Chuyen De Phuong Trinh Luong Giac

Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình
phơng trình lợng giác
I Ph ơng trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phơng trình sau
1.
sin 2 cos2 0x x
=

2.
sin 3 2 cos3 0x x
+ =

3.
2
4sin 1x =

4 .
2 2
sin sin 2 1x x+ =

5.
3
cos(sin )
2
x =

6.
sin 4
1
cos6
x

x
=

7. sin 2x = 2cos x
8.
=
sin .cot5
1
cos9
x x
x
9.
tan3 tan5x x
=

10. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
11.
sin 2
2 cos
1 sin
x
x
x
=
+
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm
3
;
2
x

của phơng trình
1
sin cos cos .sin
8 8 2
x x

+ =
II - Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lơng giác
Bài 1 : Giải các phơng trình sau
1.
cos2 3sin 2x x+ =

2.
4 2
4sin 12 cos 7x x+ =

3.
2
25sin 100 cos 89x x+ =

4.
4 4
sin 2 cos 2 sin2 cos2x x x x+ =

5.
+
=

6 6
2 2
sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x

6.
+ =
2
3
tan 9
cos
x
x
Bài 2 : Giải các phơng trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1. cos 2x ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2. sin
2
x ( 2m -1) sin x + m
2
-1 = 0 ( m là tham số )
III Ph ơng trình bậc nhất với sin x và cos x

Bài 1 : Giải các phơng trình sau
1.
sin 3 3 cos3 2x x+ =

2.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

3.
2sin17 3 cos5 sin 5 0x x x+ + =

4.
2sin (cos 1) 3 cos2x x x =
1
Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình
5.
3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x =

6.
3cos sin2 3(cos2 sin )x x x x = +
7.
sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + =
Bài 2 : Cho
3sin 2
2 cos2
x
y

x
=
+
1. Giải phơng trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Cho phơng trình m sin x + 2 cos x = 1-m
Xác định m để
1. Phơng trình vô nghiệm
2. Phơng trình có nghiệm
IV Ph ơng trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phơng trình
1)
2
2sin 2 2 3 sin 2 cos2 3x x x =

2)
1
4sin 6 cos
cos
x x
x
+ =

3)
3
sin 3 2 cosx x=
4)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ =

5)
3 3
cos sin sin cosx x x x+ =

6)
3
8cos ( ) cos3
3
x x

+ =
7)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +

8)
3
2 sin ( ) 2sin
4
x x

+ =

9)
sin 3 cos3 2 cos 0x x x
+ + =

Bài 2 : Cho phơng trình ( m +3) ( 1+sinx cos x) = (m+2) cos
2
x
1. Giải phơng trình khi m = -3 ; m = 0
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm
V Ph ơng trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phơng trình
1 .
12(sin cos ) 4sin cos 12 0x x x x+ =

2 .
sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + =

3 .
5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x + + =
4 .
1
sin 2 (sin cos ) 0
2
x x x+ + =
5 .
5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x + =

6 .
3 3
2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ + + =
7 .
1 1
(sin cos 1)(sin 2 )
2 2

x x x

+ + =

2
Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình
8 .
sin cos 4sin 2 1x x x + =
9 .
sin cos sin 2 0x x x+ =

10 .
2(sin cos ) tan cotx x x x+ = +

11 .
cot tan sin cosx x x x = +

12 .
2sin 2 1 sin cos
2sin 2 1 sin cos 1
x x x
x x x
+ +
=
+

Bài 2 : Cho phơng trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -
2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số
y = 2( sin x cos x) + 3sin 2x -1
VI Ph ơng trình lợng giác khác
A- phơng trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phơng trình
1.
+ + =
2
1
cot 1 0
sin
x
x
2.
+ =
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phơng trình
1.
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = +
3.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 0x x x+ =
2.

2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + =
.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =

C Ph ơng trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phơng trình
1 .
cos cos 2 cos 3 cos 4 0x x x x+ + + =

2.
1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x+ + = + +

3.
3
2cos cos 2 sin 0x x x+ + =

4 .
cos cos3 2 cos5 0x x x+ + =
5 .
3 3
cos sin sin 2 sin cosx x x x x+ = + +

6 .
2 3
sin cos sin 0x x x+ + =
7.
2
1 sin
tan
1 cos
+
=
+
x
x
x

8 .
3 3
sin cos sin cosx x x x = +
9 .
cos cos 5
8sin sin 3
cos3 cos
x x
x x
x x
=

10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos
2
x

3
Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình
D- Phơng trình lợng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phơng trình sau
1.
3 1
8cos KQ x= ; x=
sin sin 12 2 3
k
x k
x x


= + + +
2.
2
1 cos 2
1 cot 2 KQ x=
sin 2 4
x
g x k
x



+ = +
3.
4 4
4
sin 2 cos 2 k

cos 4 KQ x =
2
tan( )tan( )
4 4


+
=
+
x x
x
x x
4.
2
cos (1 cot ) 3
3cos KQ x= ;
4 6
2 sin( )
4



+
= + = +

x x
x k x k
x
5.
2

cos 2sin cos
3 KQ x= 2
2cos sin 1 6
x x x
k
x x



= +

Bài 2: Giải các phơng trình
1.
tan 3x= tan 5x

2.
tan2xtan7x=1

3.
sin 4x
1
co s 6x
=
4.
sin cot 5
1
cos9
=
x x
x

5.
3
sin( )
cos 2
4
sin( 2 ) cos( )
2 4
x
x
x x


+
=
+

6.
cos3 .tan5 sin 7=x x x
Bài 3 : Giải các phơng trình
1.
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos3
x x x
x x x
+ +
=
+ +

2.
2
1 2sin 3 2 sin sin 2
1
2sin cos 1
x x x
x x
+ +
=

3.
3 3
sin cos
cos 2
2cos sin
x x
x
x x
+
=


4.
1 1
2 2 sin( )
4 sin cos
x
x x

+ = +

5.
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1

=
+
x x
x x x

6.
2
3tan3 cot 2 2tan
sin 4
+ = +x x x
x
7.
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
+ = +

8.
2 2
2 2
1 1
cos sin
cos sin
x x

x x
=
Bài 4:
4
Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình
a) Tìm các nghiệm
;3
2
x




ữ

của phơng trình

5 7
sin(2 ) 3cos( ) 1 2sin
2 2
x x x

+ = +
b) Tìm các nghiệm
[ ]
0; 2x


của phơng trình

cos3 sin 3
5(sin ) cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
+ = +
+
c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện
3
2 2 4
x


của phơng trình

sin cos 1 sin
2 2
x x
x =
d) Tìm các nghiệm thoã mãn
2x <
của phơng trình

2 2
1
(cos5 cos 7 ) cos 2 sin 3 0
2
x x x x+ + =

Phơng trình lợng giác có chứa tham số
Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thờng dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phơng trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x
D
thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t
T
* Với mỗi t
T
thì phơng trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phơng trình lợng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phơng trình có
nghiệm x
D
Xác định m để các phơng trình sau :
1. Cos 2x 3 cos x +m = 0 có nghiệm
;
3 2
x



ữ

2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm
0 ;
2
x

ữ

3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm
0 ;
2
x



ữ

4. ( m-1 ) ( sin x cos x ) ( m+ 2) sin 2x = 0
5. m cos
2
2x 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm
0 ;
4
x



ữ

6. cos 4x -
2
4tan
1 tan+

x
x
= 2 m có nghiệm
0 ;
2
x



ữ

7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm
0 ;
2
x



ữ

8. Cos 2x = m cos
2
x
1 tan+ x
có nghiệm
0;
3

9. tan
2
x + cot
2
x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
10. 2 sin x cos 2x sin 3x 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
5