một số bài toán hình học nâng cao lớp 9

Bài toán 1 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 1, đợt 3).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định, B,C cố định, A di chuyển
trên (O). D thuộc đoạn BC sao cho AD là phân giác ∠BAC. Đường
tròn (K) qua A và tiếp xúc với BC tại D.
1) Chứng minh rằng (K) tiếp xúc (O).
2) Gọi (K) giao CA,AB lần lượt tại E,F khác A. BE,CF lần lượt
cắt (K) tại G,H khác E,F. AG,AH cắt BC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng độ
dài MN luôn không đổi khi A di chuyển.
Bài toán 2 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 2, đợt 3).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm nằm trong tam
giác ABC. Trung trực CA,AB lần lượt cắt PA tại E,F. Đường thẳng qua E song
song AC cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại M. Đường thẳng qua F song song AB cắt
tiếp tuyến tại B của (O) tại N.
1) Chứng minh rằng MN tiếp xúc (O).
2) Gọi MN cắt dường tròn ngoại tiếp các tam giác ACM,ABN lần lượt
tại Q,R khác M,N. Chứng minh rằng BQ và CR cắt nhau trên (O).
Bài toán 3 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 1, đợt 4).
Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt
tại D,E,F. Gọi K,L lần lượt là hình chiếu của A trên DE,DF.
Gọi IA giao EF tại M.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm tam giác DKL.
2) Gọi P đối xứng E qua K. Q đối xứng F qua L. Chứng minh rằng QE,PF cắt
nhau trên đường tròn (I).
Bài toán 4 (Thi thử chuyên KHTN 2013, vòng 2, đợt 4).
Cho tam giác ABC. Một đường tròn (K) đi qua B,C sao cho (K) cắt
đoạn CA tại E khác C và (K) cắt đoạn AB tại F khác B. BE giao CF tại H.
Gọi M là trung điểm EF. Gọi P,Q lần lượt là đối xứng của A qua BE,CF.


1) Chứng minh rằng đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác HEP và đường
tròn (J) ngoại tiếp tam giác HFQ cắt nhau trên AM.

2) Chứng minh rằng (I) và (J) có bán kính bằng nhau.

Bài toán 5 (Thi vòng 1 chuyên KHTN 2015-2016):
Cho tam giác ABC nhọn không cân có tâm đường tròn nội
tiếp I. AI cắt BC tại D. Lấy E,F lần lượt đối xứng D qua IB và IC. M,N,J lần lượt
là trung điểm của DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng A,J,P thẳng hàng.
Bài toán 6 (Đề vòng 1 KHTN 2016-2017):
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AD là phân giác trong của tam
giác. AD cắt (O) tại điểm thứ 2 là E. Gọi M là trung điểm của AD. BM cắt (O) tại
điểm thứ hai P khác B. EP cắt AC tại điểm thứ hai N.
a) Chứng minh N là trung điểm của AC.
b) Gọi (EMN) cắt BM tại R khác M. Chứng minh rằng RA⊥RC.
Bài toán 7 (Chuyên Vĩnh Phúc 2016 vòng 2).
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với ABđiểm BC. AM cắt (O) tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B.
1) Chứng minh rằng hai tam giác BDF,CDE đồng dạng và ba điểm E,M,F thẳng
hàng.
2) Chứng minh rằng OA⊥EF.
3) Phân giác của góc ˆBAC cắt EF tại điểm N. Phân giác của các
góc ˆCEN và ˆBFN lần lượt cắt CN,BN tại P và Q. Chứng minh rằng PQ song
song với BC.


Bài toán 8 (Chuyên Hà Nội 2016 vòng 2).
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với ABcao BE,CF cắt nhau tại H. Đường tròn đường kính AH cắt (O) tại G khác A.
Phân giác góc ∠CGE,∠BGF cắt CA,AB tại M,N. (K) là đường tròn ngoại tiếp

tam giác AMN.
1) Gọi AK cắt GH tại P. Chứng minh rằng G và P đều nằm trên (K).
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M,N của (K) cắt nhau trên (O).
Bài toán 9 (Mở rộng đề THPT chuyên KHTN 2016 vòng 1).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). E,F thuộc (O) sao
cho EF∥BC. AE,AF cắt BC tại M,N. P,Q,R là trung điểm
của AM,AN,AC. BP,BQ cắt đường tròn (EPR),(FQR) tại S,T khác P,Q.
Chứng minh rằng ∠ASC+∠ATC=180∘.

Bài toán 10 (TTT2 số 165).
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với ABtại A của (O) cắt BC tại T. AD là đường kính
của (O). DB cắt OT,AT tại E,F. EO cắt (AEF) tại G.
Chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác AGB nằm trên (O).
Bài toán 11 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 trường Phổ thông năng khiếu ĐHQG
TP Hồ Chí Minh, năm 2015-2016).
Cho tam giác ABC ( ABGọi M là trung điểm BC, E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, F là điểm đối
xứng của E qua M.
a) Chứng minh rằng EB^2=EF.EO
b) Gọi D là giao điểm của AE và BC. Chứng minh các điểm A,D,O,F cùng thuộc
một đường tròn.


c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên
đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P,O,F không thẳng hàng. Chứng
minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một
điểm cố định.
Bài toán 12 ( Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2014-2015).
Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm AB, Các

điểm N,P thuộc BC,CD sao cho MN∥AP.
1) Chứng minh rằng tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và ∠NOP=45∘.
2) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC và ba
đường thẳng BD,AN,PM đồng quy.
Bài 13 (V2 chuyên Hà Tĩnh 2016 - 2017):
Cho ΔABC nội tiếp (O).E di động trên cung nhỏ AB(E khác A,B). Từ B và C kẻ
các tiếp tuyến với (O) cắt AE ở M,N. Gọi F là giao điểm của BN và CM. Chứng
minh rằng:
1) MB.MC=BC^2
2) Khi E di chuyển trên cung nhỏ AB thì EF luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán 14 (Vô địch Nga lớp 9 vòng các tỉnh).
Cho tam giác ABC có tâm đường tròn Euler là N và tâm nội tiếp I. Giả
sử A,I,N thẳng hang. Chứng minh rằng ∠BAC=60∘.

Bài toán 15 (Thi thử chuyên KHTN năm 2011, vòng 1, đợt 1).
Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A,B. M di chuyển trên đường thẳng
AB nhưng ở ngoài đoạn AB. Dựng các tiếp tuyến MP,MQ của (O). Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua một điểm cố định khác O.