Bài 5 tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số phương pháp giản đồ frenen

KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1. Phát biểu định nghĩa DĐĐH.
Câu 2. Viết phương trình của DĐĐH và giải thích
các đại lượng trong phương trình.
Câu 3. Mối liên hệ giữa DĐĐH và chuyển động
tròn đều thể hiện ở chỗ nào ?


ĐẶT VẤN
ĐỀ
Đứng yên

Dao động

Dao động

Dao động
tổng hợp

Một vật có thể thực hiện đồng thời hai
hoặc nhiều dao động
dao động tổng hợp ?

⇒

Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động
cùng phương, cùng tần số
x1 =A1cos(ωt+ϕ1) và x2 =A2cos(ωt+ϕ2 )
Dao động tổng hợp :

x = x1 + x 2 = ?

BÀI 5:
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG
ĐIỀU HOÀ CÙNG PHƯƠNG,
CÙNG TẦN SỐ.
PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ
FRENEN


I. BIỂU DIỄN DĐĐH BẰNG MỘT VÉCTƠ QUAY


I. BIỂU DIỄN DĐĐH BẰNG MỘT VÉCTƠ QUAY
Một dao động
điều hòa:
x = A cos(ω t + ϕ)

+
M

A
φ

O

x

được biểu diễn ba
vectơ quay.

Vectơ quay có:

- Gốc tại gốc tọa độ của trục Ox.

- Độ dài bằng biên độ dao động A.
- Hợp với trục Ox một góc
ϕ
bằng pha ban đầu
ω g
y ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ


II. TỔNG HỢP HAI DĐĐH CÙNG PHƯƠNG,
CÙNG TẦN SỐ

Nguyên tắc : Li độ của dao động tổng hợp
x = x1 + x2 (cộng đại số)
1. Phương pháp lượng giác.
Tổng hợp hai dao động :
x1 = a.cos(ωt + ϕ1)
x2 = a.cos(ωt + ϕ2)


1. Phương pháp lượng giác.
• x = x1 + x2
• = a[cos(ωt + ϕ1) + cos(ωt + ϕ2)]
ϕ1 + ϕ2 

∆ϕ
 ωt +

÷
• = 2acos
.cos
2


2
• + Biên độ của dao động tổng hợp :
∆ϕ
2acos
•
A=
2
+ Pha ban đầu :
ϕ1 + ϕ 2
∆ϕ
• Nếu cos
> 0 ϕthì=
2
2

∆ϕ
• Nếu cos2

ϕ1 + ϕ 2
=
+π
< 0 ϕthì
2

1. Phương pháp lượng giác.
Ví dụ 1: Tìm dao động tổng hợp của 2 DĐĐH cùng phương,
cùng tần số.
5π 
 4π
x1 = 4.cos
t
+

÷ cm ;
 5

6 

x2 = 4.cos  4π t − π ÷ cm.
 5

5π π 4π
∆ϕ
1
+ =
⇒ cos
=− <0
Giải: ∆ϕ =
6 2
3
2
2

∆ϕ
A = 2acos
= 4cm.
2
ϕ1 + ϕ2
4π
ϕ=
+π =
2
3

4π 
 4π
x = 4cos 
t+
÷ cm.
3 
 5

2


2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Giả sử ta phải tìm phương
trình dao động của một vật
thực hiện đồng thời hai dao
động điều hòa cùng phương,
cùng tần số:

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)

x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )


2. Phương pháp giản đồ Fre-nen

Ta lần lượt vẽ
u
u
r
u
u
r
vectơ
M
biểu
A
,A
quay 1 2
hai dao động x1 ; x2

y

M2

ur
Vẽ vectơ tổng
A

A
A2

diễn dao động to
A1
φ2

O

φ1 φ

u
r
Thấy rằng
A

ur ur ur
A = A1 + A 2

M1
x

là vectơ quay biều
diễn ptdđ tổng hợp


2. Phương pháp giản đồ Fre-nen

Vậy:
Dao động tổng
hợp của hai dao
động điều hòa

cùng phương ,
cùng tần số
là
một
dao
động điều hòa
cùng
phương,

y

M
M2
A

A2
φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x


2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Biên độ

Q

·
A 2 = A 12 + A 22 − 2A 1A 2 cos(OM
M)
1

¼ M = 1800 − M
¼OM
ma OM
1
2
1
ø
¼ M) = − cos(M
¼OM )
cos(OM
⇒
1
2
1
ma
ø

⇒

¼
M 2OM 1 = ϕ2 − ϕ1
¼ M) = − cos(ϕ − ϕ )
cos(OM

1
2
1

y

M
M2

y2

A
A2

.

A1

y1
φ2
O

M1

φ1 φ
x2

x1

Vaäy A 2 = A 12 + A 22 + 2A 1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1)

:

x
P


2. Phng phỏp gin Fre-nen
Bieõn
Q
ủoọ
Pha ban
ủau
PM OQ A.si n
tan =
=
=
OP OP A.cos
y1 + y2
tan =
x1 + x2

y

M
M2

y2

A
A2

.

A1

y1

maứ y1 = A1 sin 1 ; x1 = A1 cos 1 O
:

2

1
x2

A 1 si n1 + A 2 si n2
tan = A cos + A cos
1
1
2
2

M1


x1

P

x

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Ví dụ 2: Tìm dao động tổng hợp của 2 DĐĐH cùng phương,
5π π 
 5π π  cùng tần số.

x1 = 6cos  t + ÷ cm;
x2 = 4cos  t + ÷ cm.
3
 9
6
 9
Giải:
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ

π
= 6 + 4 + 2.6.4cos = 9,67cm.
6π
π
2

2

6sin + 4 sin
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
3
6 ; 1,115
tan ϕ =
=

π
π
A1cosϕ1 + A2 cosϕ 2
6cos + 4cos
3
6
5π
⇒ ϕ = 0,84 rad ; ω =
9

 5π

t + 0,84 ÷cm.
Vậy: x = 9,67 cos 
 9



3. Ảnh hưởng của độ lệch pha

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 gọi là độ lệch pha

a. ∆ϕ = 2k π (k = 0, ± 1, ± 2,± 3,...)

A max = A 1 + A 2
Hai dao động cùng pha:

b. ∆ϕ = (2k + 1)π :

A2

A
A1

= A1 − A 2
Hai dao động ngược Apha:
min
A
π
c. ∆ϕ = (2k + 1)
A1
2
A2
Hai dao động vuông pha:
A = A 12 + A 22

Tổng qt:

A1 − A 2 ≤ A ≤ A1 + A 2

A2

A1

A


III. TỔNG HỢP n DĐĐH CÙNG PHƯƠNG,
CÙNG TẦN SỐ
Nếu có n dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số

x1 = A1cos(ωt + ϕ1); ... ; xn = Ancos(ωt + ϕn)
Dao động tổng hợp :
x = x1 + x2 + x3+…..+ xn = Acos(ωt + ϕ)
Thành phần theo phương ngang Ox:
Ax = A1cosϕ1 + A2cosϕ2 + ……. +Ancosϕn
Thành phần theo phương thẳng đứng Oy:
Ay = A1sinϕ1 + A2sinϕ2 + …+Ansinϕn

⇒ A=

A +A
2
x

2
y

; tan ϕ =

Ay
Ax


III. TỔNG HỢP n DĐĐH CÙNG PHƯƠNG,
CÙNG TẦN SỐ
Ví dụ 3 : Tìm dao động tổng hợp của 3 DĐĐH
cùng phương, cùng tần số.
π
 3π
x1 = 10cos  t + ÷cm;

2
 7

π
 3π
x2 = 3cos  t + ÷cm
4
 7
2π 
 3π
x3 = 8cos  t −
÷cm.
3 
 7

K

A3

Giải : Chiếu các véctơ lên 2 trục toạ độ
π
π
Ax = A1x + A2 x + A3 x = 0 + 3.cos

4

− 8.cos

3

π
3

y
A1

I
O

A2

π
4
H

x

L

= −1,9

π
π
Ay = A1 y + A2 y + A3 y = 10 + 3.sin − 8.sin = 5, 2
4
3


y

⇒ A=
=

A +A
2
x

2
y

2
−
1,9
+
5,
2
= 5,5 cm.
(
)
2

A
ay
ax

Ay

O

5, 2

tan α =
=
= 2,7368 ⇒ α ; 1, 22 rad
Ax 1, 2

 3π

⇒ x = 5,5.cos  t + 1, 22 ÷cm.
 7


x


CỦNG CỐ
CÂU 1
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà
cùng phương, cùng tần số. Trong trường hợp nào sau
đây, biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực đại ?
A. Hai dao động thành phần lệch pha nhau một góc
bất kì
B. Hai dao động thành phần ngược pha
C. Hai dao động thành phần lệch pha nhau π /2
D. Hai dao động thành phần cùng pha


CỦNG CỐ
CÂU 2. Hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình lần lượt là
x1 = 4sin100π t cm và x2 = 3sin(100π t + π /2) cm.

Dao động tổng hợp của hai dao động đó có biên
độ là
A. 7cm

B. 5cm

C. 1cm

D. 3,5cm

(Đề thi Tốt nghiệp THPT 2007)
HƯỚNG DẪN

x

x2
3

x2

A

A = (4cm)2 + (3cm)2 = 5cm

x1
O

4

gốc

CỦNG CỐ
CÂU 3. Hai dao động điều hoà cùng phương có phương
trình lần lượt là
π
π
x1 = 4 cos(π t − ) cm và x2 = 4 cos(π t − ) cm

2

6

Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là

A. 4 3 cm

B. 2 7 cm

C. 2 2 cm

D. 2 3 cm

(Đề thi Tuyển sinh Đại học 07/ 2007)
HƯỚNG DẪN
O

-π /6

-π /3 4

4
M2

H
A

gốc

M1
4
M

π
A = 2acos∆ϕ = 2.4.cos = 4 3 cm.
6


CỦNG CỐ
CÂU 4. Cho hai dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là
π/3 và −π/6 . Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai
dao động trên bằng
π
π
π
π
D.
A. −
B.
C.

12
6
2
4
(Đề thi Tuyển sinh Đại học 07/ 2008)
M1

π/4
O

M

π/3

HƯỚNG DẪN

ϕ=

-π/6

gốc

M2

π π
π
− =
3 4 12