Chuyên đề làm chủ hình học lớp 12

CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

NGUYỄN THỊ LANH

8


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHƯƠNG 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 1: THỂ TÍCH

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức tính thể tích khối đa diện
Khối đa diện
Công thức

Hình minh họa
S

1
S.h
3
Với S là diện tích đáy, h là chiều cao
khối chóp

V=

Khối chóp

C

A
Sđáy
B
A'

Khối lăng trụ

V = S.h
Với S là diện tích đáy, h là chiều cao
lăng trụ

C'
B'

h

A

C

Sđáy

B
C'

D'

Khối hộp chữ
nhật

V = a.b.c
Với a, b, c là ba kích thước của hình
hộp

B'

A'
D

C

A

B

C'

D'

Khối lập phương

V = a3
Với a là độ dài cạnh của hình lập
phương

D
A

NGUYỄN THỊ LANH

B'

A'

C
B

9


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A'





h
S+S'+ SS'
3
Với S, S’ là diện tích hai đáy, h là
chiều cao khối chóp cụt
V=

Khối chóp cụt

C'
B'

A

C
B

 Chú ý
Hình chóp đều
Hình lăng trụ đều
Là hình chóp có đáy là đa giác đều và các Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác
cạnh bên bằng nhau, hình chiếu vuông góc đều, các cạnh bên bằng nhau và vuông
của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm góc với mặt đáy.
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

S

A'

C'
B'

h

A
B

D
O

A

C

Hình chóp tam giác đều
Là hình chóp có đáy là tam giác đều, các
mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh, hình
chiếu vuông góc của đỉnh trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy (cũng
là trọng tâm, trực tâm).

NGUYỄN THỊ LANH

C

Sđáy

B
Tứ diện đều
Là hình chóp có tất cả các mặt là tam
giác đều, hình chiếu vuông góc của
đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác đáy (cũng là trọng tâm,
trực tâm).

10


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2. Tỉ số thể tích
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,

SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:
VS.A'B'C' SA' SB' SC'
=
.
.
VS.ABC SA SB SC

S
A'
C'
B'
C

A
B

 Một số lưu ý khi xác định đường cao của khối chóp
 Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì cạnh đó chính là đường cao.
 Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy thì đường cao của hình chóp là đường
thẳng thuộc mặt bên, kẻ từ đỉnh và vuông góc với giao tuyến của mặt bên và mặt đáy.
 Khối chóp có hai mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt đó
chính là đường cao của khối chóp.
 Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc
bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
 Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao
là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
 Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác đáy
 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
 AB2  AC2  BC2 (Định lí Pitago)

A

 AH.BC  AB.AC
 AB2  BH.BC; AC2  CH.BC
 AH2  BH.CH

1
1
1
 2 2
2
AH
AB AC
 Hệ thức lượng trong tam giác thường


B

C

H

 a2  b2  c2  2bc.cos A (Định lí côsin)

A

a
b
c




 2R (Định lí sin)
sin A sinB sinC
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam ABC)

b

c
B

a

C

 Công thức tính diện tích tam giác bất kì
1
1
abc
S  a.ha  ab.sinC 
 p.r  p  p  a  p  b p  c 
2
2
4R
NGUYỄN THỊ LANH

11


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a bc
nửa chu vi của tam giác;
2
R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đó

với p 

 Chú ý: Diện tích tam giác đều cạnh a là: S 

a 3
a2 3
.
, với đường cao h 
2
4

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thể tích khối chóp
với S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp
BÀI TẬP MẪU
 Cơ bản
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = a và cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A. V 

a3
.
3

B. V 

a3 2
.
3

C. V 

a3 2
.
6

D. V 

2a3
.
3

Hướng dẫn giải
Em có: SA   ABC  , suy ra SA là đường cao của hình

S

chóp và SA = 2a ;

2a

1
1
a2
Diện tích đáy : SABC  BA  BC  a  a  .

2
2
2
Vậy thể tích của khối chóp là
VS.ABC

A

1
1
a 2 a3
 SA  SABC  2a   .
3
3
2
3

C
a
B

 Đáp án A
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SB = a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
A. V 

a3 2
.
3

B. V 

a3
.
3

C. V 

2a3
.
3

D. V 

a3 2
.
6

Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, em có SA   ABCD

S

 SA là đường cao của hình chóp.

SAB vuông tại A có SB = a 3, AB = a nên

a 3
A

SA  SB  AB  3a  a  2a  a 2 .
2

2

2

2

2

D

2

Diện tích đáy là: SABCD = a.a = a .
Vậy thể tích của khối chóp là:
NGUYỄN THỊ LANH

B

a

C

12


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1
1
a3 2
VS.ABCD  SA.SABCD  .a 2.a2 
.
3
3
3
 Đáp án A
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BAC  600 và cạnh bên
SA vuông góc với đáy, SA = a 3. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A. V 

4a3
.
3

B. V=

a3
.
2

C. V 

2a3 3
.
3

D. V 

2a3
.
3

Hướng dẫn giải
Em có: SA   ABC 

S

 SA là đường cao của hình chóp.

Xét  ABC vuông tại B nên tanBAC 

BC
AB

a 3

 BC  AB.tan600  a 3.
A

1
1
a2 3
SABC  AB  BC  a  a 3 
.
2
2
2

C

600

a

1
1
a 2 3 a3
B
 VS.ABC  SA  SABC  a 3 
 .
3
3
2
2
 Đáp án B
Câu 4: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = a, SA vuông góc với
đáy, góc tạo bởi cạnh bên SC với mặt phẳng đáy bằng 45o. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
3
A. V  a 6.

B. V 

a3 2
.
6

C. V 

a3 3
.
3

Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ABC vuông cân tại B, BA = BC = a

3
D. V  a 3.

S

 AC  BA  BC  a 2
2

2

Em có: SA   ABC 
 Góc giữa SC và  ABC  chính là góc giữa SC, AC

hay SCA  450.
SAC vuông có SCA  450 nên SAC vuông cân

450

A

a

a

tại A  SA  AC  a 2.

B

1
1
a2
Diện tích ABC là: SΔABC = BA  BC = a  a = .
2
2
2
1
3

C

1
3

Vậy thể tích của khối chóp là: VS.ABC  SA  SABC  a 2 

a 2 a3 2

.
2
6

 Đáp án B

NGUYỄN THỊ LANH

13


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Vận dụng
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SD  3a , hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABCD.
A. V 

2a3
.
3

B. V 

a3
.
6

C. V 

a2
.
3

8a3
.

3

D. V 

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB;

S

Em có: SH   ABCD
 SH là đường cao của hình chóp.

Do đó SH  HD.



B



 SH = SD2 -DH2 = SD2 - AD2 + AH2 = 2a

Diện tích đáy là: SABCD =2a  2a = 4a

C

3a

2

H

Thể tích khối chóp là

A

1
1
8a3
VS.ABCD = SH  SABCD = 2a  4a2 =
.
3
3
3

D

2a

 Đáp án D
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC  là tam
đều cạnh a và vuông với mặt đáy  ABC  . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
A. V 

a2 3
.
4

B. V 

a3 3
.
24

a3
.
24
Hướng dẫn giải
C. V 

D. V 

a3 3
.
2

1
1
Gọi H là trung điểm của BC, ABC vuông cân tại A nên AH  BC  a.
2
2
SH  BC

Áp dụng vào bài em có:  SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC

 SH   ABC

1

a2
a 3
S

BC

AH

.
SBC đều nên SH 
và ABC
2
4
2
Thể tích khối chóp là:

1
1 a 3 a 2 a3 3
VS.ABC  SH  SABC 
 
.
3
3 2 4
24

S

a
a
B

A
a
H
C

 Đáp án B

NGUYỄN THỊ LANH

14


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, mặt phẳng SBC  tạo với mặt phẳng đáy  ABC  một góc bằng 600. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABC.
A. V 

a3 3
.
8

B. V 

2a3
.
3

C. V 

a3 3
.
4

D. V 

a3
.
3

Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của BC, AI 

a 3
a2 3
,SABC 
.
2
4

S

BC  AI
Em có 
 BC  SAI   BC  SI;
BC  SA

 SBC    ABC   BC


Áp dụng vào bài em có: SI   SBC  ,SI  BC

 AI   ABC  , AI  AC

A

C

600

I

a
B

 Góc giữa  SBC  và  ABC  chính là góc giữa SI và AI

hay SIA  600.
XétSAI vuông tại A, tanSIA 

SA
3a
 SA  tan600.AI  .
AI
2

1
3

Thể tích khối chóp là: VS.ABC  SA.SABC 

1 3a a2 3 a3 3
.

.
3 2
4
8

 Đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, BC = 2a. Hai mặt
bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD , SA  a 11 . Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V 

2a3 11
.
3

B. V 

2a3 11
a3 11
C. V 
.
.
6
6
Hướng dẫn giải

D. V  2a3 11.

SAB , SAD   ABCD

Có: 
 SA   ABCD .

SAB  SAD  SA

S

SABCD  AB  BC  a  2a  2a2
A

Thể tích khối chóp là:

D

a

3

1
1
2a 11
VS.ABCD  SA  SABCD  a 11  2a2 
.
3
3

3
 Đáp án A

B

C

2a

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB  a 2 , SA = SB = SC.
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
3
A. V  a 3.

NGUYỄN THỊ LANH

B. V 

a3 3
.
3

C. V 

a3
.
3

D. V 

a3
.
6

15


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC  HA = HB = HC
Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Mặt khác: SA = SB = SC nên SH là trục của đường
tròn ngoại tiếp ABC.

 SH   ABC 
 Hình chiếu vuông góc của SA trên  ABC  là AH.

S

2a

B

C

H

 Góc giữa SA và  ABC  chính là góc giữa SA và

a 2

AH hay SAH  600.

A

ABC vuông cân tại A: AC = AB = a 2
 BC = 2a, AH  a
0
SHA vuông tại H: SH  AH  tan60  a 3 .

1
1
SABC  AB  AC  a 2  a 2  a2 .
2
2

1
1
a3 3
VS.ABC  SH  SABC  a 3  a2 
.
3
3
3

 Đáp án B

* Nâng cao
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a,
CD = a, góc giữa hai mặt phẳng SBC  và  ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh

AD. Biết hai mặt phẳng SBI  và SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD .Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V 

3a3 15
.
5

B. V 

a3 15
a3 5
C. V 
.
.
5
15
Hướng dẫn giải

D. V 

 SBI    ABCD

 SCI    ABCD  SI   ABCD

 SBI    SCI   SI

Em có: SABCD 

S

2a  a
 2a  3a2 ;
2

A

Kẻ IK  BC, BC  SI  BC  SIK   BC  SK

I

 Góc giữa  SBC  và  ABCD chính là góc giữa

SK và IK hay SKI  600.

2a3 15
.
5

D

E

B

600

C

K

1
1
SABI  AB  IA  2a  a  a2
2
2

NGUYỄN THỊ LANH

16


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1
a2
3a2
Mặt khác em tính được: SCDI  CD.ID  ;SICB  SABCD  SABI  SCDI 
;
2
2
2

BC  CE2  EB2 
 IK 

 AB  CD

2

 AD2  a 5

2SICB 3a 5
3 15a
; SI  IK  tan600 

.
BC
5
5

1
3 15a3
 VS.ABCD  SI  SABCD 
.  Đáp án A
3
5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA = a 3. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

2a3
a3
a3
C. V  .
D. V  .
.
4
3
3

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a,
AC = 7a, AD = 4a. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V
của tứ diện AMNP.
3
A. V  2a 3.

7
A. V  a3 .
2

B. V 

B. V 

2a3
.
3

C. V  7a3 .

D. V 

28a3
.
3

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3 . Chiều cao
h của hình chóp đã cho là

3

3
3
a.
a.
a.
B. h 
C. h 
D. h  3a.
6
2
3
Câu 14: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a có thể tích là
A. h 

a3 3
a3 33
a3 11
a3 11
.
.
.
.
B.
C.
D.
3
3
12
8
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

A.

phẳng  ABCD , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD bằng 450. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD.

2a3
a3
a3 2
C. V 
D. V  .
.
.
3
3
3
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
3
A. V  2a 3.

B. V 

phẳng  ABCD , SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 300. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD.

6a3
a3
a3 3
.
C. V  .
D. V 

.
18
6
3
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều
cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp
3
A. V  a 3.

B. V 

S.ABCD biết rằng SBC  tạo với mặt phẳng đáy một góc 300.
NGUYỄN THỊ LANH

17


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

3
4 3a3
2a3 3
.
.
B. V 
C. V  2 3a3 .
D. V 
.
2
3

3
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt

A. V  a3

phẳng SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Biết SB  2a 3 và SBC  300 . Tính thể tích
khối chóp S.ABC theo a.
3
A. V  2a 3.

B. V 

2a3 3
.
2

3
C. V  a 3.

D. V 

a3
.
3

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, ABC  600 ; hình
chiếu vuông góc của S trên cạnh BC là điểm H sao cho BC = 4BH, góc giữa SA và đáy bằng 600
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
a3
a3 2

a3 3
a3 3
B. V  .
C. V 
D. V 
.
.
.
3
3
3
4
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của

A. V 

S trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
a3 7
a3 7
a3 21
a3 7
B. V 
C. V 
D. V 
.
.
.
.
36

24
12
12
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt

A. V 

phẳng  ABCD và SH  2a 3. Tính theo a thể tích khối chóp S.CDNM.
a3 3
5a3 3
2a3 3
5a3 3
B. V 
C. V 
D. V 
.
.
.
.
24
12
24
24
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi điểm M thuộc cạnh AB sao

A. V 

cho MA = 2MB và hình chiếu vuông góc của S trên mặt  ABC  là trung điểm của CM. Góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

a3
a3
a3 7
a3 7
.
.
.
B. V 
C. V 
D. V  .
24
14
24
14
Câu 23: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
A. V 

và CD bằng a 3 . Thể tích khối chóp đều S.ABCD bằng
a3 3
4a3 3
B. V 
C. V  a3 3.
D. V  4a3 3.
.
.
3
3
Câu 24: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và

A. V 

SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 300. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V 

a3 6
.
3

NGUYỄN THỊ LANH

B. V 

a3 2
.
3

C. V 

2a3
.
3

D. V  a3 2.

18


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8.

Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A. V = 40.
B. V = 192.
C. V = 32.
D. V = 24.
Câu 26: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  bằng
A. V 

a3
.
2

a 2
. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
2

C. V 

B. V  a3 .

a3 3 3
.
9

D. V 

a3
.
3

Câu 27: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại bằng 2 3 . Tìm x để thể
tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x  14.

B. x  6.

D. x  3 2.

C. x  2 3.

Câu 28: Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy,
khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  bằng 3. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC  và

 ABC , tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
1
A. cos   .
3

11
C
20
D

B. cos  

12
C
21
B

13
D
22
A

3
.
3

14
D
23
B

C. cos  

ĐÁP ÁN
15
C
24
B

16
D
25
C

2
D. cos   .

3

2
.
2

17
C
26
D

18
A
27
D

19
D
28
B

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 11:
Em có: SA   ABC 

S

 SA là đường cao của hình chóp và SA = a 3
Diện tích đáy: SABC 

a

2

a 3

3

.
4
Vậy thể tích của khối chóp là:
1
1
a 2 3 a3
VS.ABC  SA.SABC  a 3.
 .
3
3
4
4

A

C
a
B

 Đáp án C
NGUYỄN THỊ LANH

19


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 12:
Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên em có:
1
1
1
VA.BCD  AD.SABC  AD.AB.AC  4a.6a.7a  28a3 .
3
6
6
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD nên
1
SMNP  SBCD .
4
Vậy thể tích của khối tứ diện AMNP là:

D

N
P
A

C
M

B

1
1
1
1
VA.MNP  .d  A,  MNP   .SMNP  .d  A,  MNP   . .SBCD  VA.BCD  7a3 .
3
3
4
4
 Đáp án C
Câu 13:

Em có: AB  BC  CA  2a,VS.ABC  a3 .

2a 


2

Diện tích của tam giác đều cạnh 2a: SABC

4

3

 a2 3.

1
3V
3a3

Áp dụng công thức về thể tích: VS.ABC  h.SABC  h 
 2
 a 3.
3
SABC a 3

 Đáp án D
Câu 14:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, S.ABC là chóp tam

S

SA  SB  SC  2a

giác đều   AB  AC  BC  a
SG  ABC
 


2a

 SG là đường cao của hình chóp.
a2 3
a 3
; AM 
Em có: SABC 
4
2

C

A
a

2
a 3
 AG  AM 
.
3
3
 SG  SA2  AG2  4a2 

G

M
B

a2 a 11

;
3
3

1
1 a 11 a2 3 a3 11
VS.ABC   SG  SABC  


.  Đáp án D
3

3
4
12
3

Câu 15:
SA   ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng  ABCD .
 Góc giữa SC và  ABCD chính là góc giữa SC và AC hay SCA  450.

Suy ra SA = AC = a 2
NGUYỄN THỊ LANH

20


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Mà diện tích đáy : SABCD  a.a  a

2

S

1
1
a3 2
VS.ABCD  SA  SABCD  a 2  a2 
.
3
3
3

 Đáp án C

D

A
450

B

C

a

Câu 16:
Theo giả thiết em có SA   ABCD  SA  AD,

S

Mà AD  AB  AD  SAB .

300

 SA là hình chiếu vuông góc của SD trên mặt

phẳng SAB

hay DSA  300.

 SA  a  cot300  a 3; SABCD  a.a  a ;
2

D

A

 Góc giữa SD và  SAB chính là góc giữa SD và SA
B

C

a

1
1
a3 3
2
VS.ABCD  SA  SABCD  a 3  a 
.
3
3
3
 Đáp án D
Câu 17:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC.

S

2a 3
 SI 
a 3

2

2a

SI  AD

 SI   ABCD .
Trong SAD ,  SAD   ABCD

 SAD   ABCD  AD

Em có: SBC   ABCD  BC.

A

B
0

30

J

I
D

C

Trong  SBC  , SJ  BC và trong  ABCD có IJ  BC
 Góc giữa  SBC  và  ABCD chính là góc giữa SJ với IJ hay SJI  300.

Xét SIJ vuông tại I  tanSJI 

SI
SI
 IJ 
 3a
IJ
tan300

1
1
1
VS.ABCD  SI  SABCD  SI  AD  IJ  a 3  2a  3a  2a3 3.
3
3
3
 Đáp án C

NGUYỄN THỊ LANH

21


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 18:
Hạ SH  BC (H  BC), em có:

S

SH  BC


 SH   ABC 
 SBC    ABC 

 SBC    ABC   BC

2a 3

SH  SB.sinSBC  2a 3.sin300  a 3

B

1
1
SABC  BA  BC  3a  4a  6a2 .
2
2

1
1
VS.ABC  SH  SABC  a 3  6a2  2a3 3.
3
3
Câu 19:
Em có: SH   ABC 

300

4a

H

C

3a
A

 Đáp án A

S

 AH là hình chiếu của SA trên  ABC 
 Góc giữa SA và  ABC  chính là góc giữa SA và AH

hay SAH  600.
Em lại có: BC 

AB
cosABC



a
a
 2a; BH=
0
cos60
2

A

600

3a2
a 3
 AH 
4
2
2
1
1
a 3
SABC  BA.BC.sin ABC  .a.2a.sin600 
.
2
2
2
3a
SH  AH.tan600 
2

C

AH2  AB2  BH2  2AB.BH.cos600 

B

H

1

1 a2 3 3a a3 3
VS.ABC  SH.SABC  .
. 
.
3
3 2
2
4
 Đáp án D
Câu 20:
Em có: SH   ABC   HC là hình chiếu vuông góc

S

của SC trên mặt phẳng  ABC  .
 Góc giữa SC và  ABC  chính là góc giữa SC và HC

hay SCH  600.

a
a 3
,
Gọi D là trung điểm của AB, DA  ,CD 
2
2
2
2
HA  AB  a.
3
3

NGUYỄN THỊ LANH

600

A
D

C

H
B

22


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
DH  HA  DA 

2a a a
a 7
  , HC  HD2  CD2 
,
3 2 6
3

SH  HC  tan600 

a 21
a2 3
,SABC 

.
3
4

1
1 a 21 a2 3 a3 7
VS.ABC  SH  SABC 


.
3
3 3
4
12
 Đáp án D
Câu 21:
Em có: SH   ABCD , suy ra SH là đường cao của

S

1
khối chóp  VS.CDNM  SH.SCDNM .
3

1
1
SCDNM  SABCD  SAMN  SBCM  AB2  AM.AN  BM.BC
2
2
2

2
2
a a 5a
.
 a2   
8 4
8

2a 3

N

A

D
H

M

1
1
5a2 5 3a3
VS.CDNM  SH  SCDNM  2a 3 

.
3
3
8
12

C

a

B

 Đáp án B
Câu 22:
Gọi H là trung điểm của CM  SH   ABC .

S

 HC là hình chiếu của SC trên  ABC  .
 Góc giữa SC và  ABC  chính là góc giữa SC, CH

hay SCH  600.
Em có: ABC đều cạnh a nên SABC 

a2 3
.
4

M

A
H

Xét tam giác BCM em có:
CM2  BC2  BM2  2BC  BM  cos60o
2

a 1 7a2
a
 a2     2  a   
3 2 9
3
 CM 

B

a

C

a 7
1
a 7
 CH  CM 
.
3
2
6

Em lại có: SH  CH  tan60o 

a 21
.
6

1 a 21 a2 3 a3 7



.
Vậy VS.ABC  
3 6
4
24
 Đáp án A
NGUYỄN THỊ LANH

23


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 23:
Em có CD//AB  CD// SAB

S

 d CD,SA   d CD, SAB   d C, SAB   2d O, SAB 

d CD,SA 

a 3
2
2
Gọi I là trung điểm của AB  SI  AB (SAB cân tại S).
Dựng OH  SI, khi đó em có:
 d O, SAB  




OH  AB  AB  SOI  
 OH  SAB

OH

SI



 d O, SAB   OH 

I

H

A

D
O
C

B

a 3
2

Tam giác SOI vuông tại O em có :

1
1
1
OH.OI
 2  2  SO 
 a 3.
2
OH SO OI
OI2  OH2

1
4 3a3
.
Vậy VS.ABCD  a 3.4a 2 
3
3
Câu 24:

 Đáp án B

BC  BA
Em có: 
 BC  SAB  BC  SB
BC  SA

S

 SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt
phẳng SAB

 Góc giữa SC và  SAB chính là góc giữa SC

và SB hay CSB  300.
Xét CSB vuông tại B,
BC
BC
tanCSB 
 SB 
a 3
SB
tan300
Xét SAB vuông tại A,
SA  SB2  AB2  a 2, SABCD  a.a  a

A

B
C

D

2

1
1
a3 2
2
VS.ABCD  SA  SABCD  a 2  a 
.
3

3
3

 Đáp án B

Câu 25:
Em thấy BC2  AC2  AB2  ABC vuông tại A
1
1
Nên SABC  AB  AC  6  8  24
2
2
1
1
VS.ABC  SA  SABC  4  24  32.  Đáp án C
3
3

NGUYỄN THỊ LANH

24


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 26:
VS.ABCD  2VS.ABC

S

1

1
1
VS.ABC  SA  SABC  SA  BA  BC
3
3
2
1
1
1
 VS.ABCD  2  SA  BA  BC  SA  BA  BC
3
2
3

K
A

Trong  SAB , hạ AK  SB.
BC  BA
Em lại có: 
 BC  SAB  BC  AK
BC  SA

B

C

D

a 2

2
SAB vuông tại A, áp dụng hệ thức lượng tỏng tam giác vuông em được:
1
1
1
2
1
1
 2  2  2  2  2  SA  a
2
AK SA AB
a SA a
 AK  SBC   d  A, SBC    AK 

1
1
a3
VS.ABCD  SA  BA  BC  a  a  a  .
3
3
3
 Đáp án D
Câu 27:
Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
ABC cân tại C nên AB  MC.
ABD cân tại D nên AB  MD.
1
1
 AB   MCD  VABCD  AM.SMCD  BM.SMCD
3

3
1
 AB  SMCD
3
CBA  DBA  c  c  c   MC  MD  12 

A
x
M

B

x2
4

D

2 3

N

 MCD cân tại M.

 MN  CD,MN  CM2  CN2  9 

x2
4

C

1
x2
 SMCD  MN.CD  3. 9 
2
4

VABCD 

3
x2
3 x
x2
3  x2
x2 
x 9 
2  9  

9


  3 3  Theo BĐT Cauchy 
3
4
3 2
4
3 4
4

Đẳng thức xảy ra

NGUYỄN THỊ LANH

x
x2
 9   x  3 2.  Đáp án D
2
4

25


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 28:
Gọi M là trung điểm của BC  AM  BC

S

Kẻ AH  SM  H SM
BC  AM
Vì 
 BC  SAM  BC  AH
BC  SA

H

AH  SM
Em có: 
 AH  SBC   AH  d  A; SBC    3.
AH  BC

A

C
M

Mà SBC   ABC  BC, SM  BC, AM  BC.

B

 Góc giữa  SBC  và  ABC  chính là góc giữa SM và AM hay SMA   .

Đặt AB = AC = x, SA = y
1
1
1
1
1
1
1

  2
 2 2 2
2
2
AH 9 SA AM SA AB AC


1 1 1
1 1 1
1

 2  2  33 2  2  2  33
2
y x x
y x x
y.x2





2

 BDT  cauchy   x2y  81

3

Thể tích của khối chóp S.ABC là:
1
1 1
1
1
27 3
VS.ABC  SA  SABC  y  x  x  x2y   81 3 
.
3
3 2
6
6
2

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = 3 3
 AB  AC  SA , AM 

3 6
9 2
AM
3
,SM 
 cos  

2
2
SM 3

 Đáp án B

NGUYỄN THỊ LANH

26


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Dạng 3: Tỉ số thể tích
Bài toán áp dụng: Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt
lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó
Chứng minh
Gọi H’ và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ và A trên mặt phẳng

A’H’AH

BÀI TẬP MẪU
 Cơ bản
Câu 50: Cho hình chóp S.ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC. Gọi
V
V1 là thể tích của khối chóp S.A’B’C’ và V2 là thể tích khối chóp S.ABC. Tính tỉ số 1 .
V2
A.

1
.
2

1
.
4
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức ở bài toán áp dụng em được:
VS.A'B'C' V1 SA' SB' SC' 1 1 1 1




    .
VS.ABC V2 SA SB SC 2 2 2 8

B.

1
.

3

C.

D.

1
.
8

S

C'

A'

 Đáp án D

B'
C

A
B

Câu 52: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tỉ số thể tích của
khối tứ diện AMCN với khối tứ diện ABCD là
1
1
1
1

A. .
B. .
C. .
D. .
4
2
3
6
NGUYỄN THỊ LANH

27


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức ở bài toán áp dụng em được:
VA.MCN AM AC AN 1 1 1



 1  .
VA.BCD AB AC AD 2 2 4

A

M

 Đáp án C

N

B

D

C

Câu 53: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi V1 là thể tích của khối tứ diện ABA’C’ và V2
là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Tính tỉ số
A.

1
.
4

1
.
5
Hướng dẫn giải
Cách 1: Giả sử diện tích đáy của hình lăng trụ là S,
chiều cao là h, thể tích khối lăng trụ là V.
V2  VA'B'C'.ABC  S.h

B.

1
.
3

V1

.
V2

C.

D.

2
.
3
B

A
C

V2  VB.A'B'C'  VC'.ABC  VABA'C'
1
1
Trong đó: VB.A'B'C'  S.h; VC'.ABC  S.h
3
3
V 1
1
1
 V1  VABA'C'  S.h  V2  1  .
3
3
V2 3

B'

A'

 Đáp án B

C'

1
1
Cách 2: VB.AA'C'  VB.ACC'  VC'.ABC  d C',  ABC   .SABC  VABC.A'B'C'
3
3
VB.AA'C'
1 V

  1.
VABC.A'B'C' 3 V2

 Vận dụng
Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với đáy.
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích
của khối chóp A.BCNM.
a3 3 3
a3 3
C. V 
.
.
25
50
Hướng dẫn giải

Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABC.

A. V 

a3 3 3
.
50

NGUYỄN THỊ LANH

B. V 

D. V 

a3 2 3
.
25

28


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VS.ABC  VS.AMN  VA.BCNM .
Mặt khác:

VS.AMN SA SM SN SM  SB SN  SC






VS.ABC SA SB SC
SB2
SC2

Mà SAB và SAC vuông tại A, AM  SB, AN  SC  SM  SB  SA2 , SN  SC  SA2 ;
SB2  SA2  AB2  5a2 ,SC2  5a2 .



VS.AMN SA2 SA2 4a2 4a2 16





VS.ABC SB2 SB2 5a2 5a2 25.

S

16
16
 VS.AMN  VS. ABC  V.
25
25
16
9
 VA.BCNM  V  V  V.
25

25

Do ABC đều cạnh a nên SABC 

2a

a2 3
.
4

N
M

A

C

1
1
a 2 3 a3 3
 V  SA  SABC  2a 

.
3
3
4
6
Vậy thể tích của khối chóp A.BCNM là
VA.BCNM 

9
9 a3 3 3a3 3
V 

.
25
25 6
50

a
B

 Đáp án A

1
Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM  SA. Mặt phẳng
3

  qua M và song song với mặt đáy lần lượt cắt SB, SC, SD tại N, P, Q. Tỉ số thể tích của
khối chóp S.MNPQ với khối chóp S.ABCD là
1
1
1
A. .
B. .
C.
.
9
3
81

Hướng dẫn giải

D.

1
.
27

Do   qua M và song song với mặt đáy nên em kẻ MNAB  N SB ;
NPBC  P SC  ; PQCD Q SD     chính là  MNPQ  .

VS.MNPQ  VS.MNP  VS.MQP .
Em có:
và

S

VS.MNP SM SN SP 1
1


 
 VS.MNP 
VS.ABC .
VS.ABC SA SB SC 27
27

VS.MQP
VS.ADC

SM SQ SP 1
1


 
 VS.MQP 
VS.ADC .
SA SD SC 27
27

1
1
1
 VS.MNP  VS.MQP  VS.ABC  VS.ADC   VS.ABC  VS.ADC  .
27
27
27
1
 Đáp án D
 VSMNPQ  .VSABCD .
27

NGUYỄN THỊ LANH

M

Q
N

P

A

D

B

C

29


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Chú ý: Em nhớ rằng, bài toán chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Còn với khối chóp tứ
giác, ngũ giác, lục giác,… em cần chia ra thành các khối chóp tam giác và áp dụng công thức.
 Nâng cao
Câu 56: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy
góc 600. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và
cắt SD tại F. Thể tích khối chóp S.AEMF là
A.

2a3 6
.
13

B.

a3 6
.
6

C.

a3

D.

.

6 6
Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là giao điểm của SO với AM.

Em có: BD  AEMF   BDEF

a3 6
.
18

S

VS.AEMF  VS.AMF  VS.AME ;
1
1
a3
VS.ABCD  SO  SABCD  OA  tan60  a2 
.
3
3
6

SM 1
 ; O , M là trung điểm của AC, SC;
SC 2
AM cắt SO tại I nên I là trọng tâm tam giác SAC.
SI 2

 .
SO 3
SF 2
Mà I EF; EFBD nên
 .
SD 3
V
SA SM SF 1
1
 S.AMF 


  VS.AMF  VS.ACD .
VS.ACD SA SC SD 3
3

M
E

Em có

B

A

I

F

C

O
D

1
1
Tương tự em có VS.AME  VS.ACB  VS.AEMF  VS.AME  VS.AFM   VS.ACB  VS.ADC 
3
3
1
a3
a3 6
 VS.AEMF  VS.ABCD 

.
3
18
3 6

 Đáp án D

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 57: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của SB,SC.
Lấy A’ là điểm thuộc SA thỏa mãn SA  3SA'. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’ theo V.

1
1
1
1
A. VS.A'B'C'  V .
B. VS.A'B'C'  V .
C. VS.A'B'C'  V .
D. VS.A'B'C'  V .
12
6
2
8
Câu 58: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh
V'
.
là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
V
V' 1
V' 1
V' 2
V' 5
 .
 .
 .
 .
A.
B.
C.
D.
V 4

V 2
V 3
V 8

NGUYỄN THỊ LANH

30


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh
a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi J là trung điểm cạnh SD. Tính thể tích
khối tứ diện ACDJ theo a.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
B. V 
C. V 
D. V 
.
.
.
.
12
8
24
6
Câu 60: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA

A. V 

vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi cạnh bên SB và mặt phẳng  ABCD bằng 600.
Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SB. Tính thể tích khối chóp H.ACD.

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
.
B.
C.
D.
.
.
4
12
6
9
Câu 61: Cho hình lăng trụ đứng A’B’C’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
A'A  2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và A’C. Thể tích
A.

khối tứ diện IABC là

4a3
4a3
2a3
a3 15

B.
C.
D.
.
.
.
.
9
3
9
9
Câu 62: Cho hình lăng trụ A’B’C’.ABC có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các
AM 1 BN CP 2
cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho
 ,

 . Thể tích khối đa diện ABC.MNP bằng
AA' 2 BB' CC' 3
2
9
20
11
A. V .
B.
C.
D.
V.
V.
V.
3

27
16
18
A.

Câu 63: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2, SA vuông góc với
đáy, SA = a. Gọi G là trọng tâm SBC, mặt phẳng    qua AG và song song với BC cắt SC, SB
lần lượt tại M, N. Thể tích của khối chóp S.AMN là
A.

5a3
.
27

B.

4a3
.
27

C.

3a3
.
27

D.

2a3
.

27

Câu 64: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB  SA  a, AD  a 2, SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của AC và
BM. Thể tích của khối chóp ANIM theo a là

a3 3
a3 3
a3 2
.
B. a3 3.
C.
D.
.
.
3
12
72
Câu 65: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA  a hình
A.

chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH 

AC
.
4

Gọi CM là đường cao tam giác SAC  M SA  . Thể tích khối tứ diện SMBC là
a3 3
a3 5

a3 14
a3 33
B.
C.
D.
.
.
.
.
48
36
8
13
Câu 66: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể
tích V của khối chóp A.GBC.

A.

NGUYỄN THỊ LANH

31


CHUYÊN ĐỀ 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. V  3.
B. V  4.
C. V  6.
D. V  5.
Câu 67: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, góc tạo bởi giữa SC và
mặt phẳng SAB bằng 300. Mặt phẳng  P  qua A và vuông góc với SC chia hình chóp thành

hai phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh S, V2 là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số

V1
.
V2

1
1
B. .
C. 1 .
D. 2.
.
3
2
Câu 68: Cho tứ diện S.ABC có M và N là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho
SM 1 SN
 ,
 2. Mặt phẳng    qua MN và song song với SC chia tứ diện thành hai phần.
MA 2 NB
V
Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A và V2 là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số 1 .
V2

A.

4
5
5
B. .
C. 2.

D. .
.
9
9
4
Câu 69: Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua C’ của
SC'
cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số
.
SC

A.

1
2
5 1
5 1
B. .
C.
D.
.
.
.
2
3
2
2
Câu 70: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện thành 2 khối
đa diện, trong đó khối đa diện đỉnh A có thể tích V. Tính V.

A.

A.

7 2a3
.
216

57
A
64
D

B.
58
B
65
C

11 2a3
.
216

59
C
66
B

C.

13 2a3
.
216

ĐÁP ÁN
60
D
67
B

61
A
68
C

D
62
D
69
C

2a3
.
18

63
D
70
B

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 57:

NGUYỄN THỊ LANH

32