC:
1
1
JO = BO = BD ,mà BD là đường chéo của hình vuông
2
4
a 2
cạnh a nên BD = a 2 ,do đó JO =
.
4
a 2
Vậy d(MN;AC) =
4

4)Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc,với OA = a,OB = b,
OC = c.Gọi M là trung điểm của BC.Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng OC và AM.[4]

Hướng dẫn
H1:Hãy chỉ ra mặt phẳng
chứa AM và vuông góc
với OC hoặc chứa OC và
vuông góc với AM?(khó)
H2:Hãy chỉ ra 1 mặt
phẳng vuông góc với một
trong hai đường thẳng
OC và AM?
Gợi ý:
- Chỉ ra 1 mặt phẳng
vuông góc với đường
thẳng OC.
-Chứng minh
(OAB)
⊥ OC.
H3:Tìm hình chiếu vuông
góc của AM trên (OAB)?
Gợi ý:

Lời giải chi tiết
*Xác định khoảng cách giữa OC và AM:
+Mp(OAB) ⊥ OC tại O(vì OA ⊥ OC và OB ⊥ OC)
+Gọi M’ là hình chiếu của M trên (OAB) ⇒
MM’//OC và AM’ là hình chiếu củaC AM trên (OAB)
+Từ O kẻ OH ⊥ AM’
⇒ OH ⊥ AM(định lí ba
đường vuông góc).
M
+ Từ H kẻ HK ⊥AM cắt

J
AM tại K,khi đó KH // OC.
K
+ Từ K kẻ JK ⊥ OC cắt OC
B
M'
O
tại J,khi đó KJ // OH
H
⇒ KJ ⊥AM hay KJ là đoạn
vuông góc chung của OC và
A
AM.
*Tính khoảng cách giữa OC và AM:Tính KJ
+ Theo chứng minh trên ta có tứ giác OHKJ là hình
bình hành nên KJ = OH.
14


- Tìm hình chiếu vuông
góc của điểm A trên
(OAB)?
- Tìm hình chiếu vuông
góc của điểm M trên
(OAB)?
H4:Tứ giác OHKJ là hình
gì?vì sao?

+Xét trong ∆ OM’A vuông tại O có OH là đường cao
xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có:

1
1
1
=
+
2
2
OH
OM '
OA 2
1
b
OB = .
2
2
1
1
1
ab
=
+ 2 ⇒ OH =
2
2
a
+Do đó : OH
b 2 + 4a 2
b
 
2
ab

+Với OA = a;OM’ =

Vậy d(OC;AM) =

b 2 + 4a 2

C.Bài tập tương tự:
1) (Đề khối A-2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,đáy là hình thoi cạnh
AB = 5 ,đường chéo AC = 4, SO = 2 2 va SO vuông góc với đáy,với
O = AC ∩ BD. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính khoảng cách giữa SA và BM.
[6]
ĐS: d(SC;AM) =

2 6
.
3

2)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính khoảng cách giữa BD và B’C’.
b) Tính khoảng cách giữa A’B và B’D.
c) Tính khoảng cách giữa B’C và CD’.
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và
CB’ .[6]
ĐS: a) d(BD;B’C’) = a;
a 6
;
6
a 3
c) d(B’C;CD’) =

;
3

b) d(A’B;B’D) =

3)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,với CA = a;CB = b;SA = h.
SA vuông góc với đáy ABC.Gọi D là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa:
a)SD và AC.
b)SD và BC.[6]
4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục :
So sánh với kết quả những năm trước khi chưa vận dụng để hướng dẫn học
sinh một cách hệ thống theo từng bước từ đơn giản đến phức tạp. Tôi thấy có sự
chuyển biến rõ reetjtrong việc tiếp thu kiến thức. Các em đã hiểu sâu sắc vấn
đề,biết vận dụng kiến thức trong giải toán, bớt cảm thấy trườ tượng khi tiếp cận
15


phần bài toán tính khoảng cách. Trong giờ học đa số các em sôi nổi tham gia trao
đổi kiến thức, không nặng nề, phụ thuộc vào những kiến thức giáo viên thuyết
trình, số học sinh hiểu bài trên lớp ngày càng nhiều.Các em biết mình phải làm
những gì khi gặp bài toán khoảng cách,từ đó có hứng thú nhiều hơn khi học phần
này.
Cụ thể tôi tiến hành khảo nghiệm trong năm học : 2016 -2017 với 2 lớp có
khả năng nhận kiến thức ngang nhau đó là 11A5 và 11A6 như sau :
1/-Kiểm chứng để xác định các lớp tương đương
Bảng 1:
Đối chứng
4,9

Thực nghiệm

Trung bình cộng
4,8
p
0,135
p = 0,135 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
nhóm TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
2/- Đo lường và thu thập dữ liệu:
Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết môn toán Hình học 11
chương 3.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học xong các bài tập
về chủ đề tự chọn giúp học sinh tính khoảng cách trong hình không gian lớp 11.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài
Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, chúng tôi tiến hành bài kiểm tra 1
tiết.Sau đó giáo viên tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
3/- Phân tích dữ liệu và bàn luận:
Bảng 2. So sánh ĐTB bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng

Thực nghiệm

ĐTB

4,96

5,54

Độ lệch chuẩn

0,67

0,69

Giá trị P của T- test
Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD)

0,00003
0,86
16


Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương đương.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P = 0,00003,
cho thấy: sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý
nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đối
chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Chênh lệch giá trị trung
bình chuẩn SMD =

5,54 − 4,96
= 0,86 . Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của
0,67

dạy học bằng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian đến học tập của
nhóm thực nghiệm là lớn.
Giả thuyết của đề tài “giúp học sinh trung bình,khá giải bài toán khoảng cách
lớp 11” đã được kiểm chứng.

Biểu đồ so sánh ĐTB trước tác động và sau tác động của nhóm thực
nghiệm và nhóm đối chứng.
* Bàn luận:
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC= 5,54,

kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 4,96. Độ chênh lệch
điểm số giữa hai nhóm là 0,88; Điều đó cho thấy ĐTB của hai lớp đối chứng và
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có ĐTB cao hơn lớp đối
chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,86. Điều
này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
17


Phép kiểm chứng T- test ĐTB sau tác động của hai lớp là p = 0.00003 <
0.001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm không phải là do
ngẫu nhiên mà là do tác động.

Phần ba
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1.Kết luận :
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán tại trường THPT Triệu Sơn I,với đam
mê và tâm huyết với sự nghiệp giáo dục,thực hiện trên tinh thần « tất cả vì học sinh
thân yêu »,trong đó việc truyền đạt kiến thức là một trong hai lĩnh vực quan trọng
của giáo dục.Đặc biệt với nhiều năm giảng dạy học sinh là đối tương đại trà,bản
thân nhận thấy đây là đối tượng chiếm số lượng khá đông trong nhà trường,và việc
giúp các em có kết quả cao trong việc chiếm lĩnh tri thức là việc làm cần thiết và
quan trọng.Tất nhiên để đạt được kết quả này thì yêu cầu cả người dạy và người
học cần phải cố gắng và đặc biệt là kiên nhẫn rất nhiều.Ngoài việc tác động để các
em có thêm động lực để học, bản thân luôn cố gắng hết sức với năng lực của bản
thân và sự trau dồi kiến thức cũng như sự học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp cũng
như các kênh thông tin khác,cố gắng tìm ra phương pháp cũng như hướng giải
quyết một cách dễ hiểu nhất để giúp các em học có hiệu quả cao nhất.Với những
phần kiến thức khó như :Bài toán tính khoảng cách trong hình không gian(áp dụng
cho học sinh lớp 11),tôi cũng đã mạnh dạn và bền bỉ đi theo mục tiêu của mình và

cũng đã áp dụng vào công tác giảng dạy.Kết quả bước đầu cho thấy,không phải tất
cả nhưng phần lớn học sinh của tôi đã say sưa học hình hơn và cũng có nhiều học
sinh học tốt phần này.
2. Những kiến nghị đề xuất: Để đạt được yêu cầu trên, sự cố gắng hải từ hai
phía cả thầy và trò.
Đối với học sinh:
- Phải phân tích đề bài thật kỹ và tìm lời giải theo các bước mà giáo viên đã
hướng dẫn.
- Phải kiên trì,chịu khó đầu tư thời gian nhất định để trau dồi kiến thức qua
các tư liệu tham khảo (giáo viên giới thiệu).
- Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của
mình dưới sự hướng dẫn của thầy.
Đối với giáo viên:
18


- Phải đầu tư soạn giáo án cẩn thận,chu đáo từ nguồn tư liệu và kiến thức
cũng như kỹ năng của mình (nếu có hỗ trợ của máy chiếu thì hiệu quả càng cao)
- Phải có hướng khai thác hợp lý, khoa học thấu đáo, phát huy trí, lực của
học sinh.
- Phải thực sự kiên trì và chịu khó vì học sinh là đối tượng tiếp thu bài không
nhanh và dễ nản lòng, bỏ cuộc.
Trên đây chỉ là những ý kiến của bản thân từ kinh nghiệm thực tiễn trong quá
trình dạy học,rất mong nhận được sự trao đổi ý kiến cũng như những đóng góp từ
đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn.Bản thân cũng hy vọng tài liệu này
sẽ giúp các em học tốt hơn và hứng thú hơn vói bộ môn hình học không gian.
Xác nhận của thủ trưởng
Triệu Sơn,tháng 4 năm 2017
đơn vị:
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện đề tài:

Hoàng Thị Lan.

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].Sách giáo khoa Hình học 9 –Phan Đức Chính(Tổng chủ biên)-Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam,2013.
[2].Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao-Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên)-Nhà xuất
bản Giáo dục,2008.
[3].Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao-Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên)-Nhà xuất
bản Giáo dục,2007.
[4].Sách bài tập Hình học 11 –Nguyễn Mộng Hy(Chủ biên)-Nhà xuất bản Giáo
dục,2007.
[5].Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian chọn lọc .Chủ biên:Nguyễn Đức
Đồng (Chủ biên)-Nhà xuất bản Thanh Hóa,2001.
[6].Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet:
-Giáo án điện tử -thư viện Violet.
-Tuyển tập các đề thi đại học từ năm 2002 đến năm 2016.

20