chuyên đề phương trình mũ,logarit

LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa lũy thừa và căn
• Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b .
• Chú ý: ° Với n lẻ và b ∈ ¡ : Có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu là
°

Với n chẵn:

n

b.

b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
b > 0 : Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu
là

n

b , căn có giá trị âm kí hiệu là − n b .

Số mũ α

α = n∈ ¥*
α =0

Cơ số a
a∈¡
a≠0

α = −n, (n ∈ ¥ * )

a≠0

m
, (m ∈ ¢, n ∈ ¥ * )
n
α = lim rn ,( rn ∈ ¤ , n ∈ ¥ * )

α=

Lũy thừa a α
aα = a n = a ×a L a ( n thừa số a )
aα = a 0 = 1
1
aα = a − n = n
a
m
n

a>0

n
n
a = a = n am , ( a = b ⇔ a = b )

a>0

aα = lim a rn

α

2. Một số tính chất của lũy thừa
• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
α

β

a ×a = a

α +β

α

−α

• Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β ;

Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β .

• Với mọi 0 < a < b , ta có: a m < b m ⇔ m > 0 ;

am > bm ⇔ m < 0

• Chú ý: ° Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
°

Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .

°

Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Một số tính chất của căn bậc n
• Với a, b ∈ ¡ ; n ∈ ¥ * , ta có:
2n

a 2 n =,∀
a a;

°

°

2n

ab = 2 n×
a 2 n
b , ∀ab ≥ 0 ;

°

°

2n

a 2 n
a
=
, ∀ab ≥ 0, b ≠ 0 ;

b 2 n
b

° 2 n +1

°

2 n +1

a 2 n +1 = a,∀a .

2 n +1

ab = 2 n +1 a ×2 n +1 b ,∀a, b .
a
=
b

2 n +1
2 n +1

• Với a, b ∈ ¡ , ta có:
° n

α

aα
aα  a 
b
a

; β = aα − β ; (aα ) β = aα .β ; (ab)α = aα ×bα ;  ÷ = α ;  ÷ =  ÷ ×
a
b
b
a
b

m
a m = ( n a ) , ∀a > 0 , n nguyên dương, m nguyên.

a
,∀a , ∀b ≠ 0 .
b


°

°

n m

a = nm a , ∀a ≥ 0 , n , m nguyên dương.

Nếu

p q
=
thì
n m

n

a p = m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên. Đặc biệt:

n

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1: Nghiệm của phương trình 10log9 = 8x + 5 là
1
5
7
A.
B.
C.
2
8
4

D. 0

x +1

 1 
Câu 2: Nghiệm của phương trình  ÷
 25 

A. 1

= 1252x là:

C. −

B. 4

1
4

D. −

1
8

2

Câu 3: Số nghiệm của phương trình 22x −7x +5 = 1 là
A. 2
B. 1
C. 3
2+ x
2−x
Câu 4: Số nghiệm của phương trình 2 − 2 = 15 là
A. 3
B. 2
C. 1

D. 0
D. 0

2
2
Câu 5: Phương trình 4 x − x + 2x − x +1 = 3 có hiệu các nghiệm x1 − x 2 bằng:
A. 2
B. 1
C. 0
Câu 6: Phương trình 3.2x − 4x −1 − 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 và tổng x1+ x2 là
A. 2
B. 3
C. 4

D. -1
D. 5

Câu 7: Phương trình 9 − 3.3 + 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 .Giá trị A = 2x1 + 3x2 là
A. 4 log 2 3
B. 2
C. 0
D. 3log 3 2
x

x

(

Câu 8: Nghiệm của phương trình: 2 + 3
A. x = π + k2π

B. x = k2π

)

cos x

(

+ 2− 3

(

Câu 9: Tích các nghiệm của phương trình: 3 + 5
A. 2

B. −2

Câu 11: Giải phương trình
A. 0

B. −2

(

2+ 3

cos x

= 4 là:

C. x = kπ

) + ( 3− 5)
x

D. x = π + kπ
x

= 3.2 x là:
D. −1

C. 1

(

Câu 10: Tích các nghiệm của phương trình: 2 + 3
A. 2

)

) (
x

+

2− 3

B. 1

)

) + ( 2 − 3)
x

x

= 14 là:
D. −4

C. 4
x

= 4 . Ta có số nghiệm là:
C. 2

D. 4

2
Câu 12: Gọi x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình: 5.2 x = 7. 10x − 2.5x thì x + x 2 bằng:
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
2
1

x +3

x −1

Câu 13: Tổng các nghiệm của phương trình: 2 x +1 = 5 − 2 x +1 là :

a = m×n a m .


A. 0
B. 2
C. −2
D. 4
x
x
x
Câu 14: Tổng các nghiệm của phương trình: 15.25 − 34.15 + 15.9 = 0 là :
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2
x
x
x
Câu 15: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình : 8.3 + 3.2 = 24 + 6 là:
A. 8
B. 9
C. 10
D. Kết quả khác
2

2

Câu 16: Tổng các nghiệm của phương trình: 2 x − x + 22+ x − x = 5 là:
A. 2

B. 3
C. 0
x
x
x
Câu 17: Phương trình 8.3 + 3.2 = 24 + 6 có tích các nghiệm là
A. 3
B. 0
C. 10

D. 1

D. 30
Câu 18: Phương trình 9 x − 3.3x + 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Giá trị A = 2x1 + 3x 2 là
A. 4 log 2 3
B. 2
C. Đáp án khác
D. 3log 3 2
−3x

( 2)

1
Câu 19: Phương trình  ÷ − 2.4 x − 3
2
A. 0
B. −1

2x

= 0 có nghiệm là

C. log 2 3

D. log 2 5

Câu 20: Phương trình 32x +1 − 4.3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1 , x 2 trong đó x1 < x 2 . Chọn phát biểu đúng ?
A. x1 + x 2 = −2
B. x1 + 2x 2 = −1
C. x1.x 2 = −1
D. 2x1 + x 2 = 0
Câu 21: Số nghiệm của phương trình
A. 0
B. 1

9 x − 4.3x − 45 = 0 là:
C. 2

D. 3

Câu 22: Phương trình 9 x − 3.3x + 2 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) . Giá trị của A = 2x1 + 3x 2 là:
A. 0
B. 4 log 2 3
C. 2
D. 3log 3 2
Câu 23: Phương trình: 31+ x + 31− x = 10 . Chọn đáp án đúng:
A. Có hai nghiệm cùng âm
B. Có hai nghiệm cùng dương
C. Có 2 nghiệm trái dâu
D. Vô nghiệm

x
x
Câu 24: Số nghiệm của phương trình: 9 − 25.3 − 54 = 0 là:
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Câu 25: Tập nghiệm của phương trình: 3x −1.2 x
A. { 1}
B. { 1;1 − log 2 3}

2

+2

= 2.4x là:
C. { 1;1 − log 3 2}

Câu 26: Số nghiệm của phương trình 6.9x − 13.6x + 6.4x = 0 là:
A. 0
B. 1
C. 2

Câu 28: Tập nghiệm của phương trình 5x.8
x = 3
A. 
 x = − log 5 2

D. 3

x2

Câu 27: Số nghiệm của phương trình 3 .2 = 1 là:
A. 0
B. 1
C. 2
x

D. { 1;1 + log 2 3}

x −1
x

= 500 là:

x = 3
B. 
 x = log 5 2

x = 3
C. 
 x = log 2 5

D. 3
x = 1
D. 
 x = log 5 1

2

2

Câu 29: Số nghiệm của phương trình (x − 3) 2x −5x = 1 là:
A. 0
B. 1
C. 2
2+ x
2−x
Câu 30: Tích các nghiệm của phương trình: 3 + 3 = 30 là:
A. 2
B. −2
C. 1
Câu 31: Phương trình 3x
3
A. x =
1+ 3 4

3

D. 3
D. −1

2

= 39x có nghiệm trên tập số thực là:
3
3
B. x = −
C. x =
3

1+ 4
1− 3 4

+ 3x +9

Câu 32: Phương trình: 3x + 4 x = 5x có nghiệm là:

D. x = −

3
1− 3 4


A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 33: Phương trình 3x + 7 x = 48x − 38 có 2 nghiệm x1,x2 . Giá trị x + x 2 là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2
1

2

Câu 34: Giải phương trình 9|x +1| = 27 2x −2 . Ta có tập nghiệm bằng :
A. {2}.

B. {2,

1
2

}.

C. {1}.

D. {3,

1
4

}.

−x

 2
= 
Câu 35: Phương trình 0,125.4
÷
÷ số nguyên đứng ngay liền trước nghiệm của phương trình là:
 8 
A. 3
B. 4

C. 5
D. 8
2x − 3

x
x
Câu 36: Phương trình: 3.4 + ( 3x − 10 ) .2 + 3 − x = 0 có 1 nghiệm dạng − log a b . Tìm a + 2b :
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

9

Câu 37: Phương trình
2

x −2

A. 0

x
2

10 + 4 có số nghiệm là
4
B. 1
C. 2
=

D. 3

2
Câu 38: Phương trình 3x −1.2 x = 8.4x − 2 có 2 nghiệm x1 , x 2 thì x1 + x1 − 2 = ?
A. Đáp án khác
B. log 3 2 − 1
C. log 2 3
D. log 3 2

Câu 39: Cho phương trình: 2 x = −2x 2 + 6x − 9 Tìm phát biểu sai:
A. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
B. Phương trình có hai nghiệm cùng dương
C. Phương trình có 2 nghiệm âm.
D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 40: Số nghiệm của phương trình: ( x − 3)

2x 2 − 5x

A. 1
B. 2
Câu 41: Phương trình 31+ x + 31−x = 10
A. Có hai nghiệm âm
C. Có hai nghiệm dương

= 1 là:
C. 3

Câu 42: Tích số các nghiệm của phương trình

(

D. 0

B. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương
D. Vô nghiệm
6 + 35

) (
x

+

6 − 35

)

x

= 12 là:

A. - 4
B. 1
C. 2
D. 29
x
x
x
Câu 43: Cho phương trình 4 − 3.2 + 2 = 0 , nếu thỏa mãn t = 2 và t > 1. Thì giá trị của biểu thức 2017t là:
A. 2017
B. -2017

C. 4034
D. – 4034
2

2

Câu 44: Phương trình 9 x +x−1 − 10.3x +x− 2 + 1 = 0 có tổng tất cả các nghiệm là:
A. 5
B. 10
C. 2
D. -2
1

1

1

Câu 45: Tập nghiệm của phương trình −9.4 x − 5.6 x + 4.9 x là:
1 
A. { 1;3}
B. { 1}
C.  
2

 9
D. −1; 
 4

Câu 46: Số nghiệm của phương trình: 5x −1 + 53− x = 26 là:
A. 0

B. 1
C. 2

D. 4

2x −1

Câu 47: Phương trình 3x.5 x = 15 có một nghiệm dạng x = − log a b , với
lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Khi đó a + 2b bằng
A. 10
B. 8
C. 13
2x
x
Câu 48: Tích các nghiệm phương trình 6.3 − 13.6 + 6.22x = 0 là:
A. –1
B. 0
C. 1
4x
4x −1
4x −2
Câu 49: Số nghiệm phương trình 2 + 2
+2
= 34 x − 34 x −1 + 34x −2 là:
A. 0
B. 1
C. 2

a và b là các số nguyên dương
D. 5

D. –4
D. 4


Câu 50: Giải phương trình 3.4 x + (3x − 10).2x + 3 − x = 0 (*). Một học sinh giải như sau:
Bước 1: Đặt t = 2x > 0 . Phương trình (*) được viết lại là:
3.t 2 + (3x − 10).t + 3 − x = 0 (1)
Biệt số ∆ = (3x − 10) 2 − 12(3 − x) = 9x 2 − 48x + 64 = (3x − 8) 2
1
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm t = & t = 3 − x
3
Bước 2:
1
1
1
x −2
+Với t = ta có 5 = ⇔ x = 2 + log 5
3
3
3
x −2
+Với t = 3 − x ta có 5 = 3 − x ⇒ x = 2
1
Bước 3:Vậy (*) có hai nghiệm là x = 2 + log 5 và x = 2
3
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3
Câu 51: Giải phương trình 2

A. k2π

sin 2 x

+ 4.2
π
B. + kπ
2

cos 2 x

=6
C.

−π
+ k2π
2

D. Đúng
D.

π
+ k2π
2

Câu 52: Số nghiệm của phương trình ( cos360 ) + ( cos720 ) = 3.2 − x là:
x

x

A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
x
x
x
Câu 53: Cho phương trình 8 + 18 = 2.27 có nghiệm là α , khi đó giá trị của cos α là:
1
A. 0
B. 1
C. -1
D.
2
1
12
3x
x
Câu 54: Phương trình 2 − 6.2 − 3( x −1) + x = 1 có số nghiệm là:
2
2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
x
x
x
Câu 55: Giải phương trình 12. 9 - 35. 6 + 18. 4 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A. {1, − 2}.

B. {− 1, − 2}.
C. {− 1, 2}.
D. {1, 2}.
2

2

Câu 56: Giải phương trình 2 x + x + 22−x −x = 5 . Ta có số nghiệm bằng :
A. 0
B. 1
C. 2

D. 4

Câu 57: Phương trình 32x+1 − 4.3x + 1= 0 có 2 nghiệm x1 ,x2 trong đó x1< x2 . Chọn phát biểu đúng ?
A. x1 + x2 = −2
B. x1 + 2x2 = −1
C. x1.x2 = −1
D. 2x1 + x2 = 0

(

)

(

) (

Câu 58: Giải phương trình 7 + 4 3

x

(

− 3. 2 − 3

)

x

+ 2 = 0 . Ta có tổng các nghiệm bằng :

Α. 0
Β. 1
Β. 2
D. 3
x
x
x+1
Câu 59: Giải phương trình 8 - 7. 4 + 7. 2 - 8 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
Α. {0, 1, 2}.
Β. {− 1, 2}.
C. {1, 2}.
D. {1, − 2}.
Câu 60: Giải phương trình 3 + 5
A. 2

x

+ 3− 5

)

x

= 7.2 x . Ta có tổng các nghiệm bằng :

B. 1

C. 0

x2

Câu 61: Giải phương trình 4 + (x 2 − 7).2
A. 0
B. 1
Câu 62: Phương trình ( 2 + x − x 2 )

sin

x2

D. Đáp án khác

+ 12 − 4x 2 = 0 . Ta có số nghiệm bằng :
C. 2
D. 4

= ( 2 + x − x2 )

2− 3 cos x

A. Vô số nghiệm
B. 1
C. 2
x
x
Câu 63: Giải phương trình 3 + 5 = 6x + 2.
A. Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1.
B. Phương trình có đúng 3 nghiệm.

có số nghiệm là:
D. 3


C. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
D. Phương trình vô nghiệm.
2

Câu 64: Giải phương trình 2 x −2x = 3 . Ta có tập nghiệm bằng :
Α. {1+ 1 + log 2 3 , 1 − 1 + log 2 3 }.
Β. {− 1+ 1 + log 2 3 , − 1 −
1 − log 2 3 , 1 −

C. {1+

1 − log 2 3 }.

D. {− 1+

1 − log 2 3 , − 1 −

1 + log 2 3 }.
1 − log 2 3 }.

Câu 65: Giải phương trinh 2 x + 2 + 18 − 2 x = 6 . Ta có tích các nghiệm bằng :
A. log 2 12
B. log 2 10
C. 4
D. log 2 14
Câu 66: Giải phương trình 2008x + 2006x = 2. 2007x.
A. Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1.
B. Phương trình có nhiều hơn 3 nghiệm.
C. Phương trình có đúng 3 nghiệm.
D. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
2

Câu 67: Giải phương trình 2 x −1 = 5x +1 . Ta có tổng các nghiệm bằng :
A. 2 - log 2 5
B. log 2 5
C. - log 2 5

D. - 2 + log 2 5

Câu 68: Giải phương trình x2. 2x + 4x + 8 = 4. x2 + x. 2x + 2x + 1. Ta có số nghiệm bằng.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
x

x+1
x
Câu 69: Giải phương trình 6 + 8 = 2 + 4. 3 . Ta có tích các nghiệm bằng :
A. log3 4
B. 2 log3 2
C. 2 log 2 3
D. 2
Câu 70: Giải phương trình 22. x +3 − x − 5.2 x +3 +1 + 2 x + 4 = 0 . Ta có tích các nghiệm bằng:
A. -18
B. 6
C. -6
D. -2.
x
x
Câu 71: Giải phương trình 34 = 43 . Ta có tập nghiệm bằng :
log log 3 4 )
log log 3 2 )
log log 4 3)
log log 3 4 )
A. { 3 (
}.
B. { 2 (
}.
C. { 4 (
}.
D. { 4 (
}.
4

3

x+3

3

x-1

x -1

3

x

Câu 72: Giải phương trình 2 + 3 = 2 + 3 . Ta có tập nghiệm bằng :
4
45
 51 
log  ÷}.
log  ÷}.
A. {log 2  8 ÷
}.
B.
{
C.
{
2  45 
2  4 

3

3

2x −3

3

8
D. {log 2  51 ÷
 }.
3

Câu 73: phương trình 2
+ m − m = 0 có nghiệm là:
A. m > 1
B. 0 < m < 1
C. m < 0 ∨ m > 1
D. m < 0
Câu 74: Phương trình 22x +1 − 2 x +3 − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:
A. m > 0
B. m > −4
C. −4 < m < 0
D. m < −4
Câu 75: Phương trình 4x − m.2 x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 và x1 + x 2 = 3 khi:
3
A. m = 1
B. m = 5
C. m = 4
D. m =
2
2

Câu 76: Cho phương trình (2m − 3)3x
nghiệm của phương trình
A. m = 2

B. m = 0

2

+ 3x − 4

= (5 − 2m)9 x −1 . Với giá trị nào của m thì x = 1 không phải là 1
C. m =

Câu 77: Số nguyên dương lớn nhất để phương trình 251+

1− x 2

3
2

− ( m + 2 ) 51+

D. m =
1− x 2

1
2

+ 2m + 1 = 0 có nghiệm

A. 20
B. 25
C. 30
D. 35
Câu 78: Xác định m để phương trình: 4 x − 2m.2 x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:
A. m < 2
B. -2 < m < 2
C. m > 2
D. m ∈ ∅
Câu 79: Tìm m để phương trình h 9 x − 2.3x + 2 = m có nghiệm thuộc khoảng ( −1; 2 ) là:
6
13
< m < 65
A. 1 ≤ m <
B. 1 < m < 65
C. 1 ≤ m < 45
D.
5
9


Câu 80: Tìm m để phương trình 4x - 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x ∈ (1; 3).
A. - 13 < m < - 9.
B. 3 < m < 9.
C. - 9 < m < 3.
D. - 13 < m < 3.
Câu 81: Tìm m để phương trình 4 x + 1 + 3 − x − 14.2 x + 1 + 3 − x + 8 = m có nghiệm.
Α. − 41 ≤ m ≤ 32. Β. − 41 ≤ m ≤ − 32. C. m ≥ − 41.
D. m ≤ − 32.

2
− 8.3x + 1 - x + 4 = m có nghiệm.
7
13
A. − 12 ≤ m ≤ 2.
B. − 12 ≤ m ≤
.
C. − 12 ≤ m ≤ 1.
D. − 12 ≤ m ≤
.
9
9
Câu 83: Tìm m để phương trình 9x - 6. 3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x ∈ [0; + ∞).
A. m > 0 v m = 4.
B. m ≥ 0 v m = - 4.
C. m > 0 v m = - 4.
D. m ≥ 1 v m = - 4.

Câu 82: Tìm m để phương trình 9 x

+ 1 - x2

Câu 84: Tìm m để phương trình 4|x| − 2|x|+1 + 3 = m có đúng 2 nghiệm.
A. m ≥ 2.
B. m ≥ - 2.
C. m > - 2.
D. m > 2.
x
x
Câu 85: Tìm m để phương trình 4 - 2(m - 1). 2 + 3m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3.

A. m =

5
2

.

7

C. m = .

B. m = 4.

D. m = 2.

3

Câu 86: Tìm m để phương trình 4x - 2(m + 1). 2x + 3m - 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
A. - 1 < m < 9.

B. m <

8
3

.

2

Câu 87: Tìm m để phương trình 4 x − 2x

A. m = 3.
B. m = 2.
x2

C.
2 +2

8
3

< m < 9.

+ 6 = m có đúng 3 nghiệm.
C. m > 3.

D. m < 9.

D. 2 < m < 3.

x2

Câu 88: Tìm m để phương trình 9 − 4.3 + 8 = m có nghiệm x ∈ [− 2;1 ].
A. 4 ≤ m ≤ 6245.
B. m ≥ 5.
C. m ≥ 4.
D. 5 ≤ m ≤ 6245.
x
x+3
Câu 89: Tìm m để phương trình 4 - 2 + 3 = m có đúng 1 nghiệm.
A. m > - 13.

B. m ≥ 3.
C. m = - 13v m ≥ 3.
D. m = - 13 v m > 3.
Câu 90: Tìm m để phương trình 4x - 2x + 6 = m có đúng 1 nghiệm x∈ [1; 2].
A. m ≥ 8.
B. 8 ≤ m ≤ 18.
C. 8 < m < 18.

D. m =

23
4

v 8 < m < 18.

B - ĐÁP ÁN
1A, 2C, 3A, 4C, 5B, 6D, 7D, 8C, 9D, 10D, 11C, 12C, 13C, 14A, 15C, 16A, 17A, 18D, 19C,
20B, 21B, 22D, 23C, 24D, 25B, 26C, 27C, 28A, 29D, 30D, 31C, 32B, 33C, 34A, 35C, 36C,
37B, 38C, 39D, 40C, 41B, 42A, 43C, 44D, 45C, 46C, 47C, 48A, 49D, 50B, 51B, 52B, 53B,
54B, 55C, 56D, 57B, 58A, 59A, 60D, 61D, 62A, 63A, 64A, 65D, 66A, 67B, 68C, 69B, 70B,
71D, 72B, 73C, 74C, 75C, 76A, 77B, 78C, 79A, 80A, 81B, 82D, 83C, 84A, 85B, 86C, 87A,
88A, 89D, 90B.

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
2
Câu 1: Số nghiệm của phương trình log 3 ( x - 6) = log 3 ( x - 2) +1 là
A. 3
B. 2
C. 1
Câu 2: số nghiệm của phương trình: log 4 x + log 4 ( x + 3) = 1 là:

A. 1

B. 2

Câu 3: Tập nghiệm của phương trình: log
A. { −3; 2}

B. { −4; 2}

C. 0
3

D. 0
D. { 1; 4}

x + 1 = 2 là:
C. { 3}

D. { −10; 2}


x
Câu 4: Tập nghiệm của phương trình: log 2 ( 2 − 1) = −2 là:

A. { 2 − log 2 5}

B. { 2 + log 2 5}

C. { log 2 5}

D. { −2 + log 2 5}

5
. Chọn đáp án đúng:
2
A. Có hai nghiệm cùng dương.
B. Có hai nghiệm trái dấu
C. Có 2 nghiệm cùng âm
D. Vô nghiệm.
26
2
Câu 6: Tập nghiệm của phương trình: log x + log x + 1 =
là:
log x − 1
A. 11
B. 99
C. 1010
D. 22026
2 3
Câu 7: Số nghiệm của phương trình: log x − 20 log x + 1 = 0 là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
x
Câu 8: Tập nghiệm của phương trình: log 2 ( 9 − 4 ) = ( x + 1) log 2 3 là:

Câu 5: Cho phương trình: log 2 x + log x 2 =

A. { 1}

B. { −1; 4}

C. { 4}
D. { log 3 4}
Câu 9: Tổng các nghiệm của phương trình log 4 log 2 x + log 2 log 4 x = 2 là:
A. 0
B. 20
C. 6
D. 16
x
x +1
Câu 10: Giải phương trình log 2 ( 2 − 1) .log 4 2 − 2 = 1 . Ta có ttoongr các nghiệm là:

(

A. log 2 15

)

15

B. -1

C. log
.
2 4
Câu 11: Số nghiệm của hương trình sau log 2 (x − 5) + log 2 (x + 2) = 3 là:
A. 1

B. 2
C. 0
Câu 12: Số nghiệm của hương trình sau log 2 (x + 1) + log 1 x + 1 = 1 là:

D. 3
D. 3

2

A. 2

B. 3

C. 1
D. 0
1
2
+
= 1 là:
Câu 13: Số nghiệm của hương trình sau
4 − log x 2 + log x
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
2
Câu 14: Giải phương trình log 2 x − 3.log 2 x + 2 = 0 . Ta có tổng các nghiệm là:
5
9
A. 6

B. 3
C. .
D.
2
2
ln
x
+
ln
3x
−
2
(
) = 0 có mấy nghiệm ?
Câu 15: Phương trình:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 16: Phương trình ln ( x + 1) + ln ( x + 3) = ln ( x + 7 ) có mấy nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
x +4
Câu 17: Số nghiệm phương trình log 3 (36 − 3 ) = 1 − x là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

2
Câu 18: Phương trình log 3 (x + 4x + 12) = 2
A. Có hai nghiệm dương
B. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương
C. Có hai nghiệm âm
D. Vô nghiệm
x
log
(2
−
1)
=
−
2
Câu 19: Số nghiệm của phương trình 2
bằng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 20: Phương trình: ln x + ln ( 3x − 2 ) = 0 có mấy nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 21: Phương trình: log 3 x + log 9 x + log 27 x = 11 có nghiệm là một số mà tổng các chữ số trong só đó là:
A. 17
B. 21
C. 18
D. 972

a
( a, b ∈ Z ) . Tính tổng a + b
Câu 22: Cho phương trình 32−log x = 81x có một nghiệm dạng
b
A. 5
B. 4
C. 7
D. 3
3


1 
Câu 23: Cho ba phương trình,phương trình nào có tập nghiệm là  ; 2
2 

x − 2 log 2 x = x − 2

(x 2 − 4)(log 2 x −1) = 0 (II)

(I)

x2
log (4x) + log( ) = 8 (III)
8
2
0,5

A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Chỉ (III)

D. Cả (I), (II), (III)
Câu 24: Phương trình log 2 x + log x 2 = 2,5
A. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương
B. Có hai nghiệm dương
C. Có hai nghiệm âm
D. Vô nghiệm
2
Câu 25: Phương trình: log 3 ( x + 4x + 12 ) = 2 . Chọn đá án đúng:
A. Có hai nghiệm cùng dương.
B. Có hai nghiệm trái dấu
C. Có 2 nghiệm cùng âm
D. Vô nghiệm.
x
x
Câu 26: Phương trình log 2 (4.3 − 6) − log 2 (9 − 6) = 1 có một nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào dưới đây?
 3
 3 
A. ( 2;3)
B. ( −1;1)
C.  0; ÷
D.  − ;0 ÷
 2
 2 
x −5
+ log 2 (x 2 − 25) = 0 là ?
Câu 27: Số nghiệm của phương trình log 2
x +5
A. 2
B. 4
C. 3

D. 1
log
x
+
log
x
+
log
x
=
11
Câu 28: Phương trình:
có nghiệm là 1 số mà tổng các chữ số đó là:
2
4
8
A. 6
B. 9
C. 10
D. 11
Câu 29: Số nghiệm của phương trình ln ( x + 1) + ln ( x + 3) = ln ( x + 7 ) là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2
Câu 30: Phương trình: lg ( x − 6x + 7 ) = lg ( x − 3) có số nghiệm là:
A. 0
Câu 31: Giải phương trình
A. 4

Câu 32: Cho phương trình

B. 1
C. 2
D. 3
2
log 3 ( x − x − 5 ) = log 3 ( 2x + 5 ) . Ta có tổng các nghiệm là:
B. 7
C. 3.
D. 2
3
2
log x − 2 log x = log x − 2 . Gọi x1 , x 2 , x 3 ( x1 < x 2 < x 3 ) là ba nghiệm của phương

trình đã cho. Tính giá trị của M = 1000x1 + 10x 2 + x 3 :
A. 100
B. 300
C. 1000
D. 3000
1
2
+
= 1 . Gọi x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) là hai nghiệm của phương trình đã
Câu 33: Cho phương trình
4 + log 2 x 2 − log 2 x
cho. Tính giá trị của M = x1 + 2x 2 :
3
A.
B. 2
4

C.

5
4

D. 4

2
Câu 34: Hai phương trình 2 log 5 (3 x - 1) +1 = log 5 (2 x +1) và log 2 ( x - 2 x - 8) = 1- log 1 ( x + 2) lần lượt có
3

2

2 nghiệm duy nhất x1 ,x2 là . Tổng x1 + x2 là
A. 4
B. 6
C. 8
Câu 35: Giải phương trình log 3 x + log x 9 = 3 . Ta có tích các nghiệm là:
A. 3
B. 1
C. 2
Câu 36: Phương trình 3. log 3 x − log3 3x − 1 = 0 có tổng các nghiệm là:
A. 81

B. 77
C. 84
Câu 37: Phương trình log 1 x − 3 log 1 x + 2 = 0 có tổng các nghiệm là
3

14
23

D. 27
D. 30

3

28
3
C.
81
8
2
Câu 38: Phương trình 2(log 3 x) − 5log 3 ( 9x ) + 3 = 0 có tích các nghiệm là:

A.

D. 10

B.

D.

11
23


A.

27
5

B. 7

C. 27 3

D.

27
3

1
log 2 (5 − x) + 2 log 8 3 − x = 1 là:
3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
log x
log x
log 27
Câu 40: Phương trình 4
− 6.2
+2
= 0 có hai nghiệm là x1, x2 khi đó x1 − x 2 =
A. 72
B. 27.
C. 77
D. 90

2( x +log 2)
x +log 2
Câu 41: Phương trình 3
có nghiệm là a, giá trị của Đ = = a 2017 + (a + 1)3 là:
−2 =3
A. 1
B. 10
C. 2
D. 4
3
Câu 42: Khi giải phương trình log 3 (1 − x) = 2 log 3 27.log 9 8 − 9x − 3log 3 3x có nghiệm trên tập số thực.
2
Một học sinh trình bày như sau:
8
Bước 1: Điều kiện: 0 < x <
9
Phương trình cho tương đương 3log 3 (1 − x) + 3log 3 3x = 3log 3 8 − 9x (1)

Câu 39: Số nghiệm của phương trình
9

9

3

3

3

Bước 2: (1) ⇔ log 3 (1 − x) 3x = log 3 8 − 9x hay (1 − x) 3x = 8 − 9x (2)

3
3
Bước 3: Bình phương hai vế của (2) rồi rút gọn, ta được (x − 2) = −2x ⇔ x =

2
1+ 3 2

Trong các bước giải trên
A. Sai ở bước 2
C. Cả 3 bước đều đúng

B. Sai ở bước 3
D. Chỉ có bước 1 và 2 đúng
3
2x + 3x 2 + 45
Câu 43: Khi giải phương trình log 3 x − 3 + log 3
= 0 trên tập số thực, một học sinh làm như
x2 +1
sau:
Bước 1: Với x > 0 , phương trình viết lại: log 3 x + log3 (2x 3 + 3x 2 + 45) = 3 + log 3 (x 2 + 1) (1)
Bước 2: Biến đổi (1) ⇔ log 3 x(2x 3 + 3x 2 + 45) = log 3 27(x 2 + 1) ⇔ x(2x 3 + 3x 2 + 45) = 27(x 2 + 1) (2)
Bước 3: Rút gọn (2) ta được phương trình (2x − 3)(x 3 + 3x 2 − 9x + 9) = 0
3
Bước 4: Kết luận phương trình cho có nghiệm duy nhất x = .
2
Trong các bước giải trên
A. Sai ở bước 2
B. Sai ở bước 4
C. Các bước đều đúng D. Sai ở bước 3
2

2
Câu 44: Phương trình log 3 (x + 3x + 1) + log 1 ( 3x + 6x + 2x) = 0 trên tập số thực có nghiệm a, b thỏa
3

a > b thì giá trị S = a + (b + 1) bằng:
A. 1
B. 3 2 − 1
C. 3
D. 2017
log 4 x
log 4 5
Câu 45: Phương trình 3
+x
= 2.x .
A. Có 1 nghiệm duy nhất.
B. Vô nghiệm.
C. Có 2 nghiệm phân biệt.
D. Có nhiều hơn 2 nghiệm.
x
x +1
Câu 46: Giải phương trình x.log 5 3 + log 5 ( 3 − 2 ) = log 5 3 − 4 . Ta có số nghiệm là:
2017

3

(

A. 0

B. 1

C. 2

)

D. 3

x +x+2
= x 2 − 4x + 3 . Ta có nghiệm.
2
2 2x − 3x + 5
A. x = - 1 v x = - 3.
B. x = 1 v x = - 3.
C. x = 1 v x = 3.
D. x = - 1 v x = 3.
2
log
x
+
(x
−
12)
log
x
+
11
−
x
=
0

Câu 48: Giải phương trình
. Ta có tích các nghiệm là:
3
3
2

Câu 47: Giải phương trình log

A. 3

B. 3 3
2

Câu 49: Giải phương trình 3log3 x + x log3 x

3
3
= 6 . Ta có nghiệm.

C.

D. 27


A. 3

B. 3
C. 1
D. 27
Câu 50: Giải phương trình log 2 x + 4 = log 2 2 + x − 4 . Có số có nghiệm.

(

A. 0

B. 1

Câu 51: Giải phương trình
A. 0
Câu 52: Giải phương trình
A. 5
Câu 53: Giải phương trình

)

C. 2

D. 3

2

log x − 3.log 2 x + 2 = log 2 x − 2 . Ta có số nghiệm là:
2
2

B. 1
C. 2
D. 3
log 2 x.log 3 x + x.log 3 x + 3 = log 2 x + 3log 3 x + x . Ta có tổng các nghiệm là:
B. 9

C. 35
D. 10
2
log ( 4x ) − log ( 2x ) = 5 . Ta có tích hai nghiệm là:
2
2

1
.
4
Câu 54: Giải phương trình log 3 x + 2 = 4 − log 3 x . Ta có nghiệm.
A. x = 3 v x = 37.
B. x = 9.
C. x = 9 v x = 37.
Câu 55: Giải phương trình log 3 ( log 5 x ) = log 5 ( log 3 x ) . Ta có nghiệm.

A. 16

A. x =

B. -3

log 5  log3 5 ÷


.
3 3

C.

B. x = 53.

5

D. -

2

D. x = 3.
D. x = 35.

C. x = 1.

(

1

)

x
x
x +2
− 6 . Có số nghiệm là:
Câu 56: Giải phương trình log 3 ( 2 − 2 ) + log 3 ( 2 + 1) = log 3 2

A. 0
B. 1
C. 2
2
2

Câu 57: Giải phương trình log 2 ( 2x ) + log 2x x = 1 . Ta có nghiệm.
A. x = 1 v x =

1
2

.

B. x = 1.

C. x = 1 v x = 2.

D. 3

D. x = 1 v x =

1
2

.

2

Câu 58: Giải phương trình 3x −1.2 x = 8.4 x −1 (*). Một học sinh giải như sau:
Bước 1: Ta có VT(*) > 0∀x và VP(*) > 0∀x
2

Bước 2: Logarit hóa hai vế theo cơ số 2. Ta có: log 2 (3x −1.2x ) = log 2 (8.4 x − 2 )
⇔ (x − 1) log 2 3 + x 2 = log 2 8 + (x − 2) log 2 4
⇔ x 2 − (2 − log 2 3)x + 1 − log 2 3 = 0 (1)

Bước 3: Giải phương trình (1) ta được hai nghiệm là x = 1; x = 1 − log 2 3 (thỏa mãn)
Hai nghiệm này cũng là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3
D. Đúng
2
Câu 59: Tìm m để phương trình log 3 x − (m + 2).log 3 x + 3m −1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1. x2 = 27.
A. m =

28
3

.

4

B. m = .
3

C. m = 25.

D. m = 1.

x
Câu 60: Tìm m để phương trình log 2 ( 4 − m ) = x + 1 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
A. 0 < m < 1.
B. 0 < m < 2.

C. - 1 < m < 0.
D. - 2 < m < 0.
2
2
Câu 61: Tìm m để phương trình log 2 x − log 2 x + 3 = m có nghiệm x ∈ [1; 8].
A. 2 ≤ m ≤ 6.
B. 2 ≤ m ≤ 3.
C. 3 ≤ m ≤ 6.
D. 6 ≤ m ≤ 9.
Câu 62: Tìm m để phương trình log 2 ( x − 2 ) = log 2 ( mx ) có 1 nghiệm duy nhất.

A. m > 2.
B. 1 < m < 2.
C. m > 0.
D. m > 1.
2
Câu 63: Tìm m để phương trình h log 2 x + log 2 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) là:
1
1
A. m ≥ 1
B. x ≤ 1
C. x ≥
D. x ≤
4
4


3
Câu 64: Tìm m để phương trình log 2 ( x − 3x ) = m có 3 nghiệm thực phân biệt.
A. m < 1.

B. 0 < m <1.
C. m > 0.
D. m > 1.

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1: Phương trình log 3 ( 3x − 2 ) = 3 có nghiệm là
25
29
11
B.
C.
D. 87
3
3
3
2
Câu 2: Số nghiệm của phương trình : log3 ( x − 6 ) = log 3 ( x − 2 ) + 1
A. 2
B.1
C. 3
D. 0
Câu 3: Tập nghiệm của phương trình : log 3 x + 1 = 2

A.

A.

{ −3; 2}

B. { −10; 2}

C. { −4; 2}

D. { 3}

Câu 4: Số nghiệm của phương trình : log 2 x.log 3 ( 2 x − 1) = 2.log 2 x là
A.1
B. 3
C. 0
D.2
1
2
+
= 1 có tổng các nghiệm là :
Câu 5: Phương trình :
5 − log 2 x 1 + log 2 x
33
A.
B. 12
C. 5
D. 66
64
Câu 6: Phương trình : log 2 ( log 4 x ) = 1 có nghiệm là :
A. 2
B. 4
C. 16
D. 8
3
2
Câu 7: Cho phương trình log 2 ( x + 1) − log 2 ( x − x + 1) − 2 log 2 x = 0 . Phát biểu nào sau đây đúng:

A. x ≠ 0
B. x > 0
C. x > −1
D. x ∈ ¡
Câu 8: Phương trình: log 2 x + log 2 ( x + 1) = 1 có tập nghiệm là:
 −1 + 5 
 −1 ± 5 
A. 
B. { 1}
C. { 1; −2}
D. 


 2 
 2 
Câu 9: Số nghiệm của phương trình: log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2 là:
A. 0
B.3
C.2
D. 1
2
Câu 10: Tập nghiệm phương trình: log 3 (4 − x) − 2 log 1 ( 4 − x ) = 15 là:
3

A. { 5; −3}

5
−3
B. { 3 ;3 }

 971

; −23
C. 
 243


107 

D. −239;

27 


2
Câu 11: Phương trình: log ( x − 7 x + 12 ) = log ( 2 x − 8 ) có bao nhiêu nghiệm:
A. 0
B.1
C. 2
D. 4
Câu 12: Phương trình: log 2 ( x + 1 − 2 ) = 2 không tương đương với mệnh đề nào sau đây:

A. x + 1 − 2 = 4

B. x + 1 = 6
C. x + 1 = 6 hay x + 1 = −6
D. x = 3( x = −5 loại)
Câu 13: Phương trình: 4 log 25 x + log x 5 = 3 có nghiệm là:
1
1

1
A. x = 5; x = 5
B. x = 1; x =
C. x = ; x = 5
D. x = ; x = 5
2
5
5
4
2
Câu 14: Tìm m để phương trình x − 6 x − log 2 m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 3 nghiệm lớn hơn
-1.
A.

1
< m <1
29

B.

1
≤ m <1
29

C. Đáp án khác

D.

1
< m <1

25

Câu 15: Số nghiệm dương của phương trình: log 2 x − 2 + log 2 x + 5 + log 1 8 = 0 là :
2


A. 1 nghiệm

B .3 nghiệm
C. 2 nghiệm
D. Vô nghiệm
2
Câu 16: Số nghiệm phương trình log 3 ( x + 4 x ) + log 1 ( 10 x − 5 ) = 0 là:
3

A. 3
B. Vô nghiệm
C. 1
D. 2
4
2
a
Câu 17: Tìm để phương trình x − 4 x + log 3 a + 3 = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt:
1
1
≤a<3
A.
B
C. 1 < a < 3

D. 1 ≤ a < 3
27
27
x
Câu 18: Phương trình log 2 ( 9 − 2 ) = 3 − x tương đương với phương trình nào dưới đây
A. 9 − 2 x = 3 − x
B. x 2 − 3x = 0
C. x 2 + 3x = 0
D. 9 − 2 x + 3 = 2− x
2
Câu 19: Tìm m để phương trình : log 3 x − m log 3 x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1
A. m = −2
B. m = 2
C. m = ±2
D. Không tồn tại m
3
x
2
Câu 20: Cho phương trình log 2 m = − 2 x 2 − 5 x − , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để
3
3
phương trình trên có 1 nghiệm là:
A. 2−34 ≤ m ≤ 22
B. m ≥ 4 hoặc 0 ≤ m ≤ 2−34 ` C. m > 4 hoặc 0 < m < 2−34 `
D. m ≥ 2 .
Câu 21 :

Số nghiệm của phương trình ln3x – 3ln2x – 4lnx+ 12 = 0 là

A. 0

Câu 22 :

C. 3

D. 2

Phương trình: log 4 (log 2 x) + log 2 (log 4 x) = 2 có nghiệm là

A. X=8
Câu 23 :

B. 1

B. X=16

C. X=4

D. X=2

C. 1

D. 2

Số nghiệm của phương trình:
là:

A. 0
Câu 24 :

2

Số nghiệm của phương trình log 3 ( x − 6) = log 3 ( x − 2) + 1

A. 0
Câu 25 :

Phương trình:

A. X=1; 1/2
Câu 26 :

B. 3

B. 1

4log
B.

C. 2

D. 3

x + log 5 = 3 có nghiệm là:

25

x

x = 5; x = 5

C. X=1/5; 5

D.

x = 1 / 5; x = 5

Phương trình 2 log 2 ( 2 x + 2 ) + log 1 ( 9 x − 1) = 1 có tổng các nghiệm bằng:
2

A. 0
Câu 27 :

C. 3/2

D. -3/2

Phương trình logx 2 − log16 x = 0 có tích các nghiệm bằng:

A. 0
Câu 28 :

B. 5/2

B. 1

(

C. -4

D. -1

)

2
Phương trình log3 x − x − 5 = log3 ( 2x + 5) có tổng các nghiệm bằng:

A. 2

B. 3

C. 5

D. -10


C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng :
A. a − n xác định với mọi ∀a ∈ ¡ \ { 0} ; ∀n ∈ N

B. a n = n a m ; ∀a ∈ ¡

C. a 0 = 1; ∀a ∈ ¡

D.

m

m

n

a m = a n ; ∀a ∈ ¡ ; ∀m, n ∈ ¢

−2
Câu 2. Tìm x để biểu thức ( 2 x − 1) có nghĩa:

A. ∀x ≠

1
2

B. ∀x >

1 
C. ∀x ∈  ; 2 ÷
2 

1
2

D. ∀x ≥

1
2

1

Câu 3. Tìm x để biểu thức ( x 2 − 1) 3 có nghĩa:
B. ∀x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 1; +∞ ) .

A. ∀x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

C. ∀x ∈ ( −1;1) .

D. ∀x ∈ ¡ \ { ±1} .
2

−
Câu 4. Tìm x để biểu thức ( x 2 + x + 1) 3 có nghĩa:

B. Không tồn tại x

A. ∀x ∈ ¡

Câu 5. Các căn bậc hai của 4 là :
A. −2
B. 2

C. ∀x > 1

D. ∀x ∈ ¡ \ { 0}

C. ±2

D. 16

Câu 6. Cho a ∈ ¡ và n = 2k (k ∈ ¥ * ) , a n có căn bậc n là :
A. a .

C. −a .

B. | a | .

n

D. a 2 .

Câu 7. Cho a ∈ ¡ và n = 2k + 1(k ∈ ¥ * ) , a n có căn bậc n là :
n

C. −a .

B. | a | .

A. a 2 n +1 .

D. a .

Câu 8. Phương trình x 2016 = 2017 có tập nghiệm ¡ trong là :
A. T={ ± 2017 2016}

B T={ ± 2016 2017}

Câu 9. Các căn bậc bốn của 81 là :
A. 3
B. ±3

C. T={2016 2017}

D. T={ − 2016 2017}

C. −3

D. ±9

Câu 10. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình x 2015 = −2 vô nghiệm.
B. Phương trình x 21 = 21 có 2 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình x e = π có 1 nghiệm.
D. Phương trình x 2015 = −2 có vô số nghiệm.
Câu 11. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có một căn bậc n của số 0 là 0.
C. Có một căn bậc hai của 4.
−0,75

Câu 12. Tính giá trị  1 ÷
 16 
A. 12

−

1
1
là căn bậc 5 của −
.
3
243
D. Căn bậc 8 của 2 được viết là ± 8 2 .
B. −

4

1 3
+  ÷ , ta được :
8
B. 16

C. 18

D. 24