CÁC KIẾN THỨC VÀ CÔNG THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC 12 doc

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
1

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. sin

=
AB
BC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos

=
AC
BC
(KỀ chia HUYỀN)
3. tan

=
AB
AC
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot

=
AC
AB
(KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC

2
= AB
2
+ AC
2
(Định lí Pitago)
2. AB
2
= BH.BC 3. AC
2
= CH.BC
4. AH
2
= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
 
III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA 2. b
2
= a
2
+ c

2
– 2accosB 3. c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN

a b c
2R
sinA sinB sinC
  
V. ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC
 
; b)
AM AN
MB NC



VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =
1

ah
2
b) S =
p(p a)(p b)(p c)
  
(Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:
a) S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =
1
2
a
2
(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a

2

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30
o
hoặc 60
o

b) BC = 2AB c) AC =
a 3
2
d) S =
2
a 3
8

6. Tam giác cân: a) S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

H
C
B
A
N
M

CB
A
60
o
30
o
C
B
A
www.VIETMATHS.com Kinh Toán học
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
2

8. Hình thoi: S =
1
2
d
1
.d
2
(d
1
, d
2
là 2 đường chéo)
9. Hình vuông: a) S = a
2
b) Đường chéo bằng a
2

10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2

R (R: bán kính đường tròn)
b) S =

R
2
(R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =
2
3
BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3
BN
2. Đường cao:
Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực:
Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác:
Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều:
a) Có đáy là đa giác đều

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(

):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(

) Tức là:
d a; d b
a b
a,b
 





 


d

(

)

b)
( ) ( )
( ) ( ) a
a d ( )
  


   


  



d

(

)
c) Đt d vuông góc với mp(

) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(

)
4. Góc

giữa đt d và mp(

): d cắt (


) tại O và A

d
Nếu
AH ( )
H ( )
 


 

thì góc giữa d và (

) là

hay
ˆ
AOH
=



5. Góc giữa 2 mp(

) và mp(

):
Nếu
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB

EM ( ),FM ( )
   


 


   


thì góc giữa (

) và (

) là

hay
ˆ
EMF
=


6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(

):
(hình ở mục 4)
G
P
N
M

C
B
A



F
E
M
B
A

O
H
A
d'
d

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
3

Nếu AH

(

) thì d(A, (

)) = AH
(với H


(

))



B. KHỐI ĐA DIỆN
I/ CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH

1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp: V =
1
Bh
3
(diện tích đáy là đa giác)
3. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V
KHCN
= a .b.c
II/BÀI TẬP:
1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a .
2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a .
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông
góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng: SH

(ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc
60
0

. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
5. Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA
’
= 3a. Tính thể
tích của lăng trụ
6. Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,
C

= 60
0
, đường chéo BC
’
của
mặt bên (BCC
’
B

’
) hợp với mặt bên (ACC
’
A
’
) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài cạnh AC
’
b) Tính thể tích lăng trụ
7. Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp đó.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo
với mặt phẳng đáy góc 30
0
. Tính thể tích khối chóp .
9. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 30
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
10. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A
’
BB
’
C
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD), cạnh bên SB =
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD .
12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC
. Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .
13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều bằng
nhau và bằng
2a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
14. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 120
0
, góc BSC là 60
0
, góc CSA là 90
0
. Chứng
minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC .
15. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi .Tính thể tích khối tứ diện
OABC và diện tích tam giác ABC .
16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích khối
chóp S.ABCD .
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
4

17. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vng góc với (ABC)
, hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 45
0
. Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung
điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC
18. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vng cân có AB = BC = a . Gọi B’ là
trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC .Chứng minh SC vng góc với
mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’
19. Cho hình chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vng tại B cóAB = a , BC = b và SA = c, SA
vng góc với (ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp
thành 2 khối đa diện.
a) Tính thể tích hai khối đa diện đó . b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
20. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45
0
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD

C. MẶT CẦU, MẶT NĨN, MẶT TRỤ
PHẦN 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1/ Tóm tắt lý thuyết: ( SGK)
2/ Các công thức:
Diện tích mặt cầu:
2
4
S R


Thể tích khối cầu:
3

4
3
V R


3/ Các dạng tốn thường gặp:
Dạng 1: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu bằng đònh nghóa
- Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố đònh là một mặt cầu tâm O, bán kính OM
- Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố đònh dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là trung điểm O của
AB, bán kính
2
AB
R  .
- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố
đònh bằng hằng số k
2
là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán kính
2 2
1
2
2
R k AB
 

Dạng 2:
Bài tốn 1:
Hình chóp S.ABCD… có các cạnh bên bằng nhau ( SA = SB = SC….)
 Vẽ SO

đáy (ABC…) , SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC…

 Trong mp ( SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I


I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC….
 Bán kính của mặt cầu nói trên là R = ÍS=IA=…
và ta có SM.SA = SI.SO ( vì tam giác SMI và SOA đồng dạng),
do đó :
SO
SA
SO
SASM
SIR
.
2
.
2

Bài tốn 2:
Hình chóp S.ABC… có : Cạnh bên SA

đáy (ABC…)
và đáy ABC… nội tiếp đường tròn (O)
 Vẽ trục dường tròn ngoại tiếp ABC… đó là
đường thẳng d qua O và vng góc với mp (ABC…),
ta có d // SA
 Trong mp(d,SA), đường trung trực của SA
cắt d tại I

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC….
 Bán kính của mặt cầu nói trên là :

)
2
SA
OI Vi (
4
2
222

SA
AOOIAOIAR

Bài tốn 3:
Hình chóp có các đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới những góc
A
O
S

A
O
I

B
C

S

www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
5

vng, chẳng hạn tứ diện ABCD có

ABD
=

ACD = 90
0

Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp ABCD tâm O là trung điểm
của AD và bán kính R =
2
AD

Ta có : 









ODOA
AD
OC
ODOA
AD
OB
2

2
OA = OB = OC =OD

4/ Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC),

ABC vng tại B và
AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng góc với
mp(ABCD).
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,
SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Bài 5: Chứng minh tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Xác đònh mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu trong a).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD.
SA = AB = a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C. b) Tính diện tích mặt cầu.
Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC = c. Xác đònh tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC.
Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt đáy là


. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 10: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi B’, C’, D’ là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Xác
đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt B’C’D’.BCD


PHẦN 2: MẶT TRỤ, MẶT NÓN
I/ LÝ THUYẾT
A. MẶT TRỤ
1. Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng

song song với
l.
- Đường thẳng

là trục
- Khoảng cách giữa

và l là bán kính
2. Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một hình chữ nhật quanh một đường trung bình
của nó.
3. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó.
4. Các công thức Công thức tính diện tích
xq
S =2 Rh

;
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
6

TP xq 2
S = S + S = 2 R.(h +R)

đáy

Công thức tính thể tích
2
V= R .h



B. MẶT NÓN
1. Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng

cắt l nhưng
không vuông góc với l.
- Đường thẳng

là trục
- Giao điểm O của l và

gọi là đỉnh.
- Hai lần góc hợp bởi l và

gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một tam giác cân quanh trục của nó.
3. Khối nón là hình nòn cùng với phần bên trong của nó.
4. Các công thức Công thức tính diện tích

xq
S = Rl

;

TP xq
S = S + S = R.(l +R)

đáy

Công thức tính thể tích
2
1
V= R .h
3



II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vng OAB
quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a)Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b)Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,

SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Bài 5: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng

.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Tính: SO = lsin

(


SOA tại O)
Bài 6: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2

a
2
.
Tính thể tích của hình nón
Bài 7: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
0
và diện tích đáy bằng 9

. Tính thể tích của hình nón

Bài 8: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này

Bài 9: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết
diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
www.VIETMATHS.com Kinh Toán học
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
7

Bài 10: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
2
a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa
đáy hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC



www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
8

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN:
1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:

1.
);;(
ABABAB
zzyyxxAB 
2. AB
AB
=
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx 

3.
 
332211
;; babababa 

4.
 
321
;; kakakaak 


5.











33
22
11
ba
ba
ba
ba 6.
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
.

.
.
),cos(
bbbaaa

bababa
ba
ba
ba







7.
332211
babababa 

8.
2
3
2
2
2
1
aaaa 


9.
3
3
2
2

1
1
//
b
a
b
a
b
a
bkaba 

10.
0 0.
332211


bababababa

11.

















21
21
13
13
32
32
;;,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba
12. a,b,c
  
đồng phẳng


0.  cba

13. a,b,c
  
khơng đồng phẳng



0.  cba

14. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 15. M là trung điểm AB













k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1








2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M

16. G là trọng tâm tam giác ABC 17. Véctơ đơn vị:







,
3
,
3
,

3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G )1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
 eee
18.
OzzKOyyNOxxM



),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
19.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM



),0,(;),,0(;)0,,(

20.
2 2 2
ABC 1 2 3
1 1
S AB AC a a a
2 2

    
 
21.
ABCD

1
V (AB AC).AD
6
 
  

22.


'.,
////
.
AAADABV
DCBAABCD


2/ Mặt cầu :
2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R







2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1)

Ptrình
D
   
2 2 2
x y z +2Ax + 2By+2Cz 0
(2) (
A B C D
   
2 2 2
với 0
) là phương trình mặt cầu
Tâm I(-A ; -B ; -C) và
2 2 2
A B C D
   
R

2.2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho






2
Rczbyax:(S)
222

và mp() : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp() :
 d > R : (S)   = 
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt












2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222



www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
9


2.3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu









tazz
tayy
t
a
x
x
d
3o
2o
1o
:
(1) và






2
Rczbyax:(S)
222

 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TỐN
a/ Các dạng tốn về toạ độ điểm, véctơ.
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
A,B,C là ba đỉnh tam giác 

[

AC,AB
] ≠ 0



Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
 ABCD là hbh


DCAB 

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
+ Cách 1: Chứng minh [

AC,AB
].

AD
≠ 0

+ Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C.
Thế tọa độ D vào ptmp để chứng minh D

(P)
Dạng 4: Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ:
Cho điểm M ( x , y , z ). Khi đó:
+ M
1
là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M
1
( x , 0 , 0 )
+ M
2
là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M
2
( 0 , y , 0 )
+ M
3
là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M
3
( 0 , 0 , z )
+ M
4
là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M
4
( x , y , 0 )
+ M
5
là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M
5

( x , 0 , z )
+ M
6
là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M
6
( 0 , y , z )
Dạng 5:/ Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
Ta đi chứng minh 2 véctơ
AB, AC
 
cùng phương
b/ Các dạng toán về mặt cầu :
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
+






2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1) + Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
+ Tâm I là trung điểm AB + Bán kính
2

AB
R 
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp


Mc
B.y C .z D
I I
2 2 2
A B C
(S)
  
  
 
ta âm I
A .x
I
R d (I, )

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Cách 1 : Ptr mc có dạng
D
   
2 2 2
x y z + 2Ax+ 2By + 2Cz 0

A,B,C,D  mc(S)

hệ pt, giải tìm A, B, C, D
Cách 2: I là tâm mặt cầu










22
22
22
IDIA
ICIA
IBIA
Giải hệ pt tìm I, bán kính R= IA
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
10

Mc(S) có ptr:
D
   
2 2 2
x y z +2Ax+2By + 2Cz 0
(2)
A,B,C  mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A( mặt tiếp diện)

Tiếp diện (

) của mc(S) tại A :

qua A,

 IA n vtpt


Dạng 7: Tìm tiếp điểm H của mặt phẳng và mặt cầu : (là hchiếu của tâm I trên mp

)
+ Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

na
d

+ Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
Dạng 8: Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn giao tuyến giữa m/c S(I ;R) và mp():
+ bán kính
),(
22

IdRr 

+ Tìm tâm H ( là h chiếu của tâm I trên mp())
*Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

na
d


*Tọa độ H là nghiệm của hpt :
ptr(d)
ptr( )






BÀI TẬP ÁP DỤNG
A. BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉCTƠ:
1: Cho ba vect¬

a
= ( 2;1 ; 0 ),

b
= ( 1; -1; 2) ,

c
= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ :

u
= 4

a
- 2


b
+ 3

c
b) Chøng minh r»ng 3 vt¬

a
,

b
,

c
kh«ng ®ång ph¼ng .
2: Cho 3 vect¬

a
= (1; m; 2),

b
= (m+1; 2;1 ) ,

c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
3: T×m täa ®é cđa vect¬
x

, biÕt r»ng: a)
0
a x

  
 
vµ
 
1; 2;1
a

 
b)
4
a x a
  
  vµ
 
0; 2;1
a

 

c)
2
a x b
  
 
vµ
 
5;4; 1
a

 

,
 
2; 5;3 .
b

 

4: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
5: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy.
6: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
7: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M.
8 . Cho ba vect¬
   
1; 1;1 , 4;0; 1 ,
a b
 
   

 
3;2; 1 .
c

 
T×m:

2 2 2 2

) . ; ) . ; ) ;
a a b c b a b c c a b b c c a
           
   
 
   
   

2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5
d a a b b c b e a c b c
         
 
   
 
 
.
9. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬
a

vµ
b

:
   
) 4;3;1 , 1;2;3
a a b
 
  

   
) 2;5;4 , 6;0; 3 .
b a b
 
  

10. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
11. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d/ T×m to¹ ®é träng, trùc t©m cđa ABC.
e) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ABC h¹ tõ ®Ønh A. f) TÝnh c¸c gãc cđa ABC.
g/ T×m täa ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp cđa tam gi¸c ABC .
12. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
11

a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
d/ T×m to¹ ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD.
e/ X¸c ®Þnh to¹ ®é ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A xng mỈt ph¼ng (BCD)

B. BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é
t©m vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)



02642:
222
 zyxzyxS
b)


09242:
222
 zyxzyxS

c)


03936333:
222
 zyxzyxS d)


022:
222
 yxzyxS
Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x.
d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1;1;-3).
Bµi 4: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mp(ABC).

b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
c/ ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp diƯn víi mỈt cÇu (S) t¹i A.
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho


: 1 0
x y z

   
và đường thẳng (d) :
1
1 1 1
x y z

 


a/ Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng



với các mặt
phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết A , B , C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng



với các trục tọa độ Ox , Oy , Oz, còn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.
b/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A , B , C , D. Xác đònh tọa độ tâm và bán kính của
đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , 0 ,1) , B ( 0 , 10 , 3 ) , C ( 2 , 0 , -1 ) ,

D ( 5 , 3 , -1 ).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A , B , C.
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D và vuông góc với mặt phẳng (P).
c/Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (P).


II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp

:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của 


n

 
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp

:

a


b

là cặp vtcp của ()

a

,
b

có giá song song với () hoặc nằm trong ()
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp(


) qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C):

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến

//

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
12

5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
1
c
z
b
y
a
x



6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0



7. Vò trí tương đối của hai mp (
1
) và (
2
) :
°
222111
C
:
B
:
A
C

:
B
:
A
cắt

°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A



°
2
1

2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A



ª
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A A B B C C 0
      



8.Khoảng cách từ M(x
0
,y
0
,z
0

) đến (

) : Ax + By + Cz + D = 0


222
ooo
CBA
D Cz By Ax


)d(M,




2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :Qua A ( B hoặc C). vtpt ],[ ACABn 



Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

n
( )




quaM trung điểm AB

vtpt AB

Dạng 3: Mặt phẳng

qua M và

d (hoặc AB)

(AB)
n
( )

 




quaM
Vì (d) nên vtpt a
d

Dạng 4: Mp

qua M và //

: Ax + By + Cz + D = 0
 
  
 


 
qua M
Vì / / nên vtpt n n

Dạng 5: Mp

chứa (d) và song song (d
/
)
+Tìm 1 điểm M trên (d) + Mp chứa (d) nên () đi qua M và có 1 VTPT
/
d
d
n a ,a
 

 
  

Dạng 6 Mp(

) qua M,N và

(

) : mp qua M ( hay N), vtpt










nMNn ,
Dạng 7: Mp(

) chứa (d) và đi qua A:
A

B
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
13

+ Tìm )(dM

. +

( ) đi qua A, vtpt








AMan

d
, .
Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) và (d
/
) cắt nhau :
 Đt(d) đi qua điểm M(x
0
,y
0
, z
0
) và có VTCP
1 2 3
( , , )
a a a a


.
 Đt(d
/
) có VTCP
1 2 3
( , , )
b b b b



 Ta có
[ , ]
n a b


  
là VTPT của mp(P).
 Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x
0
,y
0
, z
0 )
và nhận
[ , ]
n a b

  
làm VTPT.

Dạng 9: Lập pt mp(P) chứa đt(d) và vuông góc mp(Q) :
 Đt(d) đi qua điểm M(x
0
,y
0
, z
0 )
và có VTCP
1 2 3
( , , )
a a a a


.

 Mp(Q) có VTPT
( , , )
q
n A B C



 Ta có
[ , ]
p
q
n a n

  
là VTPT của mp(P).
 Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x
0
,y
0
, z
0 )
và nhận
[ , ]
p
q
n a n

  
làm VTPT.
Dạng 10: Phương trình mp (P) chứa 2 đường thẳng song song d

1
và d
2

B1: Lấy A

d
1
; B

d
2
; tìm
1 2
;
d d
u u
 
B2: Ptmp (P):
1
d
qua A hay B
[u ; ]
P
n AB







  

Dạng 11: Viết phương trình mp ( P ) đi qua điểm M và song song với 2 đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
Ptmp ( P) :
1 2
,

d d
P
n u u
qua M

 


 



  

Dạng12: Cm mp(P) // mp(Q) :
 mp(P) : A
1
x + B
1

y + C
1
z + D
1
= 0
 mp(Q) : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
 mp(P) // mp(Q)
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
   

Dạng 13: Cm mp(P)

mp(Q) : mp(P)

mp(Q)
1 2 1 2 1 2
0
A A B B C C
   

.

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n

biÕt
a,




M 3;1;1 , n 1;1;2
 

b,




M 2;7;0 , n 3;0;1
 


c,




M 4; 1; 2 , n 0;1;3

  

d,




M 2;1; 2 , n 1;0;0
 


Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
   
 
   
   
c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
   

   
   

Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng



®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng



biÕt:
a,






M 2;1;5 , Oxy
  b,




M 1;1;0 , :x 2y z 10 0
     

c,





M 1; 2;1 , : 2x y 3 0
    
d,




M 3;6; 5 , : x z 1 0
     

Bµi 4 Lptr cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ song song víi cỈp vÐct¬
(2;1;2); (3;2; 1)
a b

 

Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
14

a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn
);4,3,2(n
lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.

Bµi 8: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 9: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng
tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ


3;2;1
a

vµ


3;0;1
b 


b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 11: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mp (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song với c¹nh CD.
Bµi 12: ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) ,
d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 13: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mp y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3
)

Rt;
tazz
tayy
t
a
x
x
(d)

3o
2o
1o









:

2.Phương trình chính tắc của (d)
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
: 




với a
1,
a
2
, a
3


0
3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng:
d
1
:
1 1 1
1 2 3
x-x y-y z-z
= =
a a a
có véctơ chỉ phương
a

=(a
1
;a
2
;a
3
) và M
1

(x
1
, y
1
, z
1
)  d
1

d
2
:
2 2 2
1 2 3
x-x y-y z-z
= =
b b b
có véctơ chỉ phương

b =(b
1
;b
2
;b
3
) và M
2
(x
2
, y

2
, z
2
)  d
2

* d
1
 d
2








21
//
dM
ba
* d
1
// d
2










21
//
dM
ba

* d
1
cắt d
2








hâtnghiêmduyncóI
bka
1)(
* d
1
chéo d
2









vơnghiêmI
bka
)(

+ Chú ý: Tọa độ giao điểm ( nếu có) của d
1
và d
2
là nghiệm của hệ :








'
3231
'
2221
'
1211

tbztaz
tbytay
tbxtax

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) :
www.VIETMATHS.com Kinh Toán học
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
15

Cho
Rt;
tazz
tayy
t
a
x
x
(d)
3o
2o
1o










:
và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0
Giải pt: A(x
0
+a
1
t) + B(y
0
+ a
2
t) + C(z
0
+a
3
t) +D =0 (1)
*. Nếu (1) có 1 nghiệm duy nhất thì (d) cắt (P).
*. Nếu (1) vô nghiệm thì (d) // (P)
*. Nếu (1) có vô số nghiệm thì (d)

(P)
+Đặc biệt:

 nkaPd )(
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
16

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B : (d) qua A ( hay B) và vtcp
AB

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (

): ( d) qua A và


 aa
d


Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp

: (d) qua A và


 na
d

Dạng 4: PT d’ hình chiếu của d lên

:
+Trường hợp d cắt )(

tại điểm A:
 Gọi
)(

là mặt phẳng chứa d và vng góc
)(


, khi đó ],[


 nan
 d
’
có vec tơ chỉ phương là ],[


 nnu và đi qua điểm A
+ Trường hợp d // )(

:
 Tìm điểm M
’
là hình chiếu của M lên mp )(


 d
’
đi qua điểm M
’
và có vectơ chỉ phương
dd
aa


'

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d

1
),(d
2
):
2
A
(d)

 
 
  
1
qua
vtcp a a , a
d d

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2
:
+ Tìm
d
a = [a

d1
, a

d2
]

+ Viết pt mp() chứa d
1
, và nhận
d
a

làm vectơ chỉ phương
+ Tìm giao diểm B của
)(

và đường thẳng d
2
.
+ Viết ptts của d có vectơ chỉ phương
d
a

và đi qua B.
Dạng 7: Phương trình đường thẳng d qua M, d cắt d
1
và d
2

B
1
: Lập phương trình mp (P) qua M và chứa d
1
; mp(P)
1
1

, ; A d
P d
quaM
n AM u



 
 

 

  

B
2
: Lập phương trình mp (Q) qua M và chứa d
2
; mp(Q)
2
2

, ; B d
P d
quaM
n BM u




 
 

 

  

B
3
: Viết phương trình d:
,
d P
Q
M d
u n n




 


 

  

Dạng 8: viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp ( P) và cắt cả 2 đường thẳng d
1
, d
2

B
1
: Đưa pt d
1,
d
2
về ptts ; lấy A
1 2
,
d B d
 
( theo t, t’) . Tính
AB


B
2
:
( ) . 0 , ' ,
P
d P AB n t t A B
    
 

B
3
: Ptđt d:
d
A hoac B

u
P
qua
n






 

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2

B
1
: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và d
1


toạ độ điểm A ( theo t)
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và d
2

toạ độ điểm B ( theo t’)
B
2

: Do A

(P)

t

A( ; ; )
www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học
ĐỀ CƯƠNG ƠN THI TN 2011 – HÌNH HỌC
17

Do B

(P)

t’

B ( ; ; )
B
3
: Phương trình đường thẳng d :
d
A hoac B
u
qua
AB







 

Dạng 10: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp()
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp() : ta có

na
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt :


Ptr d
Ptr ( )







2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
 Viết phương trình mp() qua M và vuông góc với (d): ta có
d
an 


 Tọa độ H là nghiệm của hpt :


Ptr d
Ptr ( )







Dạng 11 : Điểm đối xứng
a/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P) :
 Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
 Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
 A
/
đối xứng với A qua (P)  H là trung điểm của MM
/
nên :
/
/
/
2
2
2
H M

M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

 

 


 


b/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua đt(d) :
 Lập pt mp (P) đi qua điểm M và vuông góc đt(d).
 Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
 A
/
đối xứng với A qua (d)  H là trung điểm của MM
/
nên :
/
/
/

2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

 

 


 


Dạng 12 : CM sự song song:
a/ Cm đt(d) // đt(d
/
) :
 đt(d) đi qua điểm M
1
(x
1
, y

1
, z
1
) và có VTCP
1 2 3
( , , )
a a a a



 đt(d
/
) đi qua điểm M
2
( x
2
, y
2
, z
2
) và có VTCP
1 2 3
( , , )
b b b b


.
 Ta tính
1 2 2 1 2 1 2 1
( , , )

M M x x y y z z
   

.
 đt(d) // đt(d
/
)
1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1
: : : : ( ):( ) :( )
a a a b b b x x y y z z
     
.
b/ Cm đt(d) // mp(P) :
 đt(d) đi qua điểm M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) và có VTCP
1 2 3
( , , )
a a a a



 mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
( , , )

n A B C


.
 đt(d) // mp(P)
1 1 1
. 0
0
a n
Ax By Cz D





   


 



www.VIETMATHS.com Kinh Toỏn hc
CNG ễN THI TN 2011 HèNH HC
18

3.BI TP P DNG
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận
(3;2;3)

a

làm VTCP
b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
( ) : -3 2 -6 0
P x y z

và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có
phơng trình:

R t,
21
22:








tz
ty
tx
d
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :

R t,

21
22:








tz
ty
tx
d và (P):
x+y+z+1=0. Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông
góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0
P x y z

b)


: 2 3 1 0
P x y z

.
Bài 7: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với
đờng thẳng (

) cho bởi :

2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t








.
Bài 8: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)

R t,
2
3
1
:

tz
ty
tx
d (P): x-y+z+3=0 b)

R t,
1
9
412
:








tz
ty
tx
d (P): y+4z+17=0
Bài 9: Cho mp(P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và

3
2
1
2
1
:




zyx
d .
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mp (P) .
Bài 10: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :


1
1
2
1
1
2

:
1





zyx
d

t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d

a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 11: cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :



34
24
37
:
1








tz
ty
tx

d

R
tz
ty
tx
d








1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.

b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .