Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ oxy

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017
PHẦN I: MỞ ĐẦU

1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học phẳng rất đa dạng và phong phú, nhất là đối với học sinh lớp 9 các
em đã làm quen với rất nhiều tính chất hình học và các loại hình cơ bản như:
tam giác, tứ giác, đường tròn,... nhưng giải quyết các bài toán đó chỉ ở mức độ
hình học thuần túy. Khi các em được tiếp cận với hình học giải tích thì các bài
toán giải đa dạng và gần gũi hơn, tác động tốt đến tư duy của người học hơn,
làm cho người học phát triển được tư duy sáng tạo, tìm tòi và dựa trên cái cũ mà
phát triển các điều mới đa dạng, sâu rộng và khoa học hơn.
Đối với học sinh phổ thông hiện nay các bài toán về tìm tọa độ điểm hay viết
phương trình các đường trong hệ tọa độ oxy đang phổ biển và đa dạng, học sinh
trung bình thì ngại không tiếp cận cho rằng đây là dạng toán khó, đối với học
sinh khá và giỏi thì đam mê giải quyết hơn nhưng đôi khi thiếu định hướng để
bứt phá.
Trong những năm gần đây các dạng toán này đều được đưa vào các kỳ thi: thi
đại học, thi học sinh giỏi và các yếu tố hình học ngày càng nhiều hơn, phức tạp
hơn trong khi đó chương trình ở sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức cơ bản
và các công thức nên đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng, liên hệ những kiến
thức đã học về hình học phẳng để giải quyết. Ngoài ra học sinh phải khéo trong
quá trình sử dụng các tính chất hình học liên quan với các biểu thức tọa độ
tương ứng. Chính vì vậy học sinh cần phải được bổ trợ kiến thức, tổng hợp dạng
toán cụ thể có thể chuyên sâu một dạng nào đó để rèn kỹ năng và vận dụng các
dạng bài tập liên quan.
Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh
tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần.
Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng phải đòi
hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ.

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản hình học phẳng
và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán về hình
GV Hoàng Thị Huệ

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến
thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài:
“ Phân tích các tính chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật
và hình vuông trong hệ Oxy ”.
Trong đề tài này, tôi trình bày một số bài để các em tham khảo, một số bài
hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm chắc kiến thức về biểu thức tọa độ, tổng hợp lại các kiến
thức về hình chữ nhật và hình vuông, vận dụng linh hoạt và phát huy tính sáng
tạo của học sinh, liên hệ và áp dụng được vào các dạng bài tập liên quan.
- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng
nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà
trường và sở phát động.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh khá - giỏi môn toán và học sinh ôn
thi Đại học, nhất là học sinh khối 10 trường THPT Tĩnh Gia 2 .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,
các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng, các đề thi đại học, các đề thi học

sinh giỏi …
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh
Gia 2.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 10 sau đó
khảo sát các lớp dạy.

GV Hoàng Thị Huệ

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017
PHẦN II: NỘI DUNG

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học
sinh tôi đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần
dần. Ngoài ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học phẳng đơn thuần, nhưng
phải đòi hỏi phải có sự kết hợp thật nhuần nhuyễn với biểu thức tọa độ.
Trên thực tế các dạng toán trong hệ oxy rất nhiều và phong phú đòi hỏi
người học phải tự chọn cho mình học những dạng nào cho phù hợp, người dạy
phải dạy gì cho học sinh, giúp học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai
thác sâu và chắc chắn.
Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ
bản hình học phẳng và khai thác được bằng các biểu thức tọa độ để giải quyết
các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông đồng thời biết vận dụng một cách
linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ oxy không phải là bài
toán mới nhưng khai thác các tính chất hình học mới là khó nên học sinh lười
suy nghĩ và ngại tư duy, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn và đó là một trong
những dạng toán được chọn trong các đề thi, các đợt thi nhưng nhiều học sinh
vẫn chưa làm được hoặc làm cũng không làm chọn vẹn . Trong quá trình dạy
phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này, dạy cho học
sinh hiểu tường tận lý thuyết, phân tích các tính chất cơ bản của giả thiết hình
học tìm mối liên quan với các biểu thức tọa độ.
Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu cách vận
dụng và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bài toán liên quan, chưa khai
thác triệt để các tích chất của hình chữ nhật, hình vuông để áp dụng sang biểu
thức tọa độ. Để giải quyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các em
cần tổng hợp và nắm vững kiến thức về các hình này.

GV Hoàng Thị Huệ

3


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
A. VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1. Định nghĩa: Véctơ là một đoạn thẳng có định hướng
● Hai vectơ bằng nhau: có cùng hướng và cùng độ dài.
● Hai vectơ đối nhau: ngược hướng và cùng độ dài.
2. Các phép toán của vectơ:

a. Phép cộng vectơ:
Ta có: ∀A, B, C : AC = AB + BC (quy tắc chèn điểm)
Nếu ABCD là hình bình hành thì : AC = AB + AD
b. Phép trừ vectơ:
∀O, A, B : OB − OA = AB

c. Tích một số thực với một vectơ:

( )
• m( n a ) = ( mn ) a ;1.a = a ; − 1.a = − a

• m a + b = ma + m b ; ( m + n ) a = ma + na

(

Điều kiện: b cùng phương a ⇔ ∃k ∈ R : b = k a a ≠ 0

( )

)

d. Tích vô hướng: a b = a b cos a , b

e. Vectơ đồng phẳng:3 vectơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song
với một mặt phẳng.
a , b , x đồng phẳng ⇔ ∃ h, k ∈ R : x = h a + k b
f. Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:
Với a , b , c không đồng phẳng và vectơ e , có duy nhất 3 số thực x1, x2, x3:
e = x1 a + x 2 b + x3 c

g. Định lý: Với M là trung điểm AB và G là trọng tâm của ∆ABC , O tùy ý thì:

MA + MB = 0


 GA + GB + GC = 0

1
OG = 3 OA + OB + OC

(

)
1
4

(

Và G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD ⇔ OG = OA + OB + OC + OD

)

B. HỆ TỌA ĐỘ – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM
1. Định nghĩa:
a. Hệ tọa độ:
Hai trục tọa độ x’Ox, y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đề–các
GV Hoàng Thị Huệ

4

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

Oxy: O là gốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung. Trong đó:
i = (1; 0 ) , j = ( 0;1) là các vec tơ đơn vị trên các trục. Ta có: a = b =1 và i . j = 0

b. Tọa độ của vectơ: u = ( x; y ) ⇔ u = xi + y j
c. Tọa độ của điểm: OM = ( x; y ) ⇔ M ( x; y ) . Trong đó x là hoành độ, y là tung
độ của M.
2. Các kết quả và tính chất:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho A( x A ; y A ) , B( x B ; y B ) và các vectơ a = ( a1 ; a 2 ) , b = ( b1 ; b2 )
Ta có :
● a ± b = ( a1 ± b1 ; a 2 ± b2 )

(

)

● Tích giữa một véctơ với một số thực: k a = k a ; k b , k ∈ R
● Tích vô hướng giữa hai véctơ: a b = a1b1 + a 2 b2
∗ a = a12 + a 22

( )

Hệ quả: ∗ cos a ; b =

a1b1 + a 2 b2
a + a 22

2
1

b12 + b22

∗ a ⊥ b ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0
a =b

1
1
● Hai véctơ bằng nhau: a = b ⇔ a = b



2

2

b

b

● a , b cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : b = k a ⇔ 1 = 2
a a
1

2

● Tọa độ của vec tơ AB = ( x B − x A ; y B − y A )
2

2
● Khoảng cách: AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A )

x A + xB

x
=
M

2
● Nếu M là trung điểm của AB, ta có: 
y A + yB
 yM =

2

● Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến) :
x A + x B + xC

 xG =
3

y A + y B + yC
 yG =
3
G là trọng tâm tam giác ABC : 

4. Kiến thức về hình chữ nhật và hình vuông:
GV Hoàng Thị Huệ

5


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

Cho A( x A ; y A ) , B( x B ; y B ) , C ( xC ; y C ) , D( x D ; y D )
a. Hình chữ nhật (là tứ giác có 3 góc vuông) :
● I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
● Nếu hình bình hành ABCD có một góc bằng 90 0 hay hai đường chéo AC =
BD thì là hình chữ nhật.
● S = AB. AD = 2S ABC = 2S ABD = 4S ABI
● Luôn có một đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật với tâm là I

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I. (Ví dụ như trong hình vẽ nếu biết
tọa độ M và I ta tìm được toa độ N thuộc CD).
b. Hình vuông (là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau) :
● HV mang đầy đủ các tính chất của hình chữ nhật.
● Nếu hình thoi có một góc bằng 90 0 hay hai đường chéo AC và BD bằng
nhau thì là Hình vuông.
● Nếu hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau hay hai đường chéo AC và
BD vuông góc nhau thì là Hình vuông.
● Có đến hai đường tròn ẩn mình bên trong hình vuông ABCD )

● Chú ý đến tính chất đối xứng qua tâm I.
C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
GV Hoàng Thị Huệ

6

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

1. Phương trình tổng quát của D: A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) = 0, ( A 2 + B 2 ≠ 0)
2. Phương trình tham số của

 x = x0 + at

:  y = y + bt
0

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: ( ∆ 1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0, ( A12 + B12 ≠ 0)

( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C 2 = 0, ( A22 + B22 ≠ 0)

A

B

A

B

C

A

B

C

1
1
● Nếu A ≠ B thì hai đường thẳng cắt nhau.
2
2
1
1
1
● Nếu A = B ≠ C thì hai đường thẳng song song nhau.
2
2
2
1
1
1
● Nếu A = B = C thì hai đường thẳng trùng nhau.
2
2
2

4. Góc giữa hai đường thẳng: cos( ∆ 1 , ∆ 2 ) =

A1 A2 + B1 B2
A12 + B12

A22 + B22

5. Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y 0 ) đến đường thẳng

( ∆ ) : Ax + By + C = 0, ( A 2 + B 2 ≠ 0) là:
d( M ,∆) =

Ax + By + C
A+ B

6. Đường tròn có tâm I ( a; b ) , bán kính R có phương trình : ( x − a ) 2 + ( x − b ) 2 = R 2
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa
A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
- Dựa vào tính chất vuông góc và độ dài các cạnh bằng nhau của hình vuông để
tìm ra độ dài cạnh hình vuông, từ đó tìm ra tọa độ các đỉnh hình vuông cũng như
phương trình các cạnh.
- Vận dụng tính chất song song, vuông góc của đường thẳng.
- Các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm đối xứng qua tâm, điểm đối xứng
qua đường chéo.
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng kết hợp với góc và diện tích tam giác,
tứ giác.
Chú ý:
- Đường cao bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và độ dài cạnh đáy.
1
2

1
2

1
2

- Diện tích theo công thức sin: S = ab sin C = bc sin A = ac sin B
1. Phương pháp tính độ dài cạnh
GV Hoàng Thị Huệ

7


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

Ta xét hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, với giả thiết bài toán cho hai điểm
trên các đường thẳng sinh bởi hình vuông (cạnh, đường chéo) ta hoàn toàn tính
dựa vào mối liên hệ giữa 2 điểm đó và tính được độ dài cạnh hình vuông đã cho.
Từ đó tìm tọa độ các đỉnh hình vuông theo công thức độ dài đoạn thẳng nối 2
điểm.
+ Tam giác vuông theo Pitago
+ Tam giác thường tính theo định lý hàm số Cosin.
Dấu hiệu nhận biết: Khi giả thiết cho các điểm trên cạnh, đường chéo có tỷ lệ độ
dài.
Ta xét ví dụ sau đây:
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I(0; -3), đỉnh
D(2;-4). Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ âm.
Giải
Phân tích tìm lời giải: Với hai điểm có tọa độ cho trước D và I ta xác định
 IA = ID
 AB = AD

đươc tọa độ điểm B. Xác định tọa độ đỉnh A theo hệ phương trình: 

Lời giải:

Do I là tâm hình vuông nên I là trung điểm của BD. Suy ra: B(-2; -2)
 IA = ID
 AB = AD

Giả sử A(x; y) ta có hệ phương trình: 
 x + ( y + 3) = ( 0 − 2) + ( − 3 + 4 )
⇔
2
2
2
2
( x + 2 ) + ( y + 2 ) = ( x − 2 ) + ( y + 4 )
2

2

2

2



 x =1
⇔
⇔
 y = 2x − 3 



2

 x =1
(l)

y = −1
 x = −1
( tm )

y =− 5

Vậy A(-1; -5).
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
16. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC biết điểm M(-1; -1). Đường
thẳng AN có phương trình là : 3x + 5y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm A biết A có
hoành độ âm.

GV Hoàng Thị Huệ

8


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017
Giải

Đặt độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD là AB = a, AD = b, ( a, b > 0)
Ta có:

S ABCD = ab =16
1
ab 1 a b ab 16
S AMN = S ABCD − S BMN = − . . = =
=2
4
4 2 2 2 8
8

Mặt khác : S AMN =

1
1
b2 − 3− 5+ 4
AN . d ( M , AN ) =
a2 + .
=2
2
2
4
34

ab =16

a = 4 2

⇔
Ta có hệ phương trình :  2 b 2
b = 2 2
 a + 4 = 34

a
2



Suy ra: AM = = 2 2 . Gọi A x0 ;


− 4 − 3x0 
 ∈ d : 3x + 5y + 4 = 0 . Ta có:
5


2
 x0 = − 3 ( tm )
 − 4 − 3x0 
AM = ( x0 + 1) + 
+ 1 = 8 ⇔ 
29
5
 x0 = ( l )


17

2

2

Vậy điểm A cần tìm là A(-3; 1).

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện
tích bằng 16, phương trình đường thẳng AB: x – y + 3 = 0,điểm I(1; 2) là giao
điểm của hai đường chéo. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết A có
hoành độ dương.
Giải

GV Hoàng Thị Huệ

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Ta có: AD = BC = 2d ( I , AB ) = 2

Năm học 2016 - 2017

1− 2 + 3
2

=2 2

S ABCD = AB. AD = 16 ⇒ AB = 4 2
IA =

1
1
AC =
AB 2 + BC 2 = 10
2

2
 a=2
a = − 2

2
2
2
Gọi A( a; a + 3) .Ta có: IA =10 ⇒ ( a −1) + ( a + 1) =10 ⇔ 

Suy ra: A(2; 5); B(-2; 1).
Do I là trung điểm của AC, BD nên C(0; -1), D(4; 3).
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện
tích bằng 30 và điểm M (1;4),N(-4;-1) lần lượt nằm trên hai đường thẳng AB và
AD. Phương trình đường chéo AC là 7x + 4y – 13 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C của
hình chữ nhật ABCD biết điểm A có hoành độ âm.
Lời giải

GV Hoàng Thị Huệ

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

13 − 7 a 
 ∈ AC , a < 0 Ta có: MA ⊥ NA ⇒ MA .NA = 0
4 



Gọi A a;

⇔ ( a −1)( a + 4 ) +

− 7 a − 3 − 7 a + 17
.
= 0 ⇒ a = − 1( a < 0 ) ⇒ A( − 1; 5)
4
4

Phương trình đường thẳng AB đi qua A và M: x +2y -9 = 0
Phương trình đường thẳng AD đi qua A và N: 2x - y+7=0
Gọi I ( 4 x0 −1; 5 − 7 x0 ) là tâm hình chữ nhật.
Diện tích hình chữ nhật ABCD có thể tính theo các công thức sau :
S ABCD = AB. AD = 4 d ( I , AB ) . d ( I , AD ) = 30
1

x0 =
10 x 0 15 x 0

1
2
⇔ 4.
.
= 30 ⇔ x02 = ⇔ 
1
4
5

5
 x0 = −

2

- Với x0 =

1
ta được
2

- Với x0 = −

 3
I 1;  . Suy ra C ( 3;−2 )
 2

17 
1

ta được I  − 3;  . Suy ra C ( − 5;12 )
2
2


2. Phương pháp đối xứng qua tâm
Nhắc lại: Cho hình bình hành ABCD có tâm I gọi M là một điểm thuộc đường
thẳng chứa cạnh AB khi đó M’ là điểm đối xứng với M qua I thì M’ thuộc đường
thẳng CD.
Tức điểm thuộc đường thẳng chứa một cạnh lấy đối xứng điểm đó qua tâm thì

GV Hoàng Thị Huệ

11


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

điểm đối xứng thuộc đường thẳng chứa cạnh đối diện.
Dấu hiệu nhận biết: Giả thiết bài toán cho tọa độ tâm và tọa độ một điểm trên
cạnh (có thể là tâm hoặc điểm thuộc một đường thẳng cho trước).
Bài 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, tâm I(1;1). Đường
thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M (- 1;2), đường thẳng chứa cạnh CD đi qua
điểm N(2;1). Viết phương trình đường thẳng BC.
Giải

 E ∈CD

Gọi E là điểm đối xứng của M qua I ta có: 
 E ( 3; 0 )

Đường thẳng CD đi qua hai điểm E và N nên có phương trình: x + y - 3 = 0
Ta có d ( I , CD ) =

1+1− 3
2

=

1
2

Phương trình đường thẳng BC

CD ⇒ x − y + c = 0

Do ABCD là hình vuông nên:
d ( I , CD ) = d ( I , CB ) ⇔

1 −1 + c
2

=

 c =1
 BC : x − y + 1 = 0
⇔
⇒
2
c = − 1  BC : x − y − 1 = 0

1

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là BC: x - y + 1 = 0 hoặc BC:
x-y–1=0
Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6;2),
điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB và trung điểm E của cạnh
CD thuộc đường thẳng x - y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.

Giải
Phân tích tìm lời giải

GV Hoàng Thị Huệ

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

Giả thiết bài toán gồm tọa độ tâm I(6;2), điểm M(11;-1) nằm trên đường thẳng
chứa cạnh AB. Vì vậy ta lấy điểm N đối xứng với M qua I ⇒ N ∈CD
Kết hợp tính chất của hình chữ nhật có: IE ⊥ CD ⇒ IE NE = 0
Từ đó dễ tìm được tọa độ điểm E và phương trình đường thẳng AB đi qua M và
nhận IE làm véc tơ pháp tuyến.
Lời giải
Gọi N đối xứng với M qua I ⇒ N (1; 5)
Giả sự tọa độ điểm E ( e; e −1) ∈ d : x − y −1 = 0
Ta có: IE = ( e − 6; e − 3) ; NE = ( e −1; e − 6)
Do E là trung điểm của CD nên :
e = 2
IE ⊥ NE ⇒ IE NE = 0 ⇒ ( e − 6 )( e − 3) + ( − 1 + e )( − 6 + e ) = 0 ⇔ 
e = 6

Với e = 2 ta có: E ( 2;1) ⇒ IE = ( − 4; − 1) ⇒ AB : x − 4 y + 19 = 0
Với e = 6 ta có: E ( 6; 5) ⇒ IE = ( 0; − 3) ⇒ AB : y = 5
Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là AB: y – 5 = 0 hoặc
x – 4y + 19 = 0

Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên bạn đọc phần nào hiểu rõ được tính chất cơ bản đối
xứng qua tâm do vậy lưu ý quan trọng khi giả thiết liên quan đến tâm hình chữ
nhật, hình vuông các bạn lưu ý tính chất này.
B. BÀI TẬP HƯỚNG DẪN TRÊN LỚP
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tọa độ đỉnh
A(1;1) và điểm M(5;3) là trung điểm cạnh BC. Tìm tọa độ đỉnh D biết nó có
tung độ âm.
Phân tích tìm lời giải: Với hai điểm có tọa độ cho trước A và M ta tính được
khoảng cách giữa chúng rồi suy ra độ dài cạnh hình vuông đã cho là a. Xác
MA = MD
 AD = a

định tọa độ đỉnh D theo hệ phương trình: 

GV Hoàng Thị Huệ

13


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017
21 − 7 
;
.
5 5 


Do D có tung độ âm nên D

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
2 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD biết điểm M(0 ;1). Đường

thẳng AN có phương trình là : 2 2 x + y − 4 = 0 . Tìm tọa độ điểm A.
Phân tích tìm lời giải:
Đặt độ dài cạnh hình chữ nhật ABCD là AB = a, AD = b, (a, b > 0).
Ta có: S ABCD = ab = 2 2 (1)
S AMN = S ABCD − S ADN − S ABM − S CMN =
S AMN

3ab 3 2
=
8
4

a 2 + 4b 2 3 2
1
= AN . d ( M , AN ) =
=
2
4
4

( 2)

Từ (1) và (2) ta tìm đươc: a = 2 ; b = 2 .Từ đó ta tính được độ dài AM = 3 .
a = 2

Gọi A a; 4 − 2 2a , với AM = 3 , Ta tìm được 
2

a = 3


(

)

Vậy điểm A tìm được.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 : x − y − 3 = 0 và đường thẳng
d 2 : x + y − 6 = 0 . Trung điểm một cạnh là giao điểm của (d 1) với trục hoành. Xác

định tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật.
Phân tích tìm lời giải:
- Vì I là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 nên ta tìm được tọa độ I.
- Do vai trò các đỉnh A, B, C, D là như nhau, nên ta giả sử đó là trung điểm M
của cạnh AD. Ta tìm được tọa độ M.
- Khi đó ta tính được AB = 2IM ; Dựa vào diện tích của hình chữ nhật ta tìm
được độ dài AD.
- Vì M, I cùng thuộc (d1), do vậy AD đi qua điểm M và vuông góc với (d1).
- Từ độ dài MA = MD =
GV Hoàng Thị Huệ

AD
. Ta tìm được tọa độ A và D.
2
14


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

- Và suy ra tọa độ B, C (các điểm C, B lần lượt đối xứng với A, D qua I).
Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là: (2;1), (4;1), (7;2),(5;4)


Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  .
3 1
2 2

Đường thẳng chứa các cạnh AB, CD lần lượt đi qua các điểm M( - 4; - 1),
N(- 2; - 4). Tìm tọa độ đỉnh B, biết B có hoành độ âm.
Phân tích tìm lời giải:
- M1, N1, lần lượt là điểm đối xứng
của M, N qua điểm I , khi đó M1(7;2) và N1(5;5).
- Vì MN1 AB

- Gọi B b;


AB: 2x – 3y + 5 = 0

2b + 5 
∈ AB , b < 0 . Do IB = 2 d ( I , AB ) ⇒ b = − 1 . Suy ra tọa độ B.
3 

C. BÀI TẬP TỰ LÀM
Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh D( 5;1)
. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho AC =

4AN. Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là 3x − y − 4 = 0 và M
có tung độ dương.
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích
bằng 6, đường chéo AC có phương trình x + 2 y − 9 = 0 . Điểm M ( 0; 4) nằm trên BC,
đường CD đi qua điểm

N ( 2; 8) .

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết C có

tung độ là một số nguyên.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với điểm
M ( 2; 2 ) là trung điểm của AB, đường thẳng đi qua đỉnh C và trung điểm cạnh AD

có phương trình là 7 x + y − 46 = 0 . Tìm tọa độ A, B,C,D của hình vuông biết C có
tung độ âm.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật có hai đường chéo
lần lượt có phương trình là d1 : 7 x + y − 4 = 0; d 2 : x − y + 2 = 0 . Viết phương trình
đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật biết nó đi qua điểm M ( − 3; 5) .

GV Hoàng Thị Huệ

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận
3.1.1 Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
ĐỀ KIỂM TRA LỚP 10( Thời gian làm bài 45’)
Bài 1:(5đ): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có
tâm I (1;1) . Đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua M ( − 2; 2) , N ( 2; − 2) . Xác định
tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 2:(5đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
phương trình cạnh AD là 2 x + y −1 = 0 , điểm I ( − 3; 2) thuộc BD sao cho
IB = − 2 ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết D có hoành độ dương và

AD = 2AB.
3.1.2 Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
ĐỀ KIỂM TRA LỚP 10( Thời gian làm bài 45’)
Bài 1:(5đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
tâm I ( 6; 2) . Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình cạnh AB.
Bài 2(5đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh
9 3
A(1;1) . AB = 4. Gọi M là trung điểm của BC, điểm H  ; −  là hình chiếu
5 5

vuông góc của D lên AM. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết đỉnh
B có hoành độ bé hơn 2..
3.1.3 Kết quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm
Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách
chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm
bài tập giao về nhà tương tự. Phương pháp dạy học trên dựa trên nhu cầu cần
thiết của người học toán:
- Khả năng vận dụng, khả năng liên hệ kết nối kiến thức cũ và mới.
- Khả năng tư duy sáng tạo và tự học.

GV Hoàng Thị Huệ

16


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

- Tính thực tế và đổi mới, ham học và tích luỹ kiến thức biết liên hệ, vân dụng
vào thực tiễn.
Qua thực tế giảng dạy các lớp chuyên đề của trường THPT Tĩnh Gia 2. Các em
rất hào hứng và sôi nổi trong việc phát hiện, đề xuất cách giải cho mỗi bài toán.
Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh khối 10 năm học 2016-2017 trước
và sau khi áp dụng sáng kiến như sau:

Bảng thống kê

Lớp

Dưới
3đ

Trước khi áp dụng

Sau khi áp dụng

SKKN

SKKN

Từ 3đ

Từ 5đ

đến

đến

5đ

7đ

13

16

Từ 7đ
đến 8đ

Từ 8đ
đến
10đ

Dưới

Từ 3đ

Từ 5đ

3đ

đến 5đ

đến 7đ

5

20

Từ 7đ

Từ 8đ

đến

đến

8đ

10đ

14

4

10C1
43 học 0

30.3% 37.2%

12

2

27.9%

4.6%

4

0

0

11.6%

46.5% 32.7%

9.3%

sinh
10C3
42 học

6

20

12

sinh 14.2% 47.6% 28.5%
3.1.4 Bài học kinh nghiệm:

9.7%

3

14

7.1%

33.3%

15

9

35.7% 21.6%

1
2.3%

Người dạy luôn say mê tìm tòi để vận dung và điều chỉnh cách dạy cho phù
hợp. Biết được nhưng điểm yếu của học sinh về khả năng vận dụng hoặc trình
bày lôgíc, phân tích các giả thiết. Áp dụng phải đúng đối tượng phù hợp với
chương trình và tạo được ý thức học tập cho học sinh. Thúc đẩy được các đối
tượng học sinh cùng học và nghiên cứu, và thực hiện. Sáng kiến kinh nghiệm
này cũng là một tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh:
Giỏi; Khá.

Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết như
GV Hoàng Thị Huệ

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi
hỏi tính sáng tạo như các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực nghiệm
ở hai lớp dạy là 10C1 và 10 C3 trườngTHPT Tĩnh Gia 2 đã chứng tỏ đề tài giúp
học sinh phần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu. Điều
đó làm cho các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em.
Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh
nghiệm quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình.
Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “ Phân tích các tính
chất hình học để giải các bài toán về hình chữ nhật và hình vuông trong hệ
Oxy ”.
. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp; và các đồng
chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2 Những kiến nghị
Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần
lưu ý một số điểm sau:
a) Đối với giáo viên:
- Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn,
nghiệp vụ sư phạm, tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát
huy năng lực học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều
chỉnh cho các tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác

với các Thày Cô hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu
môn toán hơn .
- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì
áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh.
Trước khi dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật
vững vàng về những kiến thức cơ bản liên quan.
- Giáo viên phải thực sự tâm huyết, tận tình với công việc, yêu nghề, có tinh
thần trách nhiệm cao trước học sinh.
- Đối với bộ môn này có ứng dụng nhiều vào thực tế nên có những nội sinh
hoạt ngoại khoá để kích thích tính ham hiểu biết của học trò.
- Những sáng kiến đạt giải cao nên được phổ biên rộng rãi để đồng nghiệp
GV Hoàng Thị Huệ

18


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

học tập.
b) Đối với nhà trường:
- Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp
dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực học sinh,
viết và áp dụng SKKN.
- Nhà trường mở những chuyên đề hội thảo cho tổ nhóm chuyên môn, giao
lưu các tổ nhóm chuyên môn.
c) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
- Sở có buổi tập huấn về chuyên môn của từng môn học có hiệu quả hơn, mời
các thầy giáo đầu nghành về tập huấn chuyên môn cho các trường.

- Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn
Sở GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác
tham khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp
loại.
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các
em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Hoàng Thị Huệ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 10 (Nhà xuất bản giáo dục)
2. Các dạng toán luyện thi đại học ( Trần Thị Vân Anh- Nhà xuất bản Đại
Học Quốc Gia Hà Nội)
GV Hoàng Thị Huệ

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2016 - 2017

3. Báo toán học tuổi trẻ.
4. Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi vào Đại học cao đẳng ( Tủ
sách toán học và tuổi trẻ).
5. Tuyển chọn những bài toán hay và khó(PGS.TS Đậu Thế Cấp-Nguyễn

Văn Quí-Nguyễn Tiến Dũng).
6. Khai thác trên mạng Internet.
7. Đề thi đại học và cao đẳng .

MỤC LỤC
Phần I

Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài

1

1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu

2
2
2

GV Hoàng Thị Huệ

1

20


Sáng kiến kinh nghiệm
Phần II

Phần III

Năm học 2016 - 2017

Nội dung

3

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
A. VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
B. HỆ TỌA ĐỘ – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM
C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa

3

A. Nội dung phương pháp

7

1. Phương pháp tính độ dài cạnh

7

2. Phương pháp đối xứng qua tâm
B. Bài tập hướng dẫn trên lớp

11

C. Bài tập tự làm
Kết luận và kiến nghị
3.1 Kết luận
3.1.1 Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến
3.1.2 Kiểm tra khảo sát sau khi áp dụng sáng kiến
3.1.3 Kết quả đạt được của sáng kiến
3.1.4 Bài học kinh nghiệm
3.2 Những kiến nghị
Tài liệu tham khảo

GV Hoàng Thị Huệ

3
4
4
4
4
6
7

13
15
16
16
16
16
17

18
20

21