Copy of DE 4 THI HSG t9 r

§Ò 4

PHÒNG GD – ĐT
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học : 2011 – 2012
Môn thi: TOÁN – Lớp 9
Ngày thi: 29/10/2011
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI:
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n,
Ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:
B = (4 + 15)( 10 − 6)( 4 − 15 )
Bài 3: (4 điểm)
a
2b
+
=1
1+ a 1+ b
1
2
Chứng minh: ab ≤
8

Cho a, b > 0 thỏa:

Bài 4: (4 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M = −2 x 2 + 7 x + 31 − 2 ( − x 2 + 4 x + 21) ( − x 2 + 3 x + 10 )

Với −2 ≤ x ≤ 5
Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O, với OA = OB = 2a. Vẽ đường tròn
tâm O, bán kính bằng a. Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị
nhỏ nhất.
------------------------ Hết ------------------------


®Ò 4

PHÒNG GD – ĐT
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học : 2011 – 2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐÁP ÁN THAM KHẢO:
Bài 1: (3 điểm)
Ta có: A = 7.52n + 12.6n

= 7.25n – 7.6n + 19.12n
= 7.( 25n – 6n ) + 19.12n
= 7.( 25 – 6 )f(n) + 19.12n
= 7.19f(n) + 19.12n
= 19.[7.f(n) + 12n] M19 , với mọi số tự nhiên n.
Vậy: với mọi số tự nhiên n, ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:

B = (4 + 15)( 10 − 6)( 4 − 15 )
= (4 + 15) 2 ( 4 − 15 )( 10 − 6)
= ( 4 + 15 ).( 4 + 15. 4 − 15 ). 2.( 5 − 3)
= ( 4 + 15 ). 42 − ( 15) 2 . 2.( 5 − 3)
= 8 + 2 15.( 5 − 3)
= ( 5 + 3) 2 .( 5 − 3)
= ( 5) 2 − ( 3) 2 = 5 − 3 = 2
Bài 3: (4 điểm)
Ta có:

a
2b
a (1 + b) + 2b(1 + a )
+
=1⇔
=1
1+ a 1+ b
(1 + a)(1 + b)
⇔ a + ab + 2b + 2ab = 1 + a + b + ab
⇔ 2ab + b = 1

Vì: a, b > 0 nên: 2ab và b là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương 2ab và b ta có:
2ab + b ≥ 2. 2ab.b
⇔ (2ab + b) 2 ≥ 4.2ab 2
⇔ 1 ≥ 8ab 2
1
⇔ ab 2 ≤
8

Bài 4: (4 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = −2 x 2 + 7 x + 31 − 2 ( − x 2 + 4 x + 21) ( − x 2 + 3 x + 10 )
= −2 x 2 + 7 x + 31 − 2 ( 7 − x ) ( x + 3) ( x + 2 ) . ( 5 − x )
= −2 x 2 + 7 x + 31 − 2 [( 7 − x ) ( x + 2 ) ].[( 5 − x ) ( x + 3)]


= −2 x 2 + 7 x + 31 − 2 ( − x 2 + 5 x + 14 ) ( − x 2 + 2 x + 15 )
= ( − x 2 + 5 x + 14 ) − 2 ( − x 2 + 5 x + 14 ) ( − x 2 + 2 x + 15 ) + ( − x 2 + 2 x + 15 ) + 2
=

(

( − x 2 + 5 x + 14 ) −

−2 ≤ x ≤ 5

Vậy: Min A = 2, Với

( −x

Dấu “=” xảy ra khi:

2

( − x 2 + 2 x + 15)

+ 5 x + 14 ) =

( −x

2

)

2

+2≥2

+ 2 x + 15 ) ⇒ x =

1
(TMĐK)
3

Bài 5: (5 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O, với OA = OB = 2a. Vẽ đường tròn
tâm O, bán kính bằng a. Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị
B

M

O

E

A

K

nhỏ nhất.
Gọi E là giao điểm của OA với (O), K là trung điểm của OE và M là điểm bất kì thuộc

đường tròn (O)
Xét ∆ OKM và ∆ OMA có: Góc MOK chung và

OK OM 1
=
=
OM OA 2

KM 1
= ⇒ AM = 2 KM
Nên: ∆ OKM : ∆ OMA ⇒
AM

2

Vậy: MA + 2MB = 2KM + 2MB = 2(KM + MB) ≥ 2KB
Vì: KB không đổi , nên: MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2KB.
Hay: KM + MB = KB ⇒ Ba điểm K, M, B thẳng hàng.
Vậy: MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BK với (O)