SKKN Giúp học sinh lớp 5 vận dụng mối quan hệ của các yếu tố trong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao

GIÚP HỌC SINH LỚP 5 VẬN DỤNG MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC YẾU TỐ
TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC NÂNG CAO

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay chúng ta đang tập trung thực hiện nghiêm túc có hiệu quả Nghị
quyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam
khóa XI về đổi mới căn bản tồn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu cơng
nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng
xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục nhằm
mục tiêu cơ bản là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát
huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân.
Để đạt được mục tiêu đó thì người giáo viên đóng vai trị hết sức quan
trọng. Trong dạy học địi hỏi người giáo viên cần quan tâm đến tất cả các đối
tượng học sinh, phải có biện pháp và hình thức dạy học tích cực, làm sao tất cả
học sinh trong lớp phải chủ động nắm được các kiến thức cơ bản của bài học và
vận dụng các kiến thức cơ bản đó vào thực hành làm các bài tập trên lớp. Đặc
biệt các em vận dụng được kiến thức đã có vào cuộc sống hàng ngày một cách
linh hoạt.
Đặc biệt đối với mơn tốn là một mơn học giúp các em phát triển nhiều kỹ
năng như: kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa,
khái quát hóa v .v.... Khi đã có những kỹ năng đó thì các em sẽ say mê, tìm tịi,
hứng thú trong học tốn. Trong thực tế dạy học mơn tốn, tơi thấy đối với các
em việc nắm vững kiến thức để vận dụng làm các bài tập trong sách giáo khoa là
một việc làm khơng khó song đối với những bài tốn địi hỏi sự tư duy cao hơn
một chút thì khơng phải em nào cũng làm được. Còn đối với những em khá giỏi,
khi làm bài kiểm tra rất sợ những bài tốn có nội dung hình học. Các em thường
gặp khó khăn khi giải vì khơng biết kẻ thêm đường phụ, không biết mối quan hệ
giữa các yếu tố trong các hình ra sao, nó có liên quan đến bài giải như thế nào?
1

Dẫn đến kết quả bài kiểm tra rất hạn chế. Chính vì lẽ đó mà bản thân tơi đã lựa
chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 5 vận dụng linh hoạt mối quan hệ của các yếu tố
trong tam giác để giải một số bài tốn hình học nâng cao”
2. Đối tượng nghiên cứu:
Mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải một số bài tốn
3. Phạm vi nghiên cứu
- Chương trình và nội dung mơn toán lớp 5: Các bài toán liên quan đến
các yếu tố trong hình tam giác.
- Về thời gian: Từ năm học 2011 - 2012 và áp dụng vào dạy học trong
năm học 2013 - 2014.
4. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:
a. Mục tiêu:
- Giúp học sinh lớp 5 nhận biết một số mối quan hệ của các yếu tố trong
hình tam giác.
- Học sinh biết cách vận dụng linh hoạt một số kiến thức đã học về hình
tam giác để giải một số bài tốn nâng cao về hình học.
- Rèn luyện các kỹ năng: kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích,
tổng hợp, hệ thống hóa, khái qt hóa... trong học tốn.
b. Nhiệm vụ:
- Nghiên cứu các bài tốn có nội dung về mối quan hệ của các yếu tố
trong tam giác để giúp học sinh giải một số bài tốn hình học nâng cao.
- Tìm ra các giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học mơn Tốn.
- Rút ra bài học kinh nghiệm cho bản thân và vận dụng kinh nghiệm vào
thực tiễn dạy học.
5. Giả thiết khoa học của đề tài
Nếu đề tài được áp dụng trong thực tiễn dạy học thì sẽ giúp học sinh khá
giỏi biết thêm một số kiến thức về mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam
giác và các em sẽ vận dụng các kiến thức đó dể giải được các bài tốn nâng cao
về hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn.

2


6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, xử lý tình huống trong giảng dạy.
- Phương pháp quan sát.
- Phương pháp trao đổi
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
7. Dự báo những đóng góp mới của đề tài
Nếu kinh nghiệm này được áp dụng một cách rộng rãi thì chắc chắn sẽ
góp phần khơng nhỏ vào việc giúp học sinh khơng chỉ giải được các bài tốn
liên quan đến các yếu tố trong hình tam giác và cịn có kỹ năng giải được tất cả
các bài toán liên quan đến hình tứ giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng ...
tạo cho các em có được sự say mê hứng thú trong học tập mơn Tốn.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở khoa học
a. Cơ sở lí luận
Như chúng ta đã biết, ngay từ lớp Một, các em đã được làm quen với các
hình tam giác hình vng, hình tròn ... ở dạng tổng thể. Nhưng lên đến lớp 5,
các em mới học các khái niệm và các yếu tố của hình tam giác như đỉnh, góc,
đáy, chiều cao, học cách tính diện tích tam giác và được củng cố về cách tính
diện tích của nó thơng qua nội dung ơn tập hình học cuối cấp.
Từ cơng thức tính diện tich hình tam giác trong sách giáo khoa

Trong đó: S là diện tích hình tam giác, h là chiều cao, a là độ dài cạnh đáy
(a và h phải cùng đơn vị đo)
Ta có thể suy ra cách tính cạnh đáy hay tính chiều cao như sau:
3

Thế nhưng khi vận dụng vào làm một số bài tập các em không khỏi lúng
túng nhất là trường hợp đường cao nằm ngoài tam giác và một số bài tốn khơng
tường minh có liên quan đến tỷ số hai đáy, tỷ số chiều cao hoặc tỷ số diện tích.
b. Cơ sở thực tiễn
Trong thực tế giảng dạy mơn tốn lớp 5, nhất là đối với những bài tốn có
liên quan đến hình học kể cả việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi nhận thấy học
sinh rất sợ những bài tốn liên quan đến hình học. Có thể là do các em chưa
được trang bị đầy đủ kiến thức về hình học, có thể do các em chưa quen với
những bài tốn khơng tường minh. Có những bài tốn u cầu phải vẽ đường
phụ mới giải được nhưng các em khơng quen. Đặc biệt là đối với những bài tốn
chứng minh hình, tìm tỷ số diện tích, tỷ số cạnh, đường cao hay tính số đo các
cạnh .v.v.. Đối với bài tốn về hình học thì rất đa dạng và phong phú, không thể
kể hết được các phương pháp giải. Qua thực tế giảng dạy, tơi thấy có rất nhiều
bài tốn về hình học có sử dụng đến kiến thức liên quan đến diện tích hình tam
giác. Mặc dầu khơng có phương pháp giải tổng qt nhưng bản thân tơi cũng đã
có một số kinh nghiệm hết sức khiêm tốn giúp học sinh vận dung linh hoạt một
số kiến thức cơ bản về diện tích hình tam giác để giải một số bài tốn nâng cao
về hình học.
2. Kết quả điều tra, khảo sát
Tôi đã điều tra, khảo sát 2 lớp do tôi phụ trách dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,
lớp đối chứng (khảo sát năm học 2011- 2012) và lớp thực nghiệm (Khảo sát
năm học 2012- 2013). Sau khi học sinh học xong phần diện tích hình tam giác,
tơi đã cho các em (học sinh khá, giỏi) vận dụng làm một số bài tập như sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 72cm 2, chiều cao bằng 8 cm.
Tính cạnh đáy BC.
Bài 2: Cho hình thang vng ABCD có AB = 9 cm, DC = 18cm, AD =
13cm. Nối D với B được hai tam giác ABD và BDC.
a) Tính diện tích mỗi tam giác đó?

4


b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình tam
giác BDC.
Bài 3: : Cho hình tam giác ABC có diện tích 24cm 2. Nếu kéo dài đáy BC
thêm một đoạn dài 2cm thì diện tích tăng thêm là bao nhiêu? Biết đáy hình tam
giác ban đầu là 8cm
Bài 4: Cho tam giác ABC, trên AB lấy M và trên AC lấy điểm N sao cho
NA =

1
1
AC, MA = AB. Tính MN biết BC = 36cm; MNCB là hình thang.
3
3

Sau 40 phút làm bài, kết quả thu được từ học sinh qua 2 năm học như sau:
Năm học

Số

Giỏi

học
2011- 2012

sinh
25

2013 - 2014

25

Khá

Trung bình

Yếu

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

1
2

4%

8%

7
6

28%
24%

15
14

60%
56%

2
3

8%
12%

* Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:
- Ở bài 1 và bài 2, ở cả 2 lớp các em đều vận dụng cơng thức để tính
được kết quả đúng.
Tuy nhiên ở bài 2, các em đều làm theo một cách đó là áp dụng cơng thức
để thay số và tính, khơng em nào biết cách dùng tỉ số hai đáy để tính như:
Diện tích tam giác ABD là: 18 x 13 : 2 = 117 ( cm2)
Diện tích tam giác ABD và BDC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều cao
hình thang)
Tỷ số hai đáy AB và DC là: 9 : 18 =

1
2

Vậy tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và BDC là

1
2

Diện tích tam giác BDC là 117 x 2 = 234 (cm2)
Tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và
diện tích tam giác BDC là:

1 : 2 = 0,5
0,5 = 50%
5


- Ở bài tập 4, phần lớn các em tìm ra đáp số nhưng nhiều em lý luận chưa
chặt chẽ. Cũng như ở bài 3 các em chưa biết tìm diện tích phần mở rộng bằng
cách dựa vào tỉ số độ dài hai đáy.
Ta thấy trong thực tiễn dạy toán, khơng phải bài tốn nào cũng ở dạng
tường minh như bài tập 1, 2 chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kết
quả. Đặc biệt là trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh có năng khiếu mơn
Tốn, để đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh, giáo viên phải sưu tầm,
thiết kế những bài toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài toán được
“ngụy trang” bởi những điều kiện chưa tường minh. Bởi vậy sẽ khơng tránh
khỏi những vướng mắc, khó khăn nếu giáo viên khơng có phương pháp giúp học
sinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác.
Trong quá trình nghiên cứu và qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi, tôi thấy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài tốn dạng Tính

diện tích tam giác khi chưa biết độ dài cạnh đáy và chiều cao của nó. Để tính
được diện tích hình này phải dựa vào diện tích và tỉ lệ giữa độ dài đáy và chiều
cao của tam giác khác. Với những kinh nghiệm khiêm tốn, bản thân tôi đưa ra
một số bài tập giúp học sinh khá giỏi vận dụng linh hoạt một số kiến thức đã học
để giải các bài toán dựa vào mối quan hệ các yếu tố trong trong tam giác.
3. Một số giải pháp giúp học sinh vận dụng linh hoạt mối quan hệ của
các yếu tố trong hình tam giác để giải một số bài tốn nâng cao về hình học.
Như chúng ta đã biết, muốn nâng cao một dạng nào đó chúng ta phải củng
cố kiến thức cơ bản thật chắc. Học sinh phải nắm được phương pháp giải, quy
trình giải, cơng thức tính. Để học sinh nắm sâu hơn ta phải dùng hệ thống câu
hỏi để kiểm tra xem thử các em đã nắm chắc chưa hay là chỉ là làm theo công
thức và làm theo bài mẫu chứ chưa hiểu rõ vấn đề cốt lõi của nó. Sau khi học
sinh đã nắm chắc kiến thức thì giáo viên dựa trên nền kiến thức cơ bản đó để mở
rộng và nâng cao theo từng mạch kiến thức để từ kiến thức này phát triển lên
kiến thức kia. Khi đã rút ra được một số kết luận mới giáo viên phải tổng quát
hóa bài toán để học sinh dễ nhớ và hiểu hơn. Từ những bài toán cơ bản, giáo
viên thiết kế, sáng tác thêm những bài tốn có nội dung phong phú hơn, mở rộng
6


và nâng cao dần để các em giải. Đối với những em thật sự giỏi, giáo viên
khuyến khích học sinh tự ra đề rồi giải. Có như vậy mới phát huy hết năng lực
tiềm ẩn ở học sinh, khơi dậy sự tị mị ham thích học tập ở các em.
Trở lại với dạng tốn diện tích hình tam giác ở trên. Để giúp các em vẽ
được, tính được diện tích tam giác trong các trường hợp trên, cũng như giúp học
sinh hiểu sâu và vận dụng làm tốt những bài tốn trong các trường hợp tương tự
tơi đã sử dụng một số biện pháp sau:
- Thơng qua một số hình vẽ hướng dẫn các em xác định đúng các yếu tố
của tam giác (cụ thể là đáy và chiều cao tương ứng với đáy).
- Từ những ví dụ cụ thể giúp học sinh tìm ra mối quan hệ các yếu tố của

tam giác (đáy, chiều cao tương ứng với đáy và diện tích).
Đối với học sinh có năng khiếu, bằng những ví dụ cụ thể giáo viên giúp
học sinh nắm được các kiến thưc nâng cao hơn như sau:
Trong hình tam giác:
- Nếu hai hình tam giác có đáy bằng nhau thì diện tích của chúng tỉ lệ
thuận với chiều cao tương ứng.
- Nếu hai hình tam giác có chiều cao bằng nhau thì diện tích tỉ lệ thuận
với đáy tương ứng.
- Nếu diện tích tam giác khơng thay đổi thì đáy của chúng tỉ lệ nghịch với
chiều cao tương ứng.
- Vận dụng hiểu biết mối quan hệ đó để giải một số bài toán liên quan.
Dạng 1: Hai tam giác có chung chiều cao hoặc chiều cao bằng nhau
Bài tốn 1: Tam giác ABC có đáy BC bằng
30cm và chiều cao tương ứng với đáy là 12cm. Kéo
dài đáy BC thêm một đoạn CD 5cm nữa thì diện tích
sẽ tăng thêm là bao nhiêu?
Bài toán này học sinh khá dễ dàng giải được.
Cách 1: Diện tích tam giác ABC là : (30 x 12) :2 = 180 (cm2)
Khi mở rộng đáy thêm 5cm thì phần mở rộng có dạng là một hình tam
giác và chiều cao phần mở rộng bằng chính chiều cao tam giác ban đầu ( AH).
7


Độ dài đoạn BD là: 30 + 5 = 35 (cm)
Diện tích tam giác ABD là: 35 x 12 : 2 = 210 (cm2)
Diện tích tăng thêm là: 140 – 120 = 30 (cm2)
Đáp số : 30cm2
Cách 2: Chiều cao phần mở rộng chính bằng chiều cao tam giác ban đầu (AH).
Diện tích phần mở rộng là: 5 x 12 : 2 = 30 (cm2)
Đáp số: 30 cm2

Việc quan trọng ở đây là học sinh xác định được hai tam giác ABC và
ACD có chung chiều cao (chiều cao AH).
Từ bài toán trên, GV giúp học sinh hiểu được: Em hãy so sánh tỷ lệ đáy
phần mở rộng và đáy phần tam giác ban đầu ? : (5: 30 =

1
)
6

Tỷ lệ diện tích phần mở rộng so với diện tích hình tam giác ban đầu là thì
như thế nào?
(30 : 180 =

1
)
6

Vậy khi hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì độ dài
đáy và diện tích có quan hệ như thế nào? (cùng tăng hoặc cùng giảm)
Rút ra kết luận 1: Hai tam giác A và B có chiều cao bằng nhau (chung
chiều cao) thì:

Từ bài tốn 1 ta có thể khai thác thêm một số bài toán khác mà thực chất
cũng là bài toán này song hình thức biểu hiện thì lại khác.
Ta có bài tốn 2: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 160m 2. Người ta
mở rộng đáy thêm một đoạn bằng

1
đáy ban đầu thì diện tích tăng thêm là bao
4

nhiêu? Biết rằng sau khi mở rộng thì thửa ruộng vẫn là hình tam giác.

8


Hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn:
- Tỉ số đáy tam giác phần mở rộng và
1
đáy ban đầu là bao nhiêu? ( )
4
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu là bao nhiêu? (
1
). Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích tam giác nên các em dễ dàng
4
giải được.
Giải: Phần mở rộng là một hình tam giác có chiều cao bằng chiều cao tam
giác ban đầu.
Theo bài ra đáy của phần mở rộng bằng

nên diện tích phần mở rộng bằng

1
đáy của thửa ruộng ban đầu
4

1
diện tích của thửa ruộng ban đầu.
4

Diện tích phần mở rộng là: 160 x

1
=40 (m2)
4

Đáp số: 40m2
Vậy: Nếu biết đáy của thửa ruộng ban đầu và tỉ số diện tích của phần mở
rộng với diện tích tam giác ban đầu ta có tính được đáy của phần mở rộng
khơng?
Ta có bài tốn 3: Một thửa ruộng hình tam giác có đáy dài 20m. Người ta mở
rộng đáy thêm một đoạn để có diện tích phần mở rộng bằng 25% diện tích ban
đầu. Tính độ dài đáy phần mở rộng, biết rằng sau khi mở rộng thửa ruộng vẫn là
hình tam giác.
Phân tích bài tốn:
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích thửa
ruộng ban đầu là bao nhiêu? (25%)
- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác
1
ban đầu là bao nhiêu? ( ).
4
9


- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu là bao
1
nhiêu? ( ). Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích, các em sẽ dễ dàng giải
4
được.Từ bài toán 3, hướng dẫn học sinh phân tích: * Nếu biết được độ dài đáy
phần mở rộng và biết tỉ số diện tích tam giác của phần mở rộng và diện tích tam

giác ban đầu ta có thể tính độ dài đáy ban đầu khơng?
Ta có bài tốn 4: Nhà bác Nam có một thửa
ruộng hình tam giác. Nay do làm đường nên bị
xén vào thửa ruộng đó một phần đất hình tam
giác (hình vẽ) có đỉnh là đỉnh của thửa đất, diện tích bị xén vào bằng

1
diện tích
5

ban đầu. Tính độ dài đáy của mảnh đất còn lại, biết rằng mảnh đất bị xén đi có
đáy là 5m. Từ hiểu biết về mối quan hệ giữa độ dài đáy và diện tích, các em sẽ
giải được.Phần bị xén đi và phần đất cịn lại có dạng là một hình tam giác. Ta
xem đáy tam giác đó là 5m thì chiều cao sẽ bằng chiều cao phần đất còn lại
(bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC).
Theo bài ra phần đất bị xén đi bằng

1
1
diện tích ban đầu hay bằng
diện
5
4

tích đất cịn lại.
Do đó đáy của phần đất bị xén đi bằng

1
đáy của phần đất còn lại.
4

Độ dài đáy của phần đất còn lại là: 5 :

1
= 20 (m)
4
Đáp số: 20m

* Từ các bài toán trên ra rút ra tổng quát 1:
- Gọi diện tích hình 1 là S1; độ dài đáy hình 1 là a1
- Gọi diện tích hình 2 là S2; độ dài đáy hình 2 là a2
Khi tam giác 1 và tam giác 2 có chung chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì:
Ta có:

a1 S1
=
a 2 S2

⇒ S1 = S2 x

a1
a2

10


S2 = S1x

a2
a1

⇒ a1 = a 2 x

S1
S2

a 2 = a 1x

S2
S1

Đối với dạng này, khi hai tam giác có chiều cao bằng nhau (chung chiều
cao) thì diện tích và độ dài đáy có quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.
Dạng 2: Hai tam giác có đáy bằng nhau hoặc chung đáy
Bài toán 1: Cho tứ giác MNPQ vng ở P và Q, có
MQ = 6cm, NP = 9cm, PQ = 8cm (xem hình vẽ)
Nối M với p, N với Q
Hãy so sánh diện tích tam giác MQP và NQP
Vận dụng cơng thức tính diện tích tam giác, học
sinh chắc chăn dẽ dàng giải được:
Giải: Diện tích tam giác MQP là: 6 x 8 : 2 = 24 (cm2)
Diện tích tam giác NQP là : 9 x 8 : 2 = 36 (cm2)
Vì 36cm2 > 24cm2 nên diện tích tam giác NQP lớn hơn diện tích tam giác
MQP.
Từ bài tốn trên, hướng dẫn học sinh phân tích:
- Nếu xem PQ là đáy tam giác MPQ thì chiều cao tương ứng là cạnh nào?
(MQ)
- Nếu xem QP là đáy tam giác NPQ thì chiều cao tương ứng là cạnh nào?
(NP)
- Chiều cao NP của tam giác NPQ gấp mấy lần chiều cao MQ của tam giác

MQP? (9:6 =

3
lần)
2

- Diện tích tam giác NPQ gấp mấy lần diện tích tam giác MQP? (36:24 =

3
lần).
2

- Vậy hai tam giác có chung đáy (đáy bằng nhau) thì diện tích và chiều cao có
quan hệ như thế nào? (quan hệ cùng tăng hoặc cùng giảm).
Rút ra kết luận 2: Hai tam giác A và B có chung đáy (đáy bằng nhau) thì:

11


Phân tích bài tốn:
Nếu ta biết tỉ lệ chiều cao của hai tam giác và biết diện tích của một trong
hai tam giác đó ta có thể tính được diện tích của tam giác cịn lại hay khơng?
Ta có bài tốn 2: Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 9cm 2, chiều
cao AH bằng 3cm . Trên AH lấy điểm I sao cho IH =

5
AH. Tính diện tích tam
6

giác BIC.

Phân tích bài tốn :
5
- Tỉ số chiều cao IH so với chiều cao AH bằng bao nhiêu? ( ).
6
- Khi đáy BC của hai tam giác không đổi thì tỷ số diện tích tam giác BIC
5
so với diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu? ( ).
6
Từ đó có thể tính được diện tích tam giác BIC khơng?
Giải: Khi đáy của hai tam giác không đổi.
Nếu chiều cao của tam giác BIC bằng

diện tích tam giác BIC bằng

5
chiều cao của tam giác ABC thì
6

5
diện tích tam giác ABC .
6

Diện tích tam giác BIC là : 9 x

5
= 7,5 (cm2)
6

* Tương tự ta có thể thiết kế ra một số bài tốn, từ đó rút ra cơng thức
tổng qt 2:

- Gọi diện tích hình tam giác 1 là S1, chiều cao tam giác 1 là h1.
- Gọi diện tích hình tam giác 2 là S2, chiều cao tam giác 2 là h2.
Nếu tam giác 1 và tam giác 2 có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì:

* Như vậy qua kết luận 1 và kết luận 2:
12


+ Hai tam giác có chung chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì diện tích và
độ dài đáy là quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.
+ Hai tam giác có đáy bằng nhau (chung đáy) thì diện tích và chiều cao
tương ứng với đáy cũng có quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.
Dạng 3: Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì độ dài đáy và chiều cao
tương ứng:
Bài tốn 1: Cho hình chữ nhật ABCD vó chiều dài AB
= 12cm, chiều rộng BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy điểm
E sao cho EB =
cho CM =

3
AB; trên cạnh BC lấy điểm M sao
4

3
MB. Nối E với M, M với D. So sánh diện
4

tích tam giác EBM và MCD
Phân tích bài tốn: Muốn so sánh diện tích hai tam giác EBM và MCD ta
phải làm gì? (phải biết diện tích từng hình tam giác).

Hai tam giác này có đặc điểm gì? (đều là tam giác vng)
Muốn tính được diện tích tam giác EBM ta phải biết gì? (độ dài đoạn EB
và BM).
Muốn tính được diện tích tam giác MCD ta phải biết gì? (độ dài đoạn MC
và DC).
Giải: Độ dài đoạn EB là: 12 x

3
= 9 (cm)
4

Độ dài đoạn BM là: 7:(3+4)x4 = 4(cm)
Độ dài đoạn MC là: 7 – 4 = 3 (cm)
Diện tích tam giác BME là: 9 x 4 : 2 = 18 (cm2)
Diện tích tam giác MCD là: 3 x 12 : 2 = 18 (cm2)
Vì 18cm2 = 18cm2 nên diện tích tam giác BME bằng diện tích tam giác
MCD.
* Chốt lại kiến thức để học sinh rút ra kết luận:
- Nếu coi EB là đáy tam giác EBM thì chiêu cao tương ứng là cạnh nào ?
(BM)
13


- Nếu coi DC là đáy tam giác DMC thì chiêu cao tương ứng là cạnh nào (MC).
3
- Tỉ số chiều cao BM và MC là bao nhiêu? ( )
4
3
- Tỉ số đáy EB và DC là bao nhiêu ? ( )
4

- Vậy khi hai tam giác có diện tích bằng nhau thì độ dài đáy và chiều cao
tương ứng với đáy có quan hệ như thế nào? (chiều cao tăng bao nhiêu lần thì độ
dài đáy giảm đi bấy nhiêu lần và ngược lại chiều cao giảm đi bao nhiêu lần thì
đáy tăng bấy nhiêu lần).
Qua bài tốn trên rút ra kết luận 3:

Thì diện tích tam giác A bằng diện tích tam giác B
Từ bài tốn trên giáo viên thiết kế thêm một số bài khác, từ đó rút ra công
thức tổng quát 3:
- Gọi đáy tam giác 1 là a1; chiều cao tương ứng đáy là h1
- Gọi đáy tam giác 2 là a2; chiều cao tương ứng đáy là h2
Nếu

a1 h 2
=
thì S1 = S2
a 2 h1

⇒ a1 = a 2 x

h2
;
h1

h1 = h 2 x

a2
;
a1

a 2 = a1x

h1
;
h2

h 2 = h1x

a1
a2

Sau khi học sinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam
giác thì giáo viên ra một số bài tập theo từng dạng để nâng cao dần kiến thức
cho học sinh, hệ thống bài tập đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Sau
đây là một số ví dụ:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy M sao cho BM =

1
BC ; nối A với
4

1
M trên AM lấy N sao cho NM = AM . Nối B với N. Tính diện tích hình tam
3
giác ABC biết diện tích hình tam giác BMN là 6cm2.
- Để giải được bài tốn thì u cầu các em vẽ hình.
14


Từ hình vẽ giáo viên hướng dẫn các em khai thác dần

- Để tính được diện tích tam giác ABC ta phải dựa vào đâu? (dựa vào quan
hệ tỉ lệ diện tích tam giác AMB và ABC)
- Hai tam giác này có quan hệ như thế nào?
(chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM =

1
BC
4

1
nên SABM = SABC )
4
- Diện tích tam giác ABM đã biết chưa? (Chưa)
- Dựa vào đâu để tính được diện tích tam giác ABM? (quan hệ giữa tam
giác BMN và ABM).
- Tam giác BMN và ABM có quan hệ như thế nào? (có chung chiều cao
hạ từ đỉnh B, đáy MN =

1
1
AM nên SBMN = SABM ).
3
3

Từ hướng suy nghĩ trên học sinh sẽ giải được:
Giải: Tam giác BMN và ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B đáy MN=
1
1
AM nên diện tích tam giác BMN = diện tích tam giác ABM.
3

3
Diện tích tam giác ABM là: 6 x 3 = 18 (cm2)
Tam giác ABM và ABC có đáy BM =

đỉnh A nên diện tích tam giác ABM =

1
BC , có chung chiều cao hạ từ
4

1
diện tích tam giác ABC.
4

Diện tích tam giác ABC là : 18 x 4 = 72 (cm2)
Đáp số: 72 cm2
* Ở bài tốn trên có em phát hiện ra cách giải khác.
Nối N với C, sau đó dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa các tam giác rồi tính.
Cách 2: Nối N với C

15


SBMN =

1
1
1
SMNC vì có đáy BM = MC (do BM = BC , có chung chiều cao
4

3
3

hạ từ đỉnh N)
Diện tích tam giác MNC là: 6 x 3 = 18 (cm2)
SMNC =

1
1
SAMC (đáy MN = AM, chung chiều
3
3

cao hạ từ đỉnh C)
Diện tích tam giác AMC là: 18 x 3 = 54
1
1
SMNC vì có đáy BM = MC (do BM
3
3

(cm2)SBMN =

=

1
BC), có chung chiều cao hạ từ đỉnh N.
4
Diện tích tam giác MNC là: 6 x 3 = 18 (cm2)
SMNC =

1
1
SAMC (đáy MN = AM; chung chiều cao hạ từ đỉnh C)
3
3

Diện tích tam giác AMC là : 18 x 3 = 54 (cm2)
SBMN =

1
1
SABM (đáy MN = AM, chung chiều cao hạ từ đỉnh B).
3
3

Diện tích tam giác ABM là: 6 x 3 = 18 (cm2)
Diện tích tam giác ABC là : 54 + 18 = 72 (cm2)
Đáp số: 72cm2
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 780cm 2. Trên cạnh AB lấy điểm E sao
cho EB =

1
1
AB. Trên cạnh AC lấy điển D sao cho AD = AC. Nối BD và CE
4
4

cắt nhau tại I.Tính diện tích tam giác BEI .

16


Phân tích: Tam giác BEI có cạnh
BI chung với cạnh của tam giác nào?
(BIC)
Dựa vào mối quan hệ giữa các yếu
tố trong tam giác học sinh sẽ giải được:
- Từ kết quả bài 2 ta có:
Diện tích tam giác BDC gấp diện
tích tam giác EBD số lần là:
58: 48,75 = 12 (lần).
Tam giác BDC và EBD có chung đáy BD mà diện tích tam giác BDC gấp
12 lần diện tích tam giác EBD nên chiều cao CH gấp 12 lần EK.
- Xét tam giác EBI và BIC có chung đáy BI và chiều cao CH gấp 12 lần
EK nên diện tích tam giác BIC gấp 12 lần diện tích EBI hay
SEBI =

1
1
SBIC = SBEC
12
13

Mà SBEC =

1
1
SABC (vì EB = AB; chung chiều cao hạ từ đỉnh C)
4

4

Diện tích tam giác BEC là: 780 x
Diện tích tam giác EBI là: 195 x

1
= 195 (cm2)
4
1
=15 (cm2)
13

Đáp số: 15cm2
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại E. Biết diện tích tam
giác EAB, ECD, ECB lần lượt là 15cm2, 10cm2 và 5cm2. Tính diện tích hình tam
giác EAD.
Hướng dẫn học sinh phân tích:
- Muốn tính diện tích tam giác AED ta dựa vào đâu? (ta xem tam giác đó
có chung cạnh với tam giác nào? sau đó ta xem cạnh đó là đáy, xét tỉ số chiều
cao của hai tam giác đó).

17


- Dựa vào đâu để tính tỉ số chiều cao? (dựa vào
diện tích của tam giác có chung chiều cao với
các chiều cao đó).
- Em hãy cho biết tam giác ADE có chung cạnh
với tam giác nào? (chung cạnh AE với tam giác
AEB; chung cạnh DE vứi tam giác DEC).

Từ những hướng suy nghĩ đó các em sẽ giải được
Cách 1: Tam giác BEC và DEC có chung đáy EC và tỉ số diện tích của
tam giác BEC và DEC là: 5 : 10 =

1
1
. Do đó chiều cao BH = DK
2
2

Tam giác AED và AEB có chung đáy AE và chiều
cao BH =

1
DK
2

1
Nên diện tích tam giác ABE = diện tích tam giác
2
AED
Diện tích tam giác AED là: 15 x 2 = 30 (cm2)
Đáp số: 30cm2
Cách 2: Tam giác EDA và EDC có chung
cạnh DE, AK là chiều cao của tam giác ADE và
cũng là chiều cao của tam giác ABE, CH là chiều
cao của tam giác EBC và cũng là chiều cao của
tam giác ECD.
Tam giác EBC và ABE có chung đáy EB nên
tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao.

Tỉ số diện tích của tam giác EBC và ABE là:
5 : 15 =

1
3

18


Do đó chiều cao CH =

chiều cao CH =

1
AKTam giác ECD và EAD có chung đáy ED và
3

1
1
AK nên diện tích tam giác ECD = diện tích tam giác EAD.
3
3

Diện tích tam giác AED là: 10 x 3 = 30 (cm2)
Đáp số: 30cm2
* Đối với bài tốn u cầu tính diện tích một tam giác nào đó (ta chưa biết
cụ thể số đo độ dài đáy và chiều cao tương ứng với nó) thì phải xét mối quan hệ
giữa tam giác đó với một số tam giác khác (theo tỉ lệ độ dài đáy và chiều cao).
Ngồi ra, ta cịn có thể vận dụng mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác để giải các bài toán về mở rộng hay thu hẹp diện tích tam giác, tứ giác.

4. Kết quả đạt được
Cuối năm học 2011- 2012, tôi đã khảo sát lại lớp đối chứng để làm cơ sở
nghiên cứu đề tài. Và cuối năm học 2012 - 2013, sau khi áp dụng đề tài này cho
lớp thực nghiệm, tôi cũng cho các em làm bài kiểm tra với một số bài tập như
sau:
Bài 1:. Một hình tam giác có diện tích 120cm². Nếu kéo dài đáy thêm
3cm thì diện tích sẽ tăng thêm 30cm². Tính cạnh đáy hình tam giác.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các canh
BC và CA, các đoạn AM và BN cất nhau tại G. Nối CG kéo dài cắt AB tại P.
Chứng minh:
a/ AP = PB
b/ Sáu tam giác AGP; PGB; BGM; MGC; CGN và MGA có diện tích bằng
nhau.
Bài 2: Cho diện tích tam giác ABC có diện tích bằng 780cm 2 . Trên cạnh
1
1
AB lấy điểm E sao cho BE= AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD =
4
4
AC. Nối BD và CE cắt nhau tại I. Tính diện tích tam giác CBD và EBD.
19


Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho
1
1
BD = DC. Nối A với D. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho DM = AD.
2
3

Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác BMD = 4cm2.
Sau 40 phút làm bài, kết quả thu được từ học sinh qua 2 năm học như sau:
Năm học

Số học sinh

Giỏi
SL

2011 - 2012
2013 - 2014

Lớp đối
chứng
Lớp thực
nghiệm

TL

Trung bình

Yếu

12

48%

SL

TL

SL

TL

SL

TL

6

25
25

Khá

24%

17

68%

2

8%

11

44%

2

8%

0

0%

Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:
Ở lớp đối chứng, khảo sát cuối năm học 2011- 2012, chỉ có 6 em đạt điểm
khá, các em tính được kết quả nhưng lập luận không chặt chẽ, chưa biết kẻ thêm
các đường phụ để tìm ra mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải
các bài tốn. Những em đạt mức trung bình và mức yếu chỉ làm được bài 1
tương đối hoàn chỉnh. Các em biết tính chiều cao của tam giác phần diện tích
tăng thêm và đó cũng chính là diện tích của hình tam giác ban đầu. từ đó các em
tính được đáy được đáy của giác ban đầu. Bài 2, 3, 4 các em chua biết kẻ thêm
các đường phụ để tìm ra mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải.
Cịn ở lớp thực nghiệm, đa số các em đã biết cách vẽ đường phụ, biết vận
dụng mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải các bài toán một
cách chặt chẽ, hợp lý
Sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh năng khiếu tốn, áp dụng một số kinh
nghiệm trên, tơi nhận thấy chất lượng của học sinh được nâng cao rõ rệt. Gặp
những bài toán tương đối phức tạp, các em đã biết áp dụng những kết luận về
mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác để giải. Bài làm của các em lý luận
chặt chẽ, chính xác. Từ một bài tốn cụ thể, các em có những hướng suy nghĩ
khác nhau. Từ những hướng suy nghĩ đó các em tìm ra được nhiều cách giải cho
20


một bài tốn. Đặc biệt, trong những tiết học có các bài tốn liên quan đến diện

tích tam giác các em học rất hào hứng. Đó là động lực thúc đẩy tơi trong q
trình dạy học.
Như vậy, sau nhiều năm bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán, áp dụng
một số kinh nghiệm trên, tôi nhận thấy chất lượng của học sinh được nâng cao
rõ rệt. Gặp những bài toán tương đối phức tạp, các em đã biết áp dụng những kết
luận về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác để giải. Bài làm của các em
lý luận chặt chẽ, chính xác. Từ một bài tốn cụ thể, các em có những hướng suy
nghĩ khác nhau. Từ những hướng suy nghĩ đó các em tìm ra được nhiều cách
giải cho một bài toán. Đặc biệt, trong những tiết học có các bài tốn liên quan
đến diện tích tam giác các em học rất hào hứng. Đó là động lực thúc đẩy tơi
trong q trình dạy học.
III. KẾT LUẬN
Qua các bài toán cụ thể đã nêu trên, bản thân tôi đã hướng dẫn học sinh
nắn được các kiến thức cơ bản về mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam
giác. Các em đã vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đố để giải được rất
nhiều bài tốn nâng cao về hình học có liên quan dến diện tích hình tam giác.
Đây là một dạng tốn khá phổ biến và khó đối với học sinh lớp 5. Khó có thể kể
hết được các bài tốn vận dụng mối quan hệ các yếu tố trong hình học để giải và
càng khó có thể đưa ra được phương pháp giải tổng quát cho dạng toán này.
Song qua các bài tốn trên, tơi đã đưa ra một số kinh nghiệm nhỏ giúp học sinh
giải được dạng toán này như sau:
1. Giúp học sinh nắm kiến thức cơ bản về hình tam giác một cách vững
chắc.
2. Cách phổ biến nhất là tìm ra được mối quan hệ của các yếu tố trong các
hình tam giác có liên quan (Hai tam giác có chung đáy, chung chiều cao hay
chung diện tích...) để đặt tỷ số tương ứng; tỷ số 2 đáy, tỷ số chiều cao hay tỷ số
diện tích.v.v...)
3. Đối với bài tốn u cầu tính diện tích một tam giác nào đó (ta chưa
biết cụ thể số đo độ dài đáy và chiều cao tương ứng với nó) thì phải xét mối
21

quan hệ giữa tam giác đó với một số tam giác khác (theo tỉ lệ độ dài đáy và
chiều cao).
4. Tránh lối dạy áp đặt một chiều, phải đi từ những ví dụ cụ thể, giáo viên
dùng hệ thống câu hỏi bổ sung (ít hay nhiều tùy thuộc trình độ nhận thức của
học sinh) để hướng dẫn các em rút ra những kết luận mới. Từ những kết luận
mới giáo viên phải biết tổng qt hóa bài tốn để giúp học sinh dễ nhớ.
5. Phải chú ý khai thác và phát triển các đề toán khác nhau trên cơ sở một
bài tốn cơ bản đã có, tạo cơ hội phát triển tư duy ở các em. Khi thiết kế bài toán
nên liên hệ gần gũi với cuộc sống, phải thường xuyên đổi mới nội dung cho phù
hợp với những vấn đề của thời đại.
6. Phải kiên trì khơng nóng vội, khi học sinh chưa hiểu hoặc nắm chưa
vững kiến thức giáo viên cần phải có hệ thống câu hỏi gợi mở nhằm giúp các em
nắm trắc kiến thức, tránh làm thay cho học sinh.
7. Đặc biệt giáo viên nên khuyến khích học sinh nên tự ra đề rồi tự giải,
có như vậy các em mới nhớ lâu, khắc sâu được kiến thức.
Với cách làm ấy tôi thấy chất lượng học tập của học sinh ngày càng được
nâng lên, hạn chế tình trạng học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động. Số lượng
học sinh u thích mơn học ngày càng tăng.
Với ý tưởng nâng cao chất lượng học sinh giỏi, đồng thời mở rộng cách
nhìn bài tốn về diện tích hình tam giác; bằng kinh nghiệm ít ỏi của mình, tơi đã
cố gắng trình bày một số bài tốn điển hình và phương pháp giải chúng. Hy
vọng nhận được ở đồng nghiệp và những người quan tâm những ý kiến bổ ích
để những vấn đề nêu trên ngày càng thiết thực hơn.
VI. KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT
1. Hàng năm có rất nhiều sáng kiến kinh nghiệm đạt bậc 3, bậc 4 cấp tỉnh,
phòng nên tổ chức các chuyên đề phổ biến các kinh nghiệm đạt bậc cao cho các
đơn vị để các đơn vị học tập và áp dụng vào dạy học.
2. Nên tổ chức nhiều chuyên đề bồi dưỡng kiến thức về dạng tốn tính

vận tốc và dạng tốn có liên quan đến hình học cho giáo viên vì các dạng toán

22


này thường là các bài tốn khó nên nhiều giáo viên khơng dạy lớp 4, 5 khơng thể
tìm ra cách giải, chưa nói đến là bồi dưỡng học sinh giỏi.
* Với những năng lực cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi những sai sót
khiếm khuyết. Vậy tơi rất thành tâm mong bạn đọc góp ý xây dựng để phần nào
giúp học sinh có phương pháp giải tốn tốt nhất.
Ngày 28 tháng 3 năm 2014

23