Bai toán về phép tính

Các bài toán về phép tính
-----------------------
A. Các dạng tính nhanh:
Bài 1: Tính nhanh biểu thức sau:
a.
1
2 3ì
+
1
3 4ì
+
1
4 5ì
+ ..............+
1
21 22ì
+
1
22 23ì
.
b.
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1

16
+ .................+
1
1024
+
1
2048
Giải
a. Nhận xét:
1
2 3ì
=
1
2
-
1
3
;
1
3 4ì
=
1
3
-
1
4
;
.......................................................
1
21 22ì

=
1
21
-
1
22
;
1
22 23ì
=
1
22
-
1
23
Thay vào dãy tính ta có :
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
21

-
1
22
+
1
22
-
1
23
.
Kết quả dãy tính còn lại là:
1
2
-
1
23
=
21
46
b. Cách1:
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1

16
+ .................+
1
1024
+
1
2048
Nhận xét:
1
2
= 1 -
1
2
;
1
4
=
1
2
-
1
4
;
1
8
=
1
4
-
1

8
; ..........
1
2048
=
1
1024
-
1
2048
;
Thay vào dãy tính ta có:
1 -
1
2
+
1
2
-
1
4
+
1
4
-
1
8
.......... +
1
1024

-
1
2048
;
Kết quả dãy tính còn lại là:
1 -
1
2048
=
2047
2048
Cách 2:
Đặt: A =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ .................+
1
1024
+
1
2048

Nhân cả hai vế với 2 ta có:
2 x A = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ .................+
1
1024
19
A = 2 x A A = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ .................+

1
1024
-
1
2
-
1
4
-
1
8
-
1
16
- .................-
1
1024
-
1
2048
= 1 -
1
2048
=
2047
2048
Đáp số: a=
21
46
; b=

2047
2048
Bài 2: Tính nhanh biểu thức sau:
a.
2
3 5ì
+
2
5 7ì
+
2
7 9ì
+......................+
2
21 23ì
+
2
23 25ì
b.
1
2 4ì
+
1
4 6ì
+
1
6 8ì
+ ....................+
1
22 24ì

+
1
24 26ì
Giải
a. Nhận xét:

2
3 5ì
=
1
3
-
1
5
;
2
5 7ì
=
1
5
-
1
7
;
2
7 9ì
=
1
7
-

1
9
............................
2
21 23ì
=
1
21
-
1
23
;
2
23 25ì
=
1
23
-
1
24
.
Thay vào dãy tính ta có:
1
3
-
1
5
+
1
5

-
1
7
+
1
7
-
1
9
+
1
21
-
1
23
+
1
23
-
1
24
.
Kết quả dãy tính còn lại là:
1
3
-
1
24
=
7

24
b.
1
2 4ì
+
1
4 6ì
+
1
6 8ì
+ ....................+
1
22 24ì
+
1
24 26ì
Ta có thể viết lại dãy tính nh sau:
(
2
2 4ì
+
2
4 6ì
+
2
6 8ì
+......................+
2
22 24ì
+

2
24 26ì
) x
1
2
Nhận xét nh ở bài 1b và thay vào ta có:
(
1
2
-
1
4
+
1
4
-
1
6
+
1
6
-
1
8
+.........+
1
22
-
1
24

+
1
24
-
1
26
) x
1
2
Kết quả dãy tính còn lại là:
(
1
2
-
1
26
)
ì
1
2
=
3
13
Đáp số: a=
7
24
; b=
3
13
Bài 3: Tính nhanh:

2009 2009 20082008 2008 2008 20092009
2008 20072007
ì ì ì ì
ì
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức bằng cách nhanh nhất:
a) 6,19 + 7,24 + 8,29 + . . . . + 25,09 + 26,14
20
b)
0,04 0,8 25 1, 25 0,4672 0,5328
1, 25 10 4 25 8
× × × + +
× × × ×
Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc b»ng c¸ch hîp lÝ:
a) 0,18
×
1230 + 0,9
×
4567
×
2 + 3
×
5310
×
0,6
b) 1,2
×
438
×
2 + 0,24
×

2520 + 0,6
×
310
×
4
Gi¶i
a) 0,18
×
1230 + 0,9
×
4567
×
2 + 3
×
5310
×
0,6
= 0,18
×
1230 + 0,9
×
2
×
4567 + 3
×
0,6
×
5310
= 1,8
×

123 + 1,8
×
4567 + 1,8
×
5310
= 1,8
×
( 1230 + 4567 + 5310)
= 1,8
×
10000 = 18000
§¸p sè: 18000; 1200
Bµi 6: TÝnh A biÕt: A = (6 :
3
5
-
1
1
6

×

6
7
) : (
1
4
5
×

10
11
+
2
5
11
)
Gi¶i
A = (6 :
3
5
-
1
1
6

×
6
7
) : (
1
4
5
×
10
11
+
2
5
11

)
A = (10 – 1) : (
21
5
×
10
11
+
57
11
)
A = 9 : (
42
11
+
57
11
)
A = 9 : 9 = 1
§¸p sè: A = 1
Bµi 7: TÝnh nhanh:
a) A =
1
2
+
1
4
+
1
8

+ ......+
1
512
+
1
1024
b) B = 1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ ....+
1
243
+
1
729
Gi¶i
a) A =
1
2
+
1
4
+
1

8
+ ......+
1
512
+
1
1024
Ta cã:
2 x A = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ......+
1
512
A = 2 x A – A = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ .....+

1
512
-
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ......+
1
512
+
1
1024
A = 1 -
1
1024

⇒
A =
1023
1024
21
b) B = 1 +
1
3
+

1
9
+
1
27
+ ....+
1
243
+
1
729
3 x B = 3 + 1 +
1
9
+
1
27
+ ....+
1
243
2 x B = 3 x B – B = 3 + 1 +
1
9
+
1
27
+ ....+
1
243
- 1 +

1
3
+
1
9
+
1
27
+ ....+
1
243

+
1
729
2
×
B = 3 -
1
729
2
×
B =
2186
729

⇒
B =
1093
729

§¸p sè: A =
1023
1024
; B =
1093
729
Bµi 8: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ:
a) P =
1
6
+
1
12
+
1
20
+
1
30
+ . . . +
1
90
+
1
110
b) Q =
1
1 2+
+
1

1 2 3+ +
+
1
1 2 3 4+ + +
+ . . . +
1
1 2 3 4 ... 10+ + + + +
Gi¶i
a) P =
1
6
+
1
12
+
1
20
+
1
30
+ . . . +
1
90
+
1
110
P =
1
2 3×
+

1
3 4×
+
1
4 5×
+
1
5 6×
+ . . . +
1
9 10×
+
1
10 11×
NhËn xÐt:
1
2 3×
=
1
2
-
1
3
;
1
3 4×
=
1
3
-

1
4
;
. . . . . . . . . . .
Thay vµo d·y tÝnh ta cã:
P =
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+
1
5
-
1
6
+ . . . +

1
9
-
1
10
+
1
10
-
1
11
.
KÕt qu¶ d·y tÝnh cßn l¹i lµ:
P =
1
2
-
1
11
=
9
22
b) Q =
1
1 2+
+
1
1 2 3+ +
+
1

1 2 3 4+ + +
+ . . . +
1
1 2 3 4 ... 10+ + + + +
Q =
1
2 3 : 2×
+
1
3 4 : 2×
+
1
4 5 : 2×
+ . . . +
1
10 11: 2×
Q : 2 =
1
2 3×
+
1
3 4×
+
1
4 5×
+ . . . +
1
10 11×
NhËn xÐt nh bµi trªn ta cã:
22

Q : 2 =
1
2
-
1
11
=
9
22

Q =
9
22

ì
2 =
9
11
Đáp số:
9
22
;
9
11
Bài 9: Cho biểu thức:
A =
1
21
+
1

22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
+
1
26
+
1
27
+
1
28
+
1
29
+
1
30
Chứng tỏ rằng A >
1
3
.
Bài 10: Cho biểu thức: A =

1
7
+
1
13
+
1
25
+
1
49
+
1
97
.
Chứng tỏ rằng A <
1
3
.
Giải
A =
1
7
+
1
13
+
1
25
+

1
49
+
1
97
< B =
1
6
+
1
12
+
1
24
+
1
48
+
1
96
Tính B ta có:
B =
1
6
+
1
12
+
1
24

+
1
48
+
1
96
2
ì
B =
1
3
+
1
6
+
1
12
+
1
24
+
1
48

B = 2
ì
B B =
1
3
+

1
6
+
1
12
+
1
24
+
1
48
-
1
6
-
1
12
-
1
24
-
1
48
-
1
96
=
1
3
-

1
96
Nên : A =
1
7
+
1
13
+
1
25
+
1
49
+
1
97
<
1
3
-
1
96
<
1
3

A<
1
3

Bài 11: Cho tổng T =
1
10
+
1
11
+
1
12
+ . . . +
1
18
+
1
19
T có phải là số tự nhiên không? Vì sao?
Giải
Nhận xét:
Ta thấy từ
1
10
đến
1
19
có 10 số hạng mà:

1
11
;

1
12
; . . . ;
1
18
;
1
19
<
1
10
nên T =
1
10
+
1
11
+
1
12
+ . . . +
1
18
+
1
19
<
10
10
= 1.

Vậy T không phải là số tự nhiên.
Bài12: Tính nhanh:
S = (1-
1
2
)
ì
(1-
1
3
)
ì
(1-
1
4
)
ì
. . . . .
ì
(1-
1
2007
)
ì
(1-
1
2008
)
23
Giải

Ta có:
S =
1
2

ì
2
3

ì
3
4

ì
. . . .
ì
2006
2007

ì
2007
2008
=
1
2008
Đáp số:
1
2008
Bài 13: So sánh A với
29

40
, biết: A =
1
21
+
1
22
+
1
23
+ . . . +
1
79
+
1
80
Giải
A =
1
21
+
1
22
+
1
23
+ . . . +
1
79
+

1
80
>
1
80
+
1
80
+
1
80
+ . . .
1
80
+
1
80
( 60 số
hạng) =
60
80
=
30
40
>
29
40
.
Kết luận: A >
29

40
Bài 14: Tính nhanh biểu thức sau:
a.
2006 2004 9
1995 2004 2005
ì
+ ì
b.
2006 2008 1
2005 2006 2007
ì
+ ì
c.
1995 1994 1
1993 1995 1994
ì
ì +


Giải
a. Phân tích mẫu số ta có: 1995 +2004
ì
2005 = 1995 + 2004
ì
(2006 1)
= 1995 +2004
ì
2006 2004 = 2004
ì
2006 9.

Sau khi phân tích mẫu số ta thấy mẫu số có giá trị bằng tử số nên phân số trên
có giá trị bằng 1
b. Phân tích mẫu số ta có:
2005 + 2006
ì
2007 = 2005 + 2006
ì
(2008 1)
= 2005 + 2006
ì
2008 -2006 = 2005 + 2006
ì
2008 2006
= 2006
ì
2008 -1.
Sau khi phân tích mẫu số ta thấy mẫu số có giá trị bằng tử số. Vậy phân số có
giá trị bằng 1.
c. Phơng pháp giải tơng tự bài a và bài b.
Bài 15: Tính biểu thức sau một cách hợp lí nhất:
a.
254 399 145
254 399 253
ì
+ ì
b.
1993 1993 1994
1992 1995 1995
+ ì
ì +

c.
399 45 55 399
1995 1996 1991 1995
ì + ì
ì ì
Bài 16: Tính biểu thức sau một cách hợp lí nhất:
a.
1996 1995 996
1000 1996 1994
ì
+ ì
b.
1998 1996 1997 11 1985
1997 1996 1995 1996
ì + ì +
ì ì
24
Giải
b.
1998 1996 1997 11 1985
1997 1996 1995 1996
ì + ì +
ì ì
Phân tích mẫu số ta có:
1997
ì
1996 1995
ì
1996 = 1996
ì

(1997 -1995) = 1996
ì
2.
Phân tích tử số ta có:
1998
ì
1996 + 1997
ì
11 + 1985 = 1998
ì
1996 + (1996 + 1)
ì
11 + 1985
= 1998
ì
1996 + 1996
ì
11 + 11 +1985 = 1998
ì
1996 + 1996
ì
11 +1996
= 1996
ì
(1998 + 11 + 1 ) = 1996
ì
2010.
Vậy giá trị phân số trên là:
1996 2010
1996 2

ì
ì
= 1005.
Đáp số : 1005
Bài 17: Tính nhanh:
a) (1999
ì
1998 + 1998
ì
1997)
ì
(1 +
1
2
:
1
1
2
-
1
1
3
)
b) (792,81
ì
0,25 + 792,81
ì
0,75)
ì
( 11

ì
9 900
ì
0,1 -9)
Đáp số: a = 0; b = 0
Bài 18: Tính nhanh biểu thức sau:
a.
2 2 2 2
7 5 17 293
3 3 3 3
7 5 17 293
+ +
+ +
b.
2003 14 1988 2001 2002
2002 2002 503 504 2002
ì + + ì
+ ì + ì
Giải
a.
2 2 2 2
7 5 17 293
3 3 3 3
7 5 17 293
+ +
+ +
=
1 1 1 1
2 ( )
7 5 17 293

1 1 1 1
3 ( )
7 5 17 293
ì + +
ì + +
=
2
3

Bài 19: Tính nhanh tổng sau:
a. 2 + 4 + 6 + 8 +...................+ 1998 + 2000.
b. 3 + 7 + 11 + 15 +.................+ 803 + 807 .
c.
Giải
a. Số cuối hơn số đầu là: 2000 2 = 1998.
Số khoảng cách là: 1998 : 2 = 999 (khoảng cách)
Số số hạng là: 999 +1 = 1000 (số hạng )
Số cặp là: 1000 : 2 = 500 (cặp)
Giá trị mỗi cặp là: 2 + 2000 = 2002.
Giá trị của dãy tính là: 2002
ì
500 = 1001000
25
b. Số cuối hơn số đầu là: 807 3 = 804
Số khoảng cách là: 804 : 4 = 201 (khoảng cách)
Số số hạng là: 201 + 1 = 202 (số hạng )
Số cặp là: 202 : 2 = 101 (cặp)
Giá trị mỗi cặp là: 3 + 807 = 810
Giá trị của dãy tính là: 810
ì

101 = 81810
Đáp số: 1001000; 81810
Bài 20: Tính nhanh:
98 + 87 + 76 + . . . + 21 12 23 34 - . . . 89
B. So sánh phân số:
Bài 1: Không qui đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các cặp phân số sau:
a.
49
38
và
75
64
b.
13
92
và
2
13
Giải
Không qui đồng tử số,hãy so sánh các cặp phân số sau:
a.
49
38
và
75
64

Ta có:
49
38

= 1 +
11
38
;
75
64
= 1 +
11
64
Vì
11
38
>
11
64
nên
49
38
>
75
64

b.
13
92
và
2
13
.
Vì

13
92
<
13
91
=
1
7
;
2
13
>
2
14
=
1
7
nên
13
92
<
2
13
Bài 2: Không qui đồng mẫu số hãy so sánh các cặp phan số sau:
a.
1999
2000
và
2000
2001

; b.
15
32
và
19
40
; c.
1995
1997
và
2000
2002
;
d.
15
48
và
3
12
; đ.
325
326
và
326
327
; e.
105
109
và
116

120
;

Bài 3: Không qui đồng mẫu số hãy so sánh các cặp phan số sau:
a.
16
27
và
15
29
; b.
31
42
và
30
44
; c.
2001
2004
và
2000
2005
;
Bài 4: So sánh các cặp phân số sau:
26
a.
327
326
và
326

325
; b.
198
197
và
197
196
; c.
15
50
và
1
3
.
C. Tìm thành phần ch a biết của phép tính
Bài 1: Tìm X biết:
a. (7
ì
13 + 8
ì
13) : (8 + 21 X) = 39.
b. 1,2 x (
2,4 0,23X
X
ì
- 0,05) = 1,44.
Giải
a. (7
ì
13 + 8

ì
13) : (8 + 21 X) = 39.
13
ì
(7 + 8) : (29 X ) = 39
15 : ( 29 X ) = 3
29 X = 5
X = 29 5 = 24.
b. 1,2
ì
(
2,4 0,23X
X
ì
- 0,05) = 1,44.
2,4 0,23X
X
ì
- 0,05 = 1,2
2,4 0,23X
X
ì
= 1,25
X
ì
2,4 0,23 = 1,25
ì
X
1,15
ì

X = 0,23
X = 0,23 : 1,15 = 0,2
Đáp số: 24; 0,2
Bài 2: Tìm X biết :
a. (X + 1) + (X + 4) + (X + 7) + ...............+ (X + 28) =155.
b. 25%
ì
X +
3
4
ì
X + X = 35
c. (12,98 + 0,25)
ì
(
17
10
+ 7 8,7) : (23 -
11
12
+
9
25
) + 12,7 X = 5
Giải
a. áp dụng phơng pháp tính nhanh cho vế trái ta có:
Số cuối hơn số đầu là: (X + 28) - (X + 1) = 27.
Số khoảng cách là : 27 : 3 = 9 ( khoảng cách)
Số số hạng là: 9 + 1 = 10 (số hạng)
Số cặp là: 10 : 2 = 5 ( cặp)

Giá trị mỗi cặp là: (X + 1) + (X + 28) = 2
ì
X + 29.
Giá trị vế trái là: (2
ì
X + 29)
ì
5 = 155
2
ì
X + 29 = 31.
27