Bài tập về phép tịnh tiến

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ
a. Tìm ảnh của A(2;1) qua phép tịnh tiến

r
u (1; −2)

Tur

b. Tìm ảnh của đường thẳng d1: x-3y+4=0 qua phép tịnh tiến

Tur

c. Tìm đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d: 2x+y+3=0 qua phép tịnh tiến
d. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-2)2+(y+3)2=4 qua phép tịnh tiến

Tur

Tur

Giải
a, Gọi

Tur

(A)=A’, A’(x’,y’)

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

x ' = x + a
x ' = 2 +1 = 3
⇔

⇒ A '(3; −1)

y' = y +b
 y ' = 1 − 2 = −1

b. Cách 1
Chọn điểm M(-1;1)∈ d1: x-3y+4=0
Đường thẳng d1 đi qua M(-1;1) và có vectơ pháp tuyến
Gọi

Tur

(M)=M’, M’(x’;y’)

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi

r
n(1; −3)

Tur ( d1 ) = (d1 ')

r
n = (1; −3)

. Đường thẳng d1’ đi qua M’(0;-1) và có vectơ pháp tuyến

=> d1’: x - 3y - 3 = 0
Cách 2:

x ' = x + a
 x ' = −1 + 1 = 0
Tur : 
⇔
⇒ M '(0; −1)
y' = y +b
 y ' = 1 − 2 = −1


Gọi

Tur

( d1)= d1’

Gọi M(x;y)∈ d1 , M’(x’;y’) ∈ d1’ sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur

(M)=M’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 1
⇔
⇒


Tur  y ' = y + b
 y = y '− b  y = y '+ 2

:

M(x’-1;y’+2)∈ d1: x-3y+4=0=> (x’-1)-3(y’+2)+4=0 => x’-3y’-3=0
Vậy d1’: x-3y-3=0
c, Cách 1
Chọn điểm M(-1;-1)∈ d: 2x+y+3=0
Đường thẳng d đi qua M(-1;-1) và có vectơ pháp tuyến
Gọi

Tur

r
n(2;1)

(M)=M’, M’(x’;y’)

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Theo đề bài

Tur

x ' = x + a
 x ' = −1 + 1 = 0
⇔
⇒ M '(0; −3)

Tur  y ' = y + b

 y ' = 1 − 2 = −3

:

(d)=∆
r
n(2;1)

Đường thẳng ∆ đi qua M’(0;-3) và có vectơ pháp tuyến
=> ∆: 2(x-0)+(y+3)=0 => 2x+y+3=0
Cách 2
Theo đề bài

Tur

(d)=∆

Gọi M(x;y)∈ d , M’(x’;y’) ∈ ∆ sao cho

Tur

(M)=M’


Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 1
⇔

⇒

T y' = y +b
 y = y '− b  y = y '+ 2
r
u

:

M(x’-1;y’+2)∈ d1: 2x+y+3=0=>2(x’-1)+(y’+2)+3=0=>2x’+y’+3=0
Thay x=x’-1 và y=y’+2 vào phương trình d, ta có
2x+y+3=0=>2(x’-1)+(y’+2)+3=0=>2x’+y’+3=0
Vậy ∆: 2x+y+3=0
d, Đường tròn (C): (x-2)2+(y+3)2=4 có tâm I(2;-3) và bán kính R=2
Gọi

Tur

(I)=I’, I’(x’;y’)

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi

Tur

x ' = x + a
x ' = 2 +1 = 3
⇔
⇒ I '(3; −5)


T y' = y +b
 y ' = −3 − 2 = −5
r
u

:

(C)=(C’)

Đường tròn (C’) có tâm I’(3;-5) và bán kính R=2
=>(C’): (x-3)2+(y+5)2=4
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy,cho điểm M(1;-2), đường thẳng d: 2x-y+4=0,
đường tròn (C): (x-2)2+(y+2)2=0 và vectơ
a. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến
r
v(1;3)

Tur

r
u (2; −3)

, tìm d” là ảnh của d’ qua phép tịnh tiến

theo vectơ
b. Viết phương trình (C”) là ảnh của đường tròn (C) khi thưc hiện liên tiếp có thứ
r
Tur
Tvr
v(1;3)

tự hai phép tịnh tiến
Giải

a. Theo đề bài

Tur

(d)=d’

và

với


Gọi M(x;y)∈ d , M’(x’;y’) ∈ d’ sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur

(M)=M’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 2
⇔
⇒

Tur  y ' = y + b

 y = y '− b  y = y '+ 3

:

M(x’-2;y’+3)∈ d: 2x-y+4=0=>2(x’-2)-(y’+3)+4=0 => 2x’-y’-3=0
=> d’: 2x-y-3=0
Tvr

Tiếp theo ta có (d’) = d”
Gọi N(x;y) ∈ d’, N’(x’;y’) ∈ d” sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tvr

(N)=N’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 1
⇔
⇒

T y' = y +b
 y = y '− b  y = y '− 3
r
v

:

N(x’-1;y’-3)∈ d’: 2x-y-3=0=>2(x’-1)-(y’-3)-3=0=>2x’-y’-2=0
Vậy d”: 2x-y-2=0
b. Gọi

Tur

((C))=(C’)

Đường tròn (C): (x-2)2+(y+2)2=9 có tâm I(2;-2) và bán kính R=3
Gọi I’(x’;y’) là ảnh của I(2;-2) qua phép tịnh tiến

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur Tur

(I)=(I’)

x ' = x + a = 2 + 2 = 4
=> I '(4; −5)
T  y ' = y + b = −2 − 3 = −5
r
u

:

Gọi I”(x”;y”) là ảnh của I’(4;-5) qua phép tịnh tiến

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

:

Tvr Tvr

:

(I’)=(I”)

x ' = x + a = 4 + 2 = 5
=> I "(5; −2)
Tvr  y ' = y + b = −5 + 3 = −2

:

Đường tròn (C”) có tâm I”(5;-2) và bán kính R=3


=> (C”): (x-5)2+(y+2)2=9