Các PHƯƠNG PHÁP cơ bản GIẢI hàm số

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN LIÊN
Dạng 4: Tìm m để hàm số bậc 4 có cực đại ,
QUAN
ĐẾN
KHẢO
SÁT
HÀM
SỐ
/>cực tiểu (có 3 cực trị)
Dạng
1: Tìm m để hàm số tăng (giảm)
/> /> /> /> />Dạng 5 Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x
/> /> /> /> />Dạng 6: Hàm số đạt cực trò bằng y tại x
/>Dạng 2: Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò
/> /> />Dạng 3: Tìm
m để hàm số bậc 3 có cực đại ,
/>Dạng 7 Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]
cực tiểu
/>

/>

/> /> />1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng
xác đònh): y/  0 x  R
a  0
Giải tìm m




0


 Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì
phải xét khi a = 0
 Tương tự cho hàm số giảm:
a  0
y/  0 x R  
  0
ax  b
2.Hàm số nhất biến : y 
cx  d
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác
đònh : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét
thêm c = 0

 y  ax 4  bx 2  c
 Tập xác đònh R
 Đạo hàm y  4ax3  2bx

x  0
 y/ = 0  4ax3  2bx  0 (1)  
2
 4ax  2b  0 (2)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y/ = 0 có ba nghiệm
phân biệt  pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
 Giải tìm m
0

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Hàm số đạt cực trò tại x0 :
y/(x0) = 0 giải ra tìm m
Thử lại
Chú ý:
Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0

0

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0
 Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0

 Tập xác đònh R
 Đạo hàm y/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai
a  0
nghiệm phân biệt


  0

0

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/ = f/ (x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0 khi
 f / ( x0 )  0

 f ( x0 )  y 0
 f // ( x )  0
0


 Tìm xi [a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác đònh
 Tính f(a), f(xi) , f(b)
 Kết luận max y  max f (a); f ( xi ); f (b)
D

min y  min f (a); f ( xi ); f (b)
D

 Giải tìm m

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>Dạng 8: Tiếp tuyến của đường cong ( C)
/> />ĐẠO HÀM
 
/> 
 
/> 
 
/>Dạng />9; Dùng đồ thò (C) biện luận số
nghiệm phương trình f (x g(m) = 0
 
/> 
 
/> 
/> 
 
/>Dạng 10; Biện luận số giao điểm của ( C)
 
 
và d
/> 
 
/>



 
 
/> 
 

/> 
 
/> 
 
 
/> 
/> /> /> /> />1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA):
 (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
 f ( x)  g ( x)
 Điều kiện tiếp xúc:  /
/
 f ( x)  g ( x)
3.Tiếp tuyến sg sg (d) y  ax  b thì f  x0  a

4.Ttuyến vuông góc (d): y  ax  b thì f  x0  

1
a

 A0

   ( 2)  0
g ( x )  0
 0

1.

u  v  u/  v/

2.

u.v  u / .v  u.v /

3.

C.v  C.v /

4.

u / .v  v / .u
u
  
v2
v

/

/

/

/

(v  0)

 C.v /
C 
  
v2

v
0
/

5.

)–

 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
 Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
 Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương
trình. (2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì
phương trình có bấy nhiêu nhiệm)

/

6. C

7. x  1
/

8. x 

/

/

/

1



  ..x  1 .u /

/

 v/
1
   2
v
v
/
u/
u 
2. u

1
1
9.   2
x
 x

10. x

 (d): y = k(x – xA) + yA = g(x)
 Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
 Nếu (*) là phương trình bậc 2:
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)

2) Xét a  0 : + Lập  = b2 – 4ac
+ Xét dấu  và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
a  0

  0
 Nếu (*) là phương trình bậc 3:
1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0
x  x0

 Ax 2  Bx  C  0  g ( x) (2)

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
3) Tính  của (2), xét dấu  và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi
phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0)

u

  ..x  1

/

2. x

11. a x

/

 a x . ln a

au

/

 a u . ln a.u /

12. e x

/

 ex

eu

/

 e u .u /

13. log a x 
/

1
x. ln a

loga u 
/

u/
u. ln a

14. ln x 

1
x
/
15. sin x  cos x

u/
u
/
sin u  u / . cos u

16. cos x   sin x
1
/
17. tan x 
cos2 x
1
/
18. cot x 
sin 2 x

cos u  u / . sin u

ln u 
/

/

/

/

u/
cos2 u
 u/
/
cot u 
sin 2 u
tan u 
/

19.

y

ax  b
cx  d

20.

y

a1 x 2  b1 x  c1
a2 x 2  b2 x  c2

ta có y / 

ad  bc

(cx  d ) 2

ta có

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />y/ 

a1
a2

b1 2
a
x 2 1
b2
a2

c1
b
x 1
c2
b2

a 2 x 2  b2 x  c 2

c1
c2

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />a  a.a...a
 (a.b)  a .b
a
a
 a />1
  
b
b
1
 a />
 (a )  (a )  a
a
 a /> a .a
 a  a
a
 a />
 a  a
a

/> /> />

/> /> log N  M  a  N  log 1  0
/> log a  1
( a, N  0 , a  1 )
 log a />N
 a
N
/> /> /> /> />

/>

/>TÍCH PHÂN
/> />
LŨY THỪA
n

n

( n thừa số)

n

n

0  a 1


loga f ( x)  loga g ( x)   f ( x)  0 ( g(x)  0 )


f(x)  g(x)


n

n

0

n

n

m n

n m

m. n

n

mn

m

m
n

n

m

mn

1
n

n

m

SỐ PHỨC

n

n

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a 1

 0  a 1
 a g ( x)  

 f ( x)  g ( x)  D f ( x )  D g ( x )

a f ( x)

a0

a f ( x)  a g ( x)  

(a  1). f ( x)  g ( x)  0
 a 1
th ì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
 0  a  1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

LOGARIT
M

a

a

a

N

loga N

a

 loga N1 .N 2  loga N1  loga N 2
 loga

N1
 loga N1  loga N 2
N2

 loga N 

logb N

logb a

 loga N 

1
log N a

 loga k N 

1
loga N
k

 a 1


0  a 1

f ( x)  0
loga f ( x)  loga g ( x)  
g(x)  0

(a - 1)[f(x) - g(x)]  0

 logb a. loga N  logb N

 loga N k  k . loga N

thì loga f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0

a  c
a  b.i  c  d .i  
b  d
c  d .i (c  d .i )(a  b.i )

*
a  b.i (a  b.i )(a  b.i )

* i 2  1
1
z
*
 2
z z

* z  a  b.i  a 2  b 2

* z  a  b.i  z  a  b.i

* z  z  a2  b2

* z1  z 2  z1  z 2
* z1  z 2  z1  z 2

z  z
* z1 .z 2  z1 .z 2 ;  1   1
 z2  z2
1.   a  b.i .Gọi  là căn bậc 2 của  , ta có:

 a  a2  b2

 a  a2  b2
 i.
b ≥ 0 :   
2
2

 a  a2  b2
 a  a2  b2
 i.
b < 0 :   
2
2


r  a 2  b 2

a
2. z  r (cos  i. sin  )
 cos 
r

b
 sin  

r
3. z1 .z 2  r1r2 [cos(1   2 )  i. sin(1   2 )]
z
r
4. 1  1 [cos(1   2 )  i. sin(1   2 )]
z 2 r2

1 1
 [cos( )  i. sin( )]
5.
z r
n
6. r (cos  i. sin )  r n (cosn  i. sin n )










(cos  i. sin )  (cosn  i. sin n )
n

 0  a  1 thì loga f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>




/>

.
/>


/>

/>


/>

/>


 />
 />
 />

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
/>
 />
 />
/> />DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH
/> />




/>


/>
/>TÍCH
PHÂN TỪNG PHẦN
/> />
1) dx  x  C

kdx  kx  C

b

b b /
u.v dx  u.v  u vdx
a a
a
/

x  1
1 (ax  b)  1
 C (ax  b)  dx 
C
 1
a  1
1
dx
1
3) dx  ln x  C

 ln ax  b  C
x
ax  b a
1
1
dx
1 1
4) 2 dx 
C

C
2
x
a (ax  b)
x
(ax  b)
2) x  dx 

5) e x dx  e x  C
6) a x dx 

ax
C
ln a

7) sin xdx   cos x
8) cos xdx  sin x

1
e ( ax b ) dx  e ( ax b )  C

a
1 a ( cx  d )
a ( cx  d ) dx 
C
c ln a
1
sin(ax  b)dx  cos(ax  b)
a
1
cos(ax  b)dx  sin(ax  b)
a
dx
1
 tan( ax  b)
2
cos (ax  b) a

1. f (e u ( x ) ).u / ( x)dx
2.

3.

1
f (ln x). dx
x
n
f ( ax  b ).dx

Đặt

t  u (x)

Đặt

t  ln(x )

Đặt

t  n ax  b

Đặt:

6.
7.
8.

Đặt

x  a sin t

f ( a 2  x 2 ).dx

Đặt

x  a tan t

Đặt:

1
x

Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản
hơn còn v/ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích
phân mà nguyên hàm của phần này đã biết

 (C1 ) và (C 2 )
( H )
 x  a, x  b (a  b)

 (C1 ) và (C 2 )
( H )
 y  c, y  d (c  d )
d

y C1  y C 2 dx

S  x C1  xC 2 dy

a

c

b

Đặt

t  x x a

).dx

u  ln x ta có u / 

b

1

x2  a2

1
cos(ax  b)
a

P( x).ln u ( x)dx .

S

Đặt

f(

v /  sin(ax  b) chon v 

v /  P( x) chon v  P( x)dx

f ( x  a ).dx
2

1
sin(ax  b)
a

u  P( x) ta có u /  P / ( x)

Đặt:

a
x
cos t

2

v /  cos(ax  b) chon v 

P( x).sin(ax  b)dx .

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
1  cos 2 x
1  cos 2 x
, sin 2 x 
thức hạ bậc: cos2 x 
2
2
x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t  tan
2

f ( a 2  x 2 ).dx

Đặt

u  P( x) ta có u /  P / ( x)

4. f (sin x, cos x)dx

5.

u  P( x) ta có u /  P / ( x)
1
v /  e ax b chon v  e ax b
a

P( x).cos(ax  b)dx .

dx
 tan x
cos2 x
dx
dx
1
10)
  cot x
 cot(ax  b)
2
2
sin x
sin (ax  b) a
9)

P( x).e ax b dx

VOx   y C2 1  y C2 2 dx
a

2

d

VOy   xC2 1  xC2 2 dy
c

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> />CÁC DẠNG TỐN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
/>
 
 

/>




/> /> /> /> /> /> /> 
 
 
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

hoctoancapba.com

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )
2. AB  AB 

xB  x A

2



 yB  y A

2

 zB  z A



2

3. a  b  a1  b1 , a 2  b2 , a3  b3

4. k.a  ka1 , ka2 , ka3

5. a  a12  a 22  a32







A,B,C là ba đỉnh tam giác  [ AB, AC ] ≠ 0

1 
SABC =
[AB, AC]
2



Đường cao AH =



Shbh = [AB, AC]



2.S ABC
BC



Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng

 a1  b1

6. a  b  a 2  b2
a  b
3
 3



ABCD là hbh 

AB  DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3

8. a // b  a  k .b  a  b  0 



a1 a 2 a3


b1 b2 b3



 a a3 a3 a1 a1 a 2 

10. a  b   2
,
,

b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2


11. a, b, c đồng phẳng  a  b .c  0

16. Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1
1

a12  a 22  a32
19. S ABC  AB  AC 
2
2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ).AD
6

21. V ABCD. A/ B / C / D /  ( AB  AD).AA /





Đường cao AH của tứ diện ABCD
1
V  S BCD . AH  AH  3V
3
S BCD

9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  0

12. a, b, c khơng đồng phẳng  a  b .c  0
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
 x kxB y A kyB z A kzB 
M A
,
,

1 k

1 k 
 1 k
14. M là trung điểm AB
 x  xB y A  y B z A  z B 
M A
,
,

2
2 
 2
15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x  x B  xC y A  y B  y C z A  z B  z C 
G A
,
,
,
3
3
3





[ AB, AC ]. AD ≠ 0


1 
Vtd =

[AB, AC] . AD
6



Thể tích hình hộp :

V ABCD. A/ B / C / D /  AB; AD . AA /

Dạng4: Hình chiếu của điểm M

1. H là hình chiếu của M trên mp

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

Viết phương trình mp qua M và vuông góc
với (d): ta có n  a d


Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp

Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)


H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM/

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>MẶT PHẲNG
/>CÁC DẠNG TOÁN
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 
/> /> />
/> /> /> />
/> /> />
1. Vectơ pháp tuyến của mp :
 

n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của   n  
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp :
 
 
a // b là cặp vtcp của   a , b cùng // 
  
 


3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :


qua A ( hay B hay C )

°



° Cặp vtcp: AB , AC

 

vtpt n  [ AB , AC ]

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
° 

qua M trung điể m AB


vtpt n  AB

Dạng 3: Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0


() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;

C(0,0,c) :

x y z
  1
a b c

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:

1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến

6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

7. Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d trong đó
(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :

m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

8. Vò trí tương đối của hai mp (1) và (2) :

°  cắt   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2

A
B
C
D
°  //   1  1  1  1
A2 B2 C2
D2
A
B
C
D
°    1  1  1  1
A2 B2 C2
D2

ª

    A1 A2  B1 B2  C1C2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
d(M, ) 

Ax o  By o  Cz o  D
A 2  B2  C2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

 
n1 . n 2
cos( ,  )   
n1 . n 2

qua M

° 

 
Vì   (d) nên vtpt n  a ....(AB)
d

Dạng 4: Mp qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0

° 

qua M


Vì  //  nê n vtpt n




n



Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
a d  a
 Mp chứa (d) nên

Mp song song (d/) nên a d /  b

Vtpt n  a d , a d /

■

Dạng 6 Mp qua M,N và   :
■

Mp qua M,N nên MN  a

■

Mp  mp nên

n  b

qua M (hay N)

°

 

vtpt n  [ MN , n ]



Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua
■

Mp chứa d nên a d  a

■

Mp đi qua M  (d ) và A nên AM  b
qua A

°


(Cách 2: sử dụng chùm mp)

vtpt n  [ a , AM]
d

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
/>TĨM TẮT LÝ THUYẾT
CÁC DẠNG TOÁN
/> /> /> /> /> /> /> 
   
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua


M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
(hayB)
quaA
(d )
ad  AB
 Vtcp

x  x o  a 1t

(d) : y  y o  a 2 t ; t  R
z  z  a t
o
3


Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ()
qua A

2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x  xo
a



y  yo

1

a2



z-z

0

a3

(d )

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

qua A

(d )

A x  B1 y  C1z  D1  0
(d) :  1
A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0

 B1
Véctơ chỉ phương a  
 B2

C1 C1

,
C2 C2

A1 A1
,
A2 A2

B1
B2








(d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /


 d chéo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng)


 d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ]. MN = 0







/
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / và M  ( d ) }

 d,d’ trùng nhau  { a d // a d / và M  ( d / ) }


Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /

Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) 

Kc giữa 2 đường thẳng :


n
d


d (d ; d / ) 

 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

quaM  (d )

(  )  (d )  a  a
d


 
     n  b
  n   [a d ; n ]



ª (d

/

( )
)
(  )

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d1),(d2)

(d )

qua A


vtcp a  [ a

d1


,a

d2

]

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :



+ Tìm a d = [ a d1, a d2]

+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)

[a d ; AM ]



d=

ad

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d =   

[a d ; a d / ].MN

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = 1  2
với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

[a d ; a d / ]




Vì (d)  ( ) nê n vtcp a



 d,d’ cắt nhau  [ a d , a d / ]  0 và [ a d , a d / ]. MN =0

5.Khoảng cách :



Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên  : d/ =   

4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :



d


a

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp

3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 1 và 2




Vì (d) // () nê n vtcp a



6.Góc : (d) có vtcp a d ; ’ có vtcp a d / ; ( ) có vtpt n


a d .a d /
Góc giữa 2 đường thẳng : cos(d,d' ) 

ad . ad /
 
ad . n
Góc giữa đường và mặt : sin(d, )  

ad . n

Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB

với mp qua A,  d1 ; B = d2  

Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =   
với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/>MẶT CẦU
/>TĨM TẮT LÝ THUYẾT
CÁC DẠNG TOÁN
/> /> /> />     
/> /> /> /> /> />     

/> /> /> /> /> />     
/>
/> /> />
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R
S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R
2

2

2

2

(1)

S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

( với a  b  c  d  0 )
2



2

2

2
2
2
Tâm I(a ; b ; c) và R  a  b  c  d

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S) : x  a 2  y  b 2  z  c 2  R2
và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mp :
 d > R : (S)   = 
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, :
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp)

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt
(S) : x  a 2  y  b 2  z  c 2  R2

 : Ax  By  Cz  D  0

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r  R2  d2 ( I ,  )

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

x  x o  a1t

d : y  y o  a 2 t (1) và
z  z o  a 3 t

2

2

2

(S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª

S(I,R) : x  a  y  b  z  c  R 2 (1)
2

2

2

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp
Pt mặ t cầ u tâ m I

(S )

R  d(I, ) 

A.x  B. y  C . z  D
I
I
I
A2  B 2  C 2

Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ()

(S )

tâ m I

R  d(I, )

Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0

A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A




Tiếp diện  của mc(S) tại A :  qua A, vtpt n  IA
Dạng 8: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) và  
+ Viết pt mp vuông góc  : n  a   ( A, B, C )

+ Mp : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I ,  ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :

 
n  [ a ,b ]



pt : Ax  By  Cz  D  0
từ d(I,  )  R  D

Dạng 10: Mp chứa  và tiếp xúc mc(S) :
thuộ c chù m mp chứ a 
R  d(I, )  m, n

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cảm ơn q giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3