Phân tích những sai lầm của học sinh để khắc sâu kiến thức và hướng khắc phục sai lầm khi học chủ đề giới hạn

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU................................................................................................................... 2
1.1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................................2
1.5. Những điểm mới của SKKN...............................................................................2
2. NỘI DUNG................................................................................................................3
2.1. Cơ sở lý luận.......................................................................................................3
2.1.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số............................................3
2.1.2. Các định lý về giới hạn của dãy số và hàm số..............................................3
2.2.3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.............................................................4
2.2. Thực trạng của vấn đề.........................................................................................5
2.3. Các giải pháp thự hiện.........................................................................................6
2.3.1. Giải pháp chung...........................................................................................6
2.3.2. Các dạng sai lầm, nguyên nhân và cách khắc phục......................................7
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.......................................................................................19
3.1. Kết luận............................................................................................................. 19
3.2. Kiến nghị...........................................................................................................19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn Sách giáo khoa Đại số và Giải tích
11 đã viết: “Trong đó, Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích.
Có thể nói không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của
Giải tích đều liên quan đến Giới hạn” [1].
Khi học sinh tiếp thu các tri thức của giới hạn đã xảy ra quá trình biến đổi
về chất trong nhận thức của học sinh. Khái niệm giới hạn chính là cơ sở cho

phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”. Do
vậy, nắm vững được nội dung khái niệm giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề
quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả
các kiến thức giải tích toán học ở phổ thông.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó
khăn khi giải các bài toán liên quan đến giới hạn. Các em thường mắc những sai
lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn
của người thầy.
Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về chủ đề giới hạn, có kỹ
năng giải các bài toán liên quan về giới hạn, tôi chọn đề tài "Phân tích những
sai lầm của học sinh để khắc sâu kiến thức và hướng khắc phục sai lầm khi
học chủ đề giới hạn".
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học
sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Gúp cho học sinh hiểu rõ bản chất và tránh nhứng sai lầm trong chủ đề
giới hạn.
Tạo ra hứng thu cho học sinh trong quá trình học môn toán nói chung và
chủ đề giới hạn nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Lý thuyết và các dạng toán liên quan đến giới hạn hàm số, giới hạn dãy số
- chương IV, Đại số và Giải tích lớp 11 chương trình nâng cao .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp điều tra, phương pháp đối chứng, phương pháp nghiên cứu
tài liệu.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
Tôi có tham khảo một số sách giáo khoa, sách tham khảo như Sai lầm
thường gặp và các sáng tạo khi giải toán của tác giả Trần Phương, Nguyễn Tấn

Đức; Nhà xuất bản Hà Nội, năm 2004. Tôi thấy tác giả cũng đã tìm hiểu những
sai lầm và nguyên nhân một cách chung nhất khi giải toán.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn những
dạng sai lầm và nguyên nhân trong chủ đề giới hạn.
2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.
2.1.1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số và hàm số.
a) Dãy số
• lim un = 0 ⇔ Mọi un đều nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
• lim un = L ∈ R ⇔ lim(un − L) = 0.
•Mọi un đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
• lim un = ∞ ⇔ Mọi un đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số
hạng nào đó trở đi.
b) Hàm số
• Giả sử x0 ∈ (a; b) và f là một hàm xác định trên (a; b) có thể trừ x0 .
f(x) = L ∈ R ⇔ Với mọi dãy (x n ) trong (a; b) \{x0 } mà limx n = x0 ta đều có
+ xlim
→x
0

lim f(x n ) = L .
f(x) = +∞ ⇔ Với mọi dãy (x n ) trong (a; b) \{x0 } mà limx n = x0 ta đều có
+ xlim
→x
0

lim f(x n ) = +∞ .

• Giả sử hàm số f xác định trên (x 0 ; b) , x0 ∈ R .
lim f(x) = L ∈ R ⇔ Với mọi dãy (x ) trong ( x ; b) mà limx = x ta đều có
n
0
n
0

x → x 0+

lim f(x n ) = L .

•

lim f(x) = +∞ ,

lim f(x) = −∞ ,

x → x0+

x → x0

lim f(x) = −∞ ,

x → x0−

lim f(x) = L ,

x →+∞

lim f(x) = −∞ ,

lim f(x) = L ,

x → x0+

lim f(x) = +∞ ,

x→+∞

x → x 0−

lim f(x) = −∞ ,

x→+∞

lim f(x) = +∞ ,

x → x0−

lim f(x) = −∞ ,

x→+∞

lim f(x) = L , lim f(x) = +∞ , lim f(x) = −∞ ,

x →−∞

x→−∞

x→−∞

Được định nghĩa tương tự.
2.1.2. Các định lý về giới hạn của dãy số và hàm số.
a) Dãy số
• Nếu lim un = L ∈ R thì lim | un |=| L | , lim 3 un = 3 L , lim un = L (nếu un ≥ 0
với mọi n)
• Nếu lim un = L ∈ R , lim v n = M ∈ R thì
3


lim(un ± vn ) = L ± M ; lim(un vn ) = L.M .
un
L
=
(nếu M ≠ 0 ).
vn M

lim(c un ) = cL (c là hằng số; lim

b) Hàm số
• Nếu limf(x) = L ( x → x0 , x → x0+ , x → x0− , x → +∞, x → −∞) thì lim | f(x) |=| L | ,
lim 3 f ( x) = 3 L , lim

f ( x) = L (nếu f ( x) ≥ 0 với mọi n)

• Nếu limf(x) = L , lim g ( x) = M ( x → x0 , x → x0+ , x → x0− , x → +∞, x → −∞) thì
lim[ f(x) ± g ( x)] = L ± M ; lim[(f(x) + g(x)] = L.M .

f ( x) L
=
(nếu M ≠ 0 ).
g ( x) M

limcf(x) = cL (c là hằng số; lim

2.2.3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
a) Dãy số
• Nếu lim un = ±∞ , lim v n = ±∞ thì lim(un vn ) được cho trong bảng sau:
lim un

limv n

lim(un vn )

+∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞

−∞

+∞

• Nếu lim un = ±∞ , lim v n = L ≠ 0 thì lim(un vn ) được cho trong bảng sau:
lim un

Dấu của L

lim(un vn )

+∞

+∞
+
−∞
+∞
−∞
−∞
+
−∞
+∞
• Nếu lim un = L ≠ 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì
lim

un
được cho trong bảng sau:
vn

Dấu của L

Dấu của vn

lim(un vn )

+
+
-

+
+
-

+∞
−∞
−∞
+∞

4


b) Hàm số
f(x) = ±∞ , lim g(x) = L ≠ 0 thì lim [ f ( x) g ( x) ] được cho trong bảng
• Nếu xlim

→x
x→ x
x→ x
0

0

0

sau:
lim f(x)

Dấu của g(x)

+∞

+
+
-

x → x0

+∞
−∞
−∞

f(x) = L ≠ 0 , lim g(x) = 0 và
• Nếu xlim
→x
x→ x

0

0

lim [ f ( x) g ( x) ]

x → x0

+∞
−∞
−∞
+∞
g(x) > 0 hoặc

g(x) < 0 với mọi

x ∈ J \{x0 } , trong đó J là một khoảng nào đó chứa {x0 } thì lim
x→ x

0

f ( x)
được
g ( x)

cho trong bảng sau:
Dấu của L
+
+
2.2. Thực trạng của vấn đề

Dấu của vn

lim(un vn )

+
+
-

+∞
−∞
−∞
+∞

Qua thực tế giảng dạy và dự giờ giảng dạy môn Toán ở trường THPT, tôi
thấy: Chủ đề giới hạn là một trong những chủ đề khó của Giải tích THPT. Ngay
cả đối với học sinh khá khi tiếp cận với với ngôn ngữ giải tích như “lớn hơn một
số dương bất kỳ”, “x dần về a”, “dãy số dần ra vô cực”, ... học sinh thường khó
hiểu hoặc hiểu sai lý thuyết.
Trong thực tế, khi làm bài tập thì học sinh gặp những khó, sai lầm:
- Không nắm vững định nghĩa về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số.
- Không nắm vững tính chất, định lý, quy tắc tính giới hạn dãy số, giới hạn
hàm số.
- Thiếu một số kĩ năng trong tư duy, nhận thưc, kĩ năng tính toán, kỹ năng
biến đổi, kĩ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập.

5


2.3. Các giải pháp thự hiện.

2.3.1. Giải pháp chung
Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không
chắc chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh
nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã
có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng
lại là sai lầm hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến
thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được,
chúng sẽ được tạo nên từ những chướng ngại.
Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và
có thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai
lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai
lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những
khó khăn sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý
nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học.
Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán
học, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi
lĩnh hội tri thức này.
Qua phân tích những khó khăn, sai lầm của học sinh khi học phần giới
hạn, từ đó:
• Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
• Rèn luyện cho học sinh kĩ năng mặt tư duy...
• Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, biến đổi...
• Tăng khả năng phán đoán, khả năng học sinh tự học.
• Phân dạng bài tập và phương pháp giải
• Đưa ra các dự đoán sai lầm.
• Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
• Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Giáo viên đánh giá học sinh.

- Học sinh đánh giá học sinh.
6


2.3.2. Các dạng sai lầm, nguyên nhân và cách khắc phục.
Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các
khó khăn sai lầm sau:
a. Khó khăn sai lầm về kiến thức liên quan đến việc nắm bản chất của khái niệm,
định lý.
x3 − 8
Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim
" [1].
x→2
2
x −4

Sai lầm thường gặp:
3
lim x − 8 không tồn tại.
x→2
x2 − 4

Nguyên nhân sai lầm:
Ngay sau khi học xong khái niệm Giới hạn hàm số (mà chưa học đến các
định lý về Giới hạn và hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm Giới
hạn của f(x) khi x → a rất đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó lim
x→ a
f(x) =f(a) điều này phản ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu lim.
Trong ví dụ này học sinh thường chưa hiểu bản chất giới hạn, chỉ thay x
= 2 vào

x3 − 8
để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn đến cho rằng lim
x→2
x2 − 4

x3 − 8
không tồn tại.
x2 − 4

Lời giải đúng:
Với x ≠ 2 , Ta có
Do đó lim
x →2

x3 − 8 x 2 + 2 x + 4
=
.
x2 − 4
x+2

x3 − 8
x2 + 2 x + 4
=
lim
= 3.
x 2 − 4 x→2 x + 2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;

- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng
Ví dụ 2: Tính giới hạn lim
x →9

(

81 − x 2 + x − 9

)

0
.
0

Sai lầm thường gặp:
7


vậy lim
x →9

)

(

)

(

lim

Học sinh cho rằng:

x →9

81 − x 2 + x − 9 = f(9) =

(

)

81 − 9 2 + 9 − 9 = 0

81 − x 2 + x − 9 = 0

Nguyên nhân sai lầm:
Thực ra thì hàm số f(x) =

(

)

81 − x 2 + x − 9 không có giới hạn tại x = 9

 81 − x 2 ≥ 0
⇔ x = 9 , tức tập xác định là K = { 9} . Do
vì tập xác của hàm số f(x): 
 x − 9 ≥ 0

{ xn }
đó không thể áp dụng định nghĩa lim
x →9 f(x) được vì không thể lấy bất kỳ dãy
nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là: ∀ xn ∈ K , xn ≠ 9 mà { x n } →
9, nên hàm số đã cho không có Giới hạn tại x = 9.
Lời giải đúng:
lim
x →9

(

81 − x 2 + x − 9

)

không tồn tại.

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số;
- Ví dụ này để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn
các định nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tương không thõa
mãn một trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ) qua đó làm
sáng tỏ cho học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm.
b. Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu…).
Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim

(

)

n 2 + n + 1 − n " [1].

Sai lầm thường gặp:
lim

)

(

n 2 + 1 − n = lim

)

(

n 2 + 1 − lim n = (+∞) − ( +∞ ) = 0 ;

)

hoặc

lim

(


1 
= ∞ ×0 = 0 ;
n 2 + 1 − n = lim n  1 + − 1÷
n ÷




hoặc

lim

(

n 2 + 1 − n = lim

= lim

)

(

(

n2 + 1 + ( −n )

)

)

n 2 + 1 + lim ( − n ) = ( +∞ ) + ( −∞ ) = 0 .

Nguyên nhân sai lầm:
Với một số sách cũ của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là ∞ để viết
8

Giới hạn vô cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu ∞ này, có
thể
được hiểu theo các cách khác nhau như + ∞ hoặc −∞ . Vì vậy, nên khi
xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn + ∞ hay
giới hạn −∞ tức là lim un = + ∞ hoặc lim un = −∞ . Do ¡ là một tập hợp sắp thứ
tự nên không thể kết luận chung chung giới hạn là ∞ hay viết lim un= ∞ . Bản
chất của + ∞ và −∞ không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng
ra nói đến lân cận của + ∞ tức là khoảng ( a ; + ∞ ) và lân cận của −∞ là khoảng
( −∞ ; a) với ∀a ∈ ¡ , do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số
trên chúng.
Chẳng hạn:
thể viết lim
x→a

lim
x →a

f ( x)
= 0 nếu lim
f ( x ) = L và lim
g ( x ) = + ∞ nhưng không
x→ a
x→ a
g ( x)

f ( x)
f ( x ) lim
L

= x→a
=
= 0.
g ( x ) lim g ( x ) + ∞
x →a

Nhưng kết quả giới hạn (nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn
( 0, hằng số L ≠ 0 ) hoặc giới hạn vô cực ( ± ∞ ), nên ta có thể xem kí hiệu + ∞
và −∞ như là giới hạn của dãy số. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học
sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô cực'',
trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu
như:
( + ∞ ) - ( + ∞ ) = 0 ? ; 0 . ∞ = 0 ?...
Lời giải đúng:
Ta có

1
n
n2 + n + 1 − n =
=
2
1 1
n + n +1 + n
1 + + 2 + 1 với mọi n.
n n

Do đó lim

n +1

(

)

n2 + n + 1 − n =

1+

1
2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số.
c. Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy.
9




1

Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim 

2
 n +1

+

1
n2 + 2

+ ... +


÷ " [4].
n2 + n 
1

Sai lầm thường gặp:
Do lim

1
n +1
2



1

Nên lim 

1

= lim

2
 n +1

n +2
2

1

+

n2 + 2

= ... = lim

1
n +n
2

= 0.


÷ =0+0+...+0=0.
n2 + n 
1

+ ... +

Nguyên nhân sai lầm:
Phép toán tổng, hiệu các giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn các số hạng.
Lời giải đúng:
1

Do

n +n
2

Nên
mà

n
n2 + n

lim

1

≤

n +k
2

n
n2 + n


Do đó lim 

1

≤

n2 + 1

= lim

1

2
 n +1

+

1

≤

n +0
2

=

1

+

n2 + 2

1
1
1+
n

1

, ∀ k ∈ [ 1; n ] .
n
1

+ ... +

n2 + n

≤

n
= 1;
n

= 1.

1
n2 + 2

+ ... +


÷ = 1.
n2 + n 
1

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
Củng cố các định lý về giới hạn dãy số;
d. Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ năng vận dụng các định nghĩa,
định lý, công thức.

Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sánh tạo, của học sinh
còn yếu. Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc
lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho các bài toán, tự mình giải quyết
các nhiệm vụ học tập, còn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cô, sách giải bài tập,
thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý
dạng bài tập cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khuôn, không phát
huy kỹ năng sáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên
khi giải toán thừơng gặp các khó khăn sai lầm.
Ví dụ 1: Tính giới hạn lim
x →2

1
.
x−2

10


Sai lầm thường gặp:
Học sinh cho ngay kết quả: lim
x →2

1
=∞
x−2

Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh thiếu kỹ năng vận dụng định nghĩa.
Lời giải đúng:
lim−

x →2

1
1
= −∞ và xlim
= +∞.
+
→2 x − 2
x−2

Vậy lim
x →2

1
không tồn tại.
x−2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới một bên;
- Củng cố các định lý về điều kiện có giới hạn;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số.
1 + 2 + ... + n
Ví dụ 2: Tính giới hạn lim
.
2
n +2

Sai lầm thường gặp:
= 0+0+... +0 = 0.

lim 1 + 2 + ... + n = lim 1 + lim 2 + ... + lim n
n2 + 2
n2 + 2
n2 + 2
n2 + 2
1 + 2 + ... + n
= 0.
Vậy lim
2
n +2

Nguyên nhân sai lầm:
Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng.
Trong lời giải trên đã áp dụng cho Giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã
dẫn đến sai lầm.
Lời giải đúng:
Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =

n ( n + 1)
2

1
1+
2
n
(
n
+
1
)

1 + 2 + ... + n
1
n +n
n
Do đó: lim
= lim 2( n 2 + 2) = lim 2
= lim
=
2
4
2
n +2
2n + 4
2+ 2
n

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
11


- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Chú ý: Tổng vô hạn các đại lượng có Giới hạn 0 chưa chắc đã có Giới
hạn 0 (tức là các phép toán Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và
được sử dụng cho hữu hạn các số hạng.
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng

0
.
0

−1
Ví dụ 3: "Tính giới hạn lim ( n ) " [1].
2 +1
n

Sai lầm thường gặp:
Xét dãy số un
Ta có: u1

−

( −1)
=

n

.

2n + 1

1
1
1
3 , u2 = 5 , u3 = − 9 , …

−1
Suy ra dãy số un = ( n ) không tăng cũng không giảm.
n

2 +1

Vậy không tồn tại giới hạn.
Nguyên nhân sai lầm:
Định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ
mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn.
Lời giải đúng:
Ta có 0 ≤

( −1)

n

2 +1
n

<

1
∀n ∈ N *
n
2

(

)

và lim

1
= 0.

2n

−1
Nên lim ( n ) = 0.
2 +1
n

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa dãy số có giới hạn 0;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số.
- Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không
ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số.
Ví dụ 4: Tính giới hạn lim

( −1)

n

n2 + 1

.
12


Sai lầm thường gặp:
Học sinh đã áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất:
u

n
Nếu lim un= L và lim vn= ± ∞ thì lim v = 0

n

n

Tức: Với un = (-1) , vn = n + 1 thì lim
2

( −1)

n

n2 + 1

=0.

Nguyên nhân sai lầm:
Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là lim (-1)n không có giới hạn
Lời giải đúng:

( −1)

Ta có:

n

n2 + 1

Vậy lim

( −1)

≤

1
n2 + 1

≤

1
n

( ∀n ∈ N )
*

và lim

1
= 0.
n

n

n2 + 1

= 0.

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dãy số.

)

(

1− x2 + x − 1 .
Ví dụ 5: Tính giới hạn lim
x→1

Sai lầm thường gặp:

1− x2 = 0 và lim x − 1 = 0 .
Ta có lim
x→1
x→1
Vậy theo định lí về Giới hạn của tổng hai hàm số thì:

)

(

lim 1− x2 + x − 1 = 0.
x→1

Nguyên nhân sai lầm:
Thực ra nhưng hàm số f(x) = 1− x2 + x − 1 không có Giới hạn tại x = 1
bởi lẽ biểu thức

1− x2 + x − 1 chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập

xác định của f(x) là K= { 1} .

Do đó không thể định nghĩa limf(x)
được, vì không thể lấy bất kì dãy
x→1

{ xn} nào với xn ∈ K , xn ≠ 1 mà { xn} dần tới 1 được.
13


Lời giải đúng:
Xét hàm số f(x) = 1− x2 + x − 1
Tập xác định của f(x) là K= { 1} .
Do đó hàm số không có giới hạn.
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số.
 9 − x2

Ví dụ 6: " Tìm giới của hàm số f(x) =  1

2
 9 − x

khi − 3≤ x < 3
khi x = 3
khi x ≥ 3

f(x) " [3].
Tìm lim
x→3

Sai lầm thường gặp:
Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do f(3) = 1 do đó limf(x) = 1.
x→3
Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh chưa biết vận dụng định nghĩa giới hạn một bên.
Lời giải đúng:
Ta có limf(x)
= lim+ 9 − x2 = 0 và limf(x)
= lim− 9 − x2 = 0.
+
−
x→3

x→3

x→3

x→3

f(x) = 0
Do đó lim
x→3
Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn một bên;
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn một bên.
e. Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ năng biến đổi:

14

2
lim x − 2 x − 2 " [1].
Ví dụ 1: "Tính giới hạn x→−
1
3
2

x +x

Sai lầm thường gặp:
Học sinh giải:

x 2 − 2 x − 2 ( x + 1)( x − 2) x − 2
=
= 2 .
x3 + x 2
x 2 ( x + 1)
x

x2 − 2 x − 2
x−2
lim
= −3
Do đó x→−1 3 2 = xlim
→−
1
x +x
x2

Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất
x2 − 2x − 2 x − 2
= 2 dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn
x3 + x2
x

toàn khác nhau.
Nguyên nhân sai lầm:
Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất
x2 − 2x − 2 x − 2
= 2 dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn
x3 + x2
x

toàn khác nhau.
Lời giải đúng:
x 2 − 2 x − 2 ( x + 1)( x − 2) x − 2
=
= 2 .
Với x ≠ −1 ta có:
x3 + x2
x 2 ( x + 1)
x
2
lim x − 2 x − 2 = lim x − 2 = −3
Do đó x→−
1
3
2
2

x →−1

x +x

x

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
Cần hiểu bản chất là chọn dãy xn → −1 , xn ≠ −1 , ( ∀n ∈ N * )
⇒

2
xn 2 − 2 xn − 2 xn − 2
lim x − 2 x − 2 = lim x − 2 = −3
=
Do
đó
x→−1
x →−1 x 2
xn 3 + xn 2
xn 2
x3 + x 2

- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;
- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn dạng

0
.
0

15


Ví dụ 2: Tính giới hạn xlim
→−∞

x 2 + x + 2 + 3x
16 x 2 + 1 + x + 1

.

Sai lầm thường gặp:


1 2
x  1 + + 2 + 3÷
x x
x 2 + x + 2 + 3x =

lim 
lim
x →−∞
2
x →−∞

1
1
16 x + 1 + x + 1
x  16 + 2 + 1 + ÷
x

x 

1 2
+ 2 +3
4
x
x
= xlim
=
→−∞
5
1
1
16 + 2 + 1 +
x
x
1+

Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu căn dạng
x 2 = x , kết quả trên chỉ đúng khi x → + ∞ .

Lời giải đúng:
Ta có

x2 + x + 2 = − x 1 +

1 2
1
+ 2 và 16 x 2 + 1 = − x 16 + 2 , với x < 0 .

x x
x

1 2
+ 2 −3
x + x + 2 + 3x
2
x
x
=
lim
=
−
Khi đó xlim
.
→−∞
3
1
1
16 x 2 + 1 + x + 1 x →−∞
16 + 2 − 1 −
x
x
1+

2

Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Củng cố lại bản chất định nghĩa giới hạn hàm số;
- Củng cố các định lý về giới hạn hàm số;

- Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số.
g. Khó khăn sai lầm liên quan đến định hướng kĩ năng tính toán.
Ví dụ 1: Tính giới hạn lim

4n 2 + 1 − 2n − 1
n 2 + 4n − 1 − n

.

Sai lầm thường gặp:
Ta có:
16




1
1
1
1
n 4 + 2 − 2 − ÷
4+ 2 −2− ÷

n
n =
n
n
4 n 2 + 1 − 2n − 1 =
lim 
lim 

lim




4 1
4 1
n 2 + 4n − 1 − n
n  1 + − 2 − 1÷
 1 + − 2 − 1÷
n n
n n





đến đây gặp dạng vô định

0
và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này
0

bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng
phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán thường dẫn đến kết quả
sai.
Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không có thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi
biến đổi tính toán đại số.
Lời giải đúng:

Ta có nlim
→ +∞

 4n 2 + 1 − ( 2n + 1) 2   n 2 + 4n + 1 + n 

× 

= nlim
2
2
→+∞ 
2
2
 

n + 4n − 1 − n
( n + 4n + 1) − n   4n + 1 + 2n + 1

4n 2 + 1 − 2n − 1



4 1
1
+
+
+
1

÷

n n2
n 2 ( −4 )

 =−1
= lim
×
n →+∞
1 
2


n2  4 + ÷  4 + 1 + 2 + 1 ÷
2
n

n
n


Củng cố, khắc sâu kiên thức:
- Rèn luyện thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi
tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được khi n → + ∞ thì tử số và mẫu số
đều có dạng vô định ( ∞ - ∞ ) thì ta phải khử dạng vô định này trước.
- Khi tìm Giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định đúng
dạng thuộc loại vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại số, do
đó xem các dạng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) đều
thuộc dạng vô định là ( ∞ ) - ( ∞ ), nên hay áp dụng các kỷ thuật tính toán khử
dạng vô định này để giải. Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả Giới
hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại khác
nữa, chẳng hạn:

1
1− 2
4
2
x
−
x
x
2
lim
∞
a) Tìm giới hạn xlim
= xlim
→ −∞ (x – x) = x → −∞
→ −∞ 1
2
1 =+ ;
x +x
+
x 2 x3

17


(

x2 + 1 − x
b) tìm xlim
→ −∞

(

)

x 2 + 1 − x = lim

x → −∞

1
x +1 + x
2

= lim

x → −∞

)

nếu cứ thực hiện biến đổi
1



1
− x 1 + 2 − 1
x



= lim

x → −∞

1
x
− 1+

1
+1
x2

0
0

(dạng )

Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất thì sẽ có ngay đáp số:
2
lim 2 lim
∞
a) xlim
→ −∞ (x – x) = x → −∞ x - x → −∞ x = +

)

(

x 2 + 1 − x = xlim
b) xlim
→ −∞

→ −∞

(

)

∞
x 2 + 1 − xlim
→ −∞ x = +

Hoặc có thể xét như sau, cụ thể:
2
lim x 2 1 − 1  = +∞
a) xlim
(x
–
x)
=
→ −∞
x → −∞



(

)

x







1
x
1
x 2 + 1 − x = xlim
x  1 + 2 −  = lim − x 1 + + 1 = +∞
b) xlim
→
−
∞
→ −∞
x
x  x → −∞ 
x



18


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như
một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về giớ hạn và những kiến
thức liên quan , học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường
mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình

những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ; học sinh có thể
quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó
thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương Giới hạn nói riêng.
Qua đề tài cũng đã chỉ ra một số yếu kém trong việc tiếp thu tri thức giới
hạn, đã phân tích những nguyên nhân của sự yếu kém đó. Từ những hạn chế mà
học sinh gặp phải khi giải quyết các vấn đề giới hạn của học sinh để cho các nhà
giáo dục có các biện pháp để giúp học sinh nâng cao hiểu biết về giới hạn. Trên
cơ sở đó tôi đã mạnh dạn đề xuất một số phương pháp nhằm nâng cao hiệu quả
cho học sinh THPT khi tiếp thu khái niệm giới hạn.
Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn
nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời
sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
3.2. Kiến nghị
Trong quả trình giảng dạy, khi thực hành cần cho học sinh trao đổi, so
sánh kết quả, tìm ra nguyên nhân sai lầm và hướng khắc phục sau đó giáo viên
mới tổng hợp và kết luận.
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm cho các chuyên đề khác trong môn Toán
THPT.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình
giảng dạy, sẽ có nhiều thiếu sót mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để cho đề tài
được hoàn thiện và đi vào áp dụng.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 11 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Văn Thủy

Trịnh Xuân Thanh
19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số và Giải tích nâng cao 11; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn
Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng
Thắng; Nhà xuất bản Giáo Dục; năm 2006.
2. Đại số và Giải tích nâng cao - Sách giáo viên 11; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ
biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc
Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất bản Giáo Dục; năm 2006.
3. Bài tập Đại số và Giải tích nâng cao; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),
Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh,
Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất bản Giáo Dục; năm 2006.
4. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán; Trần Phương, Nguyễn
Tấn Đức; Nhà xuất bản Hà Nội; năm 2004.

20


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Xuân Thanh
Chức vụ và đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng, trường THPT Hà Trung.

TT

1.

2.
3.

4.

5.

6.

7.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Khái quát hóa, tổng quát hóa,
Ngành GD cấp tỉnh
đặc biệt hóa từ bài toán quen
Thanh Hóa.
thuộc.
Hướng dẫn học sinh dùng ẩn Ngành GD cấp tỉnh
phụ trong giải toán
Thanh Hóa.
Phát huy tính tích cực tự giác

của học sinh thông qua thay Ngành GD cấp tỉnh
đổi cách phát biểu của bài
Thanh Hóa.
toán
Vận dụng PPDH phát hiện
và giải quyết vấn đề vào dạy Ngành GD cấp tỉnh
học sách giáo khoa mới môn
Thanh Hóa.
Hình học lớp 10.
Dùng ước lượng hình học để
giải các bài toán cực trị trong
Ngành GD cấp tỉnh
hình giải tích qua đó phát
Thanh Hóa.
huy tính tích cực, chủ động,
tự giác của học sinh.
Dùng ước lượng hình học để
giải bài toán cực trị trong
Cấp tỉnh, Thanh
hình giải tích qua đó phát
huy tính tích cực, chủ động,
Hóa.
tự giác của học sinh.
Sử dụng Bản đồ tư duy trong Ngành GD cấp tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc
C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

C

2003 - 2004

C

2005-2006

C

2016 -2007

B

2017-2008

B

2012 - 2013

B

2014 -2015

B

2015 -2016

21


dạy học môn toán góp phần
đổi mới phương pháp dạy
học tích cực

Thanh Hóa.

22