Tom tat xac suat va thong ke toan

Trang này c tình ñ tr ng


XÁC SU T VÀ TH NG KÊ
(ð i h c và Cao ñ ng)

Nguy n Công Nh t


XÁC SU T VÀ TH NG KÊ
(ð i h c và Cao ñ ng)
Tài li u tham kh o:
1. Giáo trình Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Nguy n Phú Vinh – NXB Th ng kê.
2. Ngân hàng câu h i Xác su t – Th ng kê và ng d ng – ðHCN TP.HCM.
3. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c.
4. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê toán – Nguy n Thanh Sơn, Lê Khánh Lu n – NXBTKê.
5. Xác su t – Th ng kê – Lý thuy t và các bài t p – ð u Th C p – NXB Giáo d c.
6. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c.
7. Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c.
8. Xác su t và Th ng kê – ð ng H n – NXB Giáo d c.
9. Giáo trình Xác su t và Th ng kê – Ph m Xuân Ki u – NXB Giáo d c.
10. Giáo trình Lý thuy t Xác su t & Th ng kê Toán–Nguy n Cao Văn–NXB Kt Qu c
dân.

PH N I. LÝ THUY T XÁC SU T
B
1. Tính ch t các phép toán ∩ , ∪
a) Tính giao hoán:
∩ = ∩ , ∪ = ∪
b) Tính k t h p:
∩

∩ = ∩
∩ ,

∪
c) Tính phân ph i:
∩
∪

∪

=

∪

=
∩
∪
∩
=
∪
d) Tính ñ i ng u (De–Morgan):

=

∩

∪

∪
∪

∩

∪

.

.

∩
∪

=

TÚC ð I S

3. Quy t c c ng
Gi s m t công vi c có th th c hi n ñư c k cách
(trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m1 k t
qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk
k t qu . Khi ñó vi c th c hi n công vi c trên cho
m = m1 + m2 + … + mk k t qu .

,
.

∩

4. M u l p, m u không l p
− M u không l p: các ph n t c a m u ch có m
l n (các ph n t khác nhau t ng ñôi m t).

− M u có l p: các ph n t c a m u có th l p l i
l n trong m u.
− M u không th t : khi thay ñ i v trí các ph n t
nhau c a m u ta không nh n ñư c m u m i.
− M u có th t : khi thay ñ i v trí các ph n t
nhau c a m u ta nh n ñư c m u m i.

tm t

5. Các công th c thư ng dùng
5.1. Hoán v
ð nh nghĩa: Hoán v c a n ph n t là m t nhóm có th
t g m ñ m t n ph n t ñã cho. S hoán v c a n ph n
,
= .
t ñư c ký hi u là

nhi u
khác
khác

5.3. Ch nh h p (m u không l p, có th t )
≤
là
ð nh nghĩa: Ch nh h p ch p k c a n ph n t
m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t khác nhau ch n
t n ph n t ñã cho. S ch nh h p ch p k c a n ph n t
ký hi u là

T H P

2. Quy t c nhân
Gi s m t công vi c nào ñó ñư c chia thành k giai
ño n. Có n1 cách th c hi n giai ño n th 1, có n2 cách
th c hi n giai ño n th 2,..., có nk cách th c hi n giai
ño n th k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách th c hi n
toàn b công vi c.

5.2. Ch nh h p l p (có th t )
ð nh nghĩa: Ch nh h p l p k c a n ph n t
≤
là
m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t không nh t thi t
khác nhau ch n t n ph n t ñã cho. S các ch nh h p
l p k c a n ph n t là nk.

h p (m u không l p, không có th t )
ð nh nghĩa: T h p ch p k c a n ph n t
≤
là
m t nhóm (b ) không phân bi t th t g m k ph n t
khác nhau ch n t n ph n t ñã cho.
và

S t h p ch p k c a n ph n t ký hi u là

.

=
=

−

−

+

=

−

(

−

)

. Quy ư c: 0! = 1.

Tính ch t:

=

----------------------------------------------

−

=

−
−

+

−


Chương 1. CÁC KHÁI NI M CƠ B N C!A XÁC SU T
§1. BI N C NG"U NHIÊN
1.1. Phép th# và bi$n c%
• Phép th là vi c th c hi n 1 thí nghi m hay quan sát
m t hi n tư ng nào ñó ñ xem có x y ra hay không.
Hi n tư ng có x y ra hay không trong phép th ñư c g i
là bi n c ng u nhiên.
Bi n c ng u nhiên thư ng ñư c ký hi u A, B, C…
VD 1. + Tung ñ ng ti n lên là m t phép th , bi n c là
“m t s p xu t hi n” hay “m t ng a xu t hi n”.
+ Ch n ng u nhiên m t s s n ph m t m t lô hàng ñ
ki m tra là phép th , bi n c là “ch n ñư c s n ph m
t t” hay “ch n ñư c ph ph m”.
+ Gieo m t s h t lúa là phép th , bi n c là “h t lúa n y
m m” hay “h t lúa không n y m m”.

b) Bi$n c% ch c ch n và bi$n c% không th&
• Trong m t phép th , bi n c nh t ñ nh x y ra là ch#c
ch#n, ký hi u là .
• Bi n c không th là bi n c không th x y ra khi th c
hi n phép th , ký hi u ∅ .
VD 3.
T m t nhóm có 6 nam và 4 n$ ch n ra 5 ngư i.
Khi ñó, bi n c “ch n ñư c 5 ngư i n$” là không th ,

bi n c “ch n ñư c ít nh t 1 nam” là ch#c ch#n.
c) S% trư ng h p ñ'ng kh năng
• Hai hay nhi u bi n c trong m t phép th có kh năng
x y ra như nhau ñư c g i là ñ ng kh năng.

• Tích c a A và B là C, ký hi u =
= ∩ ,x y
ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra.
VD 6.
M t ngư i ch n mua áo. G i A: “ch n ñư c áo màu
xanh”, B: “ch n ñư c áo sơ–mi” và
C: “ch n ñư c áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB.
VD 7.
Ch n ng u nhiên 10 linh ki n trong 1 lô ra ki m tra. G i
Ai: “ch n ñư c linh ki n th
t t” và
C: “ch n ñư c 10 linh ki n t t” thì

=

∩

∩

∩

=

∩

.

=

• H các bi n c A1, A2,…, An ñư c g i là xung kh#c
(hay ñôi m t xung kh#c) khi m t bi n c b t kỳ trong h
x y ra thì các bi n c còn l i không x y ra.
Nghĩa là

∩

=∅ ∀ ≠ .

VD 9. M t h p có 3 viên ph n màu ñ , xanh và tr#ng.
Ch n ng u nhiên 1 viên. G i A: “ch n ñư c viên màu
ñ ”, B: “ch n ñư c viên màu tr#ng” và C: “ch n ñư c
viên màu xanh” thì A, B, C là xung kh#c.
b) Bi$n c% ñ%i l*p
• Hai bi n c A và B ñư c g i là ñ i l p nhau n u chúng
th a mãn 2 ñi u sau:
1) A và B xung kh#c v i nhau.
2) Ph i có ít nh t m t trong 2 bi n c x y ra.

1.2. Các lo i bi$n c%
a) Không gian m u và bi$n c% sơ c p
• Trong m t phép th , t p h p t t c các k t qu có th
x y ra ñư c g i là không gian m u ký hi u là .
• M!i ph n t ω ∈ không th phân nh thành hai bi n
c ñư c g i là bi n c sơ c p.
VD 2. Xét phép th gieo 3 h t lúa.

G i Ai là bi n c “có i h t n y m m” (i = 0, 1, 2, 3).
Khi ñó các Ai là các bi n c sơ c p và
= {A0, A1, A2, A3}.
G i B là “có ít nh t 1 h t n y m m” thì B không là
bi n c sơ c p.

• Trong m t phép th mà m i bi n c sơ c p ñ u ñ ng
kh năng thì s ph n t c a không gian m u ñư c g i
là s trư ng h p ñ ng kh năng c a phép th .
VD 4.
G i ng u nhiên m t h c sinh trong l p ñ ki m tra thì
m!i h c sinh trong l p ñ u có kh năng b g i như nhau.
d) Các phép toán
• T ng c a A và B là C, ký hi u = ∪ hay
C = A + B, x y ra khi ít nh t 1 trong hai bi n c A, B
x y ra.
VD 5. B#n hai viên ñ n vào 1 t m bia. G i A1: “viên th
nh t trúng bia”, A2: “viên th hai trúng bia” và

=

C: “bia b trúng ñ n” thì

∪

.

• Ph n bù c a A, ký hi u:

= {ω ∈

=

}.

ω∉

VD 8.
B#n l n lư t 2 viên ñ n vào 1 t m bia.
G i Ai: “có i viên ñ n trúng bia” (i = 0, 1, 2),
B: “có không quá 1 viên ñ n trúng bia”.
Khi ñó

=

,

≠

và

≠

.

1.3. Quan h gi)a các bi$n c%
a) Bi$n c% xung kh c
• Hai bi n c và B ñư c g i là xung kh#c n u chúng
không ñ ng th i x y ra trong m t phép th .
VD 10.Tr ng 1 cây b ch ñàn. G i A: “cây b ch ñàn

s ng”, B: “cây b ch ñàn ch t” thì A và B là ñ i l p.
• H các bi n c {Ai} (i = 1,…, n) ñư c g i là h ñ y
ñ các bi n c n u th a mãn 2 ñi u sau:
1) H xung kh#c, nghĩa là

∩

=∅ ∀

2) Ph i có ít nh t 1 bi n c trong h x y ra,
∪
∪ ∪
= .
nghĩa là
VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 là ñ y ñ .
Chú ý. H

{

} là ñ y ñ

v i bi n c A tùy ý.

≠ .


§2. XÁC SU T C!A BI N C
2.1. ð nh nghĩa xác su t d ng c ñi&n
• Trong m t phép th có t t c n bi n c sơ c p ñ ng kh
năng, trong ñó có m kh năng thu n l i cho bi n c A

xu t hi n thì xác su t c a A là:

=

=

.

VD 1. M t h p ch a 10 s n ph m trong ñó có 3 ph
ph m. Tính xác su t:
a) Ch n ng u nhiên 1 s n ph m t h p ñư c ph ph m.
b) Ch n ng u nhiên 1 l n t h p ra 2 s n ph m ñư c 2
ph ph m.
Ưu ñi m và h n ch c a ñ nh nghĩa d ng c ñi n
• Ưu ñi m: Tính ñư c chính xác giá tr c a xác su t mà
không c n th c hi n phép th .
• H n ch : Trong th c t có nhi u phép th vô h n các
bi n c và bi n c không ñ ng kh năng.
2.3. ð nh nghĩa theo hình h c
là ñ dài, di n tích, th
Cho mi n . G i ñ ño c a
tích ( ng v i
là ñư ng cong, mi n ph)ng, kh i).
G i A là bi n c ñi m
∈ ⊂ .

=

Ta có

.

VD 6. Tìm xác su t c a ñi m M rơi vào hình tròn n i
ti p tam giác ñ u c nh 2 cm.
§3. CÔNG TH,C TÍNH XÁC SU T
3.1. Công th c c ng xác su t
a) Bi$n c% xung kh c
• A và B xung kh#c thì:
∪
=
• H {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì:
( ∪ ∪ ∪ )

VD 2. M t h p có 10 s n ph m trong ñó có 4 ph ph m.
L y ng u nhiên t h p ñó ra 3 s n ph m (l y 1 l n), tính
xác su t ñ :
a) C 3 s n ph m ñ u t t; b) Có ñúng 2 ph ph m.
VD 3. M t l p có 60 h c sinh trong ñó có 28 em gi i
toán, 30 em gi i lý, 32 em gi i ngo i ng$, 15 em v a
gi i toán v a gi i lý, 10 em v a gi i lý v a gi i ngo i
ng$, 12 em v a gi i toán v a gi i ngo i ng$, 2 em gi i
c 3 môn. Ch n ng u nhiên m t h c sinh c a l p. Tính
xác su t:
a) Ch n ñư c em gi i ít nh t 1 môn.
b) Ch n ñư c em ch gi i toán.
c) Ch n ñư c em gi i ñúng 2 môn.

VD 7. Hai ngư i b n h*n g p nhau t i 1 ñ a ñi m theo
quy ư c như sau:
– M!i ngư i ñ c l p ñi ñ n ñi m h*n trong kho ng t 7

ñ n 8 gi .
– M!i ngư i ñ n ñi m h*n n u không g p ngư i kia thì
ñ i 30 phút ho c ñ n 8 gi thì không ñ i n$a.
Tìm xác su t ñ hai ngư i g p nhau.
2.4. Tính ch t c+a xác su t
1) ≤
≤ , v i m i bi n c A;
2) ∅ = ;
3)
= .
2.5. Ý nghĩa c+a xác su t
• Xác su t là s ño m c ñ tin ch#c, thư ng xuyên x y ra
c a 1 bi n c trong phép th .
Chú ý. Xác su t ph thu c vào ñi u ki n c a phép th .

c) Bi$n c% ñ%i l*p

+

.
.

b) Bi$n c% tùy ý
• A và B là hai bi n c tùy ý thì:
∪
=
+
−
.
• H {Ai} (i = 1, 2,…, n) các bi n c tùy ý thì:





−∑
 ∪  = ∑

=
=
<
+∑
− −

( )=

−

.

VD 1. M t h p ph n có 10 viên trong ñó có 3 viên màu
ñ . L y ng u nhiên t h p ra 3 viên ph n. Tính xác su t
ñ l y ñư c ít nh t 1 viên ph n màu ñ .
VD 2. Có 33 h c sinh tham d kỳ thi ch n h c sinh gi i
g m 2 vòng thi. Bi t r+ng có 17 h c sinh thi ñ! vòng 1;
14 h c sinh thi ñ! vòng 2 và 11 h c sinh trư t c hai
vòng thi. Ch n ng u nhiên m t h c sinh trong danh sách
d thi. Tìm xác su t ñ h c sinh ñó ch thi ñ! duy nh t 1
trong 2 vòng thi.

.

<<

3.2. Công th c nhân xác su t
a) Xác su t có ñi-u ki n
• Trong m t phép th , xét 2 bi n c b t kỳ A, B v i
> . Xác su t có ñi u ki n c a A v i ñi u ki n B
ñã x y ra ñư c ký hi u và ñ nh nghĩa:

(

)=

.

• Xác su t có ñi u ki n cho phép chúng ta s d ng thông
tin v s x y ra c a 1 bi n c ñ d báo xác su t x y ra
bi n c khác.
• Tính ch t: 1) ≤ (
)≤ ;
2)

(

)=

;

3)

(

)=

−

(

);

4) n u A1 và A2 xung kh#c thì:
( ∪
)= (

)+ (

).

VD 3. M t h p có 10 vé, trong ñó có 3 vé trúng thư,ng.
Ngư i th nh t ñã b c 1 vé không trúng thư,ng. Tính
xác su t ñ ngư i th 2 b c ñư c vé trúng thư,ng (m!i
ngư i ch b c 1 vé).
b) Công th c nhân
• A và B là 2 bi n c ñ c l p n u B có x y ra hay không
cũng không nh hư,ng ñ n kh năng x y ra A và ngư c
l i, nghĩa là (
và (
.
)=
)=

Khi ñó ta có
=
.
• V i A, B không ñ c l p (ph thu c) thì:
=
(
)=
(

).


VD 4. M t lô hàng có 100 s n ph m trong ñó có 10 ph
ph m. Ki m tra liên ti p không hoàn l i 5 s n ph m, n u
có ít nh t 1 ph ph m thì không nh n lô hàng ñó. Tính
xác su t ñ nh n lô hàng.
VD 5. M t lô hàng g m 12 s n ph m trong ñó có 8 s n
ph m t t và 4 ph ph m. Rút ng u nhiên 1 s n ph m t
lô hàng và không ñ ý t i s n ph m ñó, sau ñó rút ti p
s n ph m th 2. Tính xác su t ñ s n ph m th hai là t t.
VD 6. M t c u th bóng r có 4 qu bóng ñang ném
t ng qu vào r . N u bóng vào r ho c h t bóng thì c u
th ng ng ném. Bi t xác su t vào r c a qu bóng th 1,
2, 3 và 4 l n lư t là 90%, 80%, 85% và 70%.
Tính xác su t c u th ném ñư c bóng vào r .

3.3. Công th c xác su t ñ.y ñ+ và Bayes.
a) Công th c xác su t ñ.y ñ+
• Cho h các bi n c {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñ y ñ và B là
bi n c b t kỳ trong phép th , ta có:

b) Công th c Bayes
• Cho h các bi n c {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñ y ñ và B là
bi n c b t kỳ trong phép th . Xác su t ñ xu t hi n Ak
sau khi ñã xu t hi n B là:

VD 9. Có 3 bao lúa cùng lo i. Bao 1 n ng 20kg ch a 1%
h t lép, bao 2 n ng 30kg ch a 1,2% h t lép và bao 3
n ng 50kg ch a 1,5% h t lép. Tr n c 3 bao l i r i b c
ng u nhiên 1 h t thì ñư c h t lép.
Tính xác su t ñ h t lép này là c a bao th ba.

(

(

)=

∑
=

)
(

=
=

∑
=

(

)

(

.

)+

(

+

)

VD 7. M t ñám ñông có s ñàn ông b+ng n a s ñàn bà.
Xác su t ñ ñàn ông b b nh tim là 0,06 và ñàn bà là
0,0036. Ch n ng u nhiên 1 ngư i t ñám ñông, tính xác
su t ñ ngư i này b b nh tim.

.

)

VD 8. T. s ôtô t i và ôtô con ñi qua ñư ng có tr m
bơm d u là 5/2. Xác su t ñ 1 ôtô t i ñi qua ñư ng này
vào bơm d u là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua
ñư ng ñ bơm d u, tính xác su t ñ ñó là ôtô t i.

VD 10. Ba ki n hàng ñ u có 20 s n ph m v i s s n
ph m t t tương ng là 12, 15, 18. L y ng u nhiên 1 ki n
hàng (gi s 3 ki n hàng có cùng kh năng) r i t ki n
ñó l y tùy ý ra 1 s n ph m.
a) Tính xác su t ñ s n ph m ch n ra là t t.
b) Gi s s n ph m ch n ra là t t, tính xác su t ñ s n
ph m ñó thu c ki n hàng th hai.

Chương II. BI N (ð I LƯ NG) NG"U NHIÊN
§1. BI N NG"U NHIÊN VÀ LU0T PHÂN PH I XÁC SU T
b) Phân lo i bi$n ng u nhiên
1.1. Khái ni m và phân lo i bi$n ng u nhiên
• Bi n ng u nhiên (bnn) ñư c g i là r i r c n u các giá
a) Khái ni m
tr có th có c a nó l p nên 1 t p h p h$u h n ho c
• M t bi n s ñư c g i là ng u nhiên n u trong k t qu
ñ m ñư c.
c a phép th nó s/ nh n m t và ch m t trong các giá
• Bi n ng u nhiên ñư c g i là liên t c n u các giá tr có
tr có th có c a nó tùy thu c vào s tác ñ ng c a các
th có c a nó l p ñ y 1 kho ng trên tr c s .
nhân t ng u nhiên.
VD 2. + Bi n X trong VD 1 là bnn r i r c (t p h$u h n).
• Các bi n ng u nhiên ñư c ký hi u: X, Y, Z, …còn các
+ G i Y là s ngư i ñi qua 1 ngã tư trên ñư ng ph thì Y
giá tr c a chúng là x, y, z,…
là bnn r i r c (t p ñ m ñư c).
VD 1.
VD 3. + B#n 1 viên ñ n vào bia, g i X là “kho ng cách
Khi ti n hành gieo n h t ñ u ta chưa th bi t có bao

t ñi m ch m c a viên ñ n ñ n tâm c a bia” thì X là
nhiêu h t s/ n y m m, s h t n y m m có th là 0, 1, …,
bi n ng u nhiên liên t c.
n. K t thúc phép th gieo h t thì ta bi t ch#c ch#n có bao
+ G i Y là “sai s khi ño 1 ñ i lư ng v t lý” thì Y là
nhiêu h t n y m m. G i X là s h t n y m m thì là X
bi n ng u nhiên liên t c.
bi n ng u nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}.

1.2. Lu*t phân ph%i xác su t c+a bi$n ng u nhiên
• Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên là m t
cách bi u di n quan h gi a các giá tr c a bi n ng u
nhiên v i các xác su t tương ng mà nó nh n các giá
tr ñó.
1.2.1. Phân ph%i xác su t c+a bi$n ng u nhiên
a) Trư ng h p r i r c
=
• Cho bi n ng u nhiên r i r c X có

=
=
.
Ta có phân ph%i xác su t (d ng b ng)
X
x1
x2
…
xn
P
p1

p2
…
pn

v i xác su t tương ng là

Trong ñó:

≥

∞

∑

;

∑

= ;

=

<

<

=

(vô h n);

=

∑

=

.

< <

VD 4. M t lô hàng có 12 s n ph m t t và 8 ph ph m.
L y ng u nhiên t lô hàng ra 8 s n ph m.
G i X là s ph ph m trong 8 s n ph m l y ra.
Tìm phân ph i xác su t c a X và ch ng minh:

+

+

+

+

=

.


VD 5. Xác su t ñ 1 ngư i thi ñ t m!i khi thi l y b+ng
lái xe là 0,3. Ngư i ñó thi cho ñ n khi ñ t m i thôi.

G i X là s l n ngư i ñó d thi.
Tìm phân ph i xác su t c a X và tính xác su t ñ ngư i
ñó ph i thi không ít hơn 2 l n.
b) Trư ng h p liên t1c
• Cho bi n ng u nhiên liên t c X. Hàm f(x),
∈ℝ
ñư c g i là hàm m t ñ xác su t c a X n u th a:
+∞

1) !

≥

∀ ∈ ℝ ; 2)

∫

!

Chú ý
1) Nhi u khi ngư i ta dùng ký hi u fX(x) ñ ch hàm m t
ñ xác su t c a X.

=

2) Do

<

<

=

∫!

"

" = ;

=

≥

∀ ∈ ℝ và

∫

!

" =

−∞

thì f(x) là hàm m t ñ xác su t c a 1 bnn nào ñó.
4x 3 , x ∈ (0; 1)
VD 6. Ch ng t f (x) = 
là hàm m t ñ
 0, x ∉ (0; 1)
xác su t c a bi n ng u nhiên X.
VD 7. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t:

x <1
0,

f (x) =  k
.
 x 2 , x ≥ 1
Tìm k và tính − < ≤ .

<

• Gi s

<

<

, ta có hàm phân ph i xác

su t c a X:

#






= 







≤
<
<

+
+

+

+

−

−

≤
≤
<

%

≤

>

VD 9. Tu i th X(gi ) c a 1 thi t b có hàm m t ñ xác

x < 100
0,

su t f (x) = 100
.
 x 2 , x ≥ 100
a) Tìm hàm phân ph i xác su t c a X.
b) Thi t b ñư c g i là lo i A n u tu i th c a nó kéo dài
ít nh t là 400 gi . Tính t l (xác su t) lo i A.
VD 10. Bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t:
 π π

'()
∈ − & 



!
=
.


π π


∉
−
&




Tìm a và hàm phân ph i xác su t F(x).

" =

nên ta không quan

<

<

=

∫!

"

.

3) V m t hình h c, xác su t bi n ng u nhiên (bnn) X
nh n giá tr trong (a; b) b+ng di n tích hình thang cong
gi i h n b,i x = a, x = b, y = f(x) và tr c Ox.

(a < b).

+∞

4) N u f(x) th a !

∫!

tâm ñ n xác su t ñ X nh n giá tr c th . Suy ra
≤ <
=
< ≤
=
≤ ≤

−∞

3)

=

1.2.2. Hàm phân ph%i xác su t
• Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, ký
hi u F(x) ho c FX(x), là xác su t ñ X nh n giá tr nh
hơn x (v i x là s th c b t kỳ). F(x) = P(X < x),
∀ ∈ ℝ.
– Hàm phân ph i xác su t cho bi t t l ph n trăm giá tr
c a X n+m bên trái c a s x.
– V i bi n ng u nhiên r i r c X = {x1, x2, …, xn}:
#
= ∑
=
= ∑ .
<

<

– V i bi n ng u nhiên liên t c X:

#

=

∫

! $ "$ .

−∞

• Tính ch t:
1) ≤ #
≤ ∀ ∈ ℝ;
2) F(x) không gi m.
3) # −∞ = & # +∞ = ;
4)
≤ <
= # −# .
• Liên h v2i phân ph%i xác su t
1) X r i r c: pi = F(xi+1) – F(xi);
=! .
2) X liên t c: F(x) liên t c t i x và #′
VD 8. M t phân xư,ng có 2 máy ho t ñ ng ñ c l p.
Xác su t trong 1 ngày làm vi c các máy ñó h ng tương
ng là 0,1 và 0,2. G i X là s máy h ng trong 1 ngày
làm vi c.
L p hàm phân ph i xác su t c a X và v/ ñ th c a F(x).

VD 11. Th i gian ch ph c v c a khách hàng là bnn
0, x ≤ 0

X(phút) liên t c có hàm ppxs F(x) = ax 4 , x ∈ (0; 3] .
1, x > 3

a) Tìm a và hàm m t ñ xác su t f(x) c a X.
b) Tính P

(

)

2 < Y ≤ 5 v i Y = X2 + 1 .

c) V/ ñ th c a F(x).


1.3. Phân ph%i xác su t c+a hàm c+a bi$n ng u nhiên
• Trong th c t , ñôi khi ta xét bnn ph thu c vào 1 hay
nhi u bnn khác ñã bi t lu t phân ph i.
Bài toán. Cho hàm ϕ

và bnn r i r c X có phân ph i

xác su t cho trư c. Tìm phân ph i xác su t c a ϕ
a) Trư ng h p 1 bi$n
VD 12. L p b ng phân ph i xác su t c a

*=ϕ

X
–1
P
0,1

=
0
0,3

.

+ , bi t:
1
2
0,4
0,2

Chú ý
1) N u X, Y ñ c l p thì hàm phân ph i ñ ng th i c a X,
Y ñư c xác ñ nh qua các hàm phân ph i c a X, c a Y.
2) Chương trình ch xét hàm phân ph i biên c a X, Y.

c) Phân ph%i xác su t biên (l-)
T b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X, Y ta có:
• Phân ph%i xác su t biên c+a X
x1 x2 … xi … xm
X
P X p1 p2 … pi … pm

=

=

∑

=

*=-

=

=

=

=

.

=

=

∑

=

*=-

=

*=-

=. .

=

§2. CÁC ð3C TRƯNG S

(THAM S

1

0,15
0,2

0,05
0,2

a) * =
b) + = ϕ

+ − .
* =
− * + ,.

c) + = ϕ

* =

−* .

b) B ng phân ph%i xác su t ñ'ng th i c+a (X, Y)
y2
…
yj …
yn
PX
y1
Y
X
p11
p1
x1
p12
…
p1j …
p1n
x2
p21
p22
…
p2j …
p2n
p2
….
..................................................
...
xi
pi1

pi
pi2
…
pij …
pin
….
………………………………..
…
pm1
pm
pm2 …
pmj …
pmn
xm
PY
q1
q2
…
qj …
qn
1
Pij = P(X = xi, Y = yj) (i = 1,…,m; j = 1,…,n) là xác su t
ñ X = xi, Y = yj và

∑∑
=

Tính ch t. X và Y ñ c l p ⇔

• Phân ph%i xác su t biên c+a Y

y1 y2 … yi … yn
Y
P Y q1 q2 … qi … qn

∑

0

L p b ng phân ph i xác su t c a:

1.4. Phân ph%i xác su t c+a bnn 2 chi-u (X, Y) r i r c
a) ð nh nghĩa
• C p 2 ñ i lư ng ng u nhiên r i r c ñư c xét ñ ng th i
(X, Y) ñư c g i là 1 vector ng u nhiên r i r c.
Ký hi u bi n c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y).
• Hàm phân ph i xác su t ñ ng th i c a X và Y là:
#
- =
< & *<- ∀ -∈ℝ.
• X và Y ñư c g i là ñ c l p n u:
#
- =#
#* - ∀ - ∈ ℝ .

∑

b) Trư ng h p nhi-u bi$n
VD 13. Cho b ng:
Y
–1

X
1
0,1
2
0,3

= .

=

=

. ∀

.

VD 14.
Cho b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X và Y:
Y
10
20
30
40
X
10
0,2
0,04
0,01
0
20

0,1
0,36
0,09
0
30
0
0,05
0,1
0
40
0
0
0
0,05
a) Tìm phân ph i biên c a X, c a Y.
b) Xét xem X và Y có ñ c l p không ?
c) Tìm phân ph i xác su t c a Z = X + Y.

ð3C TRƯNG) C!A BI N NG"U NHIÊN

• Nh$ng thông tin cô ñ ng ph n ánh t ng ph n v bi n
ng u nhiên giúp ta so sánh gi$a các ñ i lư ng v i nhau
ñư c g i là các ñ c trưng s .
Có ba lo i ñ c trưng s :
– Các ñ c trưng s cho xu hư ng trung tâm c a bnn:
Kỳ v ng toán, Trung v , Mod,…

2.1. Kỳ v ng toán
2.1.1. ð nh nghĩa
a) Bi$n ng u nhiên r i r c

• Cho X = {x1, x2,…, xn} v i xác su t tương ng là p1,
p2,…, pn thì kỳ v ng toán (g i t#t là kỳ v ng) c a X, ký
hi u EX hay M(X), là:

/
– Các ñ c trưng s cho ñ phân tán c a bnn:
Phương sai, ð l ch chu n, H s bi n thiên,…
– Các ñ c trưng s cho d ng phân ph i xác su t.

=

+

+

+

=

∑

.

=

VD 1. M t lô hàng g m 10 s n ph m t t và 2 ph ph m.
L y ng u nhiên 2 s n ph m t lô hàng ñó, g i X là s
ph ph m trong 2 s n ph m l y ra.
L p b ng phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a X.

b) Bi$n ng u nhiên liên t1c
+∞

• Bnn X có hàm m t ñ là f(x) thì: /

=

∫

!

" .

−∞

VD 2. Tìm kỳ v ng c a bi n ng u nhiên X có hàm m t
 %

+
∈ &
=  0
ñ xác su t !
.

&
∉

Chú ý
=

∈
, X liên t c thì / ∈ .
1) N u
2) N u X = {x1,…, xn} thì:
/ ∈1
&
2.

2.1.2. Ý nghĩa c+a EX
• Kỳ v ng là giá tr trung bình (theo xác su t) c a bi n
ng u nhiên X, nó ph n ánh giá tr trung tâm c a phân
ph i xác su t c a X.
• Trong th c t s n xu t hay kinh doanh n u c n ch n
phương án cho năng su t (hay l i nhu n) cao, ngư i ta
ch n phương án sao cho năng su t kỳ v ng (hay l i
nhu n kỳ v ng) cao.
VD 5. Theo th ng kê, m t ngư i M1 25 tu i s/ s ng
thêm trên 1 năm có xác su t là 0,992 và ngư i ñó ch t
trong vòng 1 năm t i là 0,008. M t chương trình b o
hi m ñ ngh ngư i ñó b o hi m sinh m ng cho 1 năm
v i s ti n chi tr là 10000 USD, phí b o hi m là 100
USD. H i công ty ñó có lãi không?

2.1.3. Tính ch t c+a EX
1) E(C) = C v i C là h+ng s .
2) E(CX) = C.EX.
3) E(X ± Y) = EX ± EY, v i X và Y là hai bi n ng u
nhiên.
4) E(XY) = EX.EY n u X và Y là hai bnn ñ c l p.
5) N u * = ϕ

thì:

 ∑ ϕ

/* =  +∞
 ϕ
 ∫
 −∞

.

!

"

= /(



∑

=  +∞


∫
 −∞

!

−/

)

=/


−  ∑

 +∞


" − ∫
 −∞

− (/




!

VD 6. M t d án xây d ng ñư c vi n C thi t k cho c 2
bên A và B xét duy t m t cách ñ c l p. Xác su t (kh
năng) ñ A và B ch p nh n d án này khi xét duy t thi t
k là 70% và 80%. N u ch p nh n d án thì bên A ph i
tr cho C là 400 tri u ñ ng, còn ngư c l i thì ph i tr
100 tri u ñ ng. N u ch p nh n d án thì bên B ph i tr
cho C là 1 t ñ ng, còn ngư c l i thì ph i tr 300 tri u
ñ ng. Bi t chi phí cho thi t k c a C là 1 t ñ ng và 10%
thu doanh thu.

H i vi n C có nên nh n thi t k hay không?

VD 7. Tính EY v i * = ϕ
=
− % , bi t X có
b ng phân ph i xác su t:
X
–1
0
1
2
P
0,1 0,3 0,35 0,25
VD 8. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t:


∈1 & 2
!
.
= 

∉
1
&
2

a) Tính EX.
b) Tính kỳ v ng c a * =

2.2. Phương sai

2.2.1. ð nh nghĩa
• Phương sai c a bi n ng u nhiên X, ký hi u VarX hay
VX hay D(X), ñư c xác ñ nh:

3 4

VD 3. Th i gian ch mua hàng c a khách là bi n ng u
nhiên liên t c T (ñơn v : phút) có hàm m t ñ xác su t
 0 %
 $ $∈ &%
! $ = 
. Tính th i gian trung bình

$∉ &%

ch mua hàng c a 1 khách hàng.
VD 4. Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t
 +
∈ &
= 
!
.

∉ &



Cho bi t EX = 0,6 hãy tính  <  .






" 


)

,

−

.

VD 9. Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X có b ng
phân ph i xác su t:
X
1
2
3
P
0,2
0,7
0,1
VD 10.
Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X trong VD 2.
VD 11. Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t:
 %


−
≤
=  0
!
.

>

Tìm phương sai c a bi n ng u nhiên Y = 2X2.


2.2.2. Ý nghĩa c+a VarX
• Do X – EX là ñ l ch gi$a giá tr c a X so v i trung
bình c a nó nên phương sai là trung bình c a bình
phương ñ l ch ñó. Phương sai dùng ñ ño m c ñ phân
tán c a X quanh kỳ v ng. Nghĩa là: phương sai nh thì
ñ phân tán nh nên ñ t p trung l n và ngư c l i.
• Trong k1 thu t, phương sai ñ c trưng cho ñ sai s c a
thi t b . Trong kinh doanh, phương sai ñ c trưng cho ñ
r i ro ñ u tư.
• Do ñơn v ño c a VarX b+ng bình phương ñơn v ño
c a X nên ñ so sánh ñư c v i các ñ c trưng khác ngư i
ta ñưa vào khái ni m ñ l ch tiêu chu n

σ

=

3 4

σ

=

σ

≤

và

3
0,5

4
0,1

Y
P

2
0,1

3
0,4

4
0,4

5
0,1

và

N u ph i ch n mua 1 trong 2 lo i máy này thì ta nên
ch n máy nào?

>

≤

≤

#

.

VD 14. Tìm med c a bnn X có b ng phân ph i xác su t:
X
–1
0
1
2
P 0,25 0,15
0,30
0,30
 0

≥

VD 15. Cho hàm !

.
= ,

<

a) Ch ng t f(x) là hàm m t ñ xác su t c a bi n ng u
nhiên X.
b) Tìm medX.
2.3.2. Mod
• ModX là giá tr x0 mà t i ñó X nh n xác su t l n nh t
(n u X r i r c) hay hàm m t ñ ñ t c c ñ i (n u X liên
t c). ModX còn ñư c g i là s có kh năng nh t.
§3. M5T S

2
0,1

.

σ ±* = σ
+σ * .
2.3. Trung v và Mod
2.3.1. Trung v
• Trung v c a bi n ng u nhiên X, ký hi u medX, là s m

<

1
0,3

– N u X r i r c thì medX = xi v i

3) N u a và b là h+ng s thì Var(aX + b) = a2.VarX.
4) N u X và Y ñ c l p thì:
3 4 ± * = 3 4 + 3 4* ;

th a

X
P

.

2.2.3. Tính ch t c+a VarX
1) 3 4 ≥ ; VarC = 0, v i C là h+ng s .
2) Var(CX) = C2.VarX;

VD 12. Năng su t c a hai máy tương ng là các bnn X,
Y (ñơn v : s n ph m/phút) có b ng phân ph i xác su t:

≤#

+

.

– N u X liên t c thì medX = m v i

#

=

∫

!

" =

,.

−∞

VD 13. Cho bnn X có b ng phân ph i xác su t:
X
1
2
P 0,1
0,2
Khi ñó ta có medX = 4.

3
0,15

4
0,3

5
0,45

VD 16. Cho bnn X có b ng phân ph i xác su t:

X
0
1
4
5
2
P 0,1 0,2
0,3 0,05 0,25
Khi ñó ta có modX = 2.
VD 17. Tìm medX và modX v i bi n ng u
b ng phân ph i xác su t:
X
20
21
22
23
P
0,30
0,25
0,18
0,14
VD 18. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t:

!

=

−

π

5

8
0,1
nhiên X có
24
0,13

∈ ℝ . Tìm modX.

LU0T PHÂN PH I XÁC SU T THÔNG D6NG

3.1. Phân ph%i xác su t c+a bi$n ng u nhiên r
3.1.1. Phân ph%i siêu b i
• Xét t p có N ph n t , trong ñó có NA ph n t
ch t A. T t p ñó l y ra n ph n t . G i X là s
có tính ch t A thì X có phân ph i siêu b i.
Ký hi u:
∈677
hay
∼677

ir c
có tính
ph n t
.

a) ð nh nghĩa
• Phân ph i siêu b i là phân ph i c a bi n ng u nhiên r i

r c X = {0; 1; 2; …; n} v i xác su t tương ng là:

=

=

=

7

−
7− 7
7

.

VD 1. Trong 1 c a hàng bán 100 bóng ñèn có 5 bóng
h ng. M t ngư i ch n mua ng u nhiên 3 bóng t c a
hàng này. G i X là s bóng h ng ngư i ñó mua ph i.
L p b ng phân ph i xác su t c a X.
b) Các s% ñ c trưng
7−
/ = & 3 4 = .
,
7−
7
.= − .
v i =
7
VD 2. M t r m n có 20 trái trong ñó có 6 trái b hư.

Ch n ng u nhiên t r ñó ra 4 trái. G i X là s trái m n
hư ch n ph i. L p b ng phân ph i xác su t c a X và tính
EX, VarX b+ng hai cách.


3.1.2. Phân ph%i nh th c
a) Công th c Bernoulli
• Dãy phép th Bernoulli là dãy n phép th th a 3 ñi u
ki n:
1) Các phép th c a dãy ñ c l p v i nhau.
2) Trong m!i phép th ta ch quan tâm ñ n 1 bi n c A,
xu t hi n.
nghĩa là ch có A và
3) Xác su t xu t hi n A trong m i phép th c a dãy luôn
là h+ng s :

( )=

=

−

=.

<

<

.

• Cho dãy n phép th Bernoulli, xác su t xu t hi n k l n
bi n c A là:

=

.

−

=

.

b) ð nh nghĩa
• Phân ph i nh th c là phân ph i c a bi n ng u nhiên
r i r c X = {0; 1; 2; …; n} v i xác su t tương ng là:

=

=

=

.

−

.

Ký hi u: X ∈ B(n, p) hay X ~ B(n, p).

Chú ý
• Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B(p), khi ñó X còn ñư c
g i là có phân ph i không – m t hay Bernoulli.
c) Các s% ñ c trưng
/ = & 3 4

("

=

= .&
−. ≤
≤

+

.

3.1.3. Phân ph%i Poisson
a) Bài toán d n ñ$n phân ph%i Poisson
• G i X là s l n xu t hi n bi n c A t i nh$ng th i ñi m
ng u nhiên trong kho ng th i gian (t1; t2) th a mãn hai
ñi u ki n:
1) S l n xu t hi n bi n c A trong kho ng (t1; t2) không
nh hư,ng ñ n xác su t xu t hi n A trong kho ng th i
gian k ti p.
2) S l n xu t hi n bi n c A trong 1 kho ng th i gian
b t kỳ t l v i ñ dài c a kho ng ñó.
Khi ñó X có phân ph i Poisson, ký hi u
∈ λ v i

λ = '$ −$

>

, c: cư ng ñ xu t hi n A.

VD 8. Trung bình c 3 phút có 1 khách ñ n qu y mua
hàng. Tính xác su t ñ trong 30 giây có 2 khách ñ n
qu y mua hàng.
VD 9. M t tr m ñi n tho i trung bình nh n ñư c 300
cu c g i trong 1 gi .
a) Tính xác su t ñ tr m nh n ñư c ñúng 2 cu c g i
trong 1 phút.
b) Tính xác su t ñ tr m nh n ñư c ñúng 5 cu c g i
trong 3 phút.
c) Tính xác su t ñ 2 trong 3 phút liên ti p, m!i phút
tr m nh n ñư c nhi u nh t 1 cu c g i.
VD 10. Trung bình 1 ngày (24 gi ) có 10 chuy n tàu vào
c ng Cam Ranh. Ch n ng u nhiên liên ti p 3 gi trong 1
ngày. Tính xác su t ñ 2 trong 3 gi y có ñúng 1 tàu
vào c ng.

VD 3. M t bà m* sinh 2 con (m!i l n sinh 1 con) v i xác
su t sinh con trai là 0,51. G i X là s con trai trong 2 l n
sinh. L p b ng phân ph i xác su t c a X.
VD 4. M t máy s n xu t l n lư t t ng s n ph m v i xác
su t 1 ph ph m là 1%.
a) Cho máy s n xu t ra 10 s n ph m, tính xác su t có 2
ph ph m.

b) Máy c n s n xu t ít nh t bao nhiêu s n ph m ñ xác
su t có ít nh t 1 ph ph m nh hơn 3%.
 0 %
∈ &
VD 5. Cho X có hàm m t ñ !
.
= 

∉ &

Tính xác su t ñ trong 3 phép th ñ c l p có 2 l n X
nh n giá tr trong kho ng
,& , .

VD 6. M t nhà vư n tr ng tr ng 5 cây lan quý, v i xác
su t n, hoa c a m!i cây trong 1 năm là 0,8.
a) L p b ng phân ph i xác su t c a s cây lan trên n,
hoa trong 1 năm.
b) Giá 1 cây lan n, hoa là 1,2 tri u ñ ng. Gi s nhà
vư n bán h t nh$ng cây lan n, hoa thì m!i năm nhà
vư n thu ñư c ch#c ch#n nh t là bao nhiêu ti n?
c) N u mu n trung bình m!i năm có 10 cây lan n, hoa
thì nhà vư n ph i tr ng m y cây lan?
VD 7. M t lô hàng ch a 20 s n ph m trong ñó có 4 ph
ph m. Ch n liên ti p 3 l n (có hoàn l i) t lô hàng, m!i
l n ch n ra 4 s n ph m. Tính xác su t ñ trong 3 l n có
ñúng 1 l n ch n có nhi u nh t 3 ph ph m.

Ch)ng h n, s xe qua 1 tr m ho c s cu c ñi n tho i t i
1 tr m công c ng… có phân ph i Poisson.

b) ð nh nghĩa
• Bi n ng u nhiên X có phân ph i Poisson v i tham s
λ > (trung bình s l n xu t hi n A) n u X nh n các
giá tr 0, 1, 2,…, n,… v i xác su t tương ng là:

=

=

c) Các s% ñ c trưng
/ = 3 4 = λ&

=

5−λ λ

=

("

.

λ− ≤

≤ λ.

3.2. Phân ph%i xác su t c+a bi$n ng u nhiên liên t1c
3.2.1. Phân ph%i chu7n
a) ð nh nghĩa
• Bnn X ñư c g i là có phân ph i chu n v i tham s .

và σ

σ>

∈ 7( . σ

, ký hi u

) , n u hàm m t

ñ phân ph i xác su t c a X có d ng:

=

!

−

σ

π

5

−.
σ

∈ ℝ.

Các s% ñ c trưng

("

=

5"

=/

= .& 3 4

=σ .


b) Phân ph%i chu7n ñơn gi n

∈ 7( . σ

• Cho

), ñ t

−.
thì T có phân
σ

8=

ph i chu n ñơn gi n 8 ∈ 7 (

).

• Hàm m t ñ phân ph i xác su t c a T:

! $ =

−

$

5

π
• Công th c xác su t:

(giá tr ñư c cho trong b ng A).

<8<

=

∫

−

π

"$ .

∈ 7(. σ

), ñ

tính

<

<

ta ñ t

−.
−.
, β=
σ
σ
= ϕ β − ϕ α , tra b ng B ta ñư c

α=

⇒
< <
k t qu .
VD 11. Th i gian X (phút) c a 1 khách ch ñư c ph c
∈ 7 ( 0 ,&
v t i 1 c a hàng là bnn v i
).
a) Tính xác su t khách ph i ch ñ ñư c ph c v t 3,5
phút ñ n 5 phút; không quá 6 phút.
b) Tính th i gian t i thi u t n u xác su t khách ph i ch

vư t quá t là không quá 5%.
VD 15. M t công ty c n mua 1 lo i thi t b có ñ dày t
0,118cm ñ n 0,122cm. Có 2 c a hàng cùng bán lo i thi t
b này v i ñ dày là các bi n ng u nhiên có phân ph i
chu n N(5, σ2). Giá bán c a c a hàng X là 3
USD/h p/1000 cái và c a hàng Y là 2,6 USD/h p/1000
cái. Ch s ñ dày trung bình 5 (cm) và ñ l ch chu n σ
(cm) ñư c cho trong b ng:
C a hàng
5 (cm)
σ (cm)
I
0,12
0,001
II
0,12
0,0015
H i công ty nên mua lo i thi t b này , c a hàng nào?
Chú ý. N u

σ

).

$

"$ ( ≥ ) ñư c g i là hàm
π
Laplace (giá tr ñư c cho trong b ng B).
5

Tính ch t c a hàm Laplace (dùng ñ tra b ng)
1) ϕ − = −ϕ
(hàm l3);
2) v i x > 5 thì ϕ

≈

,;

> $α ) = α .

VD 12. Th ng kê ñi m thi X (ñi m) trong m t kỳ tuy n
sinh ð i h c môn toán c a h c sinh c nư c cho th y X
∈ 7 0&
, .
là bi n ng u nhiên v i
Tính t l ñi m thi X ≥ 5,5.
VD 13. Tu i th c a 1 lo i bóng ñèn là X (năm) v i
∈ 7 0 & 9 , . Khi bán 1 bóng ñèn thì lãi ñư c 100
ngàn ñ ng nhưng n u bóng ñèn ph i b o hành thì l! 300
ngàn ñ ng. V y ñ có ti n lãi trung bình khi bán m!i
bóng ñèn lo i này là 30 ngàn ñ ng thì c n ph i quy ñ nh
th i gian b o hành là bao nhiêu?
VD 14. Cho X có phân ph i chu n v i EX = 10 và
( < < ) = % . Tính ( < ≤ , ) .
3.2.3. Phân ph%i χ2(n) (xem giáo trình)
3.2.4. Phân ph%i Student T(n) (v2i n b*c t do)
• Cho 8 ∈ 7

=

8
*

và * ∈ χ

∈8

!

∈ 7(. σ
+

) thì:
∈ 7( . +

−

∫

(8

c) Phương pháp tính xác su t phân ph%i chu7n t ng
quát
• Cho

=

3) 8 <

= ,+ϕ .
Phân v m c α
• Ta g i $α là phân v m c α c a T n u:

$

5

Hàm ϕ

=

thì

có hàm m t ñ xác su t:


Γ 


+ 

 
π Γ  
 



 +

−



+

.

Giá tr ñư c c a t(n) ñư c cho trong b ng C.

Chương III. ð9NH LÝ GI:I H N TRONG XÁC SU T
§1. M5T S LO I H5I T6 TRONG XÁC SU T VÀ CÁC ð9NH LÝ (H ñ i h c)
1.1. H i t1 theo xác su t – Lu*t s% l2n
⇔ ∑ ( − / ) 
→ .
a) ð nh nghĩa
=
• Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là
h i t theo xác su t ñ n bi n ng u nhiên X n u:
b) B t ñ ng th c Tchébyshev
∀ω ∈ ∀ε > : ;
ω − ω ≥ ε) = .
(
→∞
• N u bi n ng u nhiên X có EX và VarX h$u h n thì:
3 4
Ký hi u:

→
→∞ .

∀ε > : ( − / ≥ ε ) ≤
ε
• H bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là
hay
tuân theo lu t s l n (d ng Tchébyshev) n u:


3 4

.
( − / < ε) ≥ −
 =
∀ε > : ;
−
/
<
ε
∑
∑


ε
→∞ 



=
=

VD (tham kh o). Thu nh p trung bình hàng năm c a
dân cư 1 vùng là 700USD v i ñ l ch chu n 120USD.
Hãy xác ñ nh m t kho ng thu nh p hàng năm xung
quanh giá tr trung bình c a ít nh t 95% dân cư vùng ñó.
Gi i. G i X(USD) là thu nh p hàng năm c a dân cư
vùng ñó. Ta có:
3 4
( − / < ε) ≥ −
ε

⇔

(

< ε) ≥ −

−

ε

=

<,

c) ð nh lý lu*t s% l2n Tchébyshev
ð nh lý
• N u h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c
l p t ng ñôi có EXi h$u h n và VarXi b ch n trên b,i
h+ng C thì:




∀ε > : ;
− ∑/
≥ ε  = .
∑

→∞ 


=
=
H qu
• N u h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c
l p t ng ñôi có EXi = 5 và VarXi = σ2 thì:

⇒ ε = ,%9 9,9= > .
V y ít nh t 95% dân cư vùng ñó có thu nh p hàng năm
trong kho ng (163,344USD; 1236,656USD).

∑


→. .

=

1.2. H i t1 y$u – ð nh lý gi2i h n trung tâm
Ý nghĩa
• Th hi n tính n ñ nh c a trung bình s h c các bi n

ng u nhiên ñ c l p cùng phân ph i và có phương sai h$u
h n.

a) ð nh nghĩa
• Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là
h i t y u hay h i t theo phân ph i ñ n b.n.n X n u:
;
#
=#
∀ ∈ # .
→∞

• ð ño 1 ñ i lư ng v t lý nào ñó ta ño n l n và l y trung
bình các k t qu làm giá tr th c c a ñ i lư ng c n ño.
• Áp d ng trong th ng kê là d a vào m t m u khá nh
ñ k t lu n t ng th .

Trong ñó, C(F) là t p các ñi m liên t c c a F(x).

l p t ng ñôi. ð t * =

∑

.=

=

σ =

∑3

4

∑/

,

=


→

7

=

∑
→∞

;

=

/

"


→

thì

.

§2. CÁC LO I X P X; PHÂN PH I XÁC SU T
2.1. Liên h gi)a phân ph%i Siêu b i và Nh th c
• N u n c ñ nh, N tăng vô h n và
7
→
≠ ≠
7
thì

. N u EXi, VarXi h$u h n và

"
hay # 

→# .

Chú ý
N u

b) ð nh lý Liapounop (gi2i h n trung tâm)
• Cho h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c

"


→

Ký hi u:

−
7− 7

"


→

.

−

.

7

%

−/

=

σ%

thì * ∈ 7 ( . σ

).

Ý nghĩa
• Dùng ñ nh lý gi i h n trung tâm ñ tính x p x (g n
ñúng) các xác su t.
• Xác ñ nh các phân ph i x p x ñ gi i quy t các v n ñ
c a lý thuy t ư c lư ng, ki m ñ nh,…

2.3. ð nh lý gi2i h n Moivre – Laplace

2.2. Liên h gi)a Nh th c và Poisson
→
→ λ thì:
•N u → ∞

.

−

"


→

5−λ λ

X p x phân ph i siêu b i b ng Nh th c
• N u N khá l n và n r t nh so v i N (n < 0,05N) thì
7
∼
&

=
.
7
VD 1. M t vư n lan có 10000 cây s#p n, hoa, trong ñó
có 1000 cây hoa màu ñ . Ch n ng u nhiên 20 cây lan
trong vư n này.
Tính xác su t ñ ch n ñư c 5 cây lan có hoa màu ñ .

ð nh lý 1 (gi2i h n ñ a phương)
.

X p x phân ph i Nh th c b ng Poisson
• Cho X có phân ph i nh th c B(n, p), λ =
. Khi ñó:
∼ λ .
a) N u n l n và p khá bé (g n b+ng 0) thì
b) N u n l n và p cũng khá l n (g n b+ng 1) thì
∼ λ .
VD 2. M t lô hàng có 0,1% ph ph m. Tìm xác su t ñ
khi ch n ra 1000 s n ph m có:
a) T t c ñ u t t; b) Không quá 2 ph ph m.

• G i pk là xác su t xu t hi n k l n bi n c A trong n
phép th Bernoulli v i P(A) = p (p không quá g n 0 và

.

không quá g n 1) thì ;

→∞

Trong ñó, !

=

−

π

5

= .

!
=

−
.

h$u h n.


ð nh lý 2 (gi2i h n Moivre – Laplace)
−
∈
và
thì:
• Cho
=
.

#

→7

VD 3. Trong m t kho lúa gi ng có t l h t lúa lai là
13%. Tính xác su t sao cho khi ch n 1000 h t lúa gi ng
trong kho thì có không quá 15 h t lúa lai.

.

X p x Nh th c b ng phân ph i chu n
• Cho
∈
, n u n khá l n, p không quá g n 0

∼ 7 .& σ

và 1 thì
Khi ñó:

=

1)

≤

2)

=

v i .=

σ =

..

a) Có 300 khách ñ n vào ngày 1/1 và nh n phòng.

 − . 
 (tra b ng A, f(–x) = f(x)).
! 
σ  σ 

≤


= ϕ 



− . 
 − ϕ 
σ 


VD 4. M t khách s n nh n ñ t ch! c a 325 khách hàng
cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghi m c a
nh$ng năm trư c cho th y có 10% khách ñ t ch! nhưng
không ñ n. Bi t m!i khách ñ t 1 phòng, tính xác su t:

b) T t c các khách ñ n vào ngày 1/1 ñ u nh n ñư c
phòng.

− . 
.
σ 

…………………………………………………………………..

PH N II. LÝ THUY T TH NG KÊ
Chương IV. LÝ THUY T M"U
§1. KHÁI NI M V< PHƯƠNG PHÁP XÁC ð9NH M"U
1.1. M u và t ng th& (ñám ñông)
• T p h p có các ph n t là các ñ i tư ng mà ta nghiên
c u ñư c g i là t ng th . S ph n t c a t ng th ñư c
g i là kích thư c c a t ng th .
• T t ng th ta ch n ra n ph n t thì n ph n t ñó ñư c
g i là m t m u có kích thư c (c m u) n. M u ñư c
ch n ng u nhiên m t cách khách quan ñư c g i là m u
ng u nhiên.
VD 1. Khi nghiên c u v s cá trong m t h thì s cá
trong h là kích thư c c a t ng th . T h ñó b#t lên 10
con cá thì ñư c 1 m u không hoàn l i kích thư c là 10.

• M u ñ nh lư ng là m u mà ta quan tâm ñ n m t y u t
v lư ng (như chi u dài, cân n ng,…) c a các ph n t
trong m u.
VD 3. Cân 100 trái dưa gang ñư c ch n ng u nhiên t 1
cách ñ ng là m u ñ nh lư ng.
• M u có kích thư c n là t p h p c a n bi n ng u nhiên

ñ c l p X1, X2,…, Xn ñư c l p t bi n ng u nhiên X và
có cùng lu t phân ph i v i X là m u t ng quát. Ti n
hành quan sát (cân, ño,…) t ng bi n Xi và nh n ñư c
các giá tr c th Xi = xi, khi ñó ta ñư c m u c th x1,
x2,…, xn.

• Xét v- lư ng
– Trung bình t ng th là . = / .
– Phương sai t ng th σ = 3 4 là bi u th cho m c
ñ bi n ñ ng c a d u hi u X.
• Xét v- ch t
– ðám ñông ñư c chia thành 2 lo i ph n t : lo i có tính
ch t A ñó mà ta quan tâm và lo i không có tính ch t A.
– G i X = 0 n u ph n t không có tính ch t A và X = 1
n u ph n t có tính ch t A, p là t l ph n t có tính ch t
A thì:

∈

=/

=

.

N u t h ñó b#t lên 1 con cá r i th xu ng, sau ñó ti p
t c b#t con khác, ti n hành 10 l n như th ta ñư c m u
có hoàn l i kích thư c 10.
• Khi m u có kích thư c l n thì ta không phân bi t m u
có hoàn hay không hoàn l i.

1.2. Phương pháp xác ñ nh m u
• M u ñ nh tính là m u mà ta ch quan tâm ñ n các ph n
t c a nó có tính ch t A nào ñó hay không.
VD 2. ði u tra 100 h dân c a m t thành ph v thu
nh p trong 1 năm. N u h có thu nh p dư i 10 tri u
ñ ng/năm là h nghèo. Thì trong 100 h ñư c ñi u tra ta
quan tâm ñ n h nghèo (tính ch t A).

VD 4. Chi u cao c a cây b ch ñàn là bi n ng u nhiên có
phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 5 cây X1, X2,…, Xn ta
ñư c X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m.
Khi ñó, {X1, X2,…, Xn} là m u t ng quát có phân ph i
chu n và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là m u c th .
• Xác su t nghiên c u v t ng th ñ hi u v m u còn
th ng kê thì ngư c l i.

1.3. S p x$p s% li u th c nghi m
1.3.1. S p x$p theo các giá tr khác nhau
• Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác nhau là
X1, X2,…, Xk ( ≤ ) và Xi có t n s ni (s l n l p l i)
v i

+

+

+

=

. S li u ñư c s#p x p theo

th t tăng d n c a Xi.
VD 5. Ki m tra ng u nhiên 50 sinh viên, k t qu :
X (ñi m)
ni (s SV)

2
4

4
6

5
20

6
10

7
5

8
2

9
2

10
1

1.3.2. S p x$p dư2i d ng kho ng
• Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có nhi u quan sát khác
nhau, kho ng cách gi$a các quan sát không ñ ng ñ u
ho c các Xi khác nhau r t ít thì ta s#p x p chúng dư i
d ng kho ng.
Xét kho ng (
) ch a toàn b quan sát Xi.
Ta chia

(

)

VD 6. ðo chi u cao c a n = 100 thanh niên, ta có b ng
s li u , d ng kho ng:

thành các kho ng b+ng nhau (còn

g i là l p ) theo nguyên t#c:
S kho ng t i ưu là 1 + 3,322lgn, ñ dài kho ng là:
−
?=
.
+ % % ;@

=

S d ng công th c

+

−

ta có b ng s li u ,

d ng b ng (dùng ñ tính toán):
xi

T n s ni

150
154
158
162
166

5
20
35
25
15

T n su t

T n s ni
(s thanh niên)

148 – 152

152 – 156
156 – 160
160 – 164
164 – 168

5
20
35
25
15

T n su t
0,05
0,2
0,35
0,25
0,15

VD 7. Theo dõi m c nguyên li u hao phí ñ s n xu t ra
m t ñơn v s n ph m , m t nhà máy, ta thu ñư c các s
li u sau (ñơn v : gam). Hãy s#p x p s li u dư i d ng
b ng?
20;
19;
21;
20;
19;

0,05
0,2

0,35
0,25
0,15

L p (kho ng)
(ñơn v : cm)

22;
19;
20;
22;
19;

21;
20;
18;
21;
20;

20;
18;
19;
21;
21;

22;
19;
19;
22;
21.

22;
20;
21;
20;

20;
20;
22;
20;

19;
18;
21;
20;

20;
19;
21;
19;

22;
20;
20;
20;

21;
20;
19;
21;

Chú ý
• ð i v i trư ng h p s li u ñư c cho b,i cách li t kê thì
ta s#p x p l i , d ng b ng.
§2. CÁC ð3C TRƯNG M"U (tham kh o)
2.1. Các ñ c trưng m u
• Gi s t ng th có trung bình /

= . , phương sai

3 4 = σ và t l p ph n t có tính ch t A.
2.1.1. T l m u Fn
• Cho m u ñ nh tính kích thư c n, ta g i

=  là t l m u t ng quát.
# = ∑

=

• Cho m u ñ nh tính kích thư c n, trong ñó có m ph n t
có tính ch t A. Khi ñó ta g i:
! =! =

Tính ch t
a) Kỳ v ng c a t l m u b+ng t l t ng th :


+ +
( # ) = 
 =



b) Phương sai c a t l m u:

+
3 4# = 3 4 



.
 =

(các Xi có phân ph i Bernoulli).

là t l m u c th .

2.1.2. Trung bình m u
• Trung bình m u:

=

∑

.

• T l m u # =

=

Trung bình m u c th :

=

∑

=

.

=

Tính ch t

/

( )=. =/

+

Chú ý

=

=

.

, 3 4

( )= σ

=

3 4

.

+

+

+

+

và trung bình m u

khác nhau , ch! là trong Fn, các

Xn ch có phân ph i Bernoulli:

= 



.


• Trong tính toán ta s d ng công th c:

2.1.3. Phương sai m u

∑(

• Phương sai m u: ɵ = ɵ =

)

−

=

∑(

) =ɵ
) =
M u c th : ɵ

)

−

=

.

.

=

M u c th : ) = ) =


Tính ch t. /  ɵ


∑(

−


 =

∑(

−
−

)

−

=

)=σ

là các th ng kê dùng

. σ tương ng c a

ñ nghiên c u các ñ c trưng
t ng th . T lu t s l n ta có:

.

)

−

=

σ , /(

( )

• Các ñ c trưng m u #

• Phương sai m u hi u ch nh:

=



 −

= ∑ .


− 
=

2.2. Liên h gi)a ñ c trưng c+a m u và t ng th&
) =

# →

.

→.

ɵ
) ≈σ

≈. ! ≈

ng c a t ng th :

.

→ σ (theo xác su t).

• Trong th c hành, khi c7 m u n khá l n (c7 hàng ch c
tr, lên) thì các ñ c trưng m u x p x các ñ c trưng tương

) ≈σ .

§3. PHÂN PH I XÁC SU T C!A CÁC ð3C TRƯNG M"U (tham kh o)
3.1. Phân ph%i xác su t c+a t l m u F
σ
• Do EF = p và / = . 3 4 =
nên:

.
nên v i n khá l n thì:
• Do EF = p và 3 4# =

σ 
−.
 ? ∈ 7  .
∈ 7(


).
.


σ
# ∈ 7
 .




• V i m u c th kích thư c n ñ l n, thì σ ≈ ) . Ta
• V i m u c th kích thư c n, t l m u f thì ≈ ! .

) 
−.
Ta có:
 ? có:
∈ 7  .
∈ 7(

).

)



! − ! 
#−

∈7
# ∈ 7
.
 ? 
! −!
• Khi n < 30 và σ chưa bi t thì:
3.2. Phân ph%i xác su t c+a trung bình m u
−.
∈χ
− có phân ph i Student v i n – 1
3.2.1. Trư ng h p t ng th& X có phân ph%i chu7n
)
∈ 7(. σ )
b c t do.

3.2.2. Trư ng h p X không có phân ph%i chu7n
• T ñ nh lý gi i h n trung tâm, ta suy ra:

−.
σ

•V i


→ 7(

b) σ chưa bi t thì:

−.

)

"

−.
"


→ 7(
).
)
≥ % , ta có các phân ph i x p x chu n:
≈ 7(

)


σ 
 .
≈ 7  .





≈ 7  .


)


 .


3.3. Phân ph%i xác su t c+a phương sai m u

∈ 7(. σ

• Gi s t ng th

a) σ ñã bi t thì:

−.
σ

≈ 7(

σ

ɵ =

ph i χ

−

=

σ
−

σ

) , khi ñó:

∑(

)

−

=

s/ có phân

.

§4. TH=C HÀNH TÍNH CÁC ð3C TRƯNG M"U C6 TH>
4.1. Tính t l m u f
• Trong m u có m ph n t có tính ch t A mà ta quan tâm

VD. Xét 10 k t qu quan sát:
102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402.

thì t l m u là ! =

Ta có:

.

+

+

+

=

∑

.

=

• N u xi l p l i ni (i = 1,…, k ≤
m u là:

=

∑
=

.

+

%+%

0+0

.

4.3. Tính phương sai m u ɵ

4.2. Tính trung bình m u
• M u có n giá tr xi thì trung bình m u là:

=

=

) l n thì trung bình

• Tính

và

=

(

+

• Phương sai m u là: ɵ
) =

+

+

)= ∑
=

−

( ).

• Phương sai m u có hi u ch nh là: ) =

−

ɵ
) .

.


S? D6NG MÁY TÍNH B@ TÚI ð> TÍNH CÁC ð3C TRƯNG C!A M"U
1. S

LI U ðƠN (không có t.n s%)

VD 1. Cho m u có c7 m u là 5: w = (12, 13, 11, 14, 11).

a) Máy fx 500MS
• Xóa nh : MODE -> 3 -> = -> =
• Vào ch ñ th ng kê nh p d li u
– MODE -> 2 (ch n SD ñ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (ch n SD ñ i v i fx570MS)
– Nh*p các s%:
12 M+ 13 M+…. 11 M+
• Xu t k t qu
: trung bình m u)
– SHIFT -> 2 -> 1 -> = (xu t k t qu
⌢
– SHIFT -> 2 -> 2 -> = (xu t k t qu ) = σ : ñ l ch chu n c a m u)
– SHIFT -> 2 -> 3 -> = (xu t k t qu s = σ − : ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh)
b) Máy fx 500ES
• Xóa nh : SHIFT -> 9 -> 3 -> = -> =
• Vào ch ñ th ng kê nh p d li u
– SHIFT -> MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n m c Stat -> 3 (ch ñ không t n s )
– MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) -> (nh p các s ) 12 = 13 =…. 11 =
• Xu t k t qu
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 1 -> = (n: c7 m u)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 2 -> = ( : trung bình m u)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 3 -> = ( σ : ñ l ch chu n c a m u)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 4 -> = ( σ − : ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh)
2. S

LI U CÓ T N S

VD 2. Cho m u như sau
xi
ni

12
3

11
2

15
4

a) Máy fx 500MS
• Xóa nh : MODE -> 3 -> = -> =
• Vào ch ñ th ng kê nh p d li u
– MODE -> 2 (ch n SD ñ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (ch n SD ñ i v i fx570MS)
– Nh*p các s%:
12 -> SHIFT -> , -> 3 -> M+
11 -> SHIFT -> , -> 2 -> M+
15 -> SHIFT -> , -> 4 -> M+
• Xu t k t qu , làm như 1a)
b) Máy fx 500ES
• Xóa nh vào ch ñ th ng kê nh p d li u có t n s :
– SHIFT -> MODE (SETUP) d ch chuy n mũi tên -> 4 -> 1
– MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var)
– Nh*p các giá tr và t.n s% vào 2 c t trên màn hình
X
FREQ
12
3
11
2
15

4
• Xu t k t qu , làm như 1b)
VD 3. ði u tra năng su t c a 100 ha lúa trong vùng, ta có b ng s li u sau:
Năng su t (t n/ha)
3 - 3,5
3,5 - 4
4 - 4,5
4,5 - 5
5 - 5,5
5,5 - 6
Di n tích (ha)
7
12
18
27
20
8
Nh$ng th a ru ng có năng su t ít hơn 4,4 t n/ha là có năng su t th p.
a) Tính t l di n tích lúa có năng su t th p.
b) Tính năng su t lúa trung bình, phương sai và ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh.
……………………………………………………………

6 - 6,5
5

6,5 - 7
3


Chương V. Ư:C LƯ NG ð3C TRƯNG C!A T NG TH> (ðÁM ðÔNG)

§1. Ư:C LƯ NG ðI>M
VD 1.
1.1. Th%ng kê
• M t hàm c a m u t ng quát T = T(X1, X2,…, Xn) ñư c
g i là 1 th ng kê.
• Các v n ñ c a th ng kê toán ñư c gi i quy t ch y u
nh vào vi c xây d ng các hàm th ng kê ch ph thu c
vào m u t ng quát, không ph thu c các tham s .
1.2. Ư2c lư ng ñi&m
• Ư c lư ng ñi m c a tham s θ (t l , trung bình,
θ =ɵ
θ(
phương sai,…) là th ng kê ɵ
) ch ph
thu c vào n quan sát X1, …, Xn, không ph thu c vào θ .

VD 2.
• EF = p (t l m u là ư c lư ng không ch ch c a t l
t ng th ).
• /

( )=.

(trung bình m u là ư c lư ng không ch ch

c a trung bình t ng th . ).



• /(

) = /  ɵ


 = σ (phương sai m u là ư c lư ng

không ch ch c a phương sai t ng th σ ).
VD 3. Cân 100 s n ph m c a 1 xí nghi p ta có b ng s
li u:
x (gr) 498
502
506
510
ni
40
20
20
20

Gi i
a) /



=
/

/(

)+

/(

( )

%

+

.+

%

%

)+

%

/(

)

. = . ⇒ (ñpcm).

là ư c lư ng

+

+

là ư c

lư ng ñi m c a trung bình t ng th . .
1.3. Ư2c lư ng không ch ch (tham kh o)
θ(
• Th ng kê ɵ
) là ư c lư ng không ch ch c a

θ n u /  ɵ
θ(


)  = θ .

Ta có:

=

0< 0

,

, 9

,

=,

@4 .

D ñoán (ư c lư ng): Tr ng lư ng trung bình c a các
@4 .
s n ph m trong xí nghi p là . ≈ ,
VD 4 (tham kh o). T m u t ng quát W = (X1, X2) ta
xét hai ư c lư ng c a trung bình t ng th . sau:

=

+

′=

và

+

%

.

%

và ′ là ư c lư ng không ch ch c a . .
a) Ch ng t
b) Ư c lư ng nào hi u qu hơn?



( ) = 3 4 

=

3 4

 = % / (

+

+

=

• Trung bình m u

)

. + . = ..


′ = / 
 %
=


 =

+

+

ñi m c a t l t ng th p.

b) 3 4

( ) = / 

+

• T l m u #=

0

3 4(

)+

0



( ′ ) = 3 4  %

=

<

⇒3 4

3 4(





+

)+

3 4(

+

)=




%

0
3 4(
<

)=

( ) < 3 4( ′) .

V y ư c lư ng

σ

σ
σ
+
=
.
0
0

σ
0σ
,σ
+
=
<
<
<

hi u qu hơn.

§2. Ư:C LƯ NG KHO NG
2.1. ð nh nghĩa
• Kho ng ɵ
θ& ɵ
θ

(

)

c a th ng kê ɵ

θ ñư c g i là kho ng

tin c y c a tham s θ n u v i xác su t
ɵ
thì
θ < θ <ɵ
θ = −α.

(

− α cho trư c

)

• Xác su t
− α là ñ tin c y c a ư c lư ng,
ɵ
ɵ
θ − θ = ε là ñ dài kho ng tin c y và ε là ñ chính
xác c a ư c lư ng. Khi ñó: θ ∈ ɵ
θ& ɵ
θ .

(

)

• Bài toán tìm kho ng tin c y c a θ là bài toán ư c
lư ng kho ng.

Chú ý
• Do t ng th X là bi n ng u nhiên liên t c nên:
ɵ
ɵ
θ < θ <ɵ
θ =
θ ≤ θ ≤ɵ
θ .

(

)

(

)

Do ñó, ta có th ghi θ ∈  ɵ
θ& ɵ
θ  .


2.2. Ư2c lư ng kho ng cho t l t ng th& p
• Gi s t l p các ph n t có tính ch t A c a t ng th
chưa bi t. V i ñ tin c y − α cho trư c, kho ng tin
c y cho p là ( &
) th a:

(

<

<

)=

−α.


Trong th c hành v i t l m u ! = ! =

(n: c7 m u;

m: s ph n t quan tâm), kho ng tin c y cho p là:

( ! − ε&

! + ε ) , v i ε = $α

!( − !)

.

VD 1. M t trư ng ðH có 10.000 sinh viên. ði m danh
ng u nhiên 1000 sinh viên th y có 76 ngư i b h c. Hãy
ư c lư ng s sinh viên b h c c a trư ng v i ñ tin c y
95%.

Trong ñó $α là m c phân v , tìm ñư c t

ϕ $α =

−α

b+ng cách tra b ng B.

Chú ý
•

$

=  α ! ( − ! )  + là kích thư c m u c n ch n
 ε

ng v i ε , − α cho trư c ([x] là ph n nguyên c a x).

VD 3. L y ng u nhiên 200 s n ph m trong 1 kho hàng
th y có 21 ph ph m.
a) Ư c lư ng t l ph ph m có trong kho hàng v i ñ tin
c y 99%.
b) D a vào m u trên, n u mu n ñ chính xác c a ư c
lư ng là ε = 0,035 thì ñ tin c y c a ư c lư ng là bao
nhiêu ?
c) D a vào m u trên, n u mu n ñ chính xác là 0,01 v i
ñ tin c y 97% thì c n ki m tra thêm bao nhiêu s n
ph m n$a ?

VD 2. ð ư c lư ng s cá trong 1 h ngư i ta b#t lên
3000 con, ñánh d u r i th l i xu ng h . Sau 1 th i gian
b#t lên 400 con th y có 60 con có ñánh d u.

V i ñ tin c y 97%, hãy ư c lư ng s cá có trong h .

2.3. Ư2c lư ng trung bình t ng th&
• Gi s t ng th có trung bình . chưa bi t. V i ñ tin
c y

− α cho trư c, kho ng tin c y cho . là ( . & .

(.

th a:

<.<.

)=

)

−α.

Trong th c hành ta có 4 trư ng h p sau
a) Trư ng h p 1. Kích thư c m u ≥ %

và phương

sai t ng th σ ñã bi t.
• Tính
T

(trung bình m u).

−α
−α ⇒
= ϕ $α 
→ $α .

• Suy ra . ∈

(

− ε&

)

+ ε v i ε = $α

σ

.

VD 4. Kh o sát ng u nhiên 100 sinh viên th y ñi m
trung bình môn XSTK là 5,12 ñi m v i ñ l ch chu n
0,26 ñi m. Hãy ư c lư ng ñi m trung bình môn XSTK
c a sinh viên v i ñ tin c y 97%.
b) Trư ng h p 2. Kích thư c m u ≥ % và phương

VD 5. ðo ñư ng kính c a 100 tr c máy do 1 nhà máy
s n xu t thì ñư c b ng s li u:
ðư ng kính (cm)
9,75
9,80

9,85
9,90
S tr c máy
5
37
42
16

sai t ng th σ chưa bi t.

a) Hãy ư c lư ng ñư ng kính trung bình c a tr c máy
v i ñ tin c y 97%.
b) D a vào m u trên, v i ñ chính xác 0,006, hãy xác
ñ nh ñ tin c y.
c) D a vào m u trên, n u mu n có ñ chính xác là 0,003
v i ñ tin c y 95% thì c n ph i ño bao nhiêu tr c máy ?

⌢
) ⇒) =

• Tính

⌢
) ⇒ ) (ñ

−

l ch chu n

m u hi u ch nh).

−α ⇒

•T

⇒.∈

(

− ε&

−α

= ϕ $α 
→ $α (b ng B)

)

+ ε v i ε = $α

)

.

d) Trư ng h p 4. V i < % , phương sai t ng th σ
chưa bi t và X có phân ph i chu!n.
• Tính
T

⌢

) ⇒) =

−

⌢
) ⇒ ).

− α ⇒ α 
→ $α− (b ng C)

• Suy ra . ∈

(

− ε&

)

+ ε v i ε = $α−

)

.

Chú ý
• Trong th c hành, n u ñ bài không cho X có phân ph i
chu n thì ta b sung vào.
VD 6. Bi t chi u dài c a 1 s n ph m là ñ i lư ng ng u
nhiên có phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 10 s n ph m
này thì ñư c trung bình 10,02m và ñ l ch chu n c a

c) Trư ng h p 3. V i < % , phương sai t ng th σ
ñã bi t và X có phân ph i chu!n thì ta làm như trư ng
h p 1.
m u chưa hi u ch nh là 0,04m. Tìm kho ng ư c lư ng
chi u dài trung bình c a lo i s n ph m này v i ñ tin c y
95%.
VD 7. Năng su t lúa trong 1 vùng là ñ i lư ng ng u
nhiên có phân ph i chu n. G t ng u nhiên 115 ha lúa c a
vùng này ta có s li u:
Năng su t (t /ha)
40 – 42
42 – 44
44 – 46
Di n tích (ha)
7
13
25
Năng su t (t /ha)
46 – 48
48 – 50
50 – 52
Di n tích (ha)
35
30
5
a) Hãy ư c lư ng năng su t lúa trung bình , vùng này
v i ñ tin c y 95%.
b) Nh$ng th a ru ng có năng su t không quá 44 t /ha là
năng su t th p. Hãy ư c lư ng năng su t trung bình c a

nh$ng th a ru ng có năng su t th p v i ñ tin c y 99%.


VD 8. ð nghiên c u nhu c u v lo i hàng A , 1 khu
v c ngư i ta ti n hành kh o sát 400 trong toàn b 4000
gia ñình, k t qu :
Nhu c u (kg/tháng)
0–1
1–2
2–3
3–4
S gia ñình
10
35
86
132
Nhu c u (kg/tháng)
4–5
5–6
6–7
7–8
S gia ñình
78
31
18
10

2.4. Ư2c lư ng phương sai t ng th& σ
• Gi s t ng th X có phân ph i chu!n v i phương sai

a) Ư c lư ng nhu c u trung bình lo i hàng A c a khu
v c trên trong 1 năm v i ñ tin c y 95%.
b) V i m u kh o sát trên, n u mu n có ư c lư ng v i ñ
chính xác 4,8 t n và ñ tin c y 95% thì c n kh o sát t i
thi u bao nhiêu gia ñình trong khu v c?

Trong th c hành ta có hai trư ng h p sau

a) Trư ng h p 1. Trung bình t ng th . ñã bi t.

b) Trư ng h p 2. Trung bình t ng th . chưa bi t.
• T m u ta tính

• T m u ta tính

ɵ
) =

∑ (

− .)

≤

.

=

•T

−α ⇒

α

⇒σ =

tin c y cho σ là ( σ & σ

(σ

⇒

ɵ
)

α
χ  − 



σ =

ɵ
)
.
 α 

χ  
 

VD 9. Tr ng lư ng gói mì X(gr) là bnn có phân ph i
chu n. Cân ki m tra 15 gói mì có s li u:
X(gr)
84
84,5
85
85,5
S gói
2
3
8
2
V i ñ tin c y 93%, hãy ư c lư ng phương sai X trong
m!i trư ng h p sau:
a) Bi t tr ng lư ng trung bình gói mì là 84,9gr.
b) Chưa bi t tr ng lư ng trung bình gói mì.
VD 10. Kh o sát 16 sinh viên v ñi m trung bình c a
h c kỳ 2 thì tính ñư c s2 = 2,25 ñi m. Ư c lư ng
phương sai v ñi m trung bình h c kỳ 2 c a sinh viên
v i ñ tin c y 97%, bi t r+ng ñi m trung bình X c a sinh
viên là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n.

) th

)=

<σ <σ

∑ (

− ) =

a:

−

=

, tra b ng D tìm ñư c:


α
α
χ  −  χ   .

 


− α cho trư c, kho ng

σ chưa bi t. V i ñ tin c y

•T

−α ⇒

α
χ

⇒σ =

χ

−

)

−α.

≤

.

, tra b ng D tìm ñư c:
−



 − α  χ



−

 
 α  .
 

− )
− )
σ =

.


 
 − α 
 α 
χ
−  


 

VD 11. M c hao phí nguyên li u cho 1 ñơn v s n ph m
là ñ i lư ng ng u nhiên X (gr) có phân ph i chu n.
Quan sát 28 s n ph m này ngư i ta thu ñư c b ng s
li u:
X (gr)
S s n ph m

19,0
5

19,5
6

20,0
14

20,5
3

V i ñ tin c y 90%, hãy ư c lư ng phương sai c a m c
hao phí nguyên li u trên trong 2 trư ng h p:
a) Bi t EX = 20gr.
b) Chưa bi t EX.

Chương VI. KI>M ð9NH GI THI T TH NG KÊ
§1. KI>M ð9NH GI THI T V< ð3C TRƯNG T NG TH> (ðÁM ðÔNG)
Chú ý
1.1. Khái ni m bài toán ki&m ñ nh
• M c ý nghĩa α gi m thì P(lo i I) gi m ⇒ P(lo i II)
• Dùng các th ng kê t m u ñ ch p hay bác b m t gi
tăng, nghĩa là kh năng ch p nh n H tăng.
thi t H nào ñó nói v t ng th g i là ki m ñ nh gi thi t
th ng kê.
1.2. Ki&m ñ nh gi thi$t t l t ng th& p
• Khi ki m ñ nh gi thi t H có th x y ra 1 trong 2 sai
l m sau:
1) Lo i 1: Bác b H trong khi H ñúng;
2) Lo i 2: Ch p nh n H trong khi H sai.
• Phương pháp ki m ñ nh là cho phép xác su t x y ra sai
l m lo i 1 không vư t quá m c ý nghĩa α. V i m c ý
nghĩa α ñã cho, ta ch p nh n H n u xác su t x y ra sai
l m lo i 2 là nh nh t.


V i t l p0 cho trư c thì 8 =

Aα = { $ ∈ 8

#−

∈7 &

.

• T m c ý nghĩa α ⇒ − α
−α
⇒
= ϕ $α 
→ $α .

và

$ > $α ≤ α } là mi n bác b

gi

thi t H.
Các bư c gi i
• ð t gi thi t H: p = p0 (nghĩa là t l t ng th như t l
cho trư c).
• T m u c th ta tính t l m u ! =
giá tr ki m ñ nh $ =

!−
.

và

.

VD 2. ð ki m tra 1 lo i súng th thao, ngư i ta cho b#n
1000 viên ñ n vào bia th y có 540 viên trúng ñích. Sau
ñó, b+ng c i ti n k1 thu t ngư i ta nâng t l trúng lên
70%. Hãy cho k t lu n v c i ti n v i m c ý nghĩa 1%.
VD 3. Theo báo cáo, t l hàng ph ph m trong kho là
12%. Ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m th y có 13 ph
ph m. V i m c ý nghĩa 5% thì báo cáo trên có ñáng tin
không ?
VD 4. M t công ty tuyên b r+ng 40% dân chúng ưa
thích s n ph m c a công ty. M t cu c ñi u tra 400 ngư i
tiêu dùng th y có 175 ngư i ưa thích s n ph m c a công
ty. V i m c ý nghĩa 3%, hãy ki m ñ nh tuyên b trên ?

b) Trư ng h p 2. V i ≥ % σ chưa bi t.
Làm như trư ng h p 1 nhưng thay σ = ) .
c) Trư ng h p 3. V i < % σ ñã bi t, X có phân
ph i chu n (làm như trư ng h p 1).
d) Trư ng h p 4. V i
< % σ chưa bi t, X có
phân ph i chu n.
−.
• Tính $ =
. T m c ý nghĩa α 
→ $α− .
)

– N u $ ≤ $α thì ta ch p nh n gi thi t, nghĩa là p = p0.
– N u $ > $α thì ta bác b gi thi t, nghĩa là

≠

.

• Trong trư ng h p bác b , n u f > p0 thì k t lu n p > p0
và f < p0 thì p < p0.
VD 1. Ki m tra 800 sinh viên th y có 128 sinh viên gi i.
Trư ng báo cáo t ng k t là có 40% sinh viên gi i thì có
th ch p nh n ñư c không v i m c ý nghĩa 5%?

1.3. Ki&m ñ nh gi thi$t trung bình t ng th& A
• V i trung bình 50 cho trư c, tương t bài toán ư c
lư ng kho ng cho trung bình t ng th , ta có các trư ng
h p sau (tóm t#t):
• ð t gi thi t H: 5 = 50 (nghĩa là trung bình t ng th
như trung bình cho trư c).
a) Trư ng h p 1. V i
• Tính $α $ =

−.
σ

≥%

σ ñã bi t.

.

• N u $ ≤ $α ta ch p nh n gi thi t;

$ > $α ta bác b gi thi t.

Chú ý
• Trong trư ng h p bác b :
N u

> . ⇒ . > . và

<. ⇒.<. .

VD 5. Tr ng lư ng trung bình c a c a m t lo i s n
ph m là 6kg. Ki m tra 121 s n ph m th y tr ng lư ng

) =,
.
trung bình là 5,795 kg và phương sai ɵ
Hãy ki m ñ nh v tr ng lư ng trung bình c a s n ph m
này v i m c ý nghĩa 5%.

• N u $ ≤ $α− ta ch p nh n gi thi t;

$ > $α− ta bác b gi thi t.

VD 6. Cân th 15 con gà tây , 1 tr i chăn nuôi khi xu t
chu ng ta tính ñư c

=%9

tây là bi n ng u nhiên có σ =

@ . Bi t tr ng lư ng gà
.

a) Giám ñ c tr i nói r+ng tr ng lư ng trung bình c a gà
tây là 3,5kg, v i m c ý nghĩa 2% hãy ki m ñ nh l i nói
trên ?
b) Gi s ngư i ta dùng th c ăn m i và khi xu t chu ng
tr ng lư ng trung bình c a gà tây là 3,9 kg. V i m c ý
nghĩa 3%, hãy cho k t lu n v lo i th c ăn này ?

VD 7. Kh i lư ng c a m t bao g o c a 1 nhà máy là
bi n ng u nhiên có ñ l ch tiêu chu n là 0,3kg. Ban
giám ñ c tuyên b kh i lư ng m!i bao g o c a nhà máy
là 50kg. Cân th 50 bao thì th y kh i lư ng trung bình là
49,97kg. V i m c ý nghĩa 1%, hãy ki m tra l i tuyên b
trên ?
VD 8. ði m trung bình môn toán c a sinh viên năm
trư c là 5,72. Năm nay theo dõi 100sv ñư c s li u:
ði m
3
4
5
6
7
8
9
S sinh viên
3
5

27
43
12
6
4
V i m c ý nghĩa 5%, ph i chăng ñi m trung bình c a
sinh viên năm nay cao hơn năm trư c?


VD 9. Chi u cao cây gi ng X(m) trong m t vư m ươm
là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n.
ðo ng u nhiên 25 cây ta có:
X (m)
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
S cây
1
2
9
7
4
2
Theo quy ñ nh khi nào cây cao trung bình trên 1m thì
ñem ra tr ng. V i m c ý nghĩa 5%, có th ñem cây ra
tr ng ñư c chưa ?
1.4. Ki&m ñ nh gi thi$t phương sai t ng th& có phân

ph%i chu7n σ (tham kh o)
V i σ cho trư c, ta th c hi n các bư c sau:
• ð t gi thi t H: σ = σ (nghĩa là phương sai t ng th
như phương sai cho trư c).

§2. KI>M ð9NH SO SÁNH HAI ð3C TRƯNG
2.1. So sánh hai t l px và py c+a hai t ng th& X, Y
• ð t gi thi t H: px = py.
-

, !- =

• T 2 m u ta tính ! =

,

-

=

+

-

+

(t l th c nghi m chung c a hai m u).

-

• Tính . = −

⇒$=

! − !
. 




+

-

(giá tr ki m ñ nh).

VD 3. Ki m tra 120 s n ph m , kho I th y có 6 ph
ph m. Ki m tra 200 s n ph m , kho II th y có 24 ph
ph m. Ch t lư ng hàng , hai kho có khác nhau không
v i: 1) M c ý nghĩa 5% ? 2) M c ý nghĩa 1% ?

− )

• T m u ta tính giá tr ki m ñ nh χ =
•T

−α ⇒

α

>

→χ

−

−



 − α  .





 − α  ta ch p nh n


gi thi t, ngư c l i thì bác b gi thi t.

• N u χ

−

 α 
  < χ < χ
 

 α 

  χ
 

.

σ

−

• Trong trư ng h p bác b , n u ) > σ thì k t lu n

σ > σ và ) < σ thì σ < σ .
VD 10. Ti n hành 25 quan sát v ch tiêu X c a 1 lo i
s n ph m, ta tính ñư c s2 = 416,667. Có tài li u nói r+ng
phương sai c a ch tiêu X là 400. V i m c ý nghĩa 3%,
cho nh n xét v tài li u này?

• N u $ ≤ $α thì ch p nh n H ⇒

 $ > $α
⇒
n u

 ! < !

<

-

=

-

;

 $ > $α
⇒
;n u 

 ! > !

>

-

.

VD 1. T hai t ng th X1, X2 ti n hành 2 m u có kích
thư c n1 = 100, n2 = 120 ta tính ñư c f1 = 0,2 và f2 = 0,3.
V i m c ý nghĩa 1% hãy so sánh hai t l c a hai t ng
th ñó.
VD 2. Ki m tra 120 sinh viên trư ng A th y có 80 sinh
viên gi i, 150 sinh viên trư ng B có 90 sinh viên gi i.
H i t l sinh viên gi i c a 2 trư ng như nhau không v i
m c ý nghĩa là 5%?

• T 2 m u c th ta tính ki m ñ nh $ =

−σ

+

σ-

và

-

so sánh v i $α .
2.2. So sánh hai trung bình µx và µy c+a hai t ng th&
Tóm t t 4 trư ng h p (ch p nh n hay bác b# gi thi t
như bài ki m ñ nh trung bình):

Ta thay σ

• ð t gi thi t H: µ x = µ y.

Trư ng h p 3.

Trư ng h p 1.

Trư ng h p 4.

+

-

< % và σ

σ - ñã bi t ñ ng

-

< % và σ

σ - chưa bi t; X, Y

VD 4. Cân th 100 trái cây , nông trư ng I ta tính ñư c

− )-

−

.

−)

.

-−

=

và so sánh v i t.

@4& ) = ,

và 361 trái cây , nông

trư ng II tính ñư c - = 99 %<@4& ) - = <

.

Hãy so sánh tr ng lư ng trung bình c a trái cây , 2 nông
trư ng v i m c ý nghĩa 1%.
VD 5. ðo ñư ng kính 20 tr c máy do máy I s n xu t và
22 tr c máy do máy II s n xu t ta tính ñư c

= ,

+
-

+

) - trong trư ng h p 1.

th i X, Y có phân ph i chu!n (như trư ng h p 1).

• Tính giá tr ki m ñ nh $ =

• T α 
→ $α

σ - chưa bi t.

-

-

σ - b,i )

≥ % và σ

σ - ñã bi t.

• Tính phương sai m u chung chưa hi u ch nh c a 2 m u

) =

-

≥ % và σ

có phân ph i chu n.

− ) +

Trư ng h p 2.

)- = ,9

;

) =,

,%

và

- = 0<

;

. Có th xem ñư ng kính trung bình c a các

tr c máy , 2 máy như nhau v i m c ý nghĩa 1% không?


VD 6. Kh i lư ng trung bình c a 50 trái dưa h u do xã
A tr ng là 6,72kg v i sx = 0,72kg. Kh i lư ng trung bình
c a 80 trái dưa h u do xã B tr ng là 6,46kg v i
sy = 0,91kg. V i m c ý nghĩa 1% có k t lu n kh i lư ng
trung bình trái dưa h u do xã A tr ng n ng hơn không ?
VD 7. Kh i lư ng trung bình c a 23 trái dưa h u do xã
A tr ng là 6,72kg v i sx = 0,72kg. Kh i lư ng trung bình
c a 19 trái dưa h u do xã B tr ng là 6,46kg v i
sy = 0,91kg. V i m c ý nghĩa 1% có k t lu n kh i lư ng
trung bình trái dưa h u do xã A tr ng n ng hơn không ?

• N u g < f ta ch p nh n gi thi t, n u g > f ta bác b gi
thi t.
• Trong trư ng h p bác b gi thi t:
– N u ) > )- thì k t lu n σ > σ - và ngư c l i.
VD 8. Giá c phi u là bi n ng u nhiên có phân ph i
chu n. ði u tra ng u nhiên giá c phi u c a công ty X
trong 25 ngày tính ñư c ñ l ch tiêu chu n m u hi u
ch nh là 7,5 ngàn ñ ng; c a công ty Y trong 22 ngày là
6,2 ngàn ñ ng. V i m c ý nghĩa 5%, hãy so sánh v ñ
r i ro c phi u c a hai công ty trên.

2.3. So sánh hai phương sai σ và σ - c+a hai t ng
th& (so sánh t l phương sai) (tham kh o)
• ð t gi thi t H: σ = σ - .
• Tính giá tr ki m ñ nh @ =
• T m c ý nghĩa α ⇒

α

)
)-

.

.

Tra b ng E ta tìm ñư c ! = !α

−

-

−

.

VD 9. Doanh s bán hàng (ñơn v : tri u ñ ng) c a 1
công ty A là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n. Công
ty A cho ngư i theo dõi doanh s bán hàng trong 7 ngày
, vùng X thì tính ñư c phương sai m u chưa hi u ch nh

là 82,1; , vùng Y trong 6 ngày thì tính ñư c 25,3.
V i m c ý nghĩa 3%, hãy so sánh ñ r i ro ñ u tư c a
công ty A , hai vùng trên.

Chương VII. LÝ THUY T TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HBI QUY
Bi u ñ liên h gi$a ñ tu i và ñ cholesterol:
1. H s% tương quan gi)a X và Y
• ð minh h a cho v n ñ , chúng ta th xem xét nghiên
c u sau ñây mà trong ñó nhà nghiên c u ño lư ng ñ
cholesterol (Y) trong máu c a 10 ñ i tư ng nam , ñ
tu i (X).
K t qu ño lư ng như sau:
X
20
52
30
57
28
Y
1,9
4,0
2,6
4,5
2,9
X
Y

43
3,8

57
4,1

63
4,6

40
3,2

49
4,0

• ð “ño lư ng” m i liên h này, chúng ta có th s
d ng h s tương quan:

∑

−

∑

=
−

=

Trong ñó - =

∑

- −-

- ,

=

=

∑
=
=

Chú ý.

- −-

=

4- =

∑

⌢ ⌢
⌢ ⌢
) )- có sai s bé hơn ) )- .

.

-− .
⌢ ⌢

) )-

Bi u ñ trên ñây g i ý cho th y m i liên h gi$a ñ tu i
(X) và cholesterol (Y) là m t ñư ng th)ng (tuy n tính).

Ý nghĩa
• H s tương quan ño m i quan h tuy n tính gi$a x, y.
1) − ≤ 4 - ≤ .
2) N u 4 - =

thì hai bi n s không có quan h tuy n

tính; n u 4 - = ± thì hai bi n s có quan h tuy n tính
tuy t ñ i.
3) N u 4 - < thì quan h gi$a x, y là gi m bi n
(có nghĩa là khi x tăng thì y gi m).
4) N u 4 - > thì quan h gi$a x, y là ñ ng bi n
(có nghĩa là khi x tăng thì y cũng tăng).


VD 1. Tính h s tương quan gi$a ñ tu i và cholesterol
cho , b ng trên. Ta có:

=

∑

∑-

= 0% < ; - =

=

-=

= % ,9 ;

=

∑

- = 9

⌢
% < ; )- =

V y 4- =

=

=

∑  -

.

– Các ñi m có t a ñ (xi; yi) t o thành ñư ng g p khúc
và g n v i ñư ng th)ng có d ng y = ax + b. Ngư i ta
dùng ñư ng th)ng y = ax + b ñ tính x p x các giá tr yi
theo xi: - =

+ + ε v i m t sai s ε , ñư ng
th)ng này ñư c g i là ñư ng th)ng h i quy.

< <.

– Các thông s a, b ph i ñư c ư c tính t d$ li u.
Phương pháp ñ ư c tính các thông s này là phương
pháp bình phương bé nh t. Phương pháp bình phương bé
nh t là tìm giá tr a, b sao cho t ng bình phương sai s

∑ε

=

9;

9<00 .

-− =
⌢ ⌢
) )-

• ð ti n vi c theo dõi và mô t mô hình, g i ñ tu i cho
cá nhân i là xi và cholesterol là yi,

=
=

⌢
) =

2. ðư ng th ng h'i qui

−

 là nh nh t.


+

=

– Ư c lư ng cho a, b ñáp ng ñi u ki n trên là:

-− =
⌢
)

= -−

.

VD 2. ðo chi u cao X(m) và kh i lư ng Y(kg) c a 5 h c
sinh, ta có k t qu :
X(m)
Y(kg)

1,45
50

1,6
55

1,5
45

1,65
60

1,55
55

a) Tìm h s tương quan rxy.
b) L p phương trình h i quy tuy n tính c a Y theo X.
c) D ñoán n u m t h c sinh cao 1,62m thì n ng kho ng
bao nhiêu kg?

Chú ý

- −= 4⌢
)-

−
⌢
)

.

VD 3. S v n ñ u tư X(tri u ñ ng) và l i nhu n Y(tri u
ñ ng) trong m t ñơn v th i gian c a 100 quan sát là:

Y
X
1
2
3

0,3

0,7

1,0

20

10
30
10

10
20

a) L p phương trình h i tuy n tính c a X theo Y.
b) D ñoán n u mu n l i nhu n thu ñư c là 0,5 tri u
ñ ng thì c n ñ u tư bao nhiêu?
3. S# d1ng máy tính tìm ñư ng h'i qui
VD 5. (fx 500ES) Bài toán cho d ng c p
X

- như sau

20 52 30 57 28 43 57 63 40 49

Y 1,9 4 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4
Tìm h s 4 - , ñư ng h i qui m u - =
+ .
Nh p li u:
SHIFT -> MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n m c
Stat-> 2 (ch ñ không t n s )
MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nh p các giá tr c a X,
Y vào 2 c t)
X
Y
20
1,9
…
…
49
4
Xu t k t qu :
SHIFT - > 1 -> 7 ->1(A chính là b trong phương trình)
- >2 (B chính là a trong phương trình)
-> 3 (r chính là 4 - ).

VD 4. S thùng bia Y(thùng) ñư c bán ra ph thu c vào
giá bán X (tri u ñ ng/ thùng). ði u tra 100 ñ i lý v 1
lo i bia trong m t ñơn v th i gian có b ng s li u:
Y
100 110 120
X
0,150

5
15
30
0,160
10
25
0,165
15
a) Tính h s tương quan rxy.
b) L p phương trình h i tuy n tính c a X theo Y.
c) D ñoán n u mu n bán ñư c 115 thùng bia thì giá bán
m!i thùng c7 bao nhiêu?
VD 6. (fx 500ES) Bài toán cho d ng b ng như sau
X
Y
3
4
5

21
2
5

23

3
11

25

8
Nh p li u:
SHIFT -> MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n muc
Stat-> 1 (ch ñ có t n s )
MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nh p các giá tr c a X,
Y, t n s vào 2 c t)
X
Y
FREQ
21
3
2
21
4
5
23
4
3
23
5
11
25
5
8
Xu t k t qu gi ng ví d trên.

------------------------------------H t--------------------------------------