Đề, đáp thi HSG Toán

Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 1 năm học 2006-2007
-------------------------
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------
Câu 1:
a, Cho 3 số hữu tỉ a, b, c thoả mãn: ab + ac + bc = 1.
Chứng minh rằng: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) là bình phơng của một số hữu tỉ.
b, Cho x, y là các số thực sao cho x + y = 2.
Chứng minh: x
4
+ y
4
2
Câu 2: Với n là số nguyên dơng, chứng minh: n
2
+11n+39 không chia hết cho
49
Câu 3: Tìm các số x, y, z thoả mãn phơng trình:
x + y + z + 4 = 2
2

x
+ 4
3

y
+ 6
5

z
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB > AC, D là trung điểm của BC. Trên tia AD
lấy điểm E sao cho AD = DE.
a, So sánh các góc CAE; AEC; DAB.
b, Gọi M là chân đờng phân giác dựng từ đỉnh A của tam giác ABC.
Chứng minh M nằm giữa C và D.
Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
vòng 1 năm học 2006-2007
Vòng 1 năm học 2006-2007
-------------------------

môn: Toán - lớp 9
Câu 1: (2,25 điểm).
a, Ta có: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) =
= (a
2
+ ab + ac + bc)( b
2
+ ab + ac + bc)( c
2
+ ab + ac + bc) (0,5 đ)
=
[ ]
))(( caba
++
[ ]
))(( cbba
++
[ ]
))(( cbac
++
=
[ ]
))()(( cbcaba
+++

2
Do a, b, c là số hữu tỉ nên (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) là số hữu tỉ.
(0,5 đ)
b, Đặt x = 1 + k, khi đó từ x + y = 2 ta có y = 1- k.
(0,25 đ)
x
4
+ y
4
= (1 + k)
4
+ (1 - k )
4
= 2k
4
+ 12k
2
+ 2 = 2(k
4
+ 6k
2
) + 2
(0,5 đ)
Vì k

4
+ 6k
2
0 nên 2(k
4
+ 6k
2
) + 2 2 tức là x
4
+ y
4
2
(0,25 đ)
Dấu đẳng thức xảy ra khi k
4
+ 6k
2
= 0 hay k = 0, hay x = y = 1.
(0,25 đ)
Câu 2: (1,25 điểm).
Ta có n
2
+ 11n + 39 = (n
2
+ 11n + 18) + 21 = (n + 9)(n + 2) + 21.
(0,5 đ)
Vì hiệu của (n + 9) và (n + 2) là 7 nên chúng cùng chia hết cho 7 hoặc
cùng không chia hết cho 7
(0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia hết

cho 49 nhng 21 không chia hết cho 49 nên n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho
49. (0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng không chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2)
không chia hết cho 7 , nhng 21 chia hết cho 7 nên n
2
+ 11n + 39 không chia
hết cho 49.
(0,
25 đ)
Câu 3: Từ x + y + z + 4 = 2
2

x
+ 4
3

y
+ 6
5

z
(1)
Ta có: x + y + z + 4 - 2
2

x
- 4
3

y
- 6
5

z
= 0
(0,25 đ)

[ ]
122)2(
2
+
xx
+
[ ]
42).3(2)3(
2
+
yy
+
[ ]
93).5(2)5(
2
+
zz
= 0

(0,5 đ)

(
2
)12

x
+ (
2
)23

y
+ (
2
)35

z
= 0
Vì mỗi số hạng của tổng không âm nên vế trái không âm. Vì vậy:
(0,25 đ)

12

x
= 0 x = 3

23

y
= 0

y = 7

35

z
= 0 z = 14
(0,25 đ)
Vậy các số cần tìm là x = 3; y = 7; z = 14.
(0,25 đ)
Câu 4:
Từ x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
(1)

x
2
+ 2xy + y
2
= x
2
y
2
+ xy.

(x+y)

2
= xy(xy+1)
(0,5 đ)
Vì xy và xy + 1 là 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng nên tồn
tại một số bằng 0
(0,5 đ)
+ Nếu xy = 0 , thay vào (1) có x
2
+ y
2
=0

x = y = 0
(0,5 đ)
+ Nếu x + y + 1 = 0

xy = 1 thì
x = 1
y= -1
x = -1
y= 1
Thử vào (1) thoả mãn. Vậy (x ; y) = (0 ; 0) (1 ; -1) (-1 ; 1)
(0,25 đ)
Câu 5: