Chuyên đề tỉ số thể tích

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/>Chương 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
/>BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỈ SỐ THỂ TÍCH
/>(
)
( )
/>(
)
/> /> />(
)
/>(
)
/>(
) (
)
/>(
) (
)
/>(
) (
)
/> /> /> /> /> /> />(
) ( )
(
) (
)
/>( ) (
)

/> /> />Câu 1. [THPT Chuyên Hà Tĩnh 2017 – Lần 2]

Cho lăng trụ đứng ABC . A′ B ′C ′ có AB = a, BC = a 3, AC = 2a và góc CB ′, ABC  = 600 . Mặt phẳng P


đi qua trọng tâm tứ diện CA′ B ′C ′ và song song với mặt ABC , lần lượt cắt các cạnh AA′, BB ′,CC ′ tại
E , F ,Q . Tỉ số giữa thể tích khối tứ diện C ′EFQ và khối lăng trụ đã cho gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 0, 08 .

B. 0, 05 .

C. 0, 04 .

D. 0, 09 .

Chọn A.
Cách 1: Xác định thiết diện chính xác.
Gọi M , N , R,T ,G lần lượt là trung điểm của CA′,C ′B ′, A′ B ′, A′ C ′, MN .

Khi đó G là trọng tâm tứ diện CA′ B ′C ′ .

Trong cùng mặt phẳng MNR chứa G , gọi H là trung điểm của MR .

Suy ra GH // NR // A′ C ′ (1).
K la trung diem

→ GK NT A′ B ′
trong MNT 
T/tự: 

⇒ GHK
A′ B ′C ′ .
Ke HK ⇒ HK RT C ′B ′


giao tuyen
K ∈ GHK ∩ ACC ′A′ 
→ đi qua K cắt AA′,CC ′ tại E ,Q .

song song
GH A′ C ′

E ∈ GHK ∩ ABB ′A′
giao tuyen

đi qua E cắt BB ′ tại F .
→

song song
HK A′ B ′

1
S EFQ .C ′Q
VC ′EFQ
1 C ′Q
3
=
= .
(Do S A′ B ′C ′ = S EFQ ).
Vlang tru

S A′B ′C ′ .CC ′
3 CC ′

Mặt khác C ′Q = KT =
VC ′EFQ

Vlang tru

=

Vlang tru

B

M

K

Q

E

G

H

T

C'

C'

F

N

R

B'

1
1
MT = CC ′ ( MT là đường trung bình ∆CC ′A ).
2
4

1 C ′Q
1 1
1
.
= . =
= 0, 083 ∼ 0, 08 .
3 CC ′
3 4 12

Cách 2: Không biết chính xác thiết diện, dùng Talet không gian.
Dựng tùy ý thiết diện sao cho QF B ′C ′, FE A′ B ′, QE A′ C ′ .
VC ′EFQ

A

C

A

C

1
S EFQ .C ′Q
1 C ′Q
3
=
= .
(Do S A′ B ′C ′ = S EFQ ).
S A′B ′C ′ .CC ′
3 CC ′

 CC ′G ′ ∩ EFQ = QG

CQ
CG
Talet
 CC ′G ′ ∩ A′ B ′C ′ = C ′G ′ → QG C ′G ′ 
.
→
=

CC ′ CG ′
 EFQ
A′ B ′C ′


CQ
CG
3
C ′Q
1
=
= →
= .
Bổ đề 1 →
CC ′ CG ′
4
CC ′
4
VC ′EFQ
1 C ′Q
1 1
1
= .
= . =
≈ 0, 083
Vậy
Vlang tru
3 CC ′
3 4 12

Trang 1

B

Q

E

G

F

C'

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

C'

G'

R

B'


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />Bổ đề 1.
A
Cho tứ diện ABCD có trọng tâm tứ diện là G . Gọi I là trọng tâm
AG
3

∆ABC . Chứng minh rằng:
= .
AI
4
Chú ý: Đường thẳng kẻ từ đỉnh đi qua trọng tâm tứ diện thì sẽ đi
G J
qua trọng tâm của tam giác đáy đối diện đỉnh đó.
D
Gọi J là trọng tâm ∆ACD và điểm M là trung điểm của CD .
B
MI
MJ
1
MI
IJ
GJ
1
I
→
=
= → IJ AB →
=
=
= .
M
MB
MA 3
MB
AB GA 3
C

AG
3
→
= .
AI
4
Câu 2. [THPT An Sơn 2 – Nghệ An 2017 – Lần 3]
Biết khối chóp S . ABCD có thể tích là 6dm 3 và khối chóp S . ABD có thể tích là 3, 5dm 3 . Khi đó thể tích khối

tứ diện CSBD có thể tích là:
A. 1, 5dm 3 .
B. 2, 5dm 3 .

C. 3, 5dm 3 .

D. 4, 5dm 3 .

Chọn B.
VS . ABD
S
S
V
3, 5
7
5
5
= ABD =
=
→ CBD =
= SBCD →VSBCD = .6 = 2, 5 dm 3

VS .ABCD
S ABCD
6
12
S ABCD
12 VS .ABCD
12

Câu 3. [THPT Quốc Học Quy Nhơn – Bình Định 2017 – Lần 2]
Cho tứ diện ABCD có thể tích là V , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 3EB . Tính thể tích khối tứ
diện EBCD theo V là:
V
V
V
V
A. .
B. .
C. .
D. .
2
4
5
3

Chọn D.
VAEDC
V
AE
3
1

V
=
= → BEDC = → VBECD =
VABCD
AB
4
VABCD
4
4

Câu 4. [THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2017 – Lần 2]
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc nhau và OA = 2a, OB = 3a, OC = 8a . Gọi M là trung
điểm OC . Tính thể tích khối tứ diện OABM
A. 8a 3 .
B. 4a 3 .

C. 3a 3 .

D. 6a 3 .

Chọn B.
1
1
VOABC = SOBC .OA = OB.OC .OA = 8a 3 .
3
6
V
S
OM
1

1
Ta có: AOBM = OBM =
= → VAOBM = . 8a 3 = 4a 3 .
VAOBC
SOBC
OC
2
2

Câu 5. [THPT Tứ Kỳ – Hải Dương 2017 – Lần 3]
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB = OC = 2 . Gọi H là trực tâm của
∆ABC . Gọi M , N , P ,Q lần lượt là trung điểm của AB, AC , BC ,OH . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ ?
1
.
2
Chọn D.

A.

B.

1
.
3

∆ABC đều cạnh 2 2 , ∆MNP đều cạnh bằng

C.

1

.
4

D.

2.

Trang 2

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

1
.
6


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/> />(
)
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />(
)
/> /> /> /> /> /> />(
)
(
)
(
)

(
)
/>(
)
/> />VMNPQ

Ta có:

VOABC

2

 2  1 1
1 1
1

 . = → V
=
= 
= . .OA3 = .
MNPQ

 2 2  2 8
S ABC .OH
8 6
6
S MNP .QH

Câu 6. [THPT Bình Mỹ – An Giang 2017]

Cho khối chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

ABC , AB = 4 cm, BC = 5 cm, ABC = 600 ,

SA = 6 cm . Trên các tia SA, SB, SC lấy các điểm A′, B ′, C ′ sao cho SA′ = 4SA, SB ′ = 3SB, SC = 2SC ′ . Tính

thể tích khối chóp SA′ B ′C ′ ?
A. 60cm 3 .
B. 120cm 3 .

C. 240cm 3 .

D. 360cm 3 .

Chọn A.
1
S ABC = AB. BC . sin ABC = 5 cm 2 . Do hai khối chóp SABC , SA′ B ′C ′ chung đỉnh nên:
2
V
SA′ SB ′ SC ′
1
1
.
.
= 4. 3. = 6 → VSA′B ′C ′ = 6.VSABC = 6. S ABC . SA = 60 cm 3 .
Ta vẫn có: SA′ B ′C ′ =
VSABC
SA SB SC
2
3

Câu 7. [THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017]
Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng a và thể tích khối tứ diện là V . Trên cạnh SA, SB, SC lấy các điểm
M , N , P sao cho SM = 3MA, SN =

1
SP
1
SB,
= . Gọi V ′ là thể tích khối chóp S . MNP . Tính V ′ theo
5
2SP + PC
3

a?

A.

a3 2
.
12

B.

a3 2
.
120

C.

a3 2
.
160

D.

a3 2
.
16

Chọn C.

SM = 3MA ⇒

VSABC =
VSMNP
VSABC

=

SM
3
SP
1
SP
1
= ;
= ⇔ SP = PC ⇒
= .
SA

4 2SP + PC
3
SC
2

1 3 6
.
.
. canh tu dien deu
3 4 3

3

=

a3 2
.
12

SM SN SP
3 1 1
3
3
a3 2
.
.
= . . =
→ VSMNP = VSABC =
.
SA SB SC

4 5 2 40
4
160

Câu 8. [THPT Nguyễn Du – TPHCM 2017]
Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm nằm trên SC sao cho NS = 3NC

P là điểm trên cạnh SA sao cho PA = 2PS . Ký hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện BMNP và

SABC . Tính tỉ số

A.

V1

V2

=

1
.
6

V1

V2

?

B.

V1

V2

=

1
.
9

C.

V1

V2

=

3
.
4

D.

V1

V2

=

1
.
8

Chọn D.

NS = 3NC ⇒

V
SP SM SN
1
1
SN
3
SP
1
.
.
= → VSPMN = V2 .
= ; PA = 2PS ⇒
= → SPMN =
VSABC
SA SB SC
8
8
SC
4
SA 3

d S ; MNP 
 = MS = 1 → d S ; MNP  = d B; MNP 
M ∈ SB ∩ MNP → 





MB
d B; MNP 


V
1
1
cung SMNP
 

→VSMNP = VBMNP = V1 = V2 → 1 = .
8
V2
8

Trang 3

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/> /> /> /> /> /> /> /> />( )(
)
/> /> /> />(
)
/> /> />( )
( )
( )
/>(
)
/> /> /> /> />Câu 9. [THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2017 – Lần 2]
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và điểm G là trọng tâm của ∆ABC , điểm M là trung điểm BD .
Tính thể tích V của khối chóp S . BGM ?
A. V = 4 .

B. V =

1
.
9

C. V = 6 .

D. V = 2 .

Chọn A.
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của G ,C lên BD .
VS .BGM
VS .ABC

=

S BGM
S ABC

C

1
BD.GH
GH
MG
1
= 2
=
=
= → V = 4 .
1
CK
MC
3
BD.CK
2

G

B

K

D

H M

Câu 10. [THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2017]
Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 450 . Gọi M , N , P là trung
điểm SA, SB, CD . Tính thể tích khối tứ diện AMNP theo a ?

A.

a3
.
24

B.

a3
.
96

C.

a3
.
32

D.

Chọn D.

a3
.
48

S

Xác định nhanh góc  SCD ; ABCD  = SPO = 450 .


1
a
∆SPO vuông cân tại O ⇒ SO = OP = AD = .
2
2
3
1
1 1
a
VSPBA = SPBA . SO = . S ABCD . SO =
.
B
3
3 2
12
V
S
1
1
1
a3

S AMN = SSAN = SSAB ⇒ PAMN = AMN = ⇒ VPAMN =
.
2
4
VPSAB
SSAB
4
48

S

H

N

M

M

N

D

A

A

Q

O

P

C

B

Câu 11. [THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 – Lần 3]
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi M là trung điểm của SB,

P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP . Mặt phẳng AMP cắt SC tại N . Tính thể tích khối đa diện

ABCDMNP theo V ?
23V
.
A.
30

B.

19V
.
30

C.

2V
.
5

D.

Xác định giao điểm N ?
Chọn A.
Trong mặt SBD : MP cắt SO tại E ⇒ E ∈ SAC .

7V
.
30

S

Trong mặt SAC : AE cắt SO tại N .

Áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác:
MS FB PD
FB
∆SBD :
.
.
=1 ⇒
= 2 ⇒ DF = DB F = MP ∩ BD .
MB FD PS
FD
ES FO PD
ES
4
∆SOD :
.
.

=1 ⇒
= .
EO FD PS
EO
3
NS AC EO
NS
2
SN
2
B
∆SOC :
.
.
=1 ⇒
= ⇒
= .
NC AO ED
NC
3
SC
5
VSAMP
V
SM SP
1 2 1
1
= SAMP =
.
= . = ⇒ VSAMP = V .

VSABD
1
SB SD
2 3 3
6
VSABCD
2
Trang 4

N

M

P

E

D

A

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

O

C


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/> /> /> /> /> /> /> />(
)
(
) (
)()
(
)
/> /> />(
) ( )
( />) (
)
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />VSMNP
VSBCD

=

VSMNP

1
V
2 SABCD

=

SM SN SP
1 2 2
2
1

.
.
= . . =
⇒ VSMNP = V
SB SC SD
2 5 3 15
15

VABCDMNP = VSABCD −VSAMP −VSMNP =

23
V.
30

A

Định lý Menelaus.

Trong ∆ABC có M , P , N thẳng hàng →

M

MA PB NC
= 1.
.
.
MB PC NA

N

B

P

C

Câu 12. [THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 – Lần 3]
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a . Gọi G1,G2 ,G3 ,G4 là trọng tâm của 4 mặt tam giác của tứ diện
ABCD . Tính thể tích V của khối tứ diện G1G2G 3G 4 .

A. V =

a3 2
.
4

B. V =

a3 2
.
12

C. V =

a3 2
.
18

D. V =

Chọn B. Gọi M , N , P là trung điểm của BC ,CD, BD .

A

AG ⊥ ABC tai G

4
4
1 ⇒
.
AG 4 ⊥ G1G2G3 tai E

AG1
3a G1G2
2
∆MNP đều cạnh
,
=
=
2 MN
AN
3
ABC

9a 3 2
.
32

G1G2G3

⇒ ∆G1G2G 3 đều cạnh G1G2 =

2
a2 3
MN = a ⇒ SG G G =
.
1 2 3
3
4

AG4 = AB 2 − BG 42 = 9a 2 − 3a 2 = a 6 ⇒ G4E =

1 2 3

4

G3

G1

B

D

P
G4

M

 AMG ∩ BCD = MG

AG2
AE
2
(1)

4
4

→ MG 4 EG2 ⇒
=
= .

 AMG 4 ∩ G1G2G3 = EG2
AG4
AM
3


Vậy VG G G G =

E

G2

N

C

1
a 6

AG4 =
.
3
3

1
a2 2
SG G G . EG4 =
.
3 12 3
12

CT nhanh

→V =
Bình luận. Nhận thấy G1G2G 3G 4 là tứ diện đều cạnh bằng a  

a3 2
.
12

Câu 13. [THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp 2017 – Lần 2]
Cho lăng trụ đứng ABC . A′ B ′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; E là trung điểm B ′C ′ ; CB ′ cắt
BE tại M . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết AB = 3a, AA′ = 6a .

A. V = 8a 3 .

B. V = 6a 3 2 .

C. V = 6a 3 .

Chọn C.

D. V = 7a 3 .

C'

A'

1
1 1
S ABC . BB ′ = . . AB 2 . BB ′ = 9a 3
3
3 2
VB ′ABC −VB ′ABM
V
B ′M
=
= 1 − B ′ABM = 1 −
VB ′ABC
VB ′ABC
B ′C

VB ′ABC =

VABMC

VB ′ABC

Do B ′C ′ BC →

B'

(1)

B ′E
MB ′ 1
MB ′
1
=
= →
= .
BC
MC
2
CB ′
3

M

C

A

2
(1) → VABMC = VB ′ABC = 6a 3 .
3

B

Trang 5

E

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/>(
)
/>(
)
/> /> />( ) (
)
/> />(
)
/> /> />( )
/> /> /> /> /> /> />( )
/> />( )
/> /> />Câu 14. [THPT Phù Cừ – Hưng Yên 2017]
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy ABCD
SM
= k . Xác định k để mặt phẳng BMC
SA
S . ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

SA = a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho

A. k =

−1 + 5
.
2

B. k =

−1 + 2
.
2

C. k =

−1 + 3
.
2

D. k =

Chọn A.
M ∈ SAD ∩ BMC
giao tuyen


→ đi qua M cắt SD tại N .

song song
BC AD



VSMBC
V
SM
SM SN
SN
SM 

=
= k ; SMNC =
.
= k 2 do MN AD ⇒
=
VSABC
SA
VSADC
SA SC
SD
SA 

→

VSMBC + VSMCD
1
V
2 SABCD

2

= k + k ⇔ VSMNCB

và

chia khối chóp

−1 + 7
.
2

S

N

M

A

1
= k 2 + k VSABCD .
2

D

B

C

1
−1 + 5

k >0
Theo giả thiết: VSMNCB = VSABCD ⇔ k 2 + k = 1 
→k=
.
2
2
Câu 15. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M là trung điểm của SA , điểm

N thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB . Mặt phẳng P đi qua M , N cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại P ,Q .

SP
SQ
1
=x;
= y thỏa mãn tỉ số thể tích giữa khối chóp S . MNPQ và S . ABCD bằng . Tính giá trị của
SC
SD
3
biểu thức T = 2x + 3y ?

Gọi

A. T = 3 .

B. T = 6 .

C. T =

3
.

2

D. T =

20
.
3

Chọn A.

Bổ đề 2.

SA SC
SB SD
+
=
+
.
SM
SP
SN SQ

→ 2 +

VS .MNP
VS .ABC

=

S

1
3 1
1 1 1 x +1
2x
= + ⇔ = + =
⇔y=
.
x
2 y
y
2 x
2x
x +1

M

SM SQ SP
1
x2
SM SN SP
x V
.
.
= .y .x =
.
.
.
= ; S .MQP =
SA SB SC

3 VS .ADC
SA SD SC
2
x +1

VS .MNP +VS .MPQ
1
V
2 S .ABCD

=

V
x
2x 2
1 x
x 2  1
+
⇔ S .MNPQ =  +
= .
3 2 x +1
VS .ABCD
2  3 x + 1  6

N

Q

A

D

P

B

C

1
2
; y = → T = 1 + 2 = 3 .
2
3
Bổ đề 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng P cắt các cạnh
SOLVE


→x=

SA, SB, SC , SD lần lượt tại M , N , P ,Q . Chứng minh rằng:

SA SC
SB SD
+
=
+
.
SM
SP
SN SQ

Chứng minh.

Trang 6

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

TÀI LIỆU BÀI TẬP – MÔN TOÁN HÌNH HỌC 12 – LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />Ta có: VSMNQ + VSPNQ = VSNMP + VSQMP (1)

Đặt V = VSABCD → VSABC = VSADC = VSABD = VSCBD =
VSMNQ
VSABD

=

2VSMNQ

=

V

Tương tự: VSPNQ =

Từ (1) ta được:

V
.
2

SM SN SQ
SM SN SQ V
.
.
⇒ VSMNQ =
.
.
. .
SA SB SD
SA SB SD 2

SP SN SQ V
SN SM SP V
SQ SM SP V
.
.
. ; VSNMP =
.
.
. ; VSQMP =
.
.
. .
SC SB SD 2
SB SA SC 2
SD SA SC 2

SM SN SQ
SP SN SQ
SQ SM SP SN SM SP
.
.
+
.
.
=
.
.
+
.
.
.
SA SB SD
SC SB SD
SD SA SC
SB SA SC

Chia cả 2 vế cho

SM . SN . SP . SQ
SA. SB. SC . SD

ta được

SA SC
SB SD

+
=
+
(ĐPCM).
SM
SP
SN SQ

Trang 7

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3