VIETMATHS COM chuyen de boi duong HSG toan 9 phuong trinh va hephuong trinh

1
Toán BDHSG phương trình và hệ phương trình. (lớp 9)
Bài toán 1: Giải phương trình

x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40

2
2
2
Bổ đề : Với a ≥ 0; b ≥ 0 a + b = ( a + b ) ≤ ( a + b ) + ( a − b ) ⇒ a + b ≤ 2 ( a 2 + b 2 )

Giải: Điều kiện : 2 ≤ x ≤ 10 , Ta có x − 2 + 10 − x ≤ 2 ( x − 2 + 10 − x ) = 4 mà
 x − 2 = 10 − x
2
⇔ x = 6.
x 2 − 12 x + 40 = x 2 − 12 x + 36 + 4 = ( x − 6 ) + 4 ≥ 4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
x − 6 = 0

(

)

Vậy phương trình có nghiệm x = 6
Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có

( x − 2 ) .4

( 10 − x ) .4

x − 2 + 4 10 − x + 4
+

= 4.
2
2
4
4
x − 2 = 4
⇔ x=6.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
10 − x = 4
x − 2 + 10 − x =

+

≤

Bài toán 2: Giải phương trình: x 2 + x − 1 + x − x 2 + 1 = x 2 − x + 2
Vì x 2 + x − 1 ≥ 0 và x − x 2 + 1 ≥ 0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được:
x2 + x −1 + 1 x2 + x
x 2 + x − 1 .1 ≤
=
(1)
2
2
x − x2 + 1 + 1 x − x2 + 2
x − x 2 + 1 .1 ≤
=
(2)
2
2
x2 + x x − x2 + 2

2
2
x
+
x
−
1
+
x
−
x
+
1
≤
+
= x + 1 nên theo đề ta có :
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
2
2
2
x 2 − x + 2 ≤ x + 1 ⇒ ( x − 1) ≤ 0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy phương

(

)

(

)

trình có nghiệm là x = 1.
Bài toán 3: Giải phương trình:

2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14 (1)
3

x≥

2 x − 3 ≥ 0

2 ⇔ 3≤x≤ 5
⇔
Điều kiện tồn tại phương trình: 
(*)
2
2
5 − 2 x ≥ 0
x ≤ 5

2

Vế phải của (1): 3x 2 − 12 x + 14 = 3 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 2 = 3 ( x − 2 ) + 2 ≥ 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =
2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):
2 x − 3 + 5 − 2 x ≤ ( 12 + 12 ) ( 2 x − 3 + 5 − 2 x ) = 4 = 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2

2 x − 3 = 5 − 2 x ⇔ x = 2 . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương

trình.

Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:

( 2 x − 3) .1 + ( 5 − 2 x ) .1 ≤

2x − 3 +1 5 − 2x +1
+
= 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
2

2 x − 3 = 1
⇔ x = 2.

5 − 2 x = 1

Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.
Bài toán 4: Giải phương trình: x 2 − 2 x + 3 = 2 x 2 − x + 1 + 3 x − 3 x 2 . (1)


2
 2 x − x ≥ 0
(2).
2
1 + 3 x − 3x ≥ 0
2

Giải: Điều kiện 

Vế trái của phương trình (1): x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1) + 2 ≥ 2 với mọi x ∈ R . đẳng thức xảy ra khi x = 1.
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả:

2

(1

2 x 2 − x + 1 + 3x − 3x 2 <

2

)(

)

+ 12 2 x 2 − x + 1 + 3x − 3 x 2 = 2 + 4 x − 2 x 2 = 4 − ( x − 1) ≤ 2 . đẳng thức xảy ra
2

khi 2 x 2 − x = 1 + 3x − 3x 2 . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1)
đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

(

3
2
Bài toán 5: Giải phương trình: 5 1 + x = 2 x + 2

)

(1)

Giải:
3

2
Điều kiện 1 + x ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) ≥ 0 Do x 2 − x + 1 ≥ 0 với mọi x nên x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
Đặt a = x + 1 ; b = x 2 − x + 1 với a ≥ 0 ; b > 0 . Nên phương trình (1) trở thành :

(

5ab = 2 a + b
2

2

)

2

a
a 1
a
a
⇔ 2  ÷ − 5  ÷+ 2 = 0. Giải phương trình này được = 2 hoặc =
b
b 2
b
b

a
= 2 thì phương trình (1) vô nghiệm
b
 x ≥ −1
a 1

2
Với = thì 2 x + 1 = x − x + 1 ⇔  2
. Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện
b 2
 x − 5x − 3 = 0

Với

x1 =

5 − 37
2

; x2 =

5 + 37
.
2

42
60
+
= 6 (1)
5− x
7−x

42  
60 
+  3 −
÷

÷= 0
Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên ( 1) ⇔  3 −
÷
5− x  
7− x ÷



42  
42  
60 
60 
42
60
9−
9−
3−
÷ 3 +
÷ 3−
÷ 3 +
÷
5 − x 
5− x  
7 − x 
7−x 
5− x +
7−x = 0
⇔
+
=0⇔ 

42  
60 


42 
60 
3
+
3
+

÷

÷
3
+
3
+

÷

÷
5− x  
7− x 

5
−
x
7
−

x




9 ( 5 − x ) − 42
9 ( 7 − x ) − 60
⇔
+
=0


42 
60 
( 5 − x) 3 +
÷ ( 7 − x)  3 +
÷
5
−
x
7−x 



Bài toán 6: Giải phương trình:






1
1

=0
⇔ 3 ( 1 − 3x ) 
+
⇔ 3 ( 1 − 3x ) = 0




42
60
( 5 − x)  3 +
÷ ( 7 − x) 3 +
÷
5− x 
7 − x  




1


( 5 − x)  3 +


1
x= .

3

42 
÷
5− x 

+

1


( 7 − x) 3 +


vì

1
60  > 0 nên x = . Thử lại đúng nên nghiệm của phương trình là
÷
3
7− x 


3
x ( x − 2 ) + x ( x − 5 ) = x ( x + 3)

Bài toán 7: Giải phương trình:

(1)
Điều kiện để phương trình có nghĩa là : −3 < x < 0 ;0 < x < 5 . Bình phương hai vế của phương trình

(1) ta được: x ( x − 2 ) + x ( x − 5) + 2 x 2 ( x − 2 ) ( x − 5 ) = x ( x + 3)

(

⇔ 2 x 2 ( x − 2 ) ( x − 5 ) = 10 x − x 2 ⇔ 4 x 2 ( x − 2 ) ( x − 5 ) = 10 x − x 2

(

)

)

2

⇔ 4 x 2 ( x − 2 ) ( x − 5 ) = 100 x 2 − 20 x 3 + x 4 ⇔ 4 x 2 x 2 − 7 x + 10 = 100 x 2 − 20 x 3 + x ⇔ 3 x 4 − 8 x 3 − 60 x 2 = 0
 10

⇔ x 2 3 x 2 − 8 x − 60 = 0 . Giải phương trình này được x ∈  − ;0;6  . Thử lai chỉ có hai nghiệm x = 0; x
 3


(

)

= 6 thoả mãn đề cho.
Bài toán 8: Giải phương trình:

)

)(

(

x + 5 − x + 2 1 + x 2 + 7 x + 10 = 3

2
Điều kiện x > -2 và x + 7 x + 10 = ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Nhân hai vế của phương trình (1) với

(

)

ta được: ( x + 2 ) − ( x + 5)  1 + ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 3

(

⇔ 3 1+

( x + 2 ) ( x + 5) ) = 3 (

(

) (

)

(

x−2 + x+5

)

x−2 + x+5 ⇔ x+2 + x+5 −

)

⇔ x + 5 1− x + 2 − 1− x + 2 = 0 ⇔

(

)(

(1)

(

x−2 + x+5

)

( x + 2 ) ( x + 5) − 1 = 0

)

x + 5 −1 1− x + 2 = 0

 x + 5 −1 = 0
x + 5 = 1
 x = −4

⇔
⇔
⇔
Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương trình x =
 x + 2 = 1  x = −1
1 − x + 2 = 0

-1.
Cách giải khác:
Đặt a = x + 2 ⇒ a 2 = x + 2 ;

b = x + 5 ⇒ b 2 = x + 5 nên b 2 − a 2 = x + 5 − x − 2 = 3 .Do đó phương trình

b 2 − a 2 = 3
(1) trở thành: 
(*)
(b − a )(1 + ab) = 3
2
2
Từ hệ (*) suy ra b − a = ( b − a ) ( 1 + ab ) ⇔ ( b − a ) ( a + b − ab − 1) = 0
a = b
b − a = 0
 a + b − ab − 1 = 0 ⇔  a − 1 b − 1 = 0 ⇔ a = b = 1 khi đó ta cũng có x = -1.
)( )

(
Bài toán 9: Giải phương trình:

25 − x 2 − 10 − x 2 = 3

(1)

2
2
 25 − x ≥ 0
 x ≤ 25
⇔
⇔ x 2 ≤ 10 ⇔ − 10 ≤ x ≤ 10 (*).
Giải: Điều kiện 
 2
2
10 − x ≥ 0
 x ≤ 10

Đặt 0 < a = 25 − x 2 ; 10 − x 2 = b > 0 ⇒ a 2 − b 2 = 25 − x 2 − 10 + x 2 = 15 . Nên phương trình (1) trở thành
a − b = 3
a − b = 3
a = 4
⇔
⇔
 2 2
a + b = 5 b = 1
 a − b = 15
Nếu b = 1 thì 10 − x 2 = 1 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ±3 so với điều kiên (*) x = ±3 thoả
Nếu a = 4 thì 25 − x 2 = 16 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ±3 so với điều kiên (*) x = ±3 thoả.
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±3 .
Bài toán 10: Giải phương trình:

3

x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x

Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:

(*)


4
5 x = x + 1 + x − 1 + 3 3 ( x + 1) ( x − 1)  x + 1 + x − 1  ⇔ 5 x = 2 x + 3 3 x 2 − 1. 3 5 x
3

(

3

)

⇔ 3 x 2 − 1. 3 5 x = x ⇔ x 3 = 5 x x 2 − 1 ⇔ 4 x 3 − 5 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±

5
. Thử lại ta thấy phương trinh
2

có đúng ba nghiệm trên.
Bài toán 11: Giải phương trình 3 1 + x + 3 1 − x = 2

(1)

Điều kiện: x ≥ 0 . Đặt 3 1 + x = a ; 3 1 − x = b ⇒ a3 = 1 + x ; ⇒ b3 = 1 − x nên phương trình (1) trở
 a + b = 2

a + b = 2
a = 2 − b
⇔
⇔
⇔



2
2
2
3
3
2
2
2
a + b = 2
a − ab + b = 1 ( 2 − b ) − b ( 2 − b ) + b − 1 = 0
( a + b ) a − ab + b = 2
a = 2 − b
a = 2 − b
a = 2 − b
⇔
⇔
⇔
⇔ a = b =1


2
2

2
2
2
4
−
4
b
+
b
−
2
b
+
b
+
b
−
1
=
0
b
−
2
b
+
1
=
0
b
−

1
=
0
(
)



a + b = 2

thành 

(

)

Nếu a = 1 thì 1 + x = 1 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0
Nếu b = 1 thì 1 − x = 1 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 .
Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.
Bài toán 12: Giải phương trình 3 2 − x + x − 1 = 1
(1)
Giải: TXĐ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . Đặt 3 2 − x = a ; x − 1 = b ≥ 0 . Nên phương trình đã cho trở thành:
a = 1 − b
a + b = 1 a + b = 1
a = 1 − b
 a = 1 − b
⇔
⇔
⇔
 3 3

 3 2


3
2
2
3
2
2
 a + b = 1  a + b = 1 ( 1 − b ) + b = 1 1 − 3b + 3b − b + b = 1 b b − 4b + 3 = 0
Nên b ∈ { 0;1;3} Do đó ( a; b ) = { ( 1;0 ) ; ( 0;1) ; ( −2;3) }

(

)

Nếu a = 0 thì 3 2 − x = 0 ⇔ 2 − x = 0 ⇔ x = 2 ; b = 1 thì x − 1 = 1 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2
Nếu a = 1 thì 3 2 − x = 1 ⇔ 2 − x = 1 ⇔ x = 1 ; b = 0 thì x − 1 = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1
Nếu a = −2 thì 3 2 − x = −2 ⇔ 2 − x = −8 ⇔ x = 10 ; b = 3 thì x − 1 = 3 ⇔ x − 1 = 9 ⇔ x = 10
Vậy phương trình có ba nghiệm là x ∈ { 1; 2;10}
1 − x 2x + x2
=
(*)
x
1 + x2
1− x
≥ 0 hay 0 < x ≤ 1
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là x ≠ 0 và
x
1

1− x
2x −1
x = là một nghiệm của phương trình (*)
= 1+
( *) ⇔
2 . Thử thấy
2
x
1+ x
1
1− x
2x −1
> 1 > 1+
Với 0 < x < thì 1 − x > x > 0 và 2 x − 1 < 0 .Suy ra
2
x
1 + x2
1
1− x
2x −1
< 1 < 1+
Với < x ≤ 1 thì 0 ≤ 1 − x < x và 2 x − 1 > 0 .Suy ra
2
x
1 + x2
1
Vậy x = là nghiệm của phương trình.
2
Bài toán 13:Giải phương trình

Bài toán 14: Giải phương trình :

3

3x 2 − x + 2001 − 3 3 x 2 − 7 x + 2002 − 3 6 x − 2003 = 3 2002 .

Giải: Đ ặt : 3 3x 2 − x + 2001 = a ⇒ a3 = 3x 2 − x + 2001


5
− 3 x − 7 x + 2002 = b ⇒ b = −3 x + 7 x − 2002
− 3 6 x − 2003 = c ⇒ c3 = −6 x + 2003
3

2

3

2

Suy ra a 3 + b3 + c3 = 2002 . Do đó phương trình đã cho sẽ là ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 nên
3

( a + b + c)

3

− (a 3 + b3 + c 3 ) = 0 Khai triển và thu gọn được: 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0 .

• Nếu a + b = 0 ⇔ 3 3x 2 − x + 2001 = 3 3x 2 − 7 x + 2002 ⇔ 3x 2 − x + 2001 = 3x 2 − 7 x + 2002

⇔ 6x = 1 ⇔ x =

1
6

• Nếu b + c = 0 ⇔ 3 3x 2 − 7 x + 2002 = − 3 6 x − 2003 ⇔ 3 x 2 − 7 x + 2002 = −6 x + 2003
1 + 13 1 − 13 
;
⇔ 3 x 2 − x − 1 = 0 . Phương trình này có nghiệm x ∈ 

6 
 6
• Nếu a + c = 0 ⇔ 3 3x 2 − x + 2001 = 3 6 x − 2003 ⇔ 3x 2 − x + 2001 = 6 x − 2003
⇔ 3 x 2 − 7 x + 4004 = 0 . Phương trình này vô nghiệm
 1 1 + 13 1 − 13 
;
Vậy phương trình có ba nghiệm x ∈  ;
.
6
6 
 6
Bài toán 15: Tính giá trị của biểu thức:
a +1
a + a +1 − a
4

2

trong đó a là nghiệm của phương trình 4 x 2 + 2 x − 2 = 0

Giải : Phương trình 4 x 2 + 2 x − 2 = 0 có ac = - 4 2 < 0 nên có hai nghiệm phân biệt với a là nghiệm
dương của phương trình nên ta có: 4a 2 + 2a − 2 = 0 (1) . Vì a > 0 nên từ (1) có :
a2 =

2 ( 1− a) 1− a
2 −a 2
1 − 2a + a 2
=
=
⇒ a4 =
.
4
8
2.2 2
2 2
a +1

Gọi S = a 4 + a + 1 − a 2

( a + 1)
=

(

a4 + a + 1 + a2

)

2

a4 + a + 1 − a4

( a + 1)
=

a4 + a +1 + a2

a + a +1− a
4

4

= a4 + a + 1 + a2

1 − 2a + a 2
1− a
1 − 2a + a 2 + 8a + 8 1 − a
a 2 + 6a + 9 1 − a a + 3 1 − a
4
+ a +1 +
=
+
=
+
=
+
=
= 2
8
8

8
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
Bài toán 16: Giải phương trình: x 2 − x − 1000 1 + 8000 x = 1000
Giải: Đặt 1 + 8000 x + 1 = 2 y ⇒ 1 + 8000 x = 2 y − 1 ⇒ 1 + 8000 x = 4 y 2 − 4 y + 1 ⇒ 4 y 2 − 4 y = 8000 x
⇒ y 2 − y = 2000 x . Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình:
=

 x 2 − x = 2000 y
 2
(1).Từ hệ phương trình (1) ta suy ra
 y − y = 2000 x

x 2 − x − y 2 + y = 2000 ( y − x ) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) − ( x − y ) + 2000 ( x − y ) = 0 (2)
⇔ ( x − y ) ( x + y − 1 + 2000 ) = 0 ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1999 ) = 0

Từ hệ phương trình (1)
2
2
2
2
suy ra: x + y − ( x + y ) = 2000 ( x + y ) ⇒ 2001( x + y ) = x + y > 0 ⇒ x + y > 0 .
Nên x + y + 1999 > 0 .Do đó từ (2) suy ra x − y = 0 hay x = y. Thay vào hệ (1) ta được
x 2 − x = 2000 x ⇒ x ( x − 2001) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 2001 . Nhưng x = 0 không là nghiệm của phương trình
nên phương trình có nghiệm là x = 2001.
Bài toán 17: Giải phương trình

x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 .

6

Điều kiện của phương trình: x ≥ 2
Ta có x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 ⇔ x − 1. x − 2 + x + 3 = x − 2 + x − 1. x + 3
⇔ x −1

(

) (

x −2 − x −3 −

)

x −2 − x −3 = 0 ⇔

(

x−2 − x−3

)(

)

x −1 −1 = 0 ⇔

(

)

x − 2 − x − 3 hoặc

x − 1 − 1 = 0 ⇔ x − 2 = x − 3 hoặc x − 1 = 1 ⇔ 0 x = −1 hoặc x = 2 . ⇔ x = 2

là một nghiệm của phương trình.
Bài toán 18: Giải phương trình

1
1
1
+ 2
= 2
2
5x
x − 9 x + 36 x − 4 x + 16

Giải :
ĐKXĐ: x ≠ 0

1
4
9
+ 2
= 2
. Với x ≠ 0 nên chia hai vế
2
2
5x
4 x − 36 x + 12

9 x − 36 x + 122
1
4
9
2
+
=
2
2
 12  36
2
5
của phương trình cho x ở mẫu ta được : 4 − 36 +  12  9 − 36 +  12  . Đặt  ÷ − = t . Khi đó
x
 ÷
 ÷
 x
x  x
x  x
1
4
9
2
=
ta có +
. Quy đồng khử mẫu ta được: t 2 − 12t + 36 = 0 ⇔ ( t − 6 ) = 0 ⇔ t = 6
5 4+t 9+t
2
 12  36
Do đó  ÷ − = 6 Quy đồng khử mẫu ta được x 2 + 6 x − 24 = 0

x
 x

Từ phương trình trên ta có

Giải phương trình x 2 + 6 x − 24 = 0 ta được nghiệm: x1,2 = −3 ± 33
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1,2 = −3 ± 33

y
 20 x 2 + 11y = 2009 (1)

z

Bài toán 19: Giải hệ phương trình:  20 2 + 11z = 2009 (2)
 y
 x
 20 2 + 11x = 2009 (3)
 z
1


Giải: Từ (1) suy ra y  20. 2 + 11÷ = 2009 ⇒ y > 0 . Tương tự từ (2) và (3) suy ra x > 0 ; z > 0 . Vì hệ số
x



không đổi khi ta hoán vị vòng quanh đối với x; y; z có thể giả thiết x = max(x, y, z) . Nghĩa là
x ≥ y ; x ≥ z . Trừ tường vế của phương trình (3) cho phương trình (1) ta được
y 
 x

20  2 − 2 ÷+ 11( x − y ) = 0 ⇔ 20 x 3 − yz 2 + 11x 2 z 2 ( x − y ) = 0 (4) . Vì x ≥ y > 0 ; x ≥ z > 0 nên x − y ≥ 0 và
x 
z
x = y
⇔ x= y= z.
x 3 − yz 2 ≥ 0 . Do đó phương trình (4) ⇔  3
2
 x = yz

(

)

Thay vào phương trình (1) ta được:
20
2009 ± 4035201
+ 11x = 2009 ⇔ 11x 2 − 2009 x + 20 = 0 . Do đó x = y = z =
.
x
22
697
 4
2
(1)
x + y =
81
Bài toán 20: Cho hệ phương trình 
 x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0 (2)

7

a) Nếu có (x; y) thoả (2) . Chứng minh rằng 1 ≤ y ≤
3


7
b) Giải hệ phương trình trên
Giải:
2
a) Từ phương trình (2) có: x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0 ⇔ x 2 + ( y − 3) x + ( y − 2 ) = 0 . Phương trình
bậc hai ẩn x có nghiệm:
∆ ≥ 0 ⇔ ( y − 3) − 4 ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ ( y − 3 + 2 y − 4 ) ( y − 3 − 2 y + 4 ) ≥ 0 ⇔ ( 3 y − 7 ) ( 1 − y ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
2

2

7
3

b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm:

x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0 ⇔ y 2 + ( x − 4 ) y + x 2 − 3 x + 4 = 0

2
2
∆ ≥ 0 ⇔ ( x − 2 ) − 4( x 2 − 3 x + 4) ≥ 0 ⇔ x − 8 x + 16 − 4 x + 12 x − 16 ≥ 0 ⇔ x ( 4 − 3 x ) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
2

4

4

3

2

4
7
256 49 697
4 7
+
=
và 1 ≤ y ≤ nên x 4 + y 2 ≤  ÷ +  ÷ =
.
3
3
81
9
81
3 3
697
4
7
4
7
⇔ x = và y = . Khi x = và y = thì thay vào phương trình (2)
Đẳng thức xảy ra x 4 + y 2 =
81
3
3
3
3

Do 0 ≤ x ≤

vô nghiệm. Nên hệ đã cho vô nghiệm.

(

)(

)

 x 2 + y 2 x 2 − y 2 = 144

Bài toán 21 : Giải hệ phương trình: 
 x 2 + y 2 − x 2 − y 2 = y

(*)

Giải: Từ hệ phương trình suy ra y > 0

(

)(

)

 x 2 + y 2 x 2 − y 2 = 144 (1)
(*) ⇔  2
2
(2)

 y = 2 x − 24

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có:

(x

2

)(

)

(

)(
+ 256 = 0 ⇔ ( x

)
− 16 )

+ 2 x 2 − 24 x 2 − 2 x 2 + 24 = 144 ⇔ 3 x 2 − 24 24 − x 2 = 144 ⇔ 72 x 2 − 3 x 4 − 576 + 24 x 2 − 144 = 0

⇔ 3 x 4 − 96 x 2 + 720 = 0 ⇔ x 4 − 32 x 2

{

2

2

= 16 ⇒ x 2 = 20 ; y 2 = 16 và x 2 = 12 ; y = 0 . Thử lại

}

được 4 nghiệm: ( x; y ) = ( 2 5; 4 ) ; ( −2 5; −4 ) ; ( 2 3;0 ) ; ( −2 3;0 ) .
 x 2 + xy + y 2 = 19 ( x − y ) 2
(*)
Bài toán 22: Giải hệ phương trình:  2
2
 x − xy + y = 7 ( x − y )
2
2
 x 2 − 2 xy + y 2 + 3 xy = 19 ( x − y ) 2
( x − y ) + 3 xy = 19 ( x − y )
⇔
Giải : Hệ (*) ⇔  2
2
2
x
−
2
xy
+
y
+
xy
=
7
x
−

y
(
)
( x − y ) + xy = 7 ( x − y )

6 ( x − y ) 2 − xy = 0
x − y = a
⇔
. Đặt 
.
2
 xy = b
( x − y ) − 7 ( x − y ) + xy = 0
6a 2 − b = 0
⇒ 7 a 2 − 7 a = 0 ⇔ 7 a ( a − 1) = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 1 .
Khi đó hệ trở thành:  2
 a − 7a + b = 0
x − y = 0
x = 0
⇔
Nếu a = 0 ⇒ b = 0 suy ra 
 xy = 0
y = 0


8

 x − y = 1  x + ( − y ) = 1
⇔
. Nên x; (-y) là nghiệm của phương trình bậc hai

 xy = 6
 x ( − y ) = −6

Nếu a = 1 ⇒ b = 6 suy ra 

k 2 − k − 6 = 0 ⇒ k1 = 3 ; k2 = −2
Nếu x = k1 = 3 thì y = −k2 = 2 ; Nếu x = k2 = −2 thì y = −k1 = −3 ; Vậy hệ đã cho có nghiệm là:
( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 3; 2 ) ; ( −3; −2 ) } .
 x 3 + 2 y 2 − 4 y + 3 = 0 (1)
Bài toán 23: Cho hệ phương trình:  2
. Tính Q = x 2 + y 2 .
2 2
(2)
 x + x y − 2 y = 0

Giải: Từ (1) suy ra x3 = −3 + 4 y − 2 y 2 = −1 − 2 ( 1 − 2 y + y 2 ) = −1 − 2 ( y − 1) ≤ −1 ⇒ x ≤ −1
2

(3)

2y

2
Từ x 2 + x 2 y 2 − 2 y = 0 có x = y 2 + 1 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 1
(4)
2
Từ (3) và (4) x = −1 . Do đó y = 1 . Vậy Q = x 2 + y 2 = ( −1) + 12 = 2 .

(1)
x − 3y = 3

Bài toán 24: Giải hệ phương trình:  2
2
 x + y − 2 x − 2 y − 9 = 0 (2)

Giải: Từ phương trình (2) suy ra ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 − 2 y + 1) − 11 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) − 11 = 0 .
2

2

2
2
2
2
Từ phương trình (1) suy ra x = 3 ( y + 1) . Nên ( 3 y + 3 − 1) + ( y − 1) − 11 = 0 ⇔ ( 3 y + 2 ) + ( y − 1) − 11 = 0

⇔ 9 y 2 + 12 y + 4 + y 2 − 2 y + 1 − 11 = 0
⇔ 10 y 2 + 10 y − 6 = 0 ⇔ 5 y 2 + 5 y − 3 = 0 . Giải phương trình bậc hai ẩn y được hai nghiệm :
−5 ± 85
10
−5 + 85
15 + 3 85
−5 − 85
15 − 3 85
Nếu y =
thì x = 3 ( y + 1) =
; Nếu y =
thì x = 3 ( y + 1) =
10
10
10

10
y=

 15 + 3 85 −5 + 85   15 − 3 85 −5 − 85  
;
;
÷
÷
÷; 
÷ .
10
10
10
10

 
 


Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = 

 2 x 3 + 3 x 2 y = 5
Bài toán 25: Giải hệ phương trình:  3
2
 y + 6 xy = 7

(*)

Hệ phương trình (*) tương đương
3

2
2
3
( 2 x + y ) 3 = 27
8 x 3 + 12 x 2 y = 20
2 x + y = 3
( 2 x ) + 3.4 x y + 3.2 xy + y = 27
⇔
⇔
⇔
 3


 3
2
2
3
2
3
2
y − 9y + 7 = 0
 y + 6 xy = 7
 y + 6 xy = 7
 y + 6 xy = 7

2
Giải phương trình : y 3 − 9 y 2 + 7 = 0 ⇔ ( y − 1) ( 2 y − 7 y − 7 ) = 0 có ba nghiệm y1 = 1 ;

y2 =

7 + 105
4

; y3 =

7 − 105
4

7 + 105
5 − 105
7 − 105
5 + 105
Nếu y = 1 ⇒ x = 1 ; Nếu y =
⇒x=
; Nếu y =
⇒x=
; Vậy hệ
4

8

4

8

 5 − 105 7 + 105   5 + 105 7 − 105  
;
;
÷
÷

phương trình có ba nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) ; 
÷; 
÷
8
4
8
4

 
 



9
 2 x 2 + xy − y 2 − 5 x + y + 2 = 0 (1)
Bài toán 26: Giải hệ phương trình  2
.
2
(2)
 x + y + x + y − 4 = 0
2
2
Giải: Từ phương trình (1) suy ra y − ( x + 1) y − 2 x + 5 x − 2 = 0 . Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai

nghiệm y1 = 2 x − 1 ; y2 = − x + 2 . Nên hệ phương trình trên tương đương:
 y − 2x +1 = 0
x + y − 2 = 0
 2
hoặc
 2

.
2
2
x + y + x + y − 4 = 0
x + y + x + y − 4 = 0
4

 x = − 5
 y − 2x +1 = 0
⇔
Giải hệ phương trình :  2 2
.
x + y + x + y − 4 = 0
 y = − 13

5
x + y − 2 = 0
x = 1
Giải hệ phương trình  2 2
có nghiệm 
.
y =1
x + y + x + y − 4 = 0



Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = ( 1;1) ;  − ; −


4

 5

13  
÷ .
5 

 2 x y + y x = 3 4 y − 3
Bài toán 27: Giải hệ phương trình 
(Đề thi chuyên Lê Khiết năm học
 2 y x + x y = 3 4 x − 3

2008- 2009)
3
4

Điều kiện của hệ: x ≥ ; y ≥

3
4


 2 x y + y x = 3 4 y − 3
2 x y + y x = 3 4 y − 3
⇔
Khi đó ta có: 

 x y − y x = 3. 4 y − 3 − 4 x − 3
 2 y x + x y = 3 4 y − 3

(

2 x y + y x = 3 4 y − 3


3.
⇔ x y−y x x y+y x
=

x y+y x


(

)(

)

(

4 y − 3 − 4x − 3

(

)(

4 y − 3 + 4x − 3

4x − 3 + 4 y − 3

)

)

)

2 x y + y x = 3 4 y − 3
2 x y + y x = 3 4 y − 3
 2

⇔  x y − y2 x
3 ( 4 y − 3 − 4 x + 3) ⇔  xy ( x − y )
12 ( x − y )
=
+
=0


4x − 3 + 4 y − 3
4x − 3 + 4 y − 3
x y + y x
x y + y x
2 x y + y x = 3 4 y − 3

⇔


xy
12
+
 = 0 (*)

( x − y ) 
4 x − 3 + 4 y − 3 
 x y + y x

3
3
Do điều kiện x ≥ ; y ≥
4
4


xy
12
+
 > 0 hay x = y
nên phương trình(*) x − y = 0 Do 
4 x − 3 + 4 y − 3 
 x y + y x
Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x = 3 4 x − 3 ⇔ x 3 = 4 x − 3 ⇔ x 3 − 4 x + 3 = 0


10
x =1
 x −1 = 0
⇔ ( x − 1) x + x − 3 = 0 ⇔  2
⇔
 x = −1 ± 13
x + x − 3 = 0
 1,2
2

(

)

2

x = y = 1

−1 − 13
So với điều kiện x =
(loại). V ậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 
−1 + 13
2
x = y =

2
3
3
Cách giải khác: Điều kiện của hệ x ≥ ; y ≥
4
4

 2 x y + y x = 3 4 y − 3
 xy 2 x + y = 3 4 y − 3
⇔
Ta có: 
 xy 2 y + x = 3 4 x − 3
 2 y x + x y = 3 4 x − 3


• Giả sử x > y suy ra 3 4 x − 3 > 3 4 y − 3 nên

(
(

)
)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

xy 2 y + x > xy 2 x + y ⇒ 2 y + x > 2 x + y ⇒

• Giả sử x < y suy ra 3 4 y − 3 > 3 4 x − 3 nên

y > x ⇒ y > x (vô lý)

xy 2 x + y > xy 2 y + x ⇒ 2 x + y > 2 y + x ⇒ x > y ⇒ x > y (vô lý)
Nên suy ra x = y . Thay x = y vào hệ ta có phương trình: 3x x = 3 4 x − 3 ⇔ x 3 = 4 x − 3 ⇔ x 3 − 4 x + 3 = 0
x =1
 x −1 = 0
⇔ ( x − 1) x + x − 3 = 0 ⇔  2
⇔
 x = −1 ± 13
x + x − 3 = 0
 1,2
2

(

)

2

x = y = 1

−1 − 13
So với điều kiện x =
(loaị). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 

−1 + 13 .
2
x = y =

2
 x + y = 4 z − 1 (1)

Bài toán 28: Giải hệ phương trình:  y + z = 4 x − 1 (2)

 z + x = 4 y − 1 (3)
1
Giải: Điều kiện x; y; z ≥ . Nhân mỗi phương trình với 2 ta có:
4
2 x + 2 y = 2 4 z − 1

2 y + 2 z = 2 4 x − 1 ⇒ 4 x + 4 y + 4 z − 2 4 x − 1 − 2 4 y − 1 − 2 4 z − 1 = 0

 2 z + 2 x = 2 4 y − 1

(
⇔(

) (

) (

)

⇔ 4x −1− 2 4x −1 +1 + 4 y −1− 2 4 y −1 +1 + 4z −1− 2 4z −1 +1 = 0

) (
2

4x −1 −1 +

) (
2

4 y −1 −1 +

)

2

4z −1 −1 = 0 ⇔ x = y = z =

Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau:
12 x 2 − 48 x + 64 = y 3 (1)

2
3
12 y − 48 y + 64 = z (2)
12 z 2 − 48 z + 64 = x3 (3)


Giải:

1.
2

11
Giả sử bộ ba số ( x; y; z ) là nghiệm của hệ phương trình trên thì ( y; z; x ) và ( z; x; y ) cũng là nghiệm
của phương trình này. Giả sử x là số lớn nhất x ≥ y ; x ≥ z (4)
2
Từ (1) ta có 12 x 2 − 48 x + 64 = y 3 ⇔ y 3 = 12 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 16 = 12 ( x − 2 ) + 16 ≥ 16 ⇒ y > 2 . Tương tự từ
phương trình (2) và (3) ta cũng có x > 2 ; z > 2 . (5)
3
3
2
2
Trừ từng vế của (1) và (3) ta được: x − y = 12 ( z − x ) − 48 ( z − x ) = 12 ( z − x ) ( x + z − 4 ) . (6)
Theo (4) và (5) suy ra x3 − y 3 ≥ 0 ; z − x ≤ 0 ; x + z − 4 > 0 . Nên từ (6) suy ra x = y = z (7)
3
Thay (7) vào (1) ta được: x3 − 12 x 2 + 48 x − 64 = 0 ⇔ ( x − 4 ) = 0 ⇒ x = 4 .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y; z ) = ( 4; 4; 4 )
Tìm x, y, z biết x − y + z = x − y + z .
Điều kiện: x; y; z ≥ 0 ; x − y + z ≥ 0 . Đặt x = a 2 ; y = b 2 ; z = c 2 . Do a.b.c ≥ 0 nên ta có
Bài toán 30:

a 2 − b 2 + c 2 = a − b + c ⇔ a 2 − b 2 + c 2 = ( a − b + c ) ⇔ a 2 − b 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab + 2ac − 2bc
2

⇔ −2b 2 + 2ab − 2ac + 2bc = 0 ⇔ 2b ( a − b ) − 2c ( a − b ) = 0 ⇔ 2 ( a − b ) ( b − c ) = 0
a − b = 0
a = b
⇔
⇔
b − c = 0
b = c

Hoặc cách giải khác:

Do đó x = y và z tuỳ ý

; y = z và x tuỳ ý

x− y+z = x − y + z ⇒ x− y+z + y = x + z

⇒ x − y + z + y + 2 y ( x − y + x ) = x + z + 2 xz
⇒

y ( x − y + z ) = xz ⇒ y ( x − y + z ) = xz ⇒ y ( x − y ) + yz − xz = 0

⇒ y ( x − y ) − z ( x − y ) = 0 ⇒ ( x − y ) ( y − z ) = 0 Do đó x = y và z tuỳ ý hoặc y = z và x tuỳ ý.
1 1
Bài toán31: Cho x > 0 , y > 0 và + = 1 . Chứng minh rằng: x + y = x − 1 + y − 1 .
x y
1 1
Từ x + y = 1 . (1) Suy ra x > 1 ; y > 1 và các căn thức x − 1 ; y − 1 tồn tại . Từ (1) suy ra
x + y = xy ⇒ xy − x − y + 1 = 1 ⇒ ( x − 1) ( y − 1) = 1 ⇒
⇒ x+ y = x+ y+2

( x − 1) ( y − 1) − 2 = (

( x − 1) ( y − 1)

)

2

x −1 + y −1 ⇒

=1⇒ 2

( x − 1) ( y − 1)

=2

x + y = x − 1 + y − 1 (đpcm).

Bài toán 32: Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Giải:
Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác, đường cao của
tam giác luôn lớn hơn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là x > 2; y > 2; z > 2 . Vì x,
1

1

1

1 1 1

y, z là các số nguyên dương nên x ≥ 3; y ≥ 3; z ≥ 3 ⇒ x + y + z ≤ 3 + 3 + 3 = 1 . Mặt khác ta lại có:
1 1 1 a
b c a +b+c 1
+ + =
+ + =

= = 1 ⇒ x = y = z = 3 nên tam giác ABC đều.
x y z ax by cz
2S ABC
r
4
2
Bài toán 33: Cho phương trình x + 2mx + 4 = 0 (*) . Tìm giá trị của tham số m để phương
trình có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32 .

Giải:


12
Đặt x = t > 0 khi đó phương trình (*) trở thành t + 2mt + 4 = 0 (1) . Phương trình (*) có nghiệm phân
biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 ngh ĩa l à:
2

2

m >2
∆ ' = m2 − 4 > 0

 m > 2 ∧ m < −2

⇒ m < −2
t1 + t2 = −2m > 0 ⇔ m < 0 ⇔ 
m < 0
t .t = 4
t .t = 4
1 2

1 2

Khi m <-2 thì phương trình (*) có 4 nghiệm x1;2 = ± t1 ; x3;4 = ± t2 và
x14 + x24 + x34 + x44 = 2 ( t1 + t2 ) − 4t1t2 = 8m 2 − 16 . Từ giả thiết suy ra 8m 2 − 13 = 32 ⇔ m = − 6 vì m < −2
2

Bài toán 34:

Chứng minh rằng nếu phương trình ax 4 + bx3 + cx 2 − 2bx + 4a = 0 (a ≠ 0) (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả
mãn x1.x2 = 1 thì 5a 2 = 2b2 + ac .
Giải:
Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thì đa thức bậc bốn ở vế trái của phương trình phân tích
4
3
2
2
được : ax + bx + cx − 2bx + 4a = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( ax + mx + n ) =

(

)(

= x 2 − px + 1 ax 2 + mx + n

)

(vì x1.x2 = 1 và p = x1 + x2 )
= ax 4 + ( m − ap ) x 3 + ( a − mp + n ) x 2 + ( m − pn ) x + n . Đồng nhất thức hai vế của phương trình trên ta
(1)
 n = 4a

 m − pn = −2b (2)

được : 
(3)
 m − ap = b
 a − mp + n = c (4)

Giải hệ phương trình trên ta được 5a 2 = 2b2 + ac .
1

Cách giải 2: Vì x1 ≠ 0 và x2 = x đều là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:
1

(

)

(

)

(

)(

)

ax14 + bx13 + cx12 − 2bx1 + 4a = 0 ⇔ a x14 − 1 − bx1 x12 − 1 = 0 ⇔ x12 − 1 ax12 − bx1 + a = 0

(

)

= ( x1 − 1) ( x1 + 1) ax12 − bx1 + a .

Có ba trường hợp xảy ra
2
Trường hợp 1: Nếu x1 = −1 ⇒ x1 = x2 = −1 . Đa thức vế trái chia hết cho ( x + 1) = x 2 + 2 x + 1 nên
đa thức dư đồng nhất phải bằng 0. Bằng phép chia đa thức cho đa thức ta được:
 −4a + b − 2c = 0
b = −2a
⇔
⇒ 5a 2 = 2b 2 + ac

 a + 2b − c = 0
c = −3a
Trường hợp 2: Nếu x1 = 1 ⇒ x2 = x1 = 1 . Tương tự trường hợp (1) ta cũng có 5a 2 = 2b2 + ac
Trường hợp 3: Nếu x1 ≠ 1 thì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình ax 2 − bx + a = 0 . Chia đa thức

(*) cho ax 2 − bx + a ta được đa thức dư đồng nhất bằng 0 có ( a − bx ) ( 5a − 2b − ac ) = 0 ⇒ 5a 2 = 2b2 + ac .
Cách giải 3: Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (*) nên chia hai vế cho x 2 ta được:
2

2

4  
2
2
4


a  x 2 + 2 ÷+ b  x − ÷+ c = 0 (1) . Đặt y = x − ⇔ x 2 + 2 = y 2 + 4 nên phương trình trở thành
x  
x
x
x

2
2
; y2 = x2 −
( 3) . Áp dụng định lý Viet cho phương trình (2)
ay 2 + by + 4a + c = 0 (2) . Đặt y1 = x1 −
x1
x2
b
4a + c
y1 + y2 = −
; y1. y2 =
. Thay vào (3) và biến đổi ta được 5a 2 = 2b2 + ac .
a
a


13

Phương trình (2) có hai nghiệm y1; y2 . Nếu y1 = y2 ⇔ x1 = x2 mới chỉ là một nghiệm của phương trình
(2) vậy ta phải xét thêm các trường hợp 1) 2) như cách giải 2:
Bài tập về nhà về phương trình và hệ phương trình
1)Giải các phương trình sau:
a) ( x + 3 x + 2 ) ( x + 9 x + 18 ) = 168 x

KQ: x = 1; x = 36

b) 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1

 5 + 61 
x ∈ 8;

2 


1) Giải các hệ phương trình sau:
 x + 1 + y = 4
 x + y = 7

a) 

( x + 1) ( y + 1) = 8
 x ( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17

b) 

 x 2 + y 2 + xy = 1
c)  3 3
 x + y = x + 3 y
 x 3 − xy 2 + 2000 y = 0
d)  3 2
 y − x y − 500 x = 0

Bài tập về nhà:
1) 10 − 2 x − 2 x + 3 = 1

3) 5 32 − x 2 − 5 1 − x 2 = 4
5) x + 4 20 − x = 4
7) x3 + 1 = 2 3 2 x − 1

KQ: ( x; y ) = ( 3; 4 )
KQ: ( x; y ) = { ( 1;3) ; ( 3;1) }
KQ: ( x; y ) = { ( 1;0 ) ; ( −1;0 ) }

2) 48 − x3 + 35 − x3 = 13
4) 3 x − 1 + 3 = 4 82 − x
6) x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9
8) 8 + x + 5 − x = 5