Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO

CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ
TRONG HÌNH HỌC LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO

CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ
TRONG HÌNH HỌC LỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. HOÀNG LÊ TRƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2017

iii

Mục lục
Mở đầu

1

Lời cảm ơn

3

Danh mục các hình vẽ

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
14

2 Đặc trưng Euler-Poincaré
21
2.1. Hàm định giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Công thức Euler-Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận

30

TÀI LIỆU THAM KHẢO

31


1

MỞ ĐẦU

Hình học lồi là bộ môn nghiên cứu tính lồi của các hình hình học trong
không gian thực, không gian vectơ và các không gian trừu tượng khác. Về
mặt lý thuyết, hình học lồi là cơ sở lý luận cho nhiều ngành toán học khác
nhau (chẳng hạn như Đại số, Giải tích, Lý thuyết tối ưu, . . . ..). Về mặt ứng
dụng, các cấu trúc lồi của các hình hình học tồn tại nhiều trong các bài toán
thực tế. Trong trường hợp các bài toán có cấu trúc không lồi, người ta đã
chỉ ra rằng có thể xấp xỉ bởi bài toán có cấu trúc lồi. Điều đó cho thấy rằng
việc hiểu biết và nghiên cứu hình học lồi là hết sức bổ ích cả trong lý luận và
thực tiễn.
Công thức Euler-Poincaré trong hình học lồi là một công thức tổ hợp và
có nhiều ứng dụng trong giải các bài toán thi học sinh giỏi, trong giảng dạy
hình học phẳng, hình học ba chiều và là khởi đầu cho các nghiên cứu sâu sắc
hơn trong toán học hiện đại. Công thức này còn được ứng dụng lý thuyết vật
lý và hóa học về mạng tinh thể.
Với mục đích học tập để hiểu rõ hơn bộ môn và tập dượt nghiên cứu khoa
học nhằm thu hoạch một cách có hệ thống hiểu biết về hình học lồi, chúng
tôi cố gắng tiếp cận bộ môn trên cơ sở tài liệu hiện có. Do thời gian và năng
lực có hạn nên chúng tôi xin được hạn chế phạm vi đề tài với tiêu đề "Công

thức Euler - Poincaré trong hình học lồi".
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại khái niệm, định nghĩa, công
thức Euler - Poincaré, và cách chứng minh công thức này. Đặc biệt là vận
dụng công thức này trong việc tính toán các ví dụ cụ thể để cho thấy sức


2

mạnh của công thức. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội
dung luận văn gồm hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các
khái niệm cơ bản về hình học lồi như tập lồi, bao lồi, đa diện và mặt để sử
dụng trong chương 2.
Chương 2: Đặc trưng Euler-Poincaré. Trong chương này chúng tôi trình
bày định nghĩa của hàm định giá, các đặc trưng Euler-Poincaré, từ đó đưa
ra công thức Euler - Poincaré trong hình học lồi.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế
nên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này được
hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 5 năm 2017
Tác giả

Phạm Thị Phương Thảo


3

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Lê Trường. Tác giả
xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn.
Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán
- Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt
nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua.
Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọi
người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận
văn của mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!


4

Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1: Một số hình ảnh đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 9
Hình 1.2: Hình vuông xác định bởi (1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 10
Hình 1.3: Lần lượt là hình có chiều Q bằng 2 và chiều bằng 3 . . . trang 12
Hình 1.4: Chóp tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. trang 17
Hình 1.5: Sơ đồ đếm các mặt của chóp tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 17
Hình 1.6: Dàn các mặt của một kim tự tháp vuông . . . . . . . . . . . . .. trang 18


5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi định nghĩa các đối tượng ứng với các mối liên
hệ giữa hình học lồi và tổ hợp. Chúng ta bắt đầu vấn đề đếm các tập cỡ d sao
cho các phần tử thuộc tập [n]. Những tập như thế được gọi là d-đa tập con
của [n]. Với mọi tập như vậy tương ứng với một d-bộ (m1 , m2 , . . . , md ) ∈ Zd
sao cho
1 ≤ m1 ≤ m2 ≤ . . . ≤ md ≤ n.
Nếu chúng ta bỏ qua tính nguyên của mj thì ta sẽ có một đối tượng hình
học. Đối tượng hình học đó chính là nghiệm của hệ d + 1 bất phương trình
tuyến tính
n

d

= {x ∈ Rd : 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xd ≤ n}.

Những d-đa tập con chính xác là các điểm nguyên trong n d . Tập n d là
một khối đa diện. Tập đó được xác định bởi một số hữu hạn các bất đẳng
thức tuyến tính. Khối đa diện là một lớp các đối tượng hình học mà nhiều
tính chất liên quan đến lĩnh vực đếm trong tổ hợp.
Đối tượng chính của luận văn là đếm số mặt của khối đa diện cho trước.
Tập các mặt có dạng một tập có thứ tự, được phân loại theo chiều và việc
đếm các mặt trong cùng một chiều sẽ dẫn chúng ta đến một công thức nổi
tiếng đó là công thức Euler - Poincaré.


6

1.1.

Tập lồi

Trong tiết này, chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm và tính chất cơ bản liên
quan đến tập lồi. Các đối tượng hình học của chúng ta sẽ được xây dựng
thông qua khái niệm nửa không gian.
Định nghĩa 1.1 Với các số thực a1 , . . . , an và a = (a1 , . . . , an ) = 0, mặt
phẳng afin là tập có dạng
H = = H := {x ∈ Rd : a, x = b},
với a ∈ Rd \ {0}, b ∈ R. Ở đây ., . là kí hiệu tích vô hướng trong Rd . Chúng
ta gọi H là một siêu phẳng tuyến tính nếu 0 ∈ H hoặc là tương đương với
b = 0. Bởi vì 0 ∈ H khi và chỉ khi b = a, 0 = 0.
Phần bù Rn \ H có hai phần rời nhau
H > := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn > b} và
H < := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn < b}.
Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian afin mở xác định bởi H,
và được kí hiệu lần lượt là H > và H < . Tương tự, tập
H ≥ := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn ≥ b}, và
H ≤ := {x ∈ Rn : a1 x1 + . . . + an xn ≤ b}
được gọi là nửa không gian afin đóng xác định bởi H, và được kí hiệu lần
lượt là H ≥ và H ≤
Định nghĩa 1.2 Một tập hợp P ⊆ Rn được gọi là một đa diện nếu nó là
giao của một số hữu hạn các nửa không gian afin đóng.
Lưu ý rằng đa diện là một tập đóng trong Rn theo tô pô thông thường nhưng
có thể không là tập bị chặn. Ví dụ một nửa không gian afin đóng là đa diện
không không bị chặn. Chúng ta nhận xét tầm thường rằng, tất cả không gian
con afin, bao gồm Rd và ∅ là đa diện. Chúng ta gọi một đa diện P là thực
sự nếu nó không là không gian afin.

7

Định nghĩa 1.3 Một tập lồi S trong Rn là một tập trong Rn sao cho với
mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1], ta có
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ S.
Ví dụ 1.1
i) Trong R2 , các hình đa lồi, hình tròn, hình elip là các tập lồi. Trong R3
thì khối đa diện, hình cầu là các tập lồi.
ii) Hình cầu B = {x ∈ Rn : x ≤ 1} là tập lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ B
và λ ∈ [0, 1], ta có
(1 − λ)x + λy ≤ (1 − λ)x + λy
= (1 − λ) x + λ y ≤ (1 − λ) + λ = 1.
Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B.
iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} là một tập lồi (ở đây
a ∈ Rn và r ≥ 0). Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(a, r) và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y − a = λ(x − a) + (1 − λ)(y − a)
≤ λ x − a + (1 − λ) y − a
≤ λr + (1 − λ)r = r.
Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B(a, r).
iv) Siêu phẳng afin H := {x ∈ Rd : a, x = b} là tập lồi. Thật vậy, cho
x, y ∈ H, Khi đó ta có
a, x = b

và

a, y = b

Do đó với moi 0 ≤ λ ≤ 1, ta có
a, λx + (1 − λ)y = λ a, x + (1 − λ) a, y
= λb + (1 − λ)b = b.

Vậy λx + (1 − λ)y ∈ H và H là tập lồi.
v) Tương tự iv), chúng ta có
H > = {x ∈ Rn : a, x > b} và


8

H < = {x ∈ Rn : a, x < b}
là tập lồi.
Bổ đề 1.1 Giao hữu hạn các tập lồi là tập lồi.
n

Chứng minh. Giả sử P1 , . . . , Pn là các tập lồi. Cho x, y ∈

Pi . Khi đó
i=1

x, y ∈ Pi với mọi i = 1, . . . , n. Do đó ta có
λx + (1 − λ)y ∈ Pi
n

n

với mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Từ đó, λx + (1 − λ)y ∈

Pi . Vậy
i=1

Pi là tập lồi.
i=1

Định nghĩa 1.4 Với một tập hữu hạn X = {u1 , . . . , us } ⊆ Rn , ta gọi
s

conv(X) = {

s

ri ui | 0 ≤ ri ∈ R,
i=1

ri = 1}
i=1

là bao lồi của X.
Ví dụ 1.2 Bao lồi của hai điểm x1 và x2 trong R2 là đoạn thẳng. Bao lồi của
ba điểm x1 , x2 , x3 không thẳng hàng trong R3 là hình tam giác.
Bổ đề 1.2 Với một tập hữu hạn X ⊆ Rn , bao lồi conv(X) của X là tập lồi.
Chứng minh. Giả sử X = {u1 , . . . , us }. Cho x, y ∈ conv(X). Khi đó
s

x=

s

ri ui

và

y=

i=1

i=1
s

s

trong đó 0 ≤ ri ∈ R,

si u i ,

ri = 1 và 0 ≤ si ∈ R,
i=1

si = 1. Khi đó
i=1

s

λx + (1 − λ)y = λ(

s

ri ui ) + (1 − λ)(
i=1

si u i )
i=1

s

(λri + (1 − λ)si )ui .

=
i=1


9

Mặt khác ta có
s

s

(λri + (1 − λ)si ) = λ(
i=1

s

ri ) + (1 − λ)(
i=1

ri )
i=1

= λ + (1 − λ) = 1.
Do đó λx + (1 − λ)y ∈ conv(X). Vậy conv(X) là tập lồi
Định nghĩa 1.5 Một tập con khác rỗng P của Rn được gọi là khối đa diện
nếu tồn tại một tập con hữu hạn X ⊂ Rn sao cho conv(X) = P .

Chú ý rằng khối đa diện là đa diện nhưng một đa diện có thể không là
khối đa diện. Ví dụ nón là đa diện nhưng không là khối đa diện. Chúng ta
biết rằng P là khối đa diện khi và chỉ khi P là đa diện và P là tập bị chặn.
Ví dụ 1.3 Hình lăng trụ, hình chóp, hình lập phương, kim tự tháp, . . . là các
đa diện.

Hình 1.1: Một số hình ảnh đa diện

Định lý 1.1 Cho Q ⊆ Rd là một đa diện. Khi đó tồn tại các siêu phẳng
Hi = {x ∈ Rd : ai , x = bi },
với i ∈ [k] sao cho
k

Hi≤ = {x ∈ Rd : ai , x ≤ bi với mọi 1 ≤ i ≤ k}.

Q=
i=1

(1.1)


10

Từ Định lý 1.1, chúng ta có thêm một phương thức mô tả đa diện. Chúng
ta gọi một nửa không gian Hj≤ là không rút gọn được nếu
Hi≤ = Q. Hơn
i=j

nữa, chúng ta có duy nhất một họ các nửa không gian không rút gọn được để
mô tả một đa diện. Bằng cách sắp xếp pháp tuyến của các siêu mặt như các

hàng của một ma trận A ∈ Rk×d và cho b := (b1 , b2 , . . . , bk ). Khi đó chúng ta
có thể viết lại
Q = {x ∈ Rd : Ax ≤ b}
Ví dụ 1.4 Cho khối đa diện Q là bao lồi của các điểm A = (1, 0, 0), B =
(0, 1, 0), C = (0, 1, 1) và D = (1, 0, 1). Hình 1.2 là mô tả hình học của Q. Cho
ma trận


1 1 0
 −1 −1 0 




−1
0
0


A=
,
 0 −1 0 


 0 0 −1 
0 0 1
cho b := (1, −1, 0, 0, 0, 1) và x := (x1 , x2 , x3 ). Khi đó, chúng ta có thể mô tả
lại khối đa diện Q như sau
Q = {x ∈ R3 : Ax ≤ b}.
x3

1

1

x2

1
x1

Hình 1.2: Hình vuông xác định bởi (1.2)

(1.2)


11

Định nghĩa 1.6 Bao afin aff(Q) của một đa diện Q ⊆ Rd là không gian con
afin nhỏ nhất của Rd chứa Q.
Bổ đề 1.3 Cho đa diện Q ⊆ Rd . Khi đó
aff(Q) =

{H siêu phẳng trong Rd : Q ⊆ H}.

(1.3)

Chứng minh. Vì H là không gian con afin và Q ⊆ H, bởi định nghĩa bao afin
nên aff(Q) ⊆ H. Do đó
aff(Q) ⊆

{H siêu phẳng trong Rd : Q ⊆ H}.

Vì aff(Q) là không gian con afin chứa Q nên
aff(Q) =

{H siêu phẳng trong Rd : Q ⊆ H}.

Định nghĩa 1.7 Cho không gian afin
H := {x ∈ Rd : a, x = b}
với a ∈ Rd \ {0}, b ∈ R. Khi đó không gian vectơ H liên kết với không gian
afin H là
H := {x ∈ Rd : a, x = 0}
Chiều của không gian afin H là chiều của không gian vector liên kết của H,
tức là
dim H = dim H.
Nếu dim H = m ta gọi H là không gian afin chiều m hay m-phẳng. Chiều
của đa diện Q là chiều của bao afin aff(Q), kí hiệu dim Q := dim aff(Q). Khi
chiều Q bằng n thì ta gọi Q là n-đa diện. Nếu đa diện Q có chiều d thì ta nói
rằng Q có chiều đầy đủ.
Ví dụ 1.5
i) Cho dim H = 0 ta gọi H là không gian afin chiều 0 hay 0-phẳng tương
ứng một điểm.


12

Cho dim H = 1 ta gọi H là không gian afin chiều 1 hay 1-phẳng tương ứng
là một đường thẳng
Cho dim H = 2 ta gọi H là không gian afin chiều 2 hay 2-phẳng tương ứng
là một mặt phẳng

Cho dim H = (n−1) ta gọi H là không gian afin chiều n−1 hay n−1-phẳng
tương ứng là một siêu phẳng
ii) Khi chiều của đa diện Q bằng 2 thì ta gọi Q là tam giác, khi chiều của
đa diện Q bằng 3 thì ta gọi Q là tứ diện.

Hình 1.3: Lần lượt là hình đa diện có chiều Q bằng 2 (tam giác) và chiều Q bằng 3 (tứ diện)

iii) Hình vuông được xác định bởi ví dụ 1.4 có bao afin là
{x ∈ R3 : x1 + x2 = 1}
và như vậy số chiều của nó bằng 2.
Cho Q là một đa diện được xác định bởi
k

Hi≤ = {x ∈ Rd : a, x ≤ bi , với mọi 1 ≤ i ≤ k}.

Q=
i=1

Khi đó phần trong của đa diện Q được định nghĩa là
{x ∈ Rd : ai , x < bi , với mọi 1 ≤ i ≤ k.}

(1.4)


13

Đặt I(Q) := {1 ≤ i ≤ k : ai , x = bi , với mọi x ∈ Q}. Khi đó phần trong
tương đối của Q được định nghĩa là
Q◦ := {x ∈ Q : ai , x < bi , với mọi i ∈
/ I(Q)}

= aff(Q) ∩ {x ∈ Rd : ai , x < bi , với mọi i ∈
/ I(Q)}.
Khi Q = Q◦ thì ta goi Q là đa diện mở tương đối. Biên của Q là
∂Q := Q \ Q◦ .
Ví dụ 1.6 Cho Q là hình vuông được xác định trong ví dụ 1.4. Khi đó phần
trong tương đối của Q là



 



−1 0 0
0 





 x1
 

 0 −1 0  
0
3

x ∈ R : x1 + x2 = 1, 
 x2 <  


 0 0 −1 
 0 




x3

0 0 1
1 
Định nghĩa 1.8 Không gian con tuyến tính lineal(Q) của Q là không gian
con cực đại theo nghĩa bao hàm sao cho tồn tại q ∈ Q mà
q + lineal(Q) ⊆ Q.
Ví dụ 1.7


x ∈ R3 :



x1
 x2  ≤
x3


1 −1 −1
−1 −1 1




0
0 

là một cạnh với không gian tuyến tính {x ∈ R3 : x1 = x3 , x2 = 0} là một
đường thẳng. Nếu lineal(Q) = {0} chúng ta gọi Q nhọn hoặc không đường
thẳng.
Định nghĩa 1.9 Cho tập con hữu hạn X = {v1 , . . . , vs } trong Rn . Một nón
đa diện C(X) trong Rn được định nghĩa là
s

λi vi : λi ≥ 0 .

C(X) = pos(v1 , . . . , vs ) :=
i=1


14

Mọi nón đa diện có biểu diễn thay thế là một tập có dạng
C(X) = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0},
trong đó A là ma trận cỡ d × n.

1.2.

Mặt

Định nghĩa 1.10 Cho một đa diện P ⊆ Rn , b ∈ R, và một vector a ∈ Rn .
Một siêu phẳng H = {x ∈ Rd : a, x = b} là một giá phẳng của đa diện P
nếu P ∩ H = ∅ và (P ⊆ H ≤ hoặc P ⊆ H ≥ ). Một mặt của P là một tập có

dạng P ∩ H, trong đó H là một giá phẳng của P . Nói cách khác, tập
facea (P ) = {x ∈ P | x, a ≤ y, a , với mọi y ∈ P }.
được gọi là một mặt của P . Bổ đề sau sẽ cho chúng ta thấy các mặt lại là
các đa diện.
Bổ đề 1.4 Với mỗi tập hợp X = {u1 , . . . , us } ⊆ Rn và w ∈ Rn , đặt
λ = min{w · ui | 1 ≤ i ≤ s},
Xw = {ui ∈ X | w · ui = λ}.
Khi đó facew (P ) = conv(Xw ), trong đó P = conv(X) và w · u := w, u .
Chứng minh. Đầu tiên, ta chỉ ra λ = min{w · u | u ∈ P }. Cho u ∈ P . Khi
đó ta có
s
s
u=

ri ui ,

với

0 ≤ ri ∈ R,

i=1

ri = 1.
i=1

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với vector w thì
s

w·u=

s

ri (w · ui ) ≥
i=1

ri λ = λ.
i=1

Do đó min{w·u | u ∈ P } ≥ λ. Mặt khác, ta có λ = min{w·ui | 1 ≤ i ≤ s}. Do
đó tồn tại uj ∈ X sao cho λ = w · uj . Do X ⊂ P nên λ ≥ min{w · u | u ∈ P }.
Vậy λ = min{w · u | u ∈ P }.


15

Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng Xw =
{u1 , . . . , ur }. Cho u ∈ conv(Xw ). Khi đó,
r

u=

r

si u i ,

với

0 ≤ si ∈ R,

i=1

si = 1.
i=1

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với vector w thì
r

r

w·u=

si (w · ui ) =
i=1

si λ = λ.
i=1

Mặt khác, u ∈ conv(Xw ) ⊂ conv(X) nên u ∈ conv(X) = P. Do đó u ∈ P và
w · u = λ = min{w · v | v ∈ P }. Vì vậy w · u ≤ w · v với mọi v ∈ P . Khi đó
u ∈ facew (P ). Do đó ta có conv(Xw ) ⊆ facew (P).
Ngược lại, cho u ∈ facew (P ). Khi đó ta có w · u = λ. Do u ∈ P , ta có
s

u=

s

ri ui ,

với

0 ≤ ri ∈ R,

i=1

ri = 1.
i=1

Lấy tích vô hướng hai vế của biểu thức trên với vector w thì
s

λ=w·u=

ri (w · ui )
i=1

Vì Xw = {u1 , . . . , ur }, ta có w · ui = λ với mọi i = 1, . . . , r và w · ui > λ với
mọi i = r + 1, . . . , s. Do đó ta có
s

r

ri (w · ui ) = λ

λ=
i=1

Mặt khác

r

i=1 ri λ

= λ(

s

i=1
r
i=1 ri )

= λ(1 −

r

λ=

i=r+1
s
i=r+1 ri )
s

ri λ + λ
i=1

Do đó ta có

ri (w · ui ).

ri +

ri .
i=r+1

s

ri (w · ui − λ) = 0.
i=r+1

s

ri = 1). Suy ra

(vì
i=1


16

Chú ý rằng w · ui > λ và ri ≥ 0 với mọi i = r + 1, . . . , s, nên từ đẳng thức
trên chúng ta có ri = 0 với mọi i = r + 1, . . . , s. Do đó ta có
r

ri ui ∈ conv(Xw ).

u=
i=1

Vì vậy facew (P ) = conv(Xw ).
Nhận xét 1.1 Từ Bổ đề 1.4, facew (P ) là một đa diện. Ngoài ra, facew (P ) là
một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng

x · w = min{x · w | x ∈ P }.
Vậy mặt F của P lại là một đa diện nên chúng ta có thể nói về chiều của
mặt F . Tức là chiều của mặt F là chiều của đa diện F .
Chúng ta coi P là một mặt và F là mặt thực sự nếu F = P . Chúng ta xem
∅ là một mặt. Mặt chiều 0 của P được gọi là đỉnh của P . Mặt chiều 1 của
đa diện P được gọi là cạnh và mặt chiều d − 1 là siêu mặt của đa diện P .
Tập các mặt của một d-đa diện P (bao gồm cả ∅) cùng với quan hệ bao
hàm sẽ thiết lập một tập sắp thứ tự. Tập đó được gọi là dàn các mặt Φ(Q).
Để kí hiệu quan hệ sắp thứ tự toàn phần của các mặt của một đa diện P ,
ta viết F
G với F và G là mặt của P sao cho F ⊆ G. Trong kí hiệu này,
F ≺ G có nghĩa là F là một mặt thực sự của G. Dàn các mặt Φ(Q) đựơc
phân loại theo chiều và một quan hệ quan trọng trên dàn các mặt Φ(Q) là
f -vector. Cụ thể chúng ta đặt
fk = fk (P ) := số mặt của P có chiều k.
là số mặt có chiều k của đa diện P . Khi đó
f (P ) := (f0 , f1 , . . . , fd−1 )
được gọi là f -vector của đa diện P .
Ví dụ 1.8 Cho hình chóp tứ giác Q = SABCD.


17
S

A
B

D
C

Hình 1.4: Chóp tứ giác

(SABCD)

(SBC)

(SAB)

SA

S

AB

SB

A

(SCD)

SC

BC

B

C

SD

(SAD)

CD

(ABCD)

AD

D

Hình 1.5: Sơ đồ đếm số mặt của hình chóp tứ giác

Khi đó:
Số mặt của hình chóp có chiều bằng 3 gồm SABCD tức là f3 = 1.
Số mặt của hình chóp có chiều bằng 2 gồm các mặt phẳng (SAB), (SBC),
(SCD), (SAD), (ABCD), tức là f2 = 5.


18

Số mặt của hình chóp có chiều bằng 1 gồm SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD,
AD tức là f1 = 8.
Số mặt của hình chóp có chiều bằng 0 gồm S, A, B, C, D tức là f0 = 5.
Vậy f -vector của hình chóp tứ giác Q là f (Q) = (5, 8, 5, 1).
Ví dụ 1.9 Cho kim tự tháp vuông ta có dàn các mặt như sau

Hình 1.6: Các dàn mặt của một kim tự tháp vuông

Bổ đề 1.5 Cho một đa diện Q. Với mọi điểm p ∈ Q có duy nhất một mặt F
của Q mà p ∈ F ◦ . Điều này tương đương, chúng ta có hợp rời sau

F ◦.

Q=
F Q

Chứng minh. Bao hàm ⊇ là hiển nhiên. Ta cần chứng minh bao hàm ⊆. Bởi
Định lý 1.1, giả sử Q là giao của nửa siêu phẳng không rút gọn được
k

Hj≤ ,

Q=
j=1

và p ∈ Q. Sau khi đánh số lại các nửa siêu phẳng, ta có thể giả sử
=
p ∈ H1= , . . . , Hm

và

<
p ∈ Hm+1
, . . . , Hk< ,


19

với 0 ≤ m < k. Do đó
m

k

Hj=

F :=

Hj≤

∩

j=1

j=m+1

là một mặt của Q có phần trong
m
◦

k

Hj=

F =
j=1

Hj<

∩
j=m+1

chứa p.
Bổ đề 1.6 Cho F = facew (P ) là một mặt của đa diện lồi P và cho F =
facev (F ) là một mặt của đa diện lồi F . Khi đó F là một mặt của P . Hơn
nữa, với một > 0 đủ nhỏ, ta có
F = facew+ v (P ).
Chứng minh. Giả sử rằng một tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X). Cho
λ = min{w·u | u ∈ X}, Xw = {u ∈ X | u·w = λ}, λ = min{v·u | u ∈ Xw }
và Xw,v = {u ∈ Xw | v · u = λ }. Cho là một số thực thỏa mãn điều kiện
0< <

min{|λ − w · a| | a ∈ X − Xw }
.
max{|λ − v · a| | a ∈ X − Xw }

Từ Bổ đề 1.4, ta có F = facew (P ) = conv(Xw ) và F = facev (F ) =
conv(Xw,v ). Hơn nữa, với mọi u ∈ Xw,v , ta có w · u + v · u = λ + λ .
Do đó, đủ để chỉ ra rằng với u ∈ Xw,v và a ∈ X − Xw,v , ta có
w · u + v · u < w · a + v · a.
Trường hợp 1. a ∈ Xw , ta có
(w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a)
= 0 + v · (u − a) < 0
Trường hợp 2. a ∈ Xw và v · (u − a) ≤ 0, ta có
(w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a)
≤ w · (u − a) < 0.


20

Trường hợp 3. a ∈ Xw và v · (u − a) < 0, ta có
(w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a)

1
≤ w · (u − a) + Av · (u − a) < w · (u − a) < 0
2
Do đó ta có (w + v) · (u − a) < 0 với mọi u ∈ Xw,v và a ∈ X − Xw,v . Do đó
F = facew+ v (P ).


21

Chương 2

Đặc trưng Euler-Poincaré
2.1.

Hàm định giá

Bây giờ chúng ta sẽ đi đến một khái niệm quan trọng cho phép liên hệ hình
học với tổ hợp, là đặc trưng Euler-Poincaré. Chúng ta tiếp cận với các đặc
trưng Euler-Poincaré của đa diện thông qua phân tích đa diện thành các đa
diện đặc biệt, mà chúng ta gọi là khối đa diện.
Định nghĩa 2.1 Một tập S ⊆ Rd là đa lồi nếu nó là hợp rời hữu hạn của
các đa diện mở tương đối
S = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pk ,
trong đó P1 , P2 , . . . , Pk ⊆ Rd là đa diện mở tương đối.
Ví dụ 2.1 Một đa diện là đa lồi, bởi Bổ đề 1.5, bởi vì đa diện là hợp rời hữu
hạn của các mặt mở của đa diện.
Chúng ta kí hiệu P Cd là họ các đa lồi trong Rd . Tập này là vô hạn và là
tập có thứ tự với quan hệ bao hàm. Hơn nữa tập P Cd có phần tử nhỏ nhất
và lớn nhất lần lượt là ∅ và Rd . Giao và hợp hữu hạn các đa lồi lại là đa lồi
nên tập P Cd là dàn phân phối.

Định nghĩa 2.2 Một ánh xạ Φ từ P Cd đến một nhóm Abel là một định giá


22

nếu Φ(∅) = 0 và
Φ(S ∪ T ) = Φ(S) + Φ(T ) − Φ(S ∩ T )

(2.1)

với mọi S, T ∈ P Cd .
Khi đó ta có định lý sau
Định lý 2.1 Tồn tại một định giá X : P Cd −→ Z sao cho X (P ) = 1 với mọi
khối đa diện đóng khác rỗng P ⊂ Rd .
Nhắc lại rằng khối đa diện đóng là một đa diện và là tập đóng với tô pô thông
thường và cũng là tập bị chặn. Định lý là không tầm thường. Thật vậy, nếu
P ⊂ Rd là một d–đa diện và H = {x ∈ Rd : a, x = b} là một siêu phẳng sao
cho H ∩ P ◦ = ∅. Vậy
P1 := {x ∈ P : a, x < b}

và

P2 := {x ∈ P : a, x

b}

là các đa diện khác rỗng sao cho P1 ∩ P2 = ∅ và như vậy
X (P ) = X (P1 ) + X (P2 ).
Vì vậy, nếu X là một định giá thỏa mãn các điều kiện của Định lí 2.1, thì tất
yếu X (P1 ) = 0.

Mục tiêu của phần này là xây dựng một định giá X thỏa mãn điều kiện
của Định lý 2.1. Tính chất (2.1) sẽ là chìa khóa để đơn giản hóa việc tính
toán của X (S) cho tập đa lồi tùy ý. Nếu S = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pk , với mỗi
Pi ⊆ Rd là một đa diện mở tương đối. Lặp lại quá trình (2.1), chúng ta được
công thức bù trừ
X (S) =

X (Pi ) −
i

=

X (Pi ∩ Pj ) + . . .

(2.2)

i
(−1)|I|−1 X (PI )

(2.3)

∅=I⊆[k]

với PI := ∩i∈I Pi . Đặc biệt, giá trị của X (S) không phụ thuộc vào cách phân
tích của S như là hợp rời của đa diện mở tương đối.