Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Chương 4: BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
KHÁI NIỆM
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU RỜI RẠC
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN HAI
CHIỀU RỜI RẠC
KHÁI NIỆM
Định nghĩa
Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo
nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y)
Ví dụ
Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm.
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần
của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc.
KHÁI NIỆM
Định nghĩa
Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo
nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y)
Ví dụ
Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm.
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần
của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc.
KHÁI NIỆM
Định nghĩa
Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo
nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y)
Ví dụ
Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm.
Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần
của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc.
KHÁI NIỆM
Định nghĩa
Hai biến ngẫu nhiên một chiều được xét một cách đồng thời tạo
nên biến ngẫu nhiên 2 chiều, kí hiệu (X, Y)
Ví dụ
Thu nhập và tiêu dùng; Chiều dài và chiều rộng của một sản phẩm.
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên 2 chiều được gọi là rời rạc nếu mỗi thành phần
của nó là một biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc.
BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU RỜI RẠC
Bảng phân phối xác suất đồng thời
Bảng phân phối xác suất biên
Bảng phân phối xác suất có điều kiện
Bảng phân phối xác suất đồng thời
Là một hình chữ nhật, liệt kê các giá trị có thể có của X, Y và các
xác suất tương ứng.
y
1
y
2
y
m
p(x
i
)
x
1

p(x
1
, y
1
) p(x
1
, y
2
) p(x
1
, y
m
) p(x
1
)
x
2


x
n
p(x
n
, y
1
) p(x
n
, y
2
) p(x

n
, y
m
) p(x
n
)
p(y
i
) p(y
1
) p(y
2
) p(y
m
) 1
Trong đó p(x
i
, y
j
) = P(X = x
i
; Y = y
j
) ≥ 0, ∀ i, j, và

n
i=1

m
j=1

p(x
i
, y
j
) = 1
Ý nghĩa. Bảng phân xác suất đồng thời phản ánh phân phối xác
suất theo cả 2 thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Bảng phân phối xác suất đồng thời
Là một hình chữ nhật, liệt kê các giá trị có thể có của X, Y và các
xác suất tương ứng.
y
1
y
2
y
m
p(x
i
)
x
1
p(x
1
, y
1
) p(x
1
, y
2
) p(x

1
, y
m
) p(x
1
)
x
2


x
n
p(x
n
, y
1
) p(x
n
, y
2
) p(x
n
, y
m
) p(x
n
)
p(y
i
) p(y

1
) p(y
2
) p(y
m
) 1
Trong đó p(x
i
, y
j
) = P(X = x
i
; Y = y
j
) ≥ 0, ∀ i, j, và

n
i=1

m
j=1
p(x
i
, y
j
) = 1
Ý nghĩa. Bảng phân xác suất đồng thời phản ánh phân phối xác
suất theo cả 2 thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Bảng phân phối xác suất biên
Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X:

X x
1
x
2
x
n
P
x
p(x
1
) p(x
2
) p(x
n
)
trong đó p(x
i
) =

m
j=1
p(x
i
, y
j
), ∀i được gọi là xác suất biên
của thành phần X và

n
i=1

p(x
i
) = 1
Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y:
Y y
1
y
2
y
m
P
y
p(y
1
) p(y
2
) p(y
m
)
trong đó p(y
j
) =

n
i=1
p(x
i
, y
j
) được gọi là xác suất biên của

thành phần Y và

m
j=1
p(y
j
) = 1
Bảng phân phối xác suất biên
Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X:
X x
1
x
2
x
n
P
x
p(x
1
) p(x
2
) p(x
n
)
trong đó p(x
i
) =

m
j=1

p(x
i
, y
j
), ∀i được gọi là xác suất biên
của thành phần X và

n
i=1
p(x
i
) = 1
Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y:
Y y
1
y
2
y
m
P
y
p(y
1
) p(y
2
) p(y
m
)
trong đó p(y
j

) =

n
i=1
p(x
i
, y
j
) được gọi là xác suất biên của
thành phần Y và

m
j=1
p(y
j
) = 1
Bảng phân phối xác suất biên
Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ nhất X:
X x
1
x
2
x
n
P
x
p(x
1
) p(x
2

) p(x
n
)
trong đó p(x
i
) =

m
j=1
p(x
i
, y
j
), ∀i được gọi là xác suất biên
của thành phần X và

n
i=1
p(x
i
) = 1
Bảng phân phối xác suất biên của thành phần thứ hai Y:
Y y
1
y
2
y
m
P
y

p(y
1
) p(y
2
) p(y
m
)
trong đó p(y
j
) =

n
i=1
p(x
i
, y
j
) được gọi là xác suất biên của
thành phần Y và

m
j=1
p(y
j
) = 1
Bảng phân phối xác suất biên
Ý nghĩa.
Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối
xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(x

i
, y
i
) = p(x
i
)
p(y
i
), ∀i, j
Bảng phân phối xác suất biên
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối
xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(x
i
, y
i
) = p(x
i
)
p(y
i
), ∀i, j
Bảng phân phối xác suất biên
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối
xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Chú ý.
Cần và đủ để X và Y độc lập là p(x
i
, y
i

) = p(x
i
)
p(y
i
), ∀i, j
Bảng phân phối xác suất biên
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất biên phản ánh phân phối
xác suất của từng thành phần của biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Chú ý. Cần và đủ để X và Y độc lập là p(x
i
, y
i
) = p(x
i
)
p(y
i
), ∀i, j
Bảng phân phối xác suất có điều kiện
X/Y = y
j
x
1
x
2
x
n
p(x
1

/y
j
) p(x
2
/y
j
) p(x
n
/y
j
)
p(x
i
/y
j
) =
p(x
i
, y
j
)
p(y
j
)
, ∀
i,j
;
n

i=1

p(x
i
/y
j
) = 1
Y /X = x
i
y
1
y
2
y
m
p(y
1
/x
i
) p(y
2
/x
i
) p(y
m
/x
i
)
p(y
j
/x
i

) =
p(x
i
, y
j
)
p(x
i
)
, ∀
i,j
;
m

j=1
p(y
j
/x
i
) = 1
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối
xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định
của thành phần kia.
Bảng phân phối xác suất có điều kiện
X/Y = y
j
x
1
x
2

x
n
p(x
1
/y
j
) p(x
2
/y
j
) p(x
n
/y
j
)
p(x
i
/y
j
) =
p(x
i
, y
j
)
p(y
j
)
, ∀
i,j

;
n

i=1
p(x
i
/y
j
) = 1
Y /X = x
i
y
1
y
2
y
m
p(y
1
/x
i
) p(y
2
/x
i
) p(y
m
/x
i
)

p(y
j
/x
i
) =
p(x
i
, y
j
)
p(x
i
)
, ∀
i,j
;
m

j=1
p(y
j
/x
i
) = 1
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối
xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định
của thành phần kia.
Bảng phân phối xác suất có điều kiện
X/Y = y
j

x
1
x
2
x
n
p(x
1
/y
j
) p(x
2
/y
j
) p(x
n
/y
j
)
p(x
i
/y
j
) =
p(x
i
, y
j
)
p(y

j
)
, ∀
i,j
;
n

i=1
p(x
i
/y
j
) = 1
Y /X = x
i
y
1
y
2
y
m
p(y
1
/x
i
) p(y
2
/x
i
) p(y

m
/x
i
)
p(y
j
/x
i
) =
p(x
i
, y
j
)
p(x
i
)
, ∀
i,j
;
m

j=1
p(y
j
/x
i
) = 1
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối
xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định

của thành phần kia.
Bảng phân phối xác suất có điều kiện
X/Y = y
j
x
1
x
2
x
n
p(x
1
/y
j
) p(x
2
/y
j
) p(x
n
/y
j
)
p(x
i
/y
j
) =
p(x
i

, y
j
)
p(y
j
)
, ∀
i,j
;
n

i=1
p(x
i
/y
j
) = 1
Y /X = x
i
y
1
y
2
y
m
p(y
1
/x
i
) p(y

2
/x
i
) p(y
m
/x
i
)
p(y
j
/x
i
) =
p(x
i
, y
j
)
p(x
i
)
, ∀
i,j
;
m

j=1
p(y
j
/x

i
) = 1
Ý nghĩa. Các phân phối xác suất có điều kiện phản ánh phân phối
xác suất của một thành phần tương ứng với mỗi giá trị xác định
của thành phần kia.
Ví dụ
Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ, hộp 2 có 5 bi trắng và
5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi từ
hộp 2 lấy ra một viên bi. Gọi X là số bi đỏ được lấy ra từ hộp 1, Y
là số bi đỏ được lấy ra từ hộp 2.
a)Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Lập bảng phân phối xác suất biên của X và Y.
c) Lập bảng phân phối xác suất của số bi đỏ được lấy ra từ hộp 1
biết rằng viên bi lấy ra từ hộp 2 có màu đỏ.
Ví dụ
Các giá trị có thể của X = {0;1;2} và Y = {0; 1}.
Ta có
P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0).P(Y = 0/X = 0) =
C
2
6
C
2
10
·
7
12
=
105
540

P(X = 0, Y = 1) = P(X = 0).P(Y = 1/X = 0) =
C
2
6
C
2
10
·
5
12
=
75
540
Tương tự
P(X = 1, Y = 0) =
144
540
; P(X = 1, Y = 1) =
144
540
P(X = 2, Y = 0) =
30
540
; P(X = 2, Y = 1) =
42
540
Ví dụ
a) Bảng phân phối xác suất của đồng thời X và Y:
0 1
0

105
540
75
540
1
144
540
144
540
2
30
540
42
540
Ví dụ
b) Bảng phân phối xác suất biên của X và Y
X 0 1 2
180
540
288
540
72
540
Y 0 1
279
540
261
540
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU RỜI RẠC

Kì vọng toán
Phương sai
Kì vọng toán có điều kiện
Hàm hồi quy
Hiệp phương sai
Hệ số tương quan
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU RỜI RẠC
Kì vọng toán
Phương sai
Kì vọng toán có điều kiện
Hàm hồi quy
Hiệp phương sai
Hệ số tương quan